元のスレッド
巨大数探索スレ
- 728 名前：有流才蔵 ：03/03/25 07:26
- s(2)の定義を誰にもわかるように書いた上で
それがバードの矢印回転と同種の変換であると
示せばいいんじゃないかな？
（つまりs(1)とチェーンの対応関係を示すのと
同じつもりでやればいい）
- 730 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/26 01:32
- >>728
その方針でいきます。
s(n)の定義にn=2を代入すると、s(2)の定義は
(a) s(2)[m,f_0,f_1]:=[n,g_0,g_1]
ただし、
(b) g_1=f_1^{f_0(m)},
(c) g_1[m,f_0]=[n,*],
(d) g_1^x[m,f_0]=[*,r_x]と置く時、g_0(x)=r_x(x)
と書けます。ここで、(a)はs(2)とは自然数m,関数f_0,S変換f_1から、
自然数n,関数g_0,S変換g_1への写像である、という意味です。
(b)は、g_1はf_1をf_0(m)回繰り返した写像であるという意味です。
(c)は、そのg_1にて生成される数がnであるという意味です。
(d)は、生成される関数g_0の定義を記述しています。
- 731 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/26 01:33
- ここで、>>424の
(4) s(2)[*,Q(n,x),s(1)] ≧ [*,P(x,n,x),*]
に戻り、>>724をもっと詳しく説明します。
(4)と(a)を見比べると、f_0=Q(n,x), f_1=s(1)となります。
したがって、(a)よりg_1はf_1をある大きな回数繰り返したS変換に
なります。ここで、S変換の回数を繰り返すことによる効果を無視すると、
g_1 = s(1)
とすることができます。(d)にf_0=Q(n,x), f_1=s(1), g_1 = s(1)
を代入すると、
s(1)^x[*,Q(n,x)] =[*,r_x]と置く時、g_0(x)=r_x(x)
となります。>>424の(3)で
s(1)^m[*,Q(n,x)] ≧ [*,P(m,n,x)]
が示されていますから、
g_0(x) = r_x(x) ≧ P(x,n,x)
となります。このように、繰り返し回数mを変数xとする関数を生成する
変換が、SS変換です。
>>424の(5)でP(x,n,x) ≧ Q(n+1,x)と計算されたように、P(m,n,x)の
「チェーンを伸ばす回数m」を「変数x」とすることで、チェーンを
１つ回転する効果が得られます。それが>>424の(6)です。
- 732 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/26 01:34
- 閑話休題：
s(2)[m,f_0,f_1]:=[n,g_0,g_1]
g_1=f_1^{f_0(m)}
ここでf_1の回数を増やす効果を無視しましたが、せっかくならば
ここを工夫することでＳ変換を本質的に大きくするＳＳ変換を作る
ことができそうです。それが、>>706-707あたりの議論につながります。
大雑把な書き方で、
c(0):=f_1, c(n+1)f(x):=[c(n)^x]f(x), (g_1)f(x):=c(x)f(x)
といったs(2)を定義すれば、初期のs(1)をg(x)=f(x)+1として、この
s(2)を1回施すことでアッカーマン流（s(1)、チェーン）が生成され、
もう1回施すことでとてつもないs(1)が生成されます。つまり、タネの
s(1)はg(x)=f(x)+1で十分です。
F=[[{s(2)^63}s(1)]^63(x+1)]^63(3)は、バージョン３よりも大きく
なるような気配もあります。この線でバージョン3.1を考えてみるかな。
- 733 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/26 01:34
- Ｓ変換,s(1)を関数製造機と呼べば、ＳＳ変換,s(2)は「関数製造機
製造機」となります。>>680の記法だと、＋ωという「関数製造機」
が与えられたときに、＾ωよりも大きな関数製造機を製造する関数
製造機製造機が新s(2)ということになるのだろうか。
- 734 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/26 05:16
- さて、>>732-733の次はどうなるのか、ここから先は前スレ
339の不規則処理業者のようにうまく働かないのか、
論理的破綻をきたすのかどうか、よく分からないのですが、
たとえばs(3)を次のように考えることができます。
任意の関数f(x)と、S変換 f_1、SS変換 f_2に対し、
関数g(x)を次のように定義できます。
g(x):=([{(f_2^x)f_1}^x{f(x)}]^x)(x)
ここで、f(x)からg(x)へのS変換をg_1とすると、
f_1からg_1への変換はSS変換の一種なので g_2と
することができます。このとき、f_2からg_2への変換、
すなわちSS変換からSS変換への変換をs(3)と定義できます。
この調子でs(n)を矛盾なく定義できるのかどうか。
きちんと記述するのはけっこう面倒かもしれませんが、
いい頭の体操になります。そもそもどこまでが計算可能
なんだろう？よく分からず。
- 735 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/26 05:37
- >>734の定義ははたして循環定義になっているのだろうか？
なっているような気もするけど、なっていないような気もする…。
- 736 名前：717 ：03/03/26 08:46
- >>718、
前スレからのVer2の説明のコピペ
＞(m)は f(x) に S2変換をm回繰り返した関数 h(x,m)
＞に x=m を代入した数
＞といった書き方の方がいいかな。SS変換も2変数を使って
＞SS:[m,f(x),S]-->[n,g(x),S2]
＞ただし S2=S^f(m)
＞S2:[m,f(x)]-->[n,p(x)]
＞S2^y:[m,f(x)]-->[q(y),r(x,y)]
＞g(x)=r(x,x)
の下２行(S2の定義)が良くわかりません
ふぃっしゅさん
ＳＳ変換１回目がＳ変換(S1変換)４回分として、S2が生み出されれて
その後
ＳＳ変換２回目がどのように成るのか簡単に(できれば文章的な表現で)
示してみてくれませんでしょうか？
- 737 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/26 17:34
- レオニウム数列との矛盾を感じるのだが・・・
極端に証明が困難になるな
- 738 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/26 22:34
- >c(0):=f_1, c(n+1)f(x):=[c(n)^x]f(x), (g_1)f(x):=c(x)f(x)
>といったs(2)を定義すれば、初期のs(1)をg(x)=f(x)+1として、この
>s(2)を1回施すことでアッカーマン流（s(1)、チェーン）が生成され、
記号が混在しているので勘違いしているかも知れないが、
g_1の威力は大部分f_1に依存している気がする。
f_1が「関数f(x)を関数f(x)+1に移す変換」の場合、
g_1はs(1)よりずっと小いと思うのだが、いかが？
- 739 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/26 23:59
- >>734-735
まず「何の集合から何の集合への写像を考えているのか」を
明確にする事をお勧めします。そこさえきちんとしておけば、
well-definedか否かは難しい問題ではありません。
具体的には、S1変換、S2(SS?)変換等の言葉の意味は何でしょう？
流れから言えば、次でしょうか？（簡単の為「S0変換」も加えました。）
S0変換＝自然数全体の集合から、自然数全体の集合への写像。
S1変換＝S0変換全体の集合から、S0変換全体の集合への写像。
同様に
Sn+1変換＝Sn変換全体の集合から、Sn変換全体の集合への写像。
例えば、f(x)=x^xはS0変換。関数g(x)をg^x(x)に移すのはS1変換。
この場合、>>734はwell-definedではありません。
なぜなら、g_1はf_1だけから決まるものではなく、f_2にも依存します。
「S0変換とS1変換のペア(f_1,f_2)から、S1変換g_1が決まる」
これはS2変換ではありません。
同様の理由で、
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/result.html の定義には、
>T(0)=End(N),T(n)=End(N×T(0)×･･･×T(n-1)) (n>0)
というゴツイ集合が必要になっているものと推測します。
- 740 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 00:52
- 蛇足ですが、
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/result.html
の定義においては、Sn変換の意味は>>739ではなく次の様になります。
S0変換＝自然数全体の集合から、自然数全体の集合への写像。
S1変換＝自然数とS0変換のペア全体の集合から、自然数とS0変換のペア全体の集合への写像。
S2変換＝自然数とS0変換とS1変換のトリプル全体の集合から、自然数とS0変換とS1変換のトリプル全体の集合への写像。
（以下同様）
この場合、Sn変換全体の成す集合が、T(n)です。念の為。
- 741 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 01:00
- >>717
その式の意味ですが、下の３行は「S2の定義」ではありません。
S2の定義は、S2=S^f(m) の個所です。
たしかに、定義と計算式がごちゃまぜになっているところが
分かりにくい一因ですね。
ＳＳ変換1回目も2回目も変わりません。1回目で生成された
数と関数とＳ変換の組が、2回目のタネとなるだけのことです。
タネはいずれの場合も[m,f(x),S]と書かれるので、1回目と
2回目を区別して理解する必要はありません。
- 742 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 01:01
- まず、S2はＳをf(m)回繰り返したＳ変換である、というところ
まではいいですね。ＳＳ変換1回目、つまりm=3, f(x)=x+1のときは、
Ｓを４回繰り返した変換になる、ということです。
その下の3行は、「Ｓ２の定義」ではなくて、ＳＳ変換によって
生成される数(n)と関数 g(x) の定義が書いてあります。
＞S2:[m,f(x)]-->[n,p(x)]
これは、ＳＳ変換によって生成される数ｎとは、S2変換によって
[m,f(x)]から生成される数であるという意味です。
＞S2^y:[m,f(x)]-->[q(y),r(x,y)]
＞g(x)=r(x,x)
この2行は、ＳＳ変換によって生成される関数g(x)の定義です。
[m,f(x)]に対して、S2をy回繰り返して得られる関数がr(x,y)です。
この2変数関数r(x,y)に、y=xを代入した関数g(x)が、求める関数です。
- 743 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 01:02
- >>738
そうですね。勘違いしました。ここは、もう少しゆっくり考えてみます。
- 744 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 01:06
- >>739
> なぜなら、g_1はf_1だけから決まるものではなく、f_2にも依存します。
> 「S0変換とS1変換のペア(f_1,f_2)から、S1変換g_1が決まる」
つまり、f_2がgivenであれば、f_1からg_1への変換が決まりますよね。
言い換えれば、f_2が決まればg_2が決まります。
したがって、f_2からg_2への変換を考えることができます。
と、このように考えたのですが、まだ甘いかな。
- 745 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 01:09
- >>740
そうです。その意味もあって「大雑把な書き方」としたわけですが、
>>740の定義にしたがった記法については、別途考えてみようと
思います。
- 746 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 01:33
- >>744
なるほど、私の間違いでした。
その様に考えれば、>>739の意味でのSn変換が、順次定義できますね。
Si変換f_i(i=0...n)が与えられた時、S0変換g:=g(f0,f1,...fn-1,fn)を
g(x):=((..((fn^xfn-1)^xfn-2)^x...f1)^xf_0)^x(x)と定める。
g(*,f1,f2,...,fn)はS1変換⇒g(*,*,f2,...,fn)はS2変換⇒
･･･⇒g(*,*,...,*,fn)はSn変換⇒g(*,*,...,*,*)はSn+1変換
というわけですね。
これは相当きれいな定義ですね。
>>745
>>740は>>739に比較して遥かに複雑なので、>>739で済めばそれに越した事は
無いと思います。
- 747 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 01:42
- この方法は、アッカーマン流とは全く独立（！）に、
Sn変換を与えてくれてるね。
それをs(n)と書く事にして、
S1変換ss(1)を、(ss(f))(x):=((..((s(x)^xs(x-1))^xs(x-2))^x...s(1))^xf)^x(x)
と定めるとすると、ss(1)は元来のアッカーマン流s(1)に比べてどうなのだろう？
- 748 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 02:48
- 俺はいつもエロいことを考えてるな
↓
「俺はいつもエロいことを考えてるな」ってことを考るな
↓
「「俺はいつもエロいことを考えてるな」ってことを考るな」ってことを考えるな
↓
…
俺はいつもこんなことばっか考えるな
俺はいつもこんなことばっか考えるな
…
- 749 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 03:32
- 有力な増加関数？
f(x)=MAX[k=1?x]w(k,s)
w(1,s)=w(s)
w(2n+1,s)=w(3n+2,s+2n+1)
w(2n,s)=w(n,s+2n)
(1<n∈Z)
- 750 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 03:38
- 定義を考えるところまではいいのですが、この定義によって
どの程度増加率の大きい関数が得られるのか、あるいは
どんな大きな数が得られるのか、そして計算可能性はどう
なのか？といった性質を調べるのは、かなり厄介そうです。
>>746
ただ、同じ記号を２つ以上の意味で使うと混乱するので、s(n)は
>>740の定義として、>>739はSiといったように、記号をしっかりと
分ける必要がありますね。
>>737
それはどういう意味でしょうか？
- 751 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 03:40
- >>748
なんとなくいいたいことが分かりました。
関数製造機製造機製造機によって関数製造機製造機を作って…
といったプロセスは、なんとなく似ていますね。
- 752 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 03:45
- >>749
w(3,s)は何だ?
- 753 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 03:49
- >>747
そうなんですよ。次は当然そういった段階を考えますよね。
そうすると、s(1)からss(1)への変換はS2変換になりますね。
もちろん、その際にはs(2)以上が定まってなければならない
わけですが。
こういった抽象化のプロセスは、どこまで続けることが
できるのだろうか。抽象化のプロセスそのものを抽象化
するところまでは無理かもしれないですが。
関数だけを見ていたときには見えなかった関数が、関数とは
別の概念を考えることによって見えてくるとすれば、面白そう。
- 754 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 03:59
- >>753
s(2)以上が定まれば、s(1)からss(1)へのS2変換ss(2)を考えることが
できるということは、s(3)以上が定まればs(2)からss(2)への変換を
考えることができるわけですよね。このように、一般にs(n)が定まれば
ss(n)系列をn=1から順番に定義できるわけです。すると、次はsss(n)
系列をss(n)系列を元に定義できますよね。
で、結局なにができあがるのか？よく分からないのですが、単純に
面白いです。
- 755 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 04:07
- お気づきかもしれませんが、>>746のs:=s(1)はアッカーマン流s(1)より強力みたいだよ。
F(x,y):=(s^yf)(x)とおくと、F(F(x-1,y),y-1)<F(x,y)だもの。
F(F(x-1,y),y-1)
=(s^{y-1}f)((s^yf)(x-1))
=(s^{y-1}f)((s^{y-1}f)^{x-1}(x-1))
=(s^{y-1}f)^x(x-1)
<(s^{y-1}f)^x(x)
=(s(s^{y-1}f))(x)
=F(x,y)
- 756 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 04:20
- >>755
あれ、>>746はs(1)の定義を与えず、s(1)の定義が定まって
はじめてs(n)が順次定義できるものだと思っていたのですが、
違いますか？s(2)を別途>>732のように定義するかどうかは
別問題で、これはあえて>>732のように定義しない方が
美しいですね。
問題は、初期のs(1)はアッカーマンである必要があるかどうか。
(s(1)f)(x))=f(f(x))といった定義からスタートしても、ある段階で
アッカーマンのs(1)が生成されるのであれば、その必要は
ないわけで、実際このs(1)にs(1)^xの操作を2回も繰り返せば
アッカーマンが得られるような感じがしています。
- 757 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 04:28
- いや、(s(1)f)(x):=f^x(x)とおくのがベストと思う。
- 758 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 04:36
- >>757
ああ、そうか。>>746の定義から、自然にそうなるのか。
- 759 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 04:38
- >>757の定義が殆どアッカーマンと同じだというのは、少し驚きました。
>>753-754
>そうすると、s(1)からss(1)への変換はS2変換になりますね。
>もちろん、その際にはs(2)以上が定まってなければならない
>わけですが。
ss(2)(x,f0,f1):=(((..(s(x)^xs(x-1))^x...s(2))^xf1)^xf0)^x(x)
てなとこですかね？（同様にs(x)?s(n)からss(n)ができる、と。）
（注：S2変換は、「自然数とS0変換とS1変換のトリプル全体の集合から、自然数全体の集合への写像」
と同じ事なので(>>746)、その記法を使っています。）
ss(n)がみんな決まった後は、sss(n)と。
s(n,m)と書くのが良いのかもしれない。ss(n)=s(n,2)等。
>こういった抽象化のプロセスは、どこまで続けることが
>できるのだろうか。抽象化のプロセスそのものを抽象化
>するところまでは無理かもしれないですが。
少なくともs(n,m)は、問題なしと思います。この先はあるのか？
>関数だけを見ていたときには見えなかった関数が、関数とは
>別の概念を考えることによって見えてくるとすれば、面白そう。
大袈裟に言えば、抽象化の威力を垣間見てる、てな所かな。
- 760 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 04:53
- >>746 >>757 の定義からスタートして、
(s(2)s(1))(x+1) : アッカーマン、チェーン
((s(2)^2)s(1))(x+1) : チェーン延長回数＝チェーン１回転
((s(2)^3)s(1))(x+1) : チェーン回転関数
s(3)の定義にはs(2)^xといった操作が入っているので、
((s(3)s(2))s(1))(x+1)はチェーンどころの騒ぎでない。
といった感じだろうか。
このシンプルな定義でこれだけの破壊力。
まさに抽象化の威力ですね。
- 761 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 05:06
- 破壊力、定義の単純さ共に申し分ない！
ふぃっしゅ数の新バージョンには、脱帽です。
決定版に近づいた気もします。
- 762 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 07:28
- バージョン１を作ったときには、まさかこんなところまで
来るとはまったく思いもしませんでした。
- 763 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/27 07:31
- 次に気になるのは、はたしてどこまでプログラムで書けるのか、
といったところです。計算可能の壁を破っているのか、いない
のか。たぶん破ってないんだと思いますが、どうも確証が
持てない。その前に、定義をきちんと清書しないといけないか。
- 764 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/27 08:29
- >>759
この発言は、そういう意味だったのか。
237 名前： ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g 投稿日： 02/11/04 04:03
ここから先、定義を拡張するとすれば、s(1)変換からss(1)
変換を生成した過程をss(2)変換とみなして、同様にして
ss(n)変換を定義し、その定義が確定すればsss(1)変換、
sss(n)変換が定義できて、ss..(n回)..s(n)変換が定義
できて、この際だからss..(n回)..s(n)変換でできる数を
関数f(n)で定義してしまうか…という感じで続いていく
ことでしょう。
- 765 名前：717 ：03/03/27 14:19
- >>741->>742
丁寧に御講義頂きまして恐縮至極です
どうも私は他のみなさんよりも理解力が低いので、完全に飲み込むのに時間が
かかってしまいスミマセンです。
実を言うと、ここまで説明して頂いてもまだハッキリと理解できてません
紙に書いてまとめてみたりしましたが自信がありません
- 766 名前：717 ：03/03/27 14:35
- 自分で理解していたのは以下のような感じなのですが、違ってる所を指摘していただくと
ありがたいです。もうみなさん随分と先のほうをやってるのにこんな所でｳﾛｳﾛしててｽﾐﾏｾﾝ。
ｆ[1]・ｍ[1]がＳＳ変換1回目(Ｓ変4回)で得られる関数・数であるとして
ＳＳ変換2回目を順を追って記すと
●Ver1 ｆ[1](ｆ[1]‥‥【ｆ[1](ｍ[1])】回‥‥ｆ[1](ｆ[1](ｆ[1](ｍ[1])))‥‥))＝ｍ[2]
●Ver2 ｆ[1](ｆ[1]‥‥【ｆ[1](ｍ[1])】回‥‥ｆ[1](ｆ[1](ｆ[1](ｍ[1])))‥‥))＝ｍ[2]
↑ ↑
￣￣￣￣￣￣￣￣￣↓￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
ｆ[2](ｆ[2]‥‥【ｆ[2](ｍ[2])】回‥‥ｆ[2](ｆ[2](ｆ[2](ｍ[2])))‥‥))＝ｍ[2]
↑ ↑
￣￣￣￣￣￣￣￣￣↓￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
ｆ[3](ｆ[3]‥‥【ｆ[3](ｍ[3])】回‥‥ｆ[3](ｆ[3](ｆ[3](ｍ[3])))‥‥))＝ｍ[2]
? ?
(中略) ｆ[ｆ[1](ｍ[1])］をｆ[1'] ｍ[ｆ[1](ｍ[1])］をｍ[1']とする
? ?
￣￣￣￣￣￣￣￣￣↓￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
ｆ[[1']-1](ｆ[[1']-1]‥‥【ｆ[1']?1（ｍ[1']-1)】回‥‥ｆ[(ｍ[[1']-1])))‥‥))＝ｍ[1']
でＳＳ2回目終了。関数ｆ[1']と数ｍ[1']が得られる。
おそらく違うと思うのですが、ふぃっしゅさんご本人以外の方でもよろしかったらご教授下さい
- 767 名前：717 ：03/03/27 15:03
- すんません、繋ぎの矢印がズレた‥‥。
- 768 名前：有流才蔵 ：03/03/27 15:06
- >>765
ご安心を。私もＳ２（ＳＳ？）は全然理解できてません（笑）
それもこれもふぃっしゅ氏が>>730で、
「>>728の方針でやります」
といったにもかかわらず、実際には
私がＳ１の操作とチェーンの操作を
逐一対応づけたのと同様の明確さで
Ｓ２の操作と矢印回転の操作を
逐一対応させる作業をなさらなかった
からです。
>>731がそのつもりなのかもしれません。
しかし、それなら誤りがあります。
Ｓ２では矢印は一回転しません。1/4回転でしょう。
- 769 名前：717 ：03/03/27 16:44
- >>768
いちおう、ＳＳとＳ２の違い(Ver1ですが）は、次のような感じだと思います。
ＳＳ変換はＳ変換回数を大量に増殖していく変換でＳ変換の外部にあります
Ｓ２変換はＳＳ変換を１回施されてＳ変換
（この各ＳＳ変換に入る前の各Ｓ変換の原型をＳ1変換と呼びます）
‥‥の変換回数が増えたものをＳ２変換と呼びます。
ＳＳ変換を繰り返すたびに、新しいＳ２変換が各ＳＳ変換によって生まれます。
てな所だと思いますが、実はこれもあまり自信ありません。
ただどうやらＳＳ変換はVer2で激変しているようなので、そこを聞いたというわけです。
逆にVer3はわりと理解できてる(これもつもり？か)ので、どうしてもこのVer2のＳＳ変換
が何を生み出すのかが気になっていたのです。
695氏の前ｽﾚでの解説は理解は出来たのですが、VerNoを上げるほどの増加に思ず未だに聞いてるわけです。
上記のふぃっしゅさんの ご説明は各式々の意味は理解はできましたが、
Ver1の説明で根幹のB(0.ｎ）をｇ(n)とするという部分で一気に理解が進んだように
Ver2の数値決定の“流れ”にそれらの式が【どのような順序で有機的につながる】のか？
何処で数値決定が成されるのか？ という点が当方、理解力不足でつかめません。
数値ふぃっしゅさんにはご面倒でもVer2のSS2回目を数字記号を簡略
化しても結構なので示していただくと、もう少し理解が出来そうなのですが‥‥。
お願いばかりですみません。
- 770 名前：717 ：03/03/27 16:46
- ↑うわ、誤字だらけ。ｽﾐﾏｾﾝ
- 771 名前：l.b. ：03/03/27 22:01
- >>766-768
ふぃっしゅさんではないですが、昨日のふぃっしゅ数の新バージョンをまとめてみます。
前スレのものとは違う様ですが、こちらの方がアイデアが明瞭に現れていると思います。
まずは、「Sn変換」を定義します。（前スレでのSn変換とは違うので、Rn変換とでも呼ぶ方が良いかもしれません。）
S0変換＝自然数全体の集合から、自然数全体の集合への写像。
S1変換＝S0変換全体の集合から、S0変換全体の集合への写像。
以下同様に
Sn+1変換＝Sn変換全体の集合から、Sn変換全体の集合への写像。
と定めます。Sn+1変換を与える事は、「自然数とS0変換と･･･とSn変換からなるn+2個の組全体の集合から、自然数全体の集合への写像」を与える事と同じ事です(>>746)。
この事より、n≧0に対してSn+1変換s(n+1,1)が次のように定まります。
自然数xとSi変換f_i(i=0...n)が与えられた時、
s(n+1,1)(x,f0,...fn-1,fn):=((..((fn^xfn-1)^xfn-2)^x...f1)^xf_0)^x(x)
同様にs(i,j) (i>0,j≦m)を用いて、Sn+1変換s(n+1,m+1)が次のように定まります。
s(n+1,m+1)(x,f0,...fn-1,fn):=((...((..(s(x,m)^xs(x-1,m))^x...s(n+1,m))^xfn)^x...f1)^xf_0)^x(x)
更にs(i,i)を用いる事によりs(n,ω+1)等を定義する事もできます。
- 772 名前：l.b. ：03/03/27 22:13
- 具体的な評価としては、s(2,1)s(1,1)が、次の変換s(1)よりも大きい事が分かっています(>>755)。
>B(0,y)=f(y),
>B(x+1,0)=B(x,1),
>B(x+1,y+1)=B(x,B(x+1,y)),
>g(x)=B(x,x)
>>760の予想がありますが、確認は大変かも？
- 775 名前：ぶくふぃっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 01:31
- >>768
なるほど、>>716を読み返したら、私が「４回転」と思って
いたものが「１回転」になっていますね。バードの定義に
従えば、１／４回転です。ただ、その定義にしたがって
>>424を書き直すとすると、かなり面倒ですので、当面は
>>424 で勘弁してください。
ところで、>>424の証明で不明瞭なところはありましたか？
- 776 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 01:36
- >>772
>>424の証明は、チェーンＳ変換を元に、対角化関数（Ｓ変換の
繰り返し回数を関数とする関数を作成すること）を作成する
ＳＳ変換がチェーン延長関数を生み出し、チェーン延長関数を
元に対角化関数を作成する操作がチェーン回転関数を生み出す
ことを示しています。この「変換の対角化操作」が、新らしい
s(2)1回に入っているので、>>760は感覚的にはほぼ自明です。
- 777 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 01:46
- おそらく、>>766のような書き下し方法では、ＳＳ変換の本質、
すなわち「Ｓ変換の繰り返し回数を変数とする関数を作る」
ということの意味は理解できないと思います。
一つだけ理解していただきたい点は、「Ｓ変換を何回繰り返しても、
ＳＳ変換によって得られる関数よりも大きくならない」という
点です。ここが理解できれば、「Ｓ変換の繰り返し回数をどんどん
あげていくVer.1」と「Ｓ変換の繰り返し回数を変数とする関数を
作るVer.2」の本質的な違いを理解することになります。
- 778 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 01:52
- 前スレの>>83以上に明確な説明は、なかなかできません。
g(1)は f(x) に S2変換を１回繰り返した
関数に x=1 を代入した数
g(2)は f(x) に S2変換を２回繰り返した
関数に x=2 を代入した数
g(m)は f(x) に S2変換をm回繰り返した
関数に x=m を代入した数
こういた関数を作ることが、SS変換の意味です。
- 779 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 01:57
- >>778のg(x)という関数について、よくよく考えてみてください。
この関数は、S2を何回繰り返した関数よりも、大きい関数です。
S2を繰り返す回数をＮとすれば、ｘ＞Ｎのときにg(x)＞((S2^N)f)(x)
だからです。いわゆる対角化論法というものです。
- 780 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 02:08
- >>771
私がまとめていたら、そういうきれいな説明は書けないと思います。
ありがとうございます。
- 781 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 04:29
- >>623-624の路線で説明する方がいいのかな。
チェーン的S変換は、f(y)＝3→y→2をタネにすると、
S変換1回：3→3→y
S変換2回：3→3→3→y
S変換3回：3→3→3→3→y
といった関数を生み出す変換です。つまり、チェーンを延長する
変換です。SS変換は、S変換をｙ回繰り返す変換なので、
SS変換１回＝SS変換ｙ回：3→3→…→3 (3がy個）＝3↓y↓2
を生成します。3→y→2から3↓y↓2へとチェーンを1/4回転
させる力のある変換が、SS変換ということです。
こういった形の説明の方がいいでしょうか？＞有流才蔵さん
- 782 名前：l.b. ：03/03/28 05:28
- >>424の証明（>>586-587,>>721-724）少しだけ読みました。
いずれのステップも、帰納法の主要部で上手く行っているので、内容はほぼ正しいと思います。
ただ、表記が分かり難いです。(↑n)の濫用と、
3(↑n)(↑n)m(↑n)(x+1)(↑n)(x+1):=3(↑n)3...(↑n)3(↑n)(x+1)(↑n)(x+1) (3がm個)
という従来と矛盾した記法は、改善の必要アリと感じます。
また、>>587(iia)の3(↑n)2(↑n)(x+1)＞ 3(↑n)(y+1)(↑n)(x+2) (∵y=0）
は正しくないです。
a(↑n)1(↑n)c:=a(↑n)a(↑n)(c-1)なので、
左辺＝3(↑n)1(↑n)(x+2)=3(↑n)3(↑n)(x+1)＞右辺です。
但しこの点は、下のようにPとQの定義の3を2に変えれば、とりあえず回避できます。
P(m,n,x) = 2(↑n)(↑n)m(↑n)(x+1)(↑n)(x+1)
Q(n,x) = 2(↑n)(x+1)(↑n)2
3を使う必然性があるのでしょうか？
- 783 名前：l.b. ：03/03/28 05:58
- >>424によると、チェーン回転を超える為には、やはり（>>771の意味での）S1変換の概念で十分なわけですね。
s(1)を用いて、S1変換s'(n) (n>1)を>>707の様に
(s'(n)f)(x):=(s'(n-1)^xf)(x)
により定義しても、>>424のsをs'に変えた式は成立します。
この事と、>>755の式からすぐに分かる
(>>771の意味のs(2)^ns(1))>s'(n)
を合わせる事により、>>760の予想の証明にもなっていますね。
- 784 名前：l.b. ：03/03/28 06:05
- 本質的な部分は単純明快なのに、いろいろな定義が混在していて一見分かり難い状態なのが、ちょっともったいないかもですね。
- 785 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 06:11
- >>782
私も、最初は２で考えていました。ところが、2を基底にしたチェーンは、
本質的に巨大数を生み出しません。3を使ってはじめて巨大数が
生まれます。したがって、証明が複雑になることを承知の上で、３を
使う必要があったのです。
たとえば、3→3→3→3はグラハム数よりも大きいのですが、2→2→2→2＝4
となります。
∵2→2→2→2＝2→2→(2→2→1→2)＝2→2→4＝2↑↑↑↑2＝2↑↑↑2
＝2↑↑2＝2↑2＝4
- 786 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 06:21
- そうか、>>571の
次に、チェーンの最後から2番目の数が1の場合、これと最後の数をまとめて落とせます。
a(↑n)b(↑n)...(↑n)x(↑n)1(↑n)z
= a(↑n)b(↑n)...(↑n)x
これは、>>579のように、3変数のときは成り立たないのか。
この部分は、ずっと勘違いしたまま計算をしていました。
そうすると、>>782の指摘どおり証明に誤りがありますね。
- 787 名前：717 ：03/03/28 06:29
- >>778
理解できないのは、そのｇ(x）関数は
?ふぃっしゅ「数」自体、つまり数自体を大きくするのに使うのか？
?Ｓ変換の回数を大きくするのに使うのか？
という所なのですが‥‥。
- 788 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 06:32
- >>786
と、思ったけど
G(a,1,c):=G(a,a,c-1) (c>2)
これは本当に正しいのだろうか？
G(a,1,c):=a
ではないのだろうか？
- 789 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 06:33
- >>787
どちらでもありません。「大きな関数を作る」ために使います。
結果的に大きな関数から大きな数ができますので、
１の目的が達成されます。
S変換の回数をいくら大きくしても追いつかない関数を作る
ために使っているのです。
- 790 名前：717 ：03/03/28 06:35
- ＞g(m)は f(x) に S2変換をm回繰り返した
＞関数に x=m を代入した数
さらに上記の定義はVer1のＳＳ変換でも使われてますよね？
Ver1のＳＳ２回目は、ＳＳ１回目で得られた数ｍを
ＳＳ１回目で得られた関数ｇ(x）に代入してその数だけ
Ｓ２変換を繰り返すとなっています。
これでは、Ver1とVer2のＳＳ変換はまったく同じモノに
なってしまませんでしょうか？
- 791 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 06:37
- 「Ver1のＳＳ２回目は、ＳＳ１回目で得られた数ｍを」
このｍと、ｇ（ｍ）のｍはまったく別物です。
表記の混在が混乱を招いているな、たしかに。
- 792 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 06:38
- 「SS1回目で得られた関数ｇ（ｘ）」そのものが、Ver.1とVer.2では
まったく異なるのです。
- 793 名前：717 ：03/03/28 06:44
- >>792
ＳＳ1回目からして関数が違っているのですか？
Ver1のＳＳ1回目で得られた関数は前の表記を使えばggg(gg(g(ak(ｘ))))と
表現されると思いますが、Ver2ではＳＳ1回目ではどうなるのでしょう？
>>791
そのVer2のｍはどこから得られた数字なのでしょう？
- 794 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 06:47
- >>793
>>778のような関数が生成されます。
これは、ggg(gg(g(ak(ｘ))))のような形では表記できないと思います。
それだけ大きな関数だということです。
>>778のmは、関数g(x)を説明するためのｍです。
どこから得られたものでもありません。
- 795 名前：717 ：03/03/28 06:48
- 個々の式・定義の意味はわかっても、それらがどうつながって
Ver2の数値を生み出すのかが知りたいのです
一番簡略化してあらわす方法は無いでしょうか？
- 796 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 06:51
- S変換でもS2変換でも同じようなものなので、>>778を書き直します。
g'(x)にします。
g'(1)は f(x) に S変換を１回繰り返した関数に x=1 を代入した数
g'(2)は f(x) に S変換を２回繰り返した関数に x=2 を代入した数
g'(m)は f(x) に S変換をm回繰り返した関数に x=m を代入した数
となりますが、この関数は>>793のように書けば
g'(1)=g(ak(1))
g'(2)=gg(g(ak(2)))
g'(3)=ggg(gg(ak(3)))
g'(4)=gggg(ggg(gg(ak(4))))
といったように大きくなる関数です。どんなにggggggg...と繰り返しても、
ある段階でg'(x)に追い越されます。
これが「S変換の繰り返しでは絶対に追いつかない関数」の威力です。
- 797 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 06:54
- >>795
簡略化という意味が「関数と数字だけの式であらわす（つまり、
Ｓ変換といった表記を使わない）といった意味でしたら、
それは無理だと思います。
- 798 名前：717 ：03/03/28 06:55
- ＳＳ1回目は、ｆ(x)＝4ですからｆ(4)関数を生み出す
そういう考えでいいのでしょうか？
f[0](f[0](f[0](f[0](3))))))＝ｍ[1] ｍ[0]からｍ[1]を生成する関数をｆ[1]とする ←(これは前ｽﾚの695さんの表記と同じ）
ここでSS1回目は終わらず、以下のように続く
f[1](f[1]f[1](f[1](?【f[0](f[0](f[0](f[0](3))))】回繰り返す?f[1](f[1]((ｍ[1])))?)))＝ｍ[2]
ｍ[1]からｍ[2]を生成する関数をｆ[2]とする
さらにf[2](f[2]f[2](f[2](?【f[2](ｍ[2]】回繰り返す?f[2](f[2]((ｍ[2])))?)))＝ｍ[3]
ｍ[2]からｍ[3]を生成する関数をｆ[3]とする
さらにf[3](f[3]f[3](f[3](?【f[3](ｍ[3]】回繰り返す?f[3](f[3]((ｍ[3])))?)))＝ｍ[4]
ｍ[3]からｍ[4]を生成する関数をｆ[4]とする
こんな感じでVer2のＳＳ1回目はｆ(4)を作るってことでしょうか？
- 799 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 07:00
- >>798
＞ＳＳ1回目は、ｆ(x)＝4ですからｆ(4)関数を生み出す
そこが根本的に間違っています。Ｓ変換を何回か繰り返した関数を
作る、というものではないのです。
- 800 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 07:01
- Ｓ変換をグラハム数回繰り返しても、ふぃっしゅ数回
繰り返しても追いつかない、そういう関数を作るのです。
- 801 名前：717 ：03/03/28 07:02
- 上記間違えました。うえから5行目は
誤：f[1](f[1](f[1](?【f[0](f[0](f[0](f[0](3))))】回繰り返す?f[1](f[1]((ｍ[1])))?)))＝ｍ[2]
正：f[1](f[1](f[1](?【f[0](f[0](f[0](f[0](ｍ[1]))))】回繰り返す?f[1](f[1]((ｍ[1])))?)))＝ｍ[2]
でした
- 802 名前：717 ：03/03/28 07:04
- >>800
なるほど、上記が違うという点でも収穫でした
では、前スレの695さんの解釈はいかがでしょう
- 803 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 07:07
- 要は「Ｓ変換の繰り返しを変数とする」というところを理解するか
どうかです。ここがうまく表記できていれば問題はないと思います。
- 804 名前：717 ：03/03/28 07:08
- >>799
いちおう上記>>798に関しては
(Ｓ変換を繰り返す回数を階層化して、そこから得られた数・関数でより大きな関数を作っている）
と表現できると思うのですが、こういった表現で言うとどうなるでしょうか？
- 805 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 07:10
- 前スレだと、
134 名前：名無しのような物体 ◆plq.mziK0E ：02/10/10 01:33
うを、また間違えた。これはもう最初から書き直した方がいいかも。
ええっと、SS変換をn回作用させた数、関数、S変換をそれぞれ m[n] , f[n](x) , S[n] とし、
またB変換を次のように定義します。
このように、Ｓ変換の回数を変数化する操作、すなわちS[n]を
定義することで、はじめて表記できると思います。
要は、Ｓ変換そのものを表記に取り入れないと、もはやどうしようも
できない定義であるということです。
- 806 名前：717 ：03/03/28 07:10
- できれば、(後ほどでも結構ですが)
ＳＳ1回目をＳ変換：＋1でやっていただくとわかるかなあ‥‥‥。
- 807 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 07:11
- >>804
その表現だと「Ｓ変換を繰り返す回数を増やしている」ようにしか
読めませんよね。そうではなくて、「Ｓ変換の繰り返しでは実現
できない大きな関数、そして数を生成する機構を取り入れた」
といったところでしょうか。
- 808 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/28 07:16
- >>806
計算方法の説明のために、その計算は前スレでやりましたので、
読んでみてください。
- 809 名前：717 ：03/03/28 07:23
- 上の
＞＞ｆ(x)＝4ですからｆ(4)関数を生み出す
は、右側の表記が( )じゃなくて[ ]でした
＞＞ｆ(x)＝4ですからｆ[4]関数を生み出す
でした。4段階目に進んだ関数という意味です
まあ、これもＳ変換の繰り返しで得られているので違うのでしょう
- 810 名前：有流才蔵 ：03/03/28 07:53
- >>779
＞いわゆる対角化論法というものです。
ん？この場合強いて対角にする必要はないよ。
実際、チェーンは>>778で、繰り返し回数だけ変えて
ｘに代入する数は同じにしてる、つまり、縦列を
とってるでしょ。
- 811 名前：有流才蔵 ：03/03/28 07:59
- >>781
＞SS変換は、S変換をｙ回繰り返す変換なので
その言い方では、みな誤解すると思うよ。
ｙは変数だよね。つまり上でいうSS変換は、
”S変換の反復を、関数化して取り出す”
ってことだよね。
- 812 名前：有流才蔵 ：03/03/28 08:03
- あ、すでに>>777で
「Ｓ変換の繰り返し回数を変数とする関数を作る」
といってるのか。
- 813 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/28 08:40
- _、_
（ く_,` ） n
￣ ＼ （ E） good job!!
ﾌ /ヽ ヽ_／／
_n
（ l _、_
＼ ＼ （ <_,` ）
ヽ___￣￣ ） good job!!
/ /
∩
( ⌒) ∩_ _
/,. ﾉ i .,,E）
./ /" / /" .
./ / _、_ ／ ノ'
/ / ,_ﾉ` ）／ ／
（ ／ good job!!
ヽ |
＼ ＼
- 814 名前：有流才蔵 ：03/03/28 09:49
- 細かいことですが、バードの矢印回転の計算について
バードは３↑３↑３の計算を
３→→→３
と置き換えてしまっていますが、
そんな不細工なことをしなくてもよい。
３↓３↓３
＝３↓（３↓２↓３）↓２
＝３↓（３↓（３↓１↓３）↓２）↓２
＝３↓（３↓３↓２）↓２
＝３↓（３↓（３↓２↓２）↓１）↓２
＝３↓（３↓（３↓（３↓１↓２）↓１）↓１）↓２
＝３↓（３↓（３↓３↓１）↓１）↓２
ここで、･･･↓１の扱いについて
＝３↓（３↓（３→３）↓１）↓２
＝３↓（３→３→３）↓２
とすれば、ＯＫ。
これで、多重矢印の使用をキャンセルできる。
- 815 名前：有流才蔵 ：03/03/28 10:01
- ＞＝３↓（３↓（３↓３↓１）↓１）↓２
＞ ここで、･･･↓１の扱いについて
＞＝３↓（３↓（３→３）↓１）↓２
＞＝３↓（３→３→３）↓２
＞ とすれば、ＯＫ。
つまり
ａ↓（ｂ→ｃ）↓１＝ａ→ｂ→ｃ
ａ↓ｂ↓１
＝ａ↓（ｂ→１）↓１＝ａ→ｂ→１
＝ａ→ｂ＝ａ＾ｂ
とすればよい。
以上は↓を→に変える場合だったが
←を↓に、（↑１）を←に変える場合も同様。
- 816 名前：有流才蔵 ：03/03/28 10:31
- 以下→、↓、←・・・を、
→＜１＞、→＜２＞、→＜３＞・・・と
書く。
ふぃっしゅのＳがチェーンに対応することは
>>623-624及び>>721-723で示された。
同じく、ＳＳが上記→＜ｎ＞を→＜ｎ＋１＞に
変える変換に対応するであろうことは
>>731及び>>781で示唆されているが
その仕掛けは、端的には>>815で
示されているものではないか？
思われる
- 817 名前：有流才蔵 ：03/03/28 10:34
- ＳＳＳについては、例えばチェーン（Ｓと同等）が
ａ＾＾ａ＝ａ→ａ→２
ａ＾＾＾ａ＝ａ→ａ→３
なる拡張であったのと同様に
ａ→＜２＞ａ→＜２＞ａ＝ａ・・・２？
ａ→＜３＞ａ→＜３＞ａ＝ａ・・・３？
のような拡張された記法と
計算手続きを必要とするだろう。
これが具体的に定義されてはじめて
バードを越えたといえるだろう。
- 818 名前：l.b. ：03/03/28 13:47
- >G(a,1,c):=G(a,a,c-1) (c>2)
>これは本当に正しいのだろうか？
>G(a,1,c):=a
>ではないのだろうか？
もやしっ子さんのサイトを見ると・・・
>a→[n]b＝a→→→…→b (with n right-arrows)＝a→[n-1]a→[n-1]a→[n-1]…→[n-1]a (b terms)
>a↓b↓c＝a→[c]b (with c right-arrows)
>3→→→3＝3→→3→→3
今までずっと、a→[c]1:=a→[c-1]aかと思っていたんですが、
最後の例を見ると、(b terms)ってのは「→[n-1]がb個」じゃなくて「aがb個」って事ですね。
だからおっしゃる通り、a↓1↓c:=a→[c]1:=aですね。すみません。
- 819 名前：l.b. ：03/03/28 14:21
- >>579を以下のように修正します。矢印を回転させるのは、非効率な表記なので一括して↑nで表します。またa(↑n)b(↑n)...(↑n)y(↑n)zも非効率なので、↑n(a,b,...,y,z)と書きます。
↑n(a,b,c)=a(↑n)b(↑n)c から
↑n+1(a,b,c)=a(↑n+1)b(↑n+1)c を作る操作をまとめます。
以下a,b,...,zは全て自然数(>0)とします。ステップは2つありますが、(2)も2行目以外は(1)と同じです。
(1)3変数関数↑nを任意変数関数↑nに拡張する。方法は、4変数以上に対して、
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,y) (y=1 orz=1)
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,↑n(a,b,...,x,y-1,z),z-1) (x>1,y>1)
2変数以下に対しては↑n(a):=a,↑n(a,b):=a^bとおく（便宜的）。
(2)多変数関数↑nから、3変数関数↑n+1をつくる。方法は、
↑n+1(a,b,c):=↑n(a,b,c) (b=1 or c=1)
↑n+1(a,b,2):=↑n(a,a,...,a) (aがb個)
↑n+1(a,b,c):=↑n+1(a,↑n+1(a,b-1,c),c-1) (b>1,c>2)
（注：↑n+1(a,2,2):=↑n(a,a)=a^aです）
- 820 名前：l.b. ：03/03/28 14:28
- まぁ、あんまり歴史的な定義にこだわっても仕方ないけどね。
肝心なのは↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,↑n(a,b,...,x,y-1,z),z-1) (x>1,y>1)
即ちアッカーマンだよね。
- 821 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 01:11
- >>810
>>796を元に、SS変換でf(x)がg'(x)に変換されるとします。
f(x) に S変換をm回繰り返した関数をS_m(x)とすると、
x=1 x=2 x=3 x=4
S変換1回：S_1(1) S_1(2) S_1(3) S_1(4)
S変換2回：S_2(1) S_2(2) S_2(3) S_2(4)
S変換3回：S_3(1) S_3(2) S_3(3) S_3(4)
S変換4回：S_4(1) S_4(2) S_4(3) S_4(4)
といった表ができます。この表の対角、すなわち
S_1(1),S_2(2),S_3(3),S_4(4)
を取る関数がg'(x)なのです。2変数を使った説明は、対角操作を
分かりやすくしているかもしれません。
- 822 名前：717 ：03/03/29 01:15
- 少しわかりかけてきました(ホントに遅くてスミマセンね）
>>796
の
＞となりますが、この関数は>>793のように書けば
＞g'(1)=g(ak(1))
＞g'(2)=gg(g(ak(2)))
＞g'(3)=ggg(gg(ak(3)))
＞g'(4)=gggg(ggg(gg(ak(4))))
＞といったように大きくなる関数です。どんなにggggggg...と繰り返しても、
＞ある段階でg'(x)に追い越されます。
そのg'( )がいくつになったらＳＳ変換1回目は終わるのでしょうか？？
- 823 名前：717 ：03/03/29 01:19
- というか、Ｓ変換を、このような関数に変える変換自体が
ＳＳ変換１回目で、そのようにして得られた関数を
またもう一段上の次元の関数に引き揚げるのがＳＳ変換２回目
ってことでしょうか？
- 824 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 01:20
- >>817
SSS操作は、1回目までは「回転関数」で表現できますが、2回目以降は
バードの記法では表現できないんですよね。したがって、バードを越える
関数が定義されたわけです。
それでは、SSS以降の操作を表現できるような関数はどうすれば構成
できるか。これは、↑に2変数属性を与えて、1変数目は回転回数、
2変数目は1変数目を変数とするような変換で１つ値が上がるような、
そういった関数を考えれば、SSS変換1回がその2変数目を１つ繰り上げる
操作に相当することになると思います。同様に、チェーンにｎ変数属性を
持たせることもできるでしょう。
新定義だと、この「関数変換操作の対角化操作」がs(2）1回に内包されて
しまうので、チェーンのｎ変数属性が定義されると、>>760の続きは
(s(2)s(1))(x+1) : アッカーマン、チェーン
((s(2)^2)s(1))(x+1) : チェーン延長回数＝チェーン１回転
((s(2)^3)s(1))(x+1) : チェーン回転関数、チェーン2変数目に１を足す
((s(2)^4)s(1))(x+1) : チェーン回転関数、チェーン3変数目に１を足す
といった感じで進み、((s(3)s(2))s(1))(x+1)はチェーンの変数の数を変数と
するような操作を考える必要があるだろうな、と思います。
具体的に「チェーンにｎ変数属性を与える」「その変数の数を変数とする」
といった関数をまじめに定義していく限りにおいては、その定義を
いくら繰り返しても追いつかないのですが、関数の定義法を一般化して、
>>746のように簡潔に表現すると、そういった操作を限りなく大きな数
内包した関数、そして数が定義できるところに、面白さがあります。
- 825 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 01:21
- >>823
そういうことです。
- 826 名前：717 ：03/03/29 01:32
- >>825
ただ、どこかで区切りを入れなければ
数値は決定しませんよね
Ver1では、ＳＳ1回目で得られた数値を基底にしてＳＳ２回目の操作を
行っていたわけですが
Ver2で、ＳＳ変換を新しいg(x)関数を生み出す変換と定義したとして
もＳＳ変換は63回(関数のﾘﾆｭ-ｱﾙが63回）行われるるわけですが、
それはいいとして
Ver1のようにＳＳ１回ごとに基底数値を決めて、それに新しい関数を施さなければ
最終的な数値は定まらないように思えるのですが
- 827 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 01:39
- >>826
数値決定の方法はそれでいいのです。
求められた関数に数値を代入する、これは変わりません。
- 828 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/29 01:48
- 帰納的関数の枠は超えているの？
- 829 名前：717 ：03/03/29 01:52
- ということは
ＳＳ１回目では、初期値は4ですから上記の
＞g'(1)=g(ak(1))
＞g'(2)=gg(g(ak(2)))
＞g'(3)=ggg(gg(ak(3)))
＞g'(4)=gggg(ggg(gg(ak(4))))=ｍ[1]
で終了して
その関数・数を基底にしてＳＳ２回目
の新しい関数g''(x)を作って
g''(1)=g'(ｍ[1])
g''(2)=g'(g'(ｍ[1]))
と増やしていき
g''( g'(ｍ[1]) ）
でＳＳ２回目終了
でしょうか？
- 830 名前：717 ：03/03/29 01:56
- あ、ちがうか
g''(1)=g'(ｍ[1])
g''(2)=g'(g'(？))
↑ここは変るのでしょうか？
- 831 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 01:56
- >>829
＞g'(4)=gggg(ggg(gg(ak(4))))=ｍ[1]
で終了して
という書き方だとg'(x)=g'(4)と定義したように読めます。
そうではない、というところが一番重要なところです。
- 832 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 01:58
- >>831
逆にいうと、そこさえ理解できればVer.1とVer.2が
決定的に違うことがわかるはずなのですが。
- 833 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 02:01
- いえ、>>717さんはすでに理解していると思うのですが、
どうもこのあたりが今までも誤解を生んできた原因だと
思うので、ではどうやって書けばいいのかが悩ましい
ところではあるのですが。
- 834 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 02:06
- >>828
どうなんでしょう。>>416と比べていろいろと考えては
いるのですが。元のs(1)の操作が帰納的な操作なので、
それを元に定義されるs(1)^xも帰納的な操作である、
といったことがクリアに言えれば、>>771は帰納的な
操作を定義している、といえそうなのですが、どうも
このあたりがよく分かりません。
- 835 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 02:13
- g''(1)=g'(ｍ[1])
g''(2)=g'(g'(ｍ[1]))
ここで、Ｓ変換をすることでg'関数が変わります。
すぐに記号が枯渇してきます。そして、括弧の中の
数は１、２、３…となります。ここは関数の定義なので
g'(x)を定義したときと同じ事です。
- 836 名前：717 ：03/03/29 02:15
- >>831
それは、g'(x)のｘがそれ以降もどんどん変っていくからでしょうか？
考え方として、Ver2はVer1の数値代入の流れはそのままにして
関数の威力だけをＳＳ変換ごとにアップさせていくということでしょうか
それでも、数値は定まるのでしょうか？
- 837 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 02:16
- >>836
関数が定まれば数値は定まります。
代入するだけですから。
- 838 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 02:19
- Ver.1のアイディアは、
(1)数と関数から数と関数を生成するＳ変換の定義
(2)Ｓ変換の回数を増やすＳＳ変換の定義
Ver.2のアイディアは、
(3)Ｓ変換の回数を変数とすることにより関数を増やすＳＳ変換の定義
ということです。実際には、Ver.2のＳＳ変換は(2)(3)の両方を
含んでいるのですが、(3)に比べれば(2)の効果は微々たるものです。
そこで、新バージョンでは「関数を増加させる」といったところ
だけを抽出した定義を用いることになったわけです。
ここまでたどり着くまでのアイディアの変遷としては、
(2)は必要でしたが、最終的には(2)は捨てられてしまった、
ということです。
- 839 名前：717 ：03/03/29 02:19
- >>835
そうでしたね、その表記の流れは数値を決定するものではなく
関数の性質をあらわす一覧表みたいなものでしたね、失礼しました。
上記の代入の流れをそのままに関数の性質だけ引き揚げることを
平行して考えなければいけないわけですね
- 840 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 02:25
- 実は、>>838から新バージョンへ行くまでにはさらにいくつかの
段階があって、
(4)Ｓ変換の回数を変数とする操作でＳ変換自体を変えるＳＳ変換
(5)ＳＳ変換の回数を変数とする操作でＳＳ変換自体を変えるＳＳＳ変換
といった定義を考えることで、一気に破壊力が爆発し、さらに定義が
簡略化されたわけです。そして、(4)(5)を定義に与えたところ、
(2)(3)はともに捨てられてしまいました。
- 841 名前：717 ：03/03/29 02:36
- >>838
では、Ver1の、ＳＳの次の段階に進む時に前のＳＳの段階の
数値を代入するということはもうやらなくてもいいのでしょうか？
少し具体的なｲﾒ-ｼﾞがつかみたいのですが
Ｓ変換1回目に関しては
最初に3を代入することが決まってますから
ak(3.3)ですよね
単純に考えて、そこからＳＳ変換を63回重ねるたものがVer2
ということでしょうか？
するとＳＳ1回目は
ｇ'(3)=gg(g(ak(3)))=ｍ[1]
でＳＳ２回目は
ｇ''(ｍ[1])=g'(g'(g'('(g'‥ｍ[1]回‥(g'(g'(g'（ｍ[1])))‥))
かな？
- 842 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 02:40
- >>841
微妙に違います。関数x+1にＳＳ変換を６３回重ねたものがVer.2です。
ＳＳ2回目の表記には、g'(x)にＳ変換を各段階で行う操作が入ります。
つまり、g'(x)自体が変化していくんですね。
- 843 名前：717 ：03/03/29 02:45
- >>842
ああ、そうですね
ＳＳ2回目は関数が変化していく段階がｍ[1]段階ある‥‥でよろしいでしょうか？
それと、>>840に書かれてる（4）のＳ変換自体が変るというのは
どういう事でしょうか？
- 844 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 03:49
- >>843
関数が変化していく段階（Ｓ変換）の対角化がＳＳ変換なので、
関数が変化していく段階がｍ[1]段階あるという表現だと、
そういった関数を生成するように読めるのでちょっとまずいです。
関数が変化していくＳ変換を対角化した関数gg'(x)を生成して、
それにx=m[1]を代入する、としてください。
- 845 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 03:58
- >>843
後半の部分については、>>771のs(2)の意味をわかりやすく
説明する、ということになりますが、中途半端に説明を
はじめてしまうとまた混乱を招きそうです。
また後日ということで。
- 846 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 04:09
- l｡b｡さん；
>>771の定義を見ると、自然数ｘとSi変換f_iの無限集合[x,f_0,f_1,f_2,...]を
R0集合と考えることで、さらに抽象化できないですかね。R0集合は、自然数から
自然数への変換を与えますので、R_0(x)という演算を定義できます。
関数g(x)=R_0^x(x)から決定されるR_0集合を考えると、R_0からR_0への
変換（R1変換）を考えることができます。
このようにして、うまく定義すればS0…Snと同じようにR0…Rnを定義できる
のではなかろうか、と感じるのですが、いかがでしょう。
- 847 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 04:10
- いや、R_0集合には自然数ｘを含めてしまってはだめか。
- 848 名前：717 ：03/03/29 04:11
- （4）については前スレのVer2の定義ではなく
最新の(Ver3を含む)定義の内容部分ということでしょうか？
- 849 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 04:18
- >>848
Ver.3は、しくみ的にはVer.2とほとんど変わりません。
(4)(5)は、新定義なのでVer.5です。
>>771の定義が最も簡潔にまとまっています。
- 850 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 04:21
- >>771の定義を見て、今までのふぃっしゅ数の定義よりも
はるかに簡潔になってわかりやすくなった、と感じる人と、
なにがなんだかわからなくなった、と感じる人がいると
思います。後者の方たちに、>>771の意味と破壊力を
わかりやすく説明できるかどうか、また後日考えます。
- 852 名前：ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g ：03/03/29 04:25
- その前に、記号の整理か。いろいろなバージョンがあって、
記号の意味が違うのでどんどん混乱に陥っているという
現状を打破する妙案はないものか。
- 853 名前：有流才蔵 ：03/03/29 09:54
- >>818-820
いいねぇ。特に>>819がいい。
ところでそこまでいけば（↑ｎ）のｎを外に出して、
†なる関数を考えてもいいよね。その場合
(1)は
†(a,b,...,x,y,z,n):=†(a,b,...,x,y,n) (y=1 or z=1)
†(a,b,...,x,y,z,n):=†(a,b,...,x,†(a,b,...,x,y-1,z,n),z-1,n) (x>1,y>1)
（3変数以下に対しては†(a,n):=a,†(a,b,n):=a^bとおく（便宜的）。）
(2)は、
†(a,b,c,n+1):=†(a,b,c,n) (b=1 or c=1)
†(a,b,2,n+1):=†(a,a,...,a,n) (aがb個)
†(a,b,c,n+1):=†(a,†(a,b-1,c,n+1),c-1,n+1) (b>1,c>2)
（注 †(a,2,2,n+1):=†(a,a,n)=a^a）
- 854 名前：717 ：03/03/29 12:45
- 前スレのVer3の>>400以降の説明部分からVer2の定義の部分で
正規のふぃっしゅ関数に置き換えてＳＳ変換=ｓ(2)の2回目途中までの
流れを追ってみたんですが
間違いがあったら指摘してください（たぶん間違いだらけでしょう）
s(2):[m,f(x),s(1)] --> [n,g(x),s'(1)] ただし
s'(1)=s(1)^f(m)
s'(1):[m,f(x)] --> [n,p(x)]
s'(1)^y:[m,f(x)] --> [q(y),r(x,y)]
g(x)=r(x,x)
[3,x+1] に s(2) 変換を1回施してみます。このとき生成される数は s'(1)変換、
すなわちs(1)変換を4回繰り返す変換を施して得られる数なので、
ｎ＾g(x)式にn=4を代入した ggg(gg(g(ak(3))))=ｍ[1] が得られます
関数については、s'(1) 変換を n 回繰り返すことで
4^(ggg(gg(g(ak(ｘ))))が得られるため、x回繰り返すことで、n=x を代入した
4^(ggg(gg(g(ak((ggg(gg(g(ak((ggg(gg(g(ak(ggg(gg(g(ak(ｘ)))))))))))))=4^g'(x)が得られます
したがって、 s(2):[3,x+1,s(1)]->[ｍ[1] , 4^g'(x) , s(1)^4] ということになります。
続いて [ｍ[1] , 4^g'(x) , s(1)^4] に s(2)変換2回目を施してみます。
このとき、生成される数は s(1) 変換を 4^g'(m[1])回施して
得られる数なので、ｎ^g'(x) にn=4^g'(m[1]) を代入した
g'(g'(g'(g'‥‥4^g'(m[1])回 ‥‥(g'(g'(4^g'(m[1]))))) になります。
- 856 名前：１３２人目の素数さん ：03/03/29 15:04
- 関数については、s'(1) 変換を n 回繰り返すことで
4^(ggg(gg(g(ak(ｘ))))が得られるため、x回繰り返すことで、n=x を代入した
4^(ggg(gg(g(ak((ggg(gg(g(ak((ggg(gg(g(ak(ggg(gg(g(ak(ｘ)))))))))))))=4^g'(x)が得られます
そこがおかしいということをふぃっしゅ氏は何度も指摘しているのだと
思います。g'(x)はg(x)の繰り返しでは表記できないので、
そうやって書いてしまってはいけないのだと思います。
- 857 名前：l.b. ：03/03/30 00:11
- >>771の定義を見ると、自然数ｘとSi変換f_iの無限集合[x,f_0,f_1,f_2,...]を
>R0集合と考えることで、さらに抽象化できないですかね。R0集合は、自然数から
>自然数への変換を与えますので、R_0(x)という演算を定義できます。
>関数g(x)=R_0^x(x)から決定されるR_0集合を考えると、R_0からR_0への
>変換（R1変換）を考えることができます。
>このようにして、うまく定義すればS0…Snと同じようにR0…Rnを定義できる
>のではなかろうか、と感じるのですが、いかがでしょう。
自然なR1変換r(1)はどう決めるんだろう？適当だけど
[f0,f1,f2,...]→[s(1)f0,s(2)f1,s(3)f2,...]？
R0=Sωと見れば、各順序数α事にSα変換を定義できないか？
って事だと思うんだけど、これだ！って感じのものが･･･
- 858 名前：