巨大数探索スレッド過去ログ

巨大数探索スレッド9

1 ：１３２人目の素数さん：2010/09/11(土) 21:15:29

大きな実数を探索するスレッドです。

8 ：１３２人目の素数さん：2010/09/23(木) 09:42:08

アホなこと言ってるやつは前スレ読めよ
と言いたいが、前スレ張ってないなあ
ふぃっしゅ数とか面白い話もあったんだが

9 ：１３２人目の素数さん：2010/09/23(木) 15:45:40

>>8
> アホなこと言ってるやつは前スレ読めよ
> と言いたいが、前スレ張ってないなあ
> ふぃっしゅ数とか面白い話もあったんだが

同意
前スレはちゃんとしたrecursion theory的な巨大数に関する内容だったからね
早く古いスレをHDから復旧してくれないかなあ
つうことで前スレ張っておく

前スレ　巨大数探索スレッド8
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1194777915/

11 ：１３２人目の素数さん：2010/09/30(木) 19:48:21

前スレみれねえよ。
↑記号より効率よく巨大化してしかもシンプルな定義が与えられている記号ある？

12 ：１３２人目の素数さん：2010/09/30(木) 21:44:55

既に名前がついていてそれなりに知られてる記号だと、

クヌースの矢印表記 (↑)
ハイパー演算子 (? ? ? ....)
コンウェイのチェーン表記 (→)

くらいじゃないか？
この中だとチェーンが一番大きい数が作れるが、
クヌースの矢印表記よりは多少定義は複雑。

以下に示す多変数アッカーマン関数は
コンウェイのチェーンと同じくらいの複雑さの定義で
チェーンよりずっと大きな数が作れる。

-----------------
□ : 0個以上の0をカンマ区切りで並べた記述
Ｘ : 0個以上の0以上の整数をカンマ区切りで並べた記述
a, b : 0以上の整数

Ak(□, a) = a+1
Ak(Ｘ, b+1, 0) = Ak(Ｘ, b, 1)
Ak(Ｘ, b+1, a+1) = Ak( Ｘ, b, Ak(Ｘ, b+1, a) )
Ak(Ｘ, b+1, 0, □, a ) = Ak(Ｘ, b, a, □, a)

13 ：１３２人目の素数さん：2010/10/01(金) 23:45:57

>>12
正直そこくらいまでしか具体的によくわからん

14 ：１３２人目の素数さん：2010/10/02(土) 08:33:19

巨大数研究室の現行スレはいつまで７のままなの

17 ：１３２人目の素数さん：2010/10/19(火) 08:47:03

lim[x→0]{1/x}

18 ：１３２人目の素数さん：2010/10/19(火) 21:41:11

> 大きな実数を探索するスレッドです。

19 ：１３２人目の素数さん：2010/10/19(火) 22:08:06

intで括ればいいの？

21 ：１３２人目の素数さん：2010/10/24(日) 22:59:42

大きな実数を数値計算に応用する

24 ：１３２人目の素数さん：2010/10/31(日) 17:04:36

過去スレは結構ドラマティックで 2ch の中ではかなり優良スレだと思うんだが。
魅力が伝わってなさそうなのでリンク。

過去ログ
part１?７: http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/
part８：http://desktop2ch.net/math/1194777915/
まとめサイト「巨大数研究室」
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
ふぃっしゅ氏著「巨大数論」
http://gyafun.jp/ln/

Large numbers - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Large_numbers

あと、Robert Munafo 氏 (Part 3 あたりでふぃっしゅ氏がメール送ってた人）のサイトが
移転して見つからなかったけど探したら出てきたのでリンク
http://mrob.com/pub/math/largenum.html

26 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 20:15:42

エメラルド・ポテト数というものを考える
エメラルド・ポテト数は、グラハム数が、今までに数学史において証明に使われた最大の数であるならば、
逆に、今後何年かかろうが数学史において証明に使われることが絶対にないであろう最小の数をそう定義する。

数学史は人類の歴史と同じぐらい長く続くだろうが、
宇宙に寿命があるように、いずれ人類の歴史も終わりを迎える。
宇宙の法則を打ち破るほどの科学技術だかなんだか分からんものを
作れないかぎり、50億年後だか150億年後だか分からないが、いずれ終わりはくる。

それまでの数よりも大きな数を定義する方法として、人は足し算の次の掛け算という表現法を編み出した。
そしてべき乗を編み出し、その延長線上にあるのかどうかわからないが、グラハム数というものも編み出した。
しかし、人の思考はどんなものでも時間をかけて行われるものであり、
仮に宇宙最短の時間間隔でこれを為したとしても、大きな数を定義することを無限に行うことはできない。
つまり、どんな編み出しにも少しの時間はかかるということである。
科学技術は偉大であり、人は思考することなくコンピューターを用いて編み出しを行わせることにも成功しただろう。
しかし、コンピューターの制作にも当然時間はかかる。つまり、いかなる大きな数の編み出しにも相応の時間がかかるのである。

27 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 20:23:59

>>26
エメラルド・ポテト数の逆数は、グラハム数より大きいの？

28 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 20:33:32

そもそも実数を指示しなければならないんだから、操作回数は文字数で限られるに決っている。
一番効率が良い指数はなにかって話だよな。

29 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 20:38:48

たとえばここで、誰かがグラハム数：G_64(3)　よりも大きな数を編み出したとしよう。
この数はどのような数か分からないが、グラハム数を用いて
最短時間によって編み出したものだとする。これをグラハム数の”子供”と定義し、
編み出した手法を”継承”と呼ぶ。一方、グラハム数を用いないでグラハム数よりも大きな数を編み出したとする。
この数と、先に述べたグラハム数の"子供"との大小を比較し、より大きい方(等しい場合も含める)を、"第一世代数"と呼ぶ
ここでは、最短でも3つの手順が行われている。
"継承"による編み出し、それ以外の編み出し、比較による"第一世代数"の3手順である。
このうち、2つの編み出しは同時に行えるので、最短時間でまとめて行える。
しかし、比較して"第一世代数"を決定するのは編み出しが終わった後でなければ行えない
から、どうしてももう一度最短時間がかかる。この2回の最短時間による"第一世代数"を、先のグラハム数に置き換え、
同様の手順を実行して"第二世代数"を編み出す。つまり、最短時間が4回かかっている。最短時間をtとすれば、4tの時間が経過しているわけである。
同様に第三世代数・・・・第n世代数を編み出すことが可能である。第n世代数を編み出すには
2のn乗倍tの時間がかかる。 2のn乗倍t をこの先人類の歴史において数学史にかけられる時間とした場合の、nの値を決定し、
最後に編み出すことのできるものを最終世代数と呼び、最終世代数+1を、エメラルド・ポテト数と呼ぶ。
(別に+1でなくてもいいのではないかとも考えられるが、1を足す以外に、より大きな数を生み出すのに
もっとも短時間で済む手続きは存在しない。最小の自然数1を加えるのがもっとも最速だと判断した。)

30 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 20:42:36

言葉が足らなかった。

エメラルド・ポテト数は、
それは数学史上で使われることがあるであろう
最大の巨大数が取り得る数よりも大きな最小の数という意味。

最大の巨大数の上限+1がエメラルド・ポテト数

別に +1でなくてもいいが、理由は上で述べた。
つまり、数学史がどうしても辿りつけないであろう、謎のベールの最初の数。

あと一瞬、あと一瞬でも数学史が続いていれば知り得た数。

31 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 20:45:42

ビジービーバーじゃないの？

32 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 20:52:46

アキレスとカメが居る。
アキレスはカメの位置まで走るのを繰り返し、追い抜いたとする。
この繰り返しの回数をアキレス数と定義する。

33 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 21:02:39

>>31
長文でややこしくなってるけど、
例えばビジービーバーのBB(10)とか概数すら分かってないし、
急速な増大をすればいいってことじゃないって問題提起なんじゃない？

f(x)ではなく、f(x)/TIME[f(x)]を評価しようってことじゃ？
※TIME[f(x)]は、f(x)の時間計算量とでもしよう。

34 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 21:05:47

>>33
>>32みたいなのは？

35 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 21:10:10

そもそも止まらないアルゴリズムだっていうのは置いておいて、
アキレス数の計算中は、繰り返し回数との比は1じゃね？

36 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 21:13:17

>>35
追い抜いたって言ってるんだから必ず有限時間で止まるんだよ。

37 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 21:45:04

最小時間が存在すれば、アキレス数は計算できるってことでいい？

38 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 21:59:16

そういえば量子論的には空間距離には解像度があるって聞いたけど、
だとしたらそのアキレス数は有限の値を取るのかな。

39 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 22:05:21

>>30
> エメラルド・ポテト数は、
> それは数学史上で使われることがあるであろう
> 最大の巨大数が取り得る数よりも大きな最小の数という意味。

エメラルド・ポテト数が数学史上で使われたら矛盾するじゃねえか。

40 ：１３２人目の素数さん：2010/11/06(土) 22:14:35

巨大基数と巨大数ではどっちが大きいの？

41 ：１３２人目の素数さん：2010/11/07(日) 00:42:55

比較すな

42 ：１３２人目の素数さん：2010/11/07(日) 14:05:28

>>29の 2のn乗倍tの時間がかかるというのは誤りで、
実際は2n倍tの時間がかかる。

現時点ではエメラルド・ポテト数は確定していない。
数学史がいずれ終わることは、宇宙時間が無限でなければ間違いない
ことだから、エメラルド・ポテト数が存在すること自体は明らかだが、
存在することが明らかであることと、その数が確定的に分かっていることは違う。

最小時間を、およそ5.39×10^(-44)秒であるプランク時間Tpだと仮定すると、
宇宙の寿命を、たとえば10^(100)年後(1googo年後) だとすると、
この寿命のときまで何らかの理知的な手法により数学的編み出しが可能だと考え、
1年＝31 556 926秒≒3.2×10^7秒と考えれば、

3.2×10^107秒程度の時間が、数学史に残されている時間だと考えられるから、

(3.2×10^107) ÷ (5.39×10^(-44)) ≒6 ×10^150 回の編み出しが可能である。
第n-1世代数から第n世代数を編み出すには2回編み出しが必要だから、

実際にはおよそ第 310^150 世代数 が、数学史において最終最大の数ということになる。
したがって、(第3×10^150世代数)+1が、エメラルド・ポテト数ということになるが、
この数が確定するためには、第3×10^150世代数が確定しなければならない。
しかし、第3×10^150世代数の確定は、数学史の終わりの時に実現するから、
エメラルド・ポテト数は永遠に分からないままである。

43 ：１３２人目の素数さん：2010/11/07(日) 14:20:41

エメラルド・ポテト数 ： およそ 第3×10^150世代数+1

宇宙の寿命（厳密には数学史の寿命)が伸びれば、もっと大きい可能性はある。
ここでは10^100年後を宇宙の終焉(数学史の終焉)と仮定している。

宇宙の終わりが約50億年後であれば、 第1.5×10^60世代数+1になる。

宇宙の終わりが1年後であれば、第3×10^50世代数+1

宇宙の終わりが1秒後であれば、第10^43世代数+1

宇宙の終わりが(プランク時間(秒)Tpの10倍)秒後であれば、第5世代数+1

44 ：１３２人目の素数さん：2010/11/07(日) 20:36:02

アキレスがカメを追い抜くのは確実だけど、そもそも宇宙って発散するか収束するか決まった訳？

45 ：１３２人目の素数さん：2010/11/08(月) 00:46:37

>>42
「エメラルド・ポテト数」は既に掲示板の数学板で語られている。
これは「エメラルド・ポテト数」の定義と矛盾する。
よって「エメラルド・ポテト数」を定義することは出来ない。

「数学史上で使われることがあるであろう巨大数」をもっと数学的に記述しないと、
「このスレで一番大きな数 +1」と同レベルの記述。

47 ：１３２人目の素数さん：2010/11/23(火) 00:13:49

で、巨大数は増加しているの？

48 ：１３２人目の素数さん：2010/11/23(火) 07:27:38

ここ3年くらいまったく。

49 ：１３２人目の素数さん：2010/11/26(金) 22:12:46

※初めてこのスレを覗いた人へ
以下の内容は、過去スレを読んでいることを前提としています。興味のある人は過去スレを読んで下さい。
計算可能な範囲では、おそらくこれまでのスレで最も巨大な数(を作り出せる関数)を定義しています。

8スレ目6レス目(以下、8-6のように表記)の関数の元となる、順序数としてのψの定義を見返してみると、問題がありました。

ψの定義は7-202を8-11で修正したもの
　ψ_α(β)は、0に対して加法、Veblen関数、ψを繰り返し適用しても
　作ることのできない、濃度がω_α(α番目の無限基数)の最小の順序数である。
　ただし、ψの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
　また、ψの添字としては上の条件を満たさない順序数を用いてもよいが、
　そのようにして作った順序数をψの引数として用いてはいけない。
これだと、例えばψ_1(1)=ψ_1(0)+ψ_0(1)になってしまいます。

7-202や8-11を書いた頃とは英語版Wikipediaの記述が変わっているので、
今の英語版Wikipediaの記述に沿ってψを定義しなおすと、
　ψ_α(β)は、ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数に対して
　加法、Veblen関数、ψを繰り返し適用しても作ることのできない最小の順序数である。
　ただし、ψの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
のようになります。ただ、この定義に従うと、
ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_0(ψ_1(0))は成り立ちますが、
ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_1(ψ_1(0))は成り立ちません。
というのも、ψ_1(ψ_1(0))を考えるときにω_1=ψ_1(0)より小さい順序数を用いることができるので、
ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))＜ψ_1(ψ_1(0))となるからです。

古い定義では、ψ_1(ψ_1(0))=lim{ψ_1(0), ψ_1(ψ_0(0)), ψ_1(ψ_0(ψ_0(0))), …}
となっていたのが、新しい定義だとψ_1(ψ_1(0))に収束列は存在せず、
ψ_0(ψ_1(ψ_1(0)))=lim{0, ψ_0(ψ_1(0)), ψ_0(ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))), …}
のようになります。

50 ：１３２人目の素数さん：2010/11/26(金) 22:13:56

新しい定義のψに比べると、古い定義のψの値はずっと小さくなると思われます。
というのも、新しい定義だとψ_1(ψ_1(0))=Γ_(Ω+Ω)となる所が
古い定義だとψ_1(ψ_1(0))=Γ_(Ω+ψ_0(Ω))というようになってしまい、
巨大な非可算順序数がうまく作れないからです。

8-696で、8-6のψ_0(Ψ)と同じ大きさの順序数をより簡潔に定義したという人がいましたが、
古い定義でVeblen関数を除いた8-696は、8-6より小さい可能性もあります。
もしかしたら、新しい定義に基づいた英語版Wikipediaのψ_0(ε_{Ω_ω+1})の方が
古い定義に基づいた8-6のψ_0(Ψ)より大きいかもしれません。
新しい定義ではψの定義からVeblen関数を除いても、ψ_0(Ψ)の大きさはおそらく変わらないと思われます。

新しい定義をきちんと書くためには収束列以外にも色々と書くべきことがあり、
それらを書くと非常に長くなるので、txtファイルにまとめてアップロードしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/177597.txt

txtファイルの中身の説明

■ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義
Veblen関数を用いたせいでやたらと複雑になっているので、読む必要はないと思います。
細かい所まであまりチェックしていないので、間違いがあるかもしれません。

■ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義
巨大数を計算するプログラムを書くために必要な情報はすべて書いてあります。

■2種類の関数ψ、Ωを用いた定義
Ordinal collapsing functionをもう一種類定義することで、より巨大な帰納的順序数を定義しています。

■三変数ψの定義
上のψ、Ωをψ_α(β)=ψ(0,α,β)、Ω_α(β)=ψ(1,α,β)として、三変数のψに拡張したもので、
上よりさらに巨大な帰納的順序数を定義しています。
間違いはできる限り見つけて直しましたが、それでも間違いはあるかもしれません。

51 ：１３２人目の素数さん：2010/11/26(金) 22:14:43

以下、txtファイルの中身の補足

新しい定義と古い定義では、ψ_α(0)を入れ子にして置き換える方法が変わります。
古い定義では、ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))の形の順序数が出てきたら必ず
ψ_α(f(ψ_β(f(ψ_β(…)))))のように置き換えていたので、
ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))は常に収束列の存在する極限順序数となります。
これは、ψ_β(f(ψ_{β+1}(0))以上でψ_{β+1}(0)より小さい数を用いることができないからです。
しかし新しい定義では、もしα≧β+1なら、ψ_α(0)未満の数が自由に使えるので、
ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))自体は収束列の存在しない極限順序数となります。
そして、ψ_β(ψ_α(f(ψ_{β+1}(0))))のようになったときに、
ψ_β(ψ_α(f(ψ_β(ψ_α(f(ψ_β(…)))))))と入れ子にすることになります。
結局、入れ子にするかどうかは、ψの添字の大小関係で決まることになります。

新しい定義では順序数の大小関係を考える必要があるので、
順序数の大小関係を判断する方法もきちんと書く必要があります。
そうすると、異なる表記が同じ順序数を表しているかも判断する必要があるので、
「正則な表記」というものを表記可能な各順序数に対して一つ定めるのが便利です。
正則な表記はできる限り簡潔な表記を選び、
和は大小関係の規則を単純にするためα+(β+(γ+δ))のように右結合で考えます。
ψの引数はψ_α(β)＜ψ_α(β+1)となるようなものを選んでいます。
もし、ψ_α(β+1)を考えるときにβを作ることができないと、ψ_α(β)=ψ_α(β+1)となってしまいます。
以前の定義では同じ順序数でも表記が異なると収束列の定義が異なったので、
順序数の関数としてきちんと定義されたものではありませんでしたが、
新しい定義では正則な表記が一つ定まるので順序数の関数としてもきちんと定義されます。

52 ：１３２人目の素数さん：2010/11/26(金) 22:15:51

txtファイルの定義は、
　1.正則な表記の定義
　2.正則な表記への書き換え
　3.大小関係の定義
　4.収束列の定義
の順で書いてあります。
収束列の定義に単純に従うと、正則でない表記が出てきてしまうので、
正則な表記への書き換え規則も書く必要があります。
ψの引数がψ_α(β)=ψ_α(β+1)のようになってしまう表記が出てくる例としては、
ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(φ_0(ψ_1(0)+1)))があります。
{ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(φ_0(ψ_1(0)+1)))}_0=ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(0))=ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))
となりますが、ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_0(ψ_0(ψ_1(0))+1)=ψ_0(ψ_1(0))となります。

定義を変えて、収束列の存在しない極限順序数もきちんと大量に作れるようになったので、
定義がややこしくなるだけのVeblen関数は除いて考えることにします。
さらに巨大な順序数を作るにはどうすればいいかということを考えて、
ψと同じ考え方で新たな基数を次々と作り出せる関数Ωを定義しました。
ω_0, ω_1, ω_2…を使ってψを定義したのと同様に、
ω2_0, ω2_1, ω2_2…という順序数を考えてΩを定義することにします。
ω2_αは以下のような性質を持っているとします。
　ω_0＜ω_1＜ω_2＜…＜ω2_0=ω_{ω2_0}＜ω_{ω2_0+1}＜…＜ω2_1=ω_{ω2_1}＜ω_{ω2_1+1}＜…
　「α→ω2_αという写像を使わずにω2_α未満の数からω2_αを作り出すことはできない」
「…」の定義は曖昧ですが、ψやΩを規則で定義する分には問題ありません。
ψ_αがω_α以上ω_{α+1}未満の順序数を次々と作り出すように、
Ω_αはω2_α以上ω2_{α+1}未満の順序数を次々と作り出すようにします。

53 ：１３２人目の素数さん：2010/11/26(金) 22:16:49

そのようなψ、Ωの定義を考えた結果、以下のようになりました。
　ψ_α(β)は、ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数(ただしα=0のときは0のみ)に対して
　加法、ψ、ψ_α、Ωを繰り返し適用しても作ることのできない最小の順序数である。
　ただし、ψ、Ωの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。

　Ω_α(β)は、ω2_αより小さい順序数に対して加法、ψ、Ωを適用したり、
　γ＜ω2_(α+1)を満たすγからδ＜γを満たす任意の順序数δを得ることを繰り返しても
　作ることのできない最小の順序数である。
　ただし、ψ、Ωの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。

ψ_α(β)の定義でψ_αを使えるようにしたのは、ω_α=αとなるようなαに対しても
ψ_α(0)＜ψ_α(1)＜ψ_α(2)＜…となるようにするためです。
例えば、ψ_{Ω_0(1)}(1)を考えるとき、Ω_0(1)はω_{Ω_0(1)}=Ω_0(1)未満ではなく、
1にΩ_0を適用することもできないので、ψ_{Ω_0(1)}を使えるようにしないとψ_{Ω_0(1)}(0)が作れず、
ψ_{Ω_0(1)}(0)=ψ_{Ω_0(1)}(1)となってしまいます。

Ω_α(β)の定義で「γ＜ω2_(α+1)を満たすγからδ＜γを満たす任意の順序数δを得る」という操作があるのは、
ψ_{Ω_α(0)}を用いたときよりも大きな順序数を作れるようにするためです。

ω2_0は十分大きな順序数でω_{ω2_0}=ω2_0を満たしていればどんな順序数でもいいのですが、
ψやΩの引数に入れたとき常にω_ω_ω_…ω_0の極限と同じ収束列になるので、
ω2_0をω_ω_ω_…ω_0の極限と定義します。

例えばψ_α(Ω_1(0))がどのような順序数となるかは、αの大きさによって異なります。
ψ_α(0)≧Ω_1(0)のときは、Ω_1(0)より小さい任意の順序数をψ_αの引数に使えるので、
ψ_α(Ω_1(0))に収束列は存在しません。
ψ_α(0)＜Ω_0(Ω_1(0))のときは、引数がΩ_1(0)を超えるまでΩ_0(Ω_1(0))を使えないので、
ψ_α(Ω_1(0))=ψ_α(Ω_0(Ω_1(0)))=lim ψ_α(Ω_0(Ω_0(…Ω_0(0)…)))となります。
Ω_0(Ω_1(0))≦ψ_α(0)＜Ω_1(0)のときは、
ψ_α(Ω_1(0))=lim ψ_α(ψ_{ψ_{…ψ_{ψ_α(0)+1}(0)…}(0)}(0))となります。

54 ：１３２人目の素数さん：2010/11/26(金) 22:18:15

ψ、Ωの定義を参考にして、さらに大きな順序数が作れる三変数ψを定義しています。
三変数ψでも収束列でψ(α,β,γ)=ψ(α,β,γ+1)のようになってしまう表記が出てくることがあります。
例としては、{ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),ψ(0,ψ(ψ(0,1,0),0,0),1),0))}_0
=ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),0,0))が正則な表記ではなく、
ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),0,0))=ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0))となります。

55 ：１３２人目の素数さん：2010/11/26(金) 22:29:34

とりあえず、アキレス数はどの範囲にあるの？

56 ：１３２人目の素数さん：2010/11/27(土) 15:28:22

新しい定義と古い定義で作れる順序数の大きさが違うという例を書いておきます。
Veblen関数も「加法も」用いずに新しい定義のψと古い定義のψ'を定義すると、
　ψ'_0(ψ'_{ψ'_1(0)}(0))=ψ_0(ψ_ω(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_1(0))}(0))=ε_0=φ_1(0)
　ψ'_0(ψ'_{ψ'_{ψ'_1(0)}(0)}(0))=ψ_0(ψ_{ω^2}(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_1(ψ_1(0)))}(0))=η_0=φ_2(0)
十分大きい順序数Ψに対し、
　ψ'_0(Ψ)=ψ_0(ψ_{ω^ω}(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_2(0))}(0))=φ_ω(0)
となるようです。

ψ_0(Ψ)より大きな順序数で収束列まで定義されているものには、7-571のたろう氏の多変数C1があります。
http://gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt　7-850、7-858で補足、訂正あり
といっても、私には理解力不足で多変数C1はよく分からないのですが…。
(規則自体が分からないのではなく、それぞれの規則がどういう意味なのかがよく分からない)
あと、収束列は定義されていても、C1で表された順序数の大小関係の規則が明記されていないので、
プログラムで計算できるようにはなっていません。
ただ、7-389を参考にし、「帰納的定義で表現できない順序数」がψの新しい定義と同じくらい有効活用されていると考えると、
　C1(1,0,0)≒ω(0,1)=ψ(0,1,0)
　C1(2,0,0)≒ω(0,2)=ψ(0,2,0)
　C1(1,0,0,0)≒ω(1,1)=ψ(1,1,0)
　C1(1,1,0,0)≒ω(0,ω(1,1)+1)=ψ(0,ψ(1,1,0)+1,0)
　C1(2,0,0,0)≒ω(1,2)=ψ(1,2,0)
　C1(1,0,0,0,0)≒ω(2,1)=ψ(2,1,0)
ということで、多変数C1ではψ(0,0,ψ(ω,0,0))=ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,1),0,0))未満の
帰納的順序数を表せるのではないかと推測はできます。
(古い定義では「帰納的定義で表現できない順序数」が十分に活用されていないので、
C1(C1(1,0,0,0),0)はおそらく古いψ_0(Ψ)よりずっと大きいと思います)

57 ：１３２人目の素数さん：2010/11/27(土) 21:40:40

wikipedia の ψ は、

昔が[ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義]
で
今が[ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義]
だから
今の方が小さいと思うんだけど、違うの？

それとも、新しい定義のψってのは、wikipedia のとは違うあなたの定義？

8-6 は昔の定義のψ、
8-696 は（実質）今の定義のψ、
だと思ってるんだけど。

古いψの限界のΨ、
新しいψの限界のΨ、
はどちらも同じ大きさだと思う。

58 ：１３２人目の素数さん：2010/11/27(土) 22:05:34

今のwikipediaのψの定義は「べき」も含まれてるけど、
>>50 の [ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義] には含まれてない。
wikipedia の [Making the function less powerful] の定義の方？

59 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 00:15:56

>>57
古い定義と新しい定義で一番重要な違いは、
「0に対して……濃度がω_α(α番目の無限基数)の最小の順序数」を
「ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数に対して……最小の順序数」に変えたことです。

昔のwikipediaには方針だけで具体的な定義が書いてなかったので上のように解釈したのですが、
今のwikipediaでより詳しく書かれているのを読むと、下の方がおそらくずっと大きくなることが分かりました。

古い定義では、ψ_α(β)はβ＞0ならば常に収束列の存在する極限順序数となるので、
加法しか使えなければω^(ω_1+ω_1)のような数を作ることはできませんし、
加法とVeblen関数しか使えなければΓ_(ω_1+ω_1)のような数を作ることはできません。
しかし、新しい定義では収束列の存在しない極限順序数も作れるので、
使える演算が限られていてもω^(ω_1+ω_1)やΓ_(ω_1+ω_1)などを作ることができます。
なので、(Hardy functionのHとFの定義の違いがε_0以上でほとんど関係ないように)
おそらく新しい定義では使える演算の種類はほとんど関係ないと思います。

各定義でのψ_0(Ψ)の大きさはおそらく、
「旧定義Veblenなし(8-696)」＜「旧定義Veblenあり(8-6)」＜「新定義Veblenなし」=「新定義Veblenあり」
となるでしょう。

新定義では使える演算の種類はあまり重要ではないと思われるので、
できる限り定義が単純になるように加法のみを用いています。
(加法が無くとも大きさは同じだと思いますが、
定義は単純にならず分かりにくくなるだけなので加法は入れました)

"Making the function less powerful"ではψ_1などがないので、
使える演算の種類によって作れる順序数の大きさは大きく変わります。

60 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 00:47:11

ところでこういう関数って、増加率のグラフ書いたらどんな形しているの？

61 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 01:11:38

>>60
普通に書いたらほぼ垂直に上がっていく
縦軸を1桁になるまでのlogの回数にしても

縦軸をコルモゴロフ複雑性にしたら
途中からほぼ真横に伸びていく

62 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 13:30:53

A. >50 ■ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義
B. >50 ■ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義
C. >50 ■2種類の関数ψ、Ωを用いた定義
D. >50 ■三変数ψの定義
E. wikipediaの古い定義の添え字付きψ
F. wikipediaの新しい定義の添え字付きψ
G. 7-202
H. 8-6
I. 8-696

D > C > A = B = F > E = G = H > I
これであってますか？

63 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 14:00:39

>>62
wikipediaには添え字付きψの定義自体はないので、E、Fというのはありません。
G(正確には7-203)とHは同じものです。
　D > C > A = B > G = H > I
なお、7-202、8-11の言葉での定義は間違っています。
>>50のtxtの言葉での定義には今のところ間違いを見つけてはいません。

64 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 14:31:28

7-202 はwikipediaに載ってたψの拡張法って書いてあるけど違うの？
今のwikipediaもψ1 とかの記述があって、その1を順序数に拡張したのかと思った。

添え字無しのψだと、
古いwikipediaのψ(α)は
{0,1,ω,Ω,+,φ,ψ} で到達できない最小の順序数 (ただしψにはα未満のみ入れられる)
新しいwikipediaのψ(α)は
{0,1,ω,Ω,+,^,ψ} で到達できない最小の順序数 (ただしψにはα未満のみ入れられる)
で、やっぱり古い方が大きいと思う。

65 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 15:49:45

>>64
古い定義で参考にしたのは、
　http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Large_countable_ordinal&oldid=98790666
です。新しい定義で参考にしたのは、
　http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_collapsing_function
です。どちらも、wikipediaの記述そのままではありません。

添え字なしなら、使える演算の種類が多いほど作れる順序数は大きくなります。
添え字が0と1に限られている場合や、Ω_ωまでの基数を用いる場合も同様です。
なので、wikipediaのψは使える演算の種類によって大きさは変わります。

添え字ありの場合、新定義では積や冪やVeblen関数が含まれていなかったとしても、
ψ_α, ψ_{α+1}, ψ_{α+2}, …を用いることで、
Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができます。
なので、使える演算の種類にほとんど関係なく、作れる順序数は同じになると思われます。
旧定義では、おそらく使える演算の種類に大きく影響されます。

66 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 16:41:53

>>65 の古い定義の方には
添え字付きψもΩ_nも書かれないけど、
古いwikipediaの定義では「Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができない」
というのはどういうこと？
リンク先が間違ってる？

67 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 17:31:32

>>66
>>65で「旧定義」と言っているのはwikipediaの定義ではなく、7-203や8-6の定義のことです。
昔のwikipediaではψの拡張の方針だけが書かれていて、添え字付きψはありません。
wikipediaのψの拡張の方針に基づいて私が定義した添え字付きψが7-203や8-6です。
7-203や8-6の定義は私が自分で考えた事なので、定義に問題があって
「Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができない」ということです。

68 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 17:59:06

>>67
了解しました。
ということは Ruby でプログラムを書いた人ですね？
新定義の3変数ψも Ruby 化お願い出来ませんか？

69 ：１３２人目の素数さん：2010/11/28(日) 23:17:57

いくつか疑問点

121, 126行目 : maxargとは？
137-144行目 : maxpsiarg はここでしか出てこないけど、H[ψ_0(Ψ)](n) の定義に必要なの？
82, 280, 445 行目 : ψ_α(β) のαの方はαが正則であれば変更不要ということ？
493 行目 : Ω_α(β) のαの方はαが正則であればそのままで良いということ？
706 行目 : ψ(α,β,γ) のα, β はα, βが正則であればそのままで良いということ？
131, 198, 327, 587行目 : 131行目のcardは引数の濃度、198行目のcard_s, 327行目のcard, 587行目のcardは引数の共終数の濃度を表わす？
784行目 : subst_arg1 はsubst の後継？
796行目 : subst_arg2 はsubst_typeの後継？
2変数ψの極限ΨをψとΩで表わすとどうなる？
ψとΩの極限Ψを3変数ψで表すとどうなる？

70 ：１３２人目の素数さん：2010/11/29(月) 05:18:10

>>68
時間があったら書きます。

>>69
＞121, 126行目 : maxargとは？
＞137-144行目 : maxpsiarg はここでしか出てこないけど、H[ψ_0(Ψ)](n) の定義に必要なの？
maxpsiargと書くべき所をmaxargと書いていました。
121, 126行目のmaxargはmaxpsiargの間違いです。

＞82, 280, 445 行目 : ψ_α(β) のαの方はαが正則であれば変更不要ということ？
そうです。αはψ_α(β)の濃度を表しているので、正則な表記に書き換えるときに変わることはありません。

＞493 行目 : Ω_α(β) のαの方はαが正則であればそのままで良いということ？
＞706 行目 : ψ(α,β,γ) のα, β はα, βが正則であればそのままで良いということ？
これも上と同様です。

＞131, 198, 327, 587行目 : 131行目のcardは引数の濃度、198行目のcard_s, 327行目のcard, 587行目のcardは引数の共終数の濃度を表わす？
131, 198, 327行目についてはそうです。
587行目のcardは、subst_type(γ)が0のときγの共終数の濃度がω_card(γ)となり、
subst_type(γ)が1のときγの共終数の濃度がω2_card(γ)となります。

＞784行目 : subst_arg1 はsubst の後継？
＞796行目 : subst_arg2 はsubst_typeの後継？
subst_typeに対応するものがsubst_arg1で、cardに対応するものがsubst_arg2です。
γの共終数の濃度はω(subst_arg1(γ),subst_arg2(γ))となります。

＞2変数ψの極限ΨをψとΩで表わすとどうなる？
Ψ=Ω_0(0)です。

＞ψとΩの極限Ψを3変数ψで表すとどうなる？
Ψ=ψ(2,0,0)です。

71 ：１３２人目の素数さん：2010/11/29(月) 08:34:29

>>70
thx

72 ：１３２人目の素数さん：2010/12/02(木) 03:17:48

>>50のtxtでの定義に、問題がありました。
言葉での定義に従うと、例えばΩ_0(ψ_{Ω_0(0)+1}(0))には収束列がないのに、
規則に従うとΩ_0(ψ_{Ω_0(0)+1}(0))は収束列を持つことになってしまいます。
それに関連して、例えばψ(0,ψ(1,0,0)+1,ψ(1,1,ψ(0,ψ(1,0,0),ψ(1,2,0)))+ψ(1,1,0))の
収束列のn≧2を求めて正則な表記に書き直すと、
ψ(0,ψ(1,0,0)+1,ψ(1,1,ψ(0,ψ(1,0,0),ψ(1,2,0)))+ψ(1,1,0))に戻ってしまうという問題も生じます。

言葉での定義に一致するように規則を訂正したものをアップロードしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/179316.txt

また、Rubyでのプログラムが完成したので、消えていた前のプログラムと一緒にアップロードしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/179317.lzh

73 ：１３２人目の素数さん：2010/12/04(土) 21:57:31

8-696 が 8-6 より小さいってのが良くわからない。

ψ[8-696]_0 {ψ[8-696]_2n(0)} > ψ[8-6]_0 {ψ[8-6]_n(0)}
となって、
ψ[8-696]_0 {ψ[8-696]_ω(0)} ＝ ψ[8-6]_0 {ψ[8-6]_ω(0)}
で追いつくと思う。

74 ：１３２人目の素数さん：2010/12/06(月) 01:21:16

>>72
規則とプログラムに誤りがあったので、修正したものをアップロードしました。
規則のtxtファイル
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/180654.txt
プログラム
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/180655.lzh

>>73
以下では、8-6のψをψと書き、8-696のψをψ'と書きます。
また、厳密な議論は困難なので、大雑把な話をしています。

もしも新定義の方針で定義されたならば、ψ_1(ψ_1(0))やψ'_1(ψ'_1(0))が収束列を持たず、共終数がΩ_1なので、
ψ_1(ψ_1(0))=Γ_{Ω_1+Ω_1}、ψ'_1(ψ'_1(0))=ε_{Ω_1+Ω_1}のようになります。
ψ'_1(Ω_2を用いた順序数)でΩ_1にVeblen関数を用いるより大きい順序数を作れるので、
ψ'_0(Ω_2を用いた順序数) ＞ ψ_0(Ω_1を用いた順序数)となり、
同様にしてψ'_0(Ω_2nを用いた順序数) ＞ ψ_0(Ω_nを用いた順序数)のようになり、Ω_ωで追いつくと思われます。

しかし、旧定義の方針(元々の8-6、8-696)だと、ψ_1(ψ_1(0))やψ'_1(ψ'_1(0))は収束列のある順序数で、
ψ_1(α)≒Γ_{Ω_1+ψ_0(α)}、ψ'_1(α)≒ε_{Ω_1+ψ'_0(α)}のようになってしまいます。
　ψ_0(f(ε_{Ω_1+Ω_1}))≒ψ_0(f(ε_{Ω_1+ψ_0(f(…))}))
　ψ'_0(f(Ω_2))≒ψ'_0(f(ψ'_1(f(…))))≒ψ'_0(f(ε_{Ω_1+ψ'_0(f(…))}))
となることから、8-696でのΩ_2は8-6でのε_{Ω_1+Ω_1}に相当する程度の働きしかしません。
同様にして、おそらく8-696でのΩ_αは8-6でのε_{Ω_1×α}に相当します。
なので、ψ'_0(Ψ)≒ψ_0(η_{Ω_1+1})≒ψ_0(φ_2(ψ_1(0)+1))となりそうです。

上での考察は大雑把なので間違いがあるかもしれませんが、8-696は8-6より小さいと思います。

75 ：１３２人目の素数さん：2010/12/06(月) 02:30:05

>>74
ありがとうございます。
ちょっと考えてみます。

新定義のψと旧定義のψの違いは、
ψ(δ, γ) で、δ ≧ card(γ) の場合だけである
ψ(δ, γ) で、δ ＜ card(γ) の場合と、ψ(α, 0) の定義が異なっているのは単に記述方法の違いである
というところまで理解したつもりです。
あってますか？

Ω = ψ(1,0)
Ω2 = ψ(2,0)
とすると、
ψ(0, α) = ω^α    (0≦α＜ε_0)
ψ(0, α) = ε_0    (ε_0≦α≦Ω)
ψ(0, Ω*2) = ε_1
ψ(0, Ω*3) = ε_2
ψ(1, Ω) = Ω^2
ψ(1, Ω^2) = Ω^3
ψ(1, Ω^3) = Ω^4
ψ(1, Ω2) = Ω^ω
これで合ってますか？

76 ：１３２人目の素数さん：2010/12/06(月) 02:38:46

アキレス数ってそれらに追いつく？　追いつかない？

77 ：１３２人目の素数さん：2010/12/06(月) 02:40:18

これって記述量を分母として、その上で現れた数がどれだけでかいかだよね
記述量の定式化って過去スレのどっかにあった？

78 ：１３２人目の素数さん：2010/12/06(月) 02:44:54

>>74
ψ以外で許す関数を、add(x,y) = x+y じゃなくて、successor(x) = x+1 だけでもψ(0,Ψ)の大きさは同じですかね？
もし同じなら定義がすごく簡単になると思うので。

ψ(0,α) = ω*(1+α)    (0≦α＜ω^ω)
ψ(0,Ω) = ω^ω
ψ(0,Ω*2) = ω^ω *2
ψ(0,Ω^2) = ω^ω^2
ψ(1,α) = Ω+ω^α
ψ(1,Ω) = Ω*2
ψ(1,Ω*2) = Ω*3
ψ(1,Ω*3) = Ω*4
ψ(1,Ω2) = Ω*ω
こうかな？
はじめはすごくゆっくり。

79 ：１３２人目の素数さん：2010/12/06(月) 02:53:00

>>77
計算可能なものに限定すれば、

巨大数探索スレッド7 の >>260 や、

■■C++で大きな数を作るスレ■■
http://hibari.2ch.net/test/read.cgi/tech/1237894070/

80 ：１３２人目の素数さん：2010/12/06(月) 22:03:58

>>75
新定義と旧定義の本質的な違いはδ≧card(γ)の場合のψ(δ,γ)で、
それ以外の違いは作れる順序数の大きさに影響しないと思います。

ψ(1,Ω)=Ω^2までは合ってますが、
ψ(1,Ω*2)=Ω^3
ψ(1,Ω*3)=Ω^4
ψ(1,Ω^2)=Ω^Ω
ψ(1,Ω^3)=Ω^Ω^2
ψ(1,α)=Ω*ω^α (0≦α≦ε_{Ω+1})
ψ(1,Ω2)=ε_{Ω+1}
となります。

>>78
単なる私の直感ですが、加法ありと加法なしの場合、二変数関数の有無という差が大きいのではないかと思います。
二変数関数である加法があれば、ψの引数にψ(ψ()+ψ()+ψ()+…)の形でψを複数入れることができますが、
二変数関数がないとψの引数にψ(ψ_{ψ_{ψ_{…}()}()}())の形でしかψを複数入れることができないので、
両者の差が埋まる前にψ_0(Ψ)に達してしまうと思います。

81 ：１３２人目の素数さん：2010/12/08(水) 21:55:55

http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/180654.txt

[An Ordinal Notation] vs [三変数ψ]
C(1,0,0)                    ψ(0,1,0)
C(1,0,C(1,0,0))           ψ(0,2,0)
C(1,1,0)                    ψ(0,ω,0)
C(1,α,0)                   ψ(0,ω^α,0)
C(2,0,0)                    ψ(1,0,0)
C(1,0,C(2,0,0))           ψ(1,1,0)
C(1,1,C(2,0,0))           ψ(1,ω,0)
C(1,α,C(2,0,0))          ψ(1,ω^α,0)
C(2,0,C(2,0,0))           ψ(2,0,0)
C(1,0,C(2,0,C(2,0,0)))   ψ(2,1,0)
C(1,1,C(2,0,C(2,0,0)))   ψ(2,ω,0)
C(1,α,C(2,0,C(2,0,0)))  ψ(2,ω^α,0)
C(2,0,C(2,0,C(2,0,0)))   ψ(3,0,0)
C(2,1,0)                    ψ(ω,0,0)
C(2,α,0)                   ψ(ω^α,0,0)
C(3,0,0)                    Ψ

82 ：１３２人目の素数さん：2010/12/09(木) 03:53:12

>>81
Dmytro氏のページは読んでもよく理解できなくて挫折していましたが、
もしそれが正しければ、Dmytro氏のnotationは7-389でたろう氏が解釈していたよりも
ずっと大きいということになりますね。

Bachmann-Howard ordinalは、Dmytro氏によればC(0^{++},0)=C(C(1,0,C(1,0,0)),0)であり、
三変数ψで表すとψ(0,0,ψ(0,2,0))となるので、この二つを比較する分には、
たろう氏の言っていたC1(2,0,0)がψ_2(0)=ψ(0,2,0)に相当するというのは間違いで、
C(1,0,C(1,0,0))がψ(0,2,0)に相当するという方が正しいように思えます。

すると、たろう氏の定義した多変数C1で表せるのは、実のところC(2,1,0)未満の順序数ということになりそうです。

83 ：１３２人目の素数さん：2010/12/09(木) 22:14:50

>>81
もっと小さかったかも。

C(1,C(2,0,0),0)                            ψ(1,0,0) 
C(1,0,C(1,C(2,0,0),0))                   ψ(1,1,0) 
C(1,α,C(1,C(2,0,0),0))                 ψ(1,ω^α,0) 
C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0))          ψ(2,0,0) 
C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0)))       ψ(3,0,0) 
C(1,C(2,0,0)+1,0)                        ψ(ω,0,0) 
C(1,C(2,0,0)+α,0)                       ψ(ω^α,0,0) 
C(1,C(2,0,0)*2,0)                        Ψ

84 ：１３２人目の素数さん：2010/12/10(金) 01:11:24

ψ(α+1,0,0)自体は共終数がωの順序数と定義しているので、
ψ(α+1,0,0)ではなくψ(α+1,1,0)の方が正しいと思います。
それは些細なことですが、さらなる拡張の方針として、
　ψ(0,α,β)=ψ2(0,ψ2(1,0)*α+β)
　ψ(1,1,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^2)
　ψ(1,α,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^2*α)
　ψ(α,β,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^(1+α)*β)
のようなものができないか考えていたのですが、
この時のψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するということでしょうか？

あと、例えばψ(1,1,0)とψ(1,2,0)の間には、
ψ(1,1,0)＜ψ(0,ψ(1,1,0)+α,0)＜ψ(1,1,1)＜ψ(1,1,α)＜ψ(1,2,0)
のような基数が存在しますが、
　C(1,0,C(1,C(2,0,0),0))　　　　　ψ(0,ψ(1,1,0)+1,0)
　C(1,α,C(1,C(2,0,0),0))　 　 　 ψ(0,ψ(1,1,0)+ω^α,0)
　C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0))　ψ(1,1,1)
　C(1,C(2,0,0)+α,0)　　 　 　 　 ψ(1,1,ω^α)
　C(1,C(2,0,0)+C(2,0,0),0)　　　 ψ(1,2,0)
　C(1,C(2,0,0)*α,0)　　 　 　 　 ψ(1,α,0)
　C(1,C(2,0,0)^2,0)　　　　　　　 ψ(2,1,0)
　C(1,C(2,0,0)^α,0)　　 　 　 　 ψ(α,0,0) (αは極限順序数)
　C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0)　　　 Ψ
となりませんか？
C(2,0,0)^C(2,0,0)=C(0,C(0,C(2,0,0),C(2,0,0)),C(2,0,0))だと思うので、
C(2,1,0)どころかC(1,0,C(2,0,0))にすら達していないみたいですが。

85 ：１３２人目の素数さん：2010/12/10(金) 04:36:26

Zという値を定義してみた。

z=(十分に大きな自然数)
z以外の変数=(0以上の整数)

演算記号の結合法則(優先順位)
(a,b,c)=(a,(b,c))=((a,b),c)
(a+b,c)=((a+b),c)
(a,b+c)=(a,(b+c))
(a,b:0)=(a)
(a:0,b)=(b)
(a:b+1)=(a,a:b)
(a:b+c)=(a:(b+c))
(a+b:c)=((a+b):c)
(a,b:c)=(a,(b:c))
(a:b,c)=((a:b),c)
((a,b):c+1)=(a,b,(a,b):c)
(#a)=(a_{a},a_{a-1},a_{a-2},...,a_{3},a_{2},a_{1})
(a,#0)=(a)
(#0,a)=(a)

86 ：１３２人目の素数さん：2010/12/10(金) 04:44:39

Zの定義

f(0)=z
f(a+1)=f(a)+z
f(0:n+2)=f(z:n+1)
f(0:n+1,a+1)=f(f(0:n+1,a):n+1)
f(#c,b+1,0:n+1)=f(#c,b,z:n+1)
f(#c,b+1,0:n,a+1)=f(#c,b,f(b+1,0:n,a):n+1)
f([0])=f(z:z)
f([a+1])=f(f([a]):f([a]))
f([0],0:n+1)=f([z:z],z:n)
f([a+1],0:n+1)=f([f([a],0:n+1):f([a],0:n+1)],f([a],0:n+1):n)
f([0],#d,b+1,0:n)=f([z:z],#d,b,z:n)
f([a+1],#d,b+1,0:n)=f([f([a],#d,b+1,0:n):f([a],#d,b+1,0:n)],#d,b,f([a],#d,b+1,0:n):n)
f(0:n+1,[0])=f(z:n,[z:z],z:z)
f(0:n+1,[a+1])=f(f(0:n+1,[a]):n,[f(0:n+1,[a]):f(0:n+1,[a])],f(0:n+1,[a]):f(0:n+1,[a]))
f(#e,b+1,0:n,[0])=f(#e,b,z:n,[z:z],z:z)
f(#e,b+1,0:n,[a+1])=f(#e,b,f(#e,b+1,0:n,[a]):n,[f(#e,b+1,0:n,[a]):f(#e,b+1,0:n,[a])],f(#e,b+1,0:n,[a]):f(#e,b+1,0:n,[a]))
f(#e,[0:n+2],#d)=f(#e,[z:n+1],#d)
f(#e,[0:n+1,a+1],#d)=f(#e,[f([0:n+1,a]):n+1],#d)
f(#e,[#c,b+1,0:n+1],#d)=f(#e,[#c,b,z:n+1],#d)
f(#e,[#c,b+1,0:n,a+1],#d)=f(#e,[#c,b,f(b+1,0:n,a):n+1],#d)

Z=f(z:z,[z:z],z:z)

87 ：１３２人目の素数さん：2010/12/10(金) 15:26:37

>>84
訂正します。やはり、ψ(α+1,1,0)ではなくψ(α+1,0,0)が正しいようです。
　C(1,0,C(1,C(2,0,0),0))　　　　　ψ(0,ψ(1,0,0)+1,0)
　C(1,α,C(1,C(2,0,0),0))　 　 　 ψ(0,ψ(1,0,0)+ω^α,0)
　C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0))　ψ(1,0,1)
　C(1,C(2,0,0)+α,0)　　 　 　 　 ψ(1,0,ω^α)
　C(1,C(2,0,0)+C(2,0,0),0)　　　 ψ(1,1,0)
　C(1,C(2,0,0)*α,0)　　 　 　 　 ψ(1,α,0)
　C(1,C(2,0,0)^2,0)　　　　　　　 ψ(2,0,0)
　C(1,C(2,0,0)^α,0)　　 　 　 　 ψ(α,0,0)
　C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0)　　　 Ψ
だと思います。
帰納的順序数で比較すると、
C(0,C(0,C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0),C(2,0,0)),0)=ψ(0,0,Ψ)
でしょうか。

二変数ψと比較すると、
ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m}(ω^β_1+ω^β_2+…+ω^β_n)
=C(0,β_n,…C(0,β_2,C(0,β_1,C(1,α_m,…C(1,α_2,C(1,α_1,0))…)))…)
だと思います。

88 ：１３２人目の素数さん：2010/12/10(金) 19:29:06

>>84
> あと、例えばψ(1,1,0)とψ(1,2,0)の間には、
> ψ(1,1,0)＜ψ(0,ψ(1,1,0)+α,0)＜ψ(1,1,1)＜ψ(1,1,α)＜ψ(1,2,0)
> のような基数が存在しますが、

あらすみません。
よく定義を見ずに書いてしまいました。

>>86
f(#(e+1), [a], #(d+1)) の定義が無いような。

89 ：１３２人目の素数さん：2010/12/11(土) 00:21:24

>>84
> この時のψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するということでしょうか？
wikipediaにある普通の1変数のψは、突然Ωという順序数が現れます。
この順序数Ωは十分に大きく、十分にキリが良ければ絶対的な大きさはどうでもよく、
最小の帰納的でない順序数としても、
最小の非可算順序数としても、
もっとずっと大きな基数としても、
ψで作れる帰納的順序数の大きさに影響しません。

ψ(2,0,0) も、
{ 0, +, ψ(0,a,b), ψ(1,a,b) } で作れる順序数に比べて
十分大きく十分キリの良い順序数としておけば良いと思います。
たとえば、最小の到達不能基数であるとか。

90 ：１３２人目の素数さん：2010/12/11(土) 00:28:28

C(a,b,c) の場合、実際には作れる順序数はすべて可算です。
絶対的な大きさで比べるならば、すべてψ(0,1,0)未満です。

C(a,b,c) は、admissibility degree が a である順序数と記述されています。
正確な定義は判りませんが、意味的には、
e の admissibility degree が a+1 である <====>
e は e未満の順序数有限個と関数fと帰納的定義では作れない順序数である
（ただし、f(x) = 『xを超える最小の (degree が a) の順序数』）
のようなものと思っています。

C(1,0,0) = ω_1^CK
C(1,0,C(1,0,0)) = ω_1^CK
C(1,0,a) = 『aを超える最小のadmissibleな順序数』= 『aと帰納的定義で作れない最小の順序数』
C(1,0,ω_a^CK) = ω_(a+1)^CK

実際のCの定義は以上のようなものですが、
e の degree が a+1 である <====> e が a-到達不能基数 である
e の degree が a+1 である <====> e が a-Mahlo基数 である
などとしてもまったくCが作れる帰納的順序数の大きさは変わりません。

91 ：１３２人目の素数さん：2010/12/11(土) 16:17:22

>>87
訂正
> ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m}(ω^β_1+ω^β_2+…+ω^β_n)
> =C(0,β_n,…C(0,β_2,C(0,β_1,C(1,α_m,…C(1,α_2,C(1,α_1,0))…)))…)
にβ_i≧ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m+1}(0)という条件を追加します。

>>89
帰納的でない順序数の大きさを直接比較するのに意味がないのは分かっているので、
表記上の役割としてψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するかどうかという意味で書きました。

ψ(0,0,α)は帰納的順序数でC(1,0,0)未満の数に相当し、
ψ(0,α,β)はある順序数から帰納的に定義される順序数を作るためにcollapseさせて用いる、
より大きい順序数でC(2,0,0)未満の数に相当すると考えています。

ただ、より大きい順序数を作るためにψ(α,β,γ)を定義したものの、
それは役割的にはC(2,0,0)未満の数に相当するものでしかなかったので、
どのような役割をすればC(2,0,0)に相当するか知るために聞きました。

ψ2(1,0)はcollapseさせることでψ(α,β,γ)など、
C(2,0,0)未満に相当する帰納的に定義されない順序数が作れる(という構想だった)ので、
役割的にC(2,0,0)に相当するだろうか、ということです。

ただ、Dmytro氏の記法はAn Ordinal Notationの時点でも、
今までこのスレに出てきた帰納的順序数よりずっと大きな帰納的順序数が表せるようだということが分かったので、
むやみにこれ以上ψの拡張を考える前に、Dmytro氏の表記を正しく理解すべく努力しようと思っています。
7-389の「ψ_a(0)がAn Ordinal NotationのC(a,0,0)に相当する」という意味の発言に
このスレの>>81まで誰も異を唱えなかったということは、
それまで誰もDmytro氏の表記を正しく理解していなかったということですし。

92 ：１３２人目の素数さん：2010/12/14(火) 01:44:17

Dmytro氏のAn Ordinal Notationで表される順序数の収束列を定義しました。
ただし、細かくチェックをしていないので間違いがあるかもしれません。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/183328.txt

間違いさえなければ、今までこのスレで出てきた収束列の定義のある帰納的順序数の中では最も大きく、
これを用いて定義される関数は、今まで出てきた計算可能な関数の中で最も巨大なものになります。

>>91
さらに訂正
C(0,C(1,0,0),C(0,C(1,0,0),0))=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))ですが、
C(0,C(1,0,C(1,0,0)),C(0,C(1,0,C(1,0,0)),0))=ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_2(0)))となり、
C(0,C(0,C(1,0,C(1,0,0)),C(1,0,C(1,0,0))),0)=ψ_0(ψ_2(0)+ψ_2(0))となるようです。
なので、そう簡単にはψとCの書き換えはできないようです。

93 ：１３２人目の素数さん：2010/12/14(火) 21:50:53

さすが。
数日で理解して収束列定義まで完成させてしまいましたか。

今後はΩの追加、Ω_n の追加と進んで行って、
最終目標は最後の章のC(a, b, c)の収束列定義でしょうか。


>>92 についていくつか疑問、質問があるのでお願いします。

○ 大小比較、
元のドキュメントでは、C(a, b, c) の a, b が最大であれば良いように書かれていますが、
>>92 では c, f が最小であるという条件が加わっています。
この条件は必要でしょうか？

○ standard representation
各収束列からは標準形でないものが生まれにくいような感じがするのですが、
H[C(0,X,0)](n) を求める上で標準形でない形が生まれる場合がありますか？

○ 誤植
subst_arg1(...,x) / subst_arg3(...,x)
x は不要ですよね？

94 ：１３２人目の素数さん：2010/12/15(水) 22:07:52

>>92
案の定、問題点があったので訂正したものをアップしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/183811.txt

C(pred(subst_arg1(c)),subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),0,subst_arg3(c))),subst_arg3(c))と
C(d,subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),0,subst_arg3(c))),e)を比較して場合分けをしていましたが、
これだと例えばC(0,C(2,0,0),C(1,C(1,0,0),0))で問題が生じます。
C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))とC(d,c,e)で比較すればおそらく問題ないと思いますが、
きちんと確かめたわけではありません。

>>93
> ○ 大小比較
c,fは最小でなくとも大小比較には問題ないようです。
結局のところ、(aは常に最大なので)bさえ最大であれば、
standard representationであろうとなかろうと大小比較はできます。

> ○ standard representation
きちんと確かめたわけではありませんが、標準形でない形はおそらく出ないと思います。
標準形でない形が出る可能性のある箇所としては、
cの中にf(x)という形の順序数が出てきて、f(x)＞C(subst_arg1(c),0,subst_arg3(c))かつx＞cだと、
{C(d,c,e)}'_{n+1}=subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),{C(d,c,e)}'_n,subst_arg3(c)))
のC(pred(subst_arg1(c)),{C(d,c,e)}'_n,subst_arg3(c))が標準形でなくなることがあり得ます。
ただ、このときC(d,c,e)が標準形であるためにはf(x)＜C(d,c,e)となる必要があり、
C(subst_arg1(c),0,subst_arg3(c))＜C(d,c,e)となります。
すると、C(d,c,e)＞C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))となり、
もう一つの規則の方が適用されるので問題は生じないかと思います。

> ○ 誤植
コピペした時に消し忘れただけなので、xは不要です。

95 ：１３２人目の素数さん：2010/12/16(木) 21:55:57

比較の条件だけじゃなくて、
収束列が微妙に変わったのは、
こっちの方が値がきれいになるからですか？
前の方が定義が簡単そうですが。

96 ：１３２人目の素数さん：2010/12/17(金) 07:35:35

>>95
C(d,c,e)=C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))のとき、
どちらでも収束列が同じになるようにしたかっただけです。
同じにする必要性はありませんが。

97 ：１３２人目の素数さん：2010/12/17(金) 23:52:53

きちんと検証せずに類推で書いたので正しいか保証はできませんが、
A Stronger Ordinal Notationの収束列を定義しました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/184484.txt

98 ：１３２人目の素数さん：2010/12/18(土) 02:32:08

>>92 で作られる順序数の
標準形判別、標準形化、収束列の表示などを行うツールを作りました。

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/184531.lzh

99 ：１３２人目の素数さん：2010/12/18(土) 02:51:26

>>97 の C(Ω*a+b, c) が >>94 の C(a,b,c) に対応するので、
C(X,0) は帰納的じゃない、もっとずっと大きな順序数だと思う。

C(C(X,0),0)
こうしなきゃいけないんじゃ？

100 ：9-49：2010/12/18(土) 11:20:47

>>99
確かにそうですね。C(C(X,0),0)じゃないと帰納的になりません。

どれが私の書き込みか他の人に分かるようにまとめておきます。
>49-54, >56, >59, >63, >65, >67, >70, >72, >74, >80, >82, >84, >87, >91, >92, >94, >96, >97
>>98は私ではありません。

101 ：１３２人目の素数さん：2010/12/18(土) 11:31:40

>>100
このスレで順序数に関する記述を行っているのは、
あなたと私の二人だけだと思います。

102 ：9-49：2010/12/19(日) 18:16:41

正しさの保証はできませんが、
A Step towards Second Order Arithmetic (C+Ω_n)の収束列を定義しました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/185091.txt
ただ、根本的に間違っている可能性もあるかもしれません。

103 ：昔の住人：2010/12/19(日) 21:11:35

今、いるのはお二人だけですか？

104 ：１３２人目の素数さん：2010/12/20(月) 00:48:00

素数とか使うのはどうなの？

105 ：１３２人目の素数さん：2010/12/20(月) 23:24:23

>>102
ついに correctness が出てきましたか。
これって、degree より大きな単位といった感じでしょうか？
degree が α-到達不能基数で、
correctness が α-マーロ基数
という感じの。
それとも、全然概念が違うものでしょうか？


その前に、まだ [A Stronger Ordinal Notation] が理解できてない。

[An Ordinal Notation] では
収束列のない極限順序数aに対し
cf(a) = C( subst_arg1(a), 0, subst_arg3(a) ) とした時、
a = sup { subst(a, x) | x < cf(a) }
という感じでしたが、
[A Stronger Ordinal Notation] だと、subst が3種類も存在します。
もうちょっと subst, subst_arg について説明していただけると非常にうれしいです。

106 ：9-49：2010/12/21(火) 02:36:57

>>105
到達不能基数やマーロ基数を知らないのでその例えが正しいかはわかりませんが、
私の理解としても、correctnessはdegreeより大きな単位というような認識です。
An Ordinal Notationでは、C(1,0,0)のような大きな順序数(correctness 1)を用いて、
帰納的順序数(correctness 0)を表していました。
A Stronger Ordinal Notationになると、さらに大きな順序数Ω(correctness 2)を用いて、
correctness 1の順序数を表しています。
A Step towards Second Order Arithmeticでは、同様にして
correctness n+1の順序数を用いてcorrectness nの順序数を表すものだと思っています。

substの意味をAn Ordinal Notationとの対応関係で説明します。
C(a,b,c)をC(Ω*a+b,c)のように表して拡張したのがA Stronger Ordinal Notationなので、
bを得たり置き換えたりするのにも関数を定義する必要があります。
C(a,b,c)のbに相当するのが、C(a,b)のsubst_arg1(a)です。
これを別のものに置き換えるのがsubst1です。
C(a,b,c)のC(subst_arg1(b),0,subst_arg3(b))に相当するのが、C(a,b)のsubst_arg2(C(a,b))です。
これを別のものに置き換えるのがsubst2で、An Ordinal Notationのsubstに相当します。
C(a+1,0,c)はC(Ω*a+Ω,c)になるので、C(a,x,c)に相当するのはC(Ω*a+x,c)になります。
同様にして、Ωを置き換えればいいと推測できるので、Ωを別のものに置き換えるのがsubst3です。

107 ：１３２人目の素数さん：2010/12/21(火) 23:11:25

>>97
subst2(Ω), subst_arg2(Ω) の定義はいらない？

たとえば、
C(C(C(Ω,Ω),Ω),0) つまり、C(Ω^2, 0) に対して subst_arg2 を求めようとすると、
subst_arg2( C(Ω^2, 0) ) = subst_arg2( subst_arg1(Ω^2) ) = subst_arg2(Ω) となります。

subst_arg2(Ω) = Ω, subst2(Ω, x) = x
ですか？

[An Ordinal Notation] の範囲から外れる C(Ω^2, 0) を調べようとして
いきなりつまづきました。

>>106
b = sup { subst1( C(Ω*a+b, c), x ) | x < subst_arg1( C(Ω*a+b, c) ) }
z = sup { subst2(z, x) | x < subst_arg2(z) }
z = sup { subst3(z, x) | x < Ω }
これで合ってますか？

108 ：9-49：2010/12/22(水) 04:41:35

>>107
subst_arg2(C(C(C(Ω,Ω),Ω),0))を求めるときには、
subst_arg1(C(C(Ω,Ω),Ω))=subst_arg1(C(Ω,Ω))=subst_arg1(Ω)=Ωなので、
「subst_arg2(C(c,d))=subst_arg2(subst_arg1(c))」ではなく、
「subst_arg2(C(c,d))=C(c,d)」となります。
なので、subst_arg2(C(Ω^2,0))=C(Ω^2,0)、subst2(C(Ω^2,0),x)=xです。

> b = sup { subst1( C(Ω*a+b, c), x ) | x < subst_arg1( C(Ω*a+b, c) ) }
Ω*a+b = sup { subst1( Ω*a+b, x ) | x < subst_arg1( Ω*a+b ) }
となります。
subst_arg3(z)=Ωと定義すれば、i=1, 2, 3に対して、
z = sup { substi(z, x) | x < subst_argi(z) }
となります。
Ω*a+bは例として挙げただけなので、Ω^2*a+Ω*bやΩ^Ω*a+Ω^bのような形の場合に
bを得たり置き換えたりするのにもsubst1やsubst_arg1を用います。
表記の関係上、subst_arg1(…)=bではなくω^bやω^ω^bになったりという程度の違いはありますが。

109 ：9-49：2010/12/22(水) 20:42:05

>>108
訂正
> z = sup { subst3(z, x) | x < Ω }
となるのは、subst_arg1(c)=Ωを満たすようなz=C(c,d)に対してのみです。
そうでないzに対してもsubst3は定義されますが、
定義の中でsubst3が用いられているときは上の条件を満たしています。

110 ：１３２人目の素数さん：2010/12/23(木) 15:35:35

久しぶりに来たので前スレ置いておきますね
http://unkar.org/r/math/1194777915/

111 ：１３２人目の素数さん：2010/12/23(木) 17:32:31

前スレより

Q.これは初心者は最初何を勉強すればいいの？
A.以下の順に理解していくと良い。

クヌースの矢印表記
コンウェイのチェーン表記
多変数アッカーマン関数
ハーディー関数
カントールの標準形
ベブレン関数
ビジービーバー関数

コンウェイのチェーン表記は飛ばしても良いし、
ハーディー関数の前にふぃっしゅ数V5を入れてもいい。
ビジービーバー関数はもっとずっと前でもいい。

112 ：１３２人目の素数さん：2010/12/23(木) 18:04:55

暫近線とこれらの関数が交差するのってどこ？

113 ：１３２人目の素数さん：2010/12/24(金) 01:17:56

>>97 で作られる順序数の
標準形判別、標準形化、収束列の表示などを行うツールを作りました。

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/186651.lzh

114 ：１３２人目の素数さん：2010/12/25(土) 01:01:20

明石家サンタでも見るかな。

116 ：１３２人目の素数さん：2010/12/28(火) 22:19:40

やっと >>97 の３つの subst, subst_arg の意味が理解できました。
ちょっとずつ理解を進めてますが、全部を理解するにはまだ時間がかかりそうです。

>>97 で作れない最小の帰納的順序数 C(C(ε_(Ω+1), 0), 0) を
>>102 で表すと何になりますか？

>>102 の Ω_nを、一番最後の章のC(a,b,c)で表すとどうなりますか？
大小関係から考えると、
Ω_1 = C(1,0,0)
Ω_2 = C(1,0,Ω_1)
Ω_3 = C(1,0,Ω_2)
....
こうはならなそうですね。

117 ：１３２人目の素数さん：2010/12/28(火) 23:15:20

[Bachmann-Howard Ordinal] のΩがΩ_1
[A Stronger Ordinal Notation] のΩがΩ_2
このような拡張をn回繰り返したのがΩ_n
という感じですか。
なんかすごく大きい気がしてきました。

118 ：9-49：2010/12/29(水) 03:28:32

>>116
C(C(ε_(Ω+1), 0), 0)=C(C(C(Ω_3,Ω_2),0),0)となります。
Dmytro氏の文章の例で、
　aがcorrectness n＞0で、bがaより大きいcorrectness nの最小の順序数で、c＜aのとき、
　C(ε_(a+1),c)=C(b,c)
というのがありますが、a=Ω_2, n=2とするとb=C(Ω_3,Ω_2)なので、
C(ε_(Ω_2+1),0)=C(C(Ω_3,Ω_2),0)となります。
また、>>102の定義に従ってもそうなります。

最後の章のC(a,b,c)はcorrectnessがaで、そのcorrectnessに対するdegreeがbで、
cより大きい最小の順序数という定義なので、n＞0に対してΩ_n=C(n,0,0)となると思います。
C(1,0,Ω_n)はΩ_nより大きいcorrectness 1の最小の順序数なので、
C(1,0,Ω_1)=C(Ω_2,Ω_1)
C(1,0,Ω_2)=C(C(Ω_3,Ω_2),Ω_2)
C(1,0,Ω_3)=C(C(C(Ω_4,Ω_3),Ω_3),Ω_3)
のようになると思います。

119 ：１３２人目の素数さん：2010/12/29(水) 10:46:15

>>118
(Ω_3,0) = Ω_2, Ω_n = C(n,0,0)とすると、
C(0,C(3,0,0),0) = C(2,0,0) となって
Cの一般的な大小比較の法則とは異なってしまいます。
[A Step towards Second Order Arithmetic]では、
C(a,b,c) はCの一般的な法則を満たすと書いてあります。

[A Step towards Second Order Arithmetic] と
[Second Order Arithmetic and Beyond] と
でcorrectness の定義が微妙に異なるようですが、
[Second Order Arithmetic and Beyond] の定義だと
>>102 とは異なってくるんでしょうか？

120 ：9-49：2010/12/29(水) 12:15:52

>>119
C(a,b)=C(0,a,b)ではなく、C(a,b)のcorrectnessをnとして、C(a,b)=C(n,d,b) (dはある順序数)だと思います。
dがどのように定まるかは一般には簡単に表せないと思います。
C(a,b)のcorrectnessがn＞0となるのは、b＜c≦aを満たすcorrectness n+1の順序数cが存在するときです。

ただ、このままではcorrectnessを順序数に拡張したとき、例えばC(Ω_ω,0)のcorrectnessがうまく定義できません。
0とΩ_ωの間にはΩ_n (0＜n＜ω)があるので、correctnessが自然数とするわけにはいきません。
また、C(Ω_(ω+1),0)でcorrectnessがωとなるので、correctnessがω以上というわけにもいきません。
なので、C(a,b)のaとbの大きさからcorrectnessが決まるという定義では、correctnessを順序数に拡張できません。
だから、correctnessを指定する表記に変えてcorrectnessを順序数に拡張しようという方針だと思います。

C(0,C(3,0,0),0)=C(C(C(Ω_3,Ω_2),0),0)＜C(Ω_3,0)=Ω_2となると思います。
C(C(C(Ω_3,Ω_2),0),0)は、Ω_3以上の数を用いないと表せないcorrectness 0の最小の順序数です。

correctnessの定義は、私の知識では理解できないので飛ばしていますが、
その違いは帰納的順序数の定義にはおそらく影響しないだろうと勝手に思っています。
ただ、"by tweaking the notion of maximality in the previous section"というのが気になりますが。

121 ：１３２人目の素数さん：2011/01/04(火) 20:15:49

ふぃっしゅ数の大きさに感動している俺に
>>111のハーディー関数を日本語で解説しているサイトがあれば有り難いんだが

122 ：１３２人目の素数さん：2011/01/06(木) 23:16:06

ビジービーバー面白いな。
Σ(5)（候補）まではシミュレート出来るけど、Σ(6)以降はどうしようもなくて笑えるけど。

で Σ(5)（候補）の最初の10万ステップ画像作ってみた。
348KBだけど画像サイズはデカい（12289x100000）んで、しょぼいソフトだと表示できないが。
http://harakiri.run.buttobi.net/up/img/3735.png

123 ：１３２人目の素数さん：2011/01/07(金) 00:48:17

ビューアでもブラウザでもエラー吐いて落ちるなぁ。
面倒だし諦めよう。

124 ：１３２人目の素数さん：2011/01/07(金) 01:10:02

じゃ1/10サイズの1万ステップで。
http://harakiri.run.buttobi.net/up/img/3736.png

これは Firefox でも普通に表示できる。

125 ：１３２人目の素数さん：2011/01/07(金) 01:59:30

おう、見れた。サンクス。
序盤だからか、全然停止するところが想像できないなー。

126 ：１３２人目の素数さん：2011/01/07(金) 02:14:55

ラスト1万はこうなる。
http://harakiri.run.buttobi.net/up/img/3737.png

真っ白（1づくし）だった領域を縞々にしていって、唐突に左端（から一つ右）で終わる。
結果は、1 0 (1 0 0 が4095回ループ)1 1.

127 ：１３２人目の素数さん：2011/01/13(木) 21:38:24

Σ(2k+4) > 3 ↑^k 3
だそうだ。

ということは、比較的少ないステート数で
アッカーマン関数相当の処理ができるってこと。

1ステートは非常に低レベルな処理であって、
普通のコンピューター言語のような命令を作るには非常に多くのステートを消費するが、
チューリングマシン語で考えられれば
実はそれなりに効率的なのではないだろうか。

128 ：お久しぶりです：2011/01/20(木) 03:48:10

　　 　　　　　　　　　　　　　　(￣￣<　 　　　／￣＞
　　 　　　　　　　　　　　　　　　＼　 ヽ　 　／ ／ソ
　　 　　　 　プ　ロ　ジ　ェ　ク　ト＼　 ヽ P r o j e c t　X
　　 ─────────────────────
　　 　　　　　　挑戦者たち　／|_／ ／＼Challengers
　　 　　　　　　　　　　　　　　|　 　／　　　＼ 　　丶
　　 　　　　　　　　　　　　　　＼／　　　 　　 ＼__ノ

エーックス・・・
語り：トモロヲ
　2011年、経済大国　日本。
その名は、過去のものになろうとしていた。日本は成長著しい２大国　中国とインドに追い上げられ、
アジアの盟主からまさに落日の時を迎えようとしていた。
便所の落書き‥‥‥ そう蔑まれた世界最大の匿名掲示板２ちゃんねるも、ネット上の新たな波の
うねり呑まれ、かつての輝きを失おうとしていた。
　巨大数スレッド、知る人ぞ知る８年以上続いているスレッドが過疎化が進む数学板に依然として
存在していた。プロジェクトはもはやスレッド参加者達の人生をかけた挑戦になっていた。
この８年間に、それぞれの人生があった。それぞれのドラマがあった。しかし
このスレが存在していることを密かに心の支えにして　みんな歯を食いしばって生きた。

アカデミー賞のように注目もされない。オリンピックのようなヒーローもいない、
ましてやノーベル賞やフィールズ賞など、学問の表舞台とも無縁だったが、
プロジェクトは確かに存在しメンバーは「名も無き栄光」を目指した。
これはそんな男達の生涯をかけた静かだが熱き物語である。

129 ：お久しぶりです：2011/01/20(木) 03:48:51

♪風のなかのすーばるー　　『グラハム数を超えて』
♪砂の中の銀河?　　　　　『ふぃっしゅ数　誕生　』
♪みんなどこへ行った?　　『チェーン関数の衝撃』
♪見守られることも無く?　『消えたバード数と矢印回転』
♪草原のペガサス?　　　　『３重帰納から多重帰納へ』
♪街角のビ?ナス?　　　　『順序数とHardy関数』
♪みんなどこへ行った?　　『巨大順序数への道』
♪見守られる事もなく?　　『新たな世代の咆吼』
♪地上にある星を　　　　　『２重リスト？多重リスト？』
♪誰も覚えていない?　　　『拡張！Vebelen関数』
♪人は空ばかり見てる?　　『Ｖer3.からＶer6への道』
♪つばめよ?高い空から?　『百花斉放　百家争鳴』
♪教えてよ?地上の星を?　『そびえるＢＢの壁』
♪つばめよ?地上の星は? 　『人生は短し　数学は長し』
♪今どこに?あるのだろう?『　旅　は　ま　だ　　終　わ　ら　な　い　』

　　　『　長　き　旅　路　の　果　て　』　　?はるかなる巨大数?

国井アナ「みなさん前回より約５年間のご無沙汰でした。いや?時間がたちましたね」
善場アナ「私はNHK時代がもうはるか昔に感じます。今ではＴＢＳの番組の印象が
　　　　　みなさんにとっても印象に強いんじゃないかと」
久保ジュン「私も、フジTVでのお仕事が多くて、この前　渋谷に行ったらすっかり
　　　　　　変わっていて驚いちゃいました」
住吉アナ「今日は、先輩達に独立してからのノウハウを聞こうと思って楽しみにしてたん
　　　　　です。」

国井アナ（‥‥‥‥‥）

130 ：１３２人目の素数さん：2011/01/22(土) 05:21:51

そろそろ　ふぃっしゅ数Ver.7的なものを一発作っておいてはどうでしょう？？
計算可能関数で一番おおきいものを。

かくいう私は、Ver.5までしか理解しておりませんが…。

131 ：１３２人目の素数さん：2011/01/22(土) 19:33:38

パラドックスだな。

132 ：１３２人目の素数さん：2011/01/24(月) 18:36:39

ふぃっしゅ氏が理解できる範囲だとΓ_0もいかない気がする。

133 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 17:10:42

なんかこのスレは初心者の侵入を拒んでる感じなんだよね
初心者の俺は入りにくいんだよな

134 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 19:52:09

初心者大歓迎

135 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 20:32:57

で、アキレス数は亀にどの位近づいた時に、それらの関数を追い越すの？
それとも永遠に追い越せないの？

136 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 23:07:22

アキレス数ってこれのこと？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%AD%E3%83%AC%E3%82%B9%E6%95%B0
亀に近づくとは？
それらの関数とは？

わかるように書いてね！

137 ：１３２人目の素数さん：2011/01/31(月) 23:27:29

小学生が大きな数を競う時に書きそうな大きな数

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

1の後ろに0が100個つらなった数。
こんな数でも名前が付いている。
グーゴル(googol)
命名したのは小学生。
検索サイトのgoogleの元になったとも言われている。

観測可能な宇宙の範囲にある原子の数より大きいと言われているが、
こんな大きな数でも、べき乗表現を使うと
   100
10
と簡単に表わせてしまう。

じゃあ次はべき乗表現を使って大きな数を作ってみよう。
    10
  10
10

ちょっと記述が面倒なんで、^をつかって
10^10^10 と表わすことにする。（※ a^b^c = a^(b^c) とする）
これは 1 の後ろに 0 が 10^10 = 10000000000 個もついた巨大な数。

さらに 10^10^10, 10^10^10^10 と大きくすることができる。
ここまで来ると、確率論や組み合わせ論でしか出てこないくらいに大きい。

138 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 03:52:58

>>136
ここで言ってるのは>>32

139 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 14:22:23

数直線上の0から1の間には無限個の点がある
というのを説明してほしいの?

140 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 16:32:19

追い抜いているんだから無限とは言えない。
級数のNの値がふぃっしゅ数その他をとることができるかって話だろ？

141 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 16:53:20

馬鹿かお前は。

142 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 17:43:07

馬鹿というなら証明してみなよ。

143 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 18:59:12

V_a > V_b.
A_0 = 0.
B_0 = 1.
A_{n+1} = B_n.
B_{n+1} = B_n + (B_n - A_n)/V_a * V_b.

n → +∞ の時、B_n - A_n → 0

144 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 19:33:06

0と1がどうしたの？

145 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 19:35:46

馬鹿かお前は。

146 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 19:52:30

他人が問題だと言うことに対して馬鹿だと言うなら、それを解かなければならない。
数直線の話をしているのはあなただけだから、そんな話をしても馬鹿の一つ覚え。

147 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 19:59:59

そ、そうだね。
追い抜いたって言ってるんだから必ず有限時間で止まるんだねw

148 ：１３２人目の素数さん：2011/02/01(火) 20:59:02

順序数って何ですか？

149 ：１３２人目の素数さん：2011/02/02(水) 19:07:38

>>138
有限回繰り返しても抜けない。
だからアキレス数は実数じゃない。

150 ：１３２人目の素数さん：2011/02/02(水) 19:22:33

>>149
カメが止まれば抜けるんだよ。

151 ：１３２人目の素数さん：2011/02/02(水) 20:13:30

追い抜いたという事実は、カメの動作にムラがあったということを示している。まあノロマな奴なんだから当然だろう。
微視的に見ればカメにも止まっている期間がある。寝ているウサギに追いつくのは遅いカメでもできた話だ。

で、それではカメがウサギになってしまって面白くないので、できるだけなめらかに動く特訓をしたクマを用意する。
それをシカが同様に追い抜く場合、アキレス数、いや被っているらしいのでチデジカ数か？これはどこまで増加させられるだろうか？

152 ：１３２人目の素数さん：2011/02/02(水) 20:43:44

馬鹿かお前は。

153 ：１３２人目の素数さん：2011/02/02(水) 21:19:13

馬なんて出てないだろ、変な奴だな。

154 ：１３２人目の素数さん：2011/02/05(土) 19:18:53

冪乗とか階乗の計算できるサイトってありませんか？

155 ：１３２人目の素数さん：2011/02/05(土) 19:29:10

http://www.google.com/

156 ：１３２人目の素数さん：2011/02/05(土) 20:02:21

>>155
2^{1180591620734591303680}
とかできないじゃん

157 ：１３２人目の素数さん：2011/02/05(土) 21:38:09

>>155じゃないけど>>156

第一に条件を後付けするな。
第二にその式が計算できたとして、どういう出力を望んでるんだ?

158 ：１３２人目の素数さん：2011/02/06(日) 01:12:29

>>155 でも >>157 でもないけど >>156

2^2^70
＝ 10^( 2^70 * log_10(2) )
＝ 10^355393490465494856465.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....
＝ 10^( 2^70 + 355393490465494856465) * 10^0.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....
＝ 8.75115884874047610417106853456142033180020093019414..... * 10^1535985111182906159889

階乗はスターリングの近似を使え

159 ：１３２人目の素数さん：2011/02/06(日) 01:17:26

なんか間違った。

2^2^70
= 10^( 2^70 * log_10(2) )
= 10^355393490465494856465.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....
= (10^0.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....) * 10^355393490465494856465
= 8.75115884874047610417106853456142033180020093019414..... * 10^355393490465494856465

160 ：１３２人目の素数さん：2011/02/06(日) 01:21:15

2^70 かとおもったら微妙に違うのか。

2^1180591620734591303680
= 10^( 1180591620734591303680 * log_10(2) )
= 10^355393490470666551868.512941390863707073748263583672433578549457107429727...
= 10^0.512941390863707073748263583672433578549457107429727... * 10^355393490470666551868
= 3.25792731483911607440672655117361363927155523220250236505899263846061278..... * 10^355393490470666551868

161 ：１３２人目の素数さん：2011/02/06(日) 01:26:04

2^70+2^34+2^17 か
何の計算？

162 ：１３２人目の素数さん：2011/02/06(日) 20:21:48

10文字部門　9を99!回階乗する
20文字部門　f(n):=nに階乗をn回
.　　　　　　　　f^9!(9)

この「nに階乗をn回」って「nをn回階乗」とは違うの？

163 ：１３２人目の素数さん：2011/02/06(日) 21:09:30

>>162
その記録いろいろとおかしいのであまり深く考えない方が良いかと。
なんでこんなのが長年記録として掲げられてるのかまったくわからない。

20文字部門では f^9!(9) なのに、30文字部門では f^(99!)(9) とカッコでくくってたり、
「9に階乗を999!回」がなぜか許されず、「nに階乗をn回」はなぜか許されてたり、
20文字/30文字部門の改行が数えられて無かったり、
:= という記号を突然使ったり、
「****に」 がどこまで含んでるか不明だったり、

記録の洗練もされていないし、
OK/NGの判断も曖昧すぎる。
まったくゲームになってない。

164 ：１３２人目の素数さん：2011/02/11(金) 16:51:42

巨大数論ってのを読んでるけど
順序数以降が全く分かりません

どうすればいいですか…

165 ：１３２人目の素数さん：2011/02/11(金) 17:19:57

大丈夫俺も良く分からん。

166 ：165：2011/02/11(金) 17:50:50

PDF読み直して、今更分かった気がする。
2重帰納(アッカーマン)、3重帰納(フィッシュ1)、n重帰納、まで作って、

∀n { n重帰納関数 < F } となるようなFが出来ちゃったので、
極限順序数から借りて、「ω帰納」みたいに呼ぼうっていうのが、
ハーディ関数ってことか？

167 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 01:13:44

巨大数を作るために、巨大関数(急激に増大する関数)を作っていく。
それには、「既に作った巨大関数から、それらより大きい巨大関数を作る」ということをする。
巨大関数を新たに作る度に表記を考える(名前を付ける)必要があるが、それに順序数が使える。

順序数には、「順序数の任意の集合に対して、集合のどの要素よりも大きい最小の順序数が存在する」という性質がある。
例えば、空集合に対しては0、{0}に対しては1、{α}(αは順序数)に対してはα+1、{0,1,2,3,…}に対してはω、のように。
これを利用して、順序数に対応した巨大関数を作ることで、
大きい順序数に対応した大きい巨大関数を作ることができる、というのがHardy関数。
大きい順序数を表記する方法は既に色々と考案されているので、それを使うだけでも簡単に大きい巨大関数が作れる。

順序数αに対応する関数をH[α]と書くことにして、α＜βならばH[α]＜H[β]となるようにH[α]を作る。
（自然数の関数f, gに対して、f＜g ⇔ ∃N, ∀n≧N, f(n)＜g(n)とする）

上の「　」で括った二つの部分が対応している。
既に作った巨大関数には、それに対応する順序数が存在している。
それらの順序数の集合を考えると、どの要素よりも大きい最小の順序数が存在して、
それに対応する巨大関数は既に作った巨大関数よりも大きくなる。

168 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 01:15:04

「α＜βならばH[α]＜H[β]」が成り立つには、適切な収束列の選び方をする必要がある。
そのような収束列の選び方の十分条件（必要条件ではない）は、以下のようになる。
　順序数αに対し、集合A(α)を次のように定義する。
　　・α∈A(α)
　　・β+1∈A(α)ならば、β∈A(α)
　　・βが極限順序数かつβ∈A(α)ならば、β_0, β_1∈A(α)（β_0, β_1はβの収束列の0,1番目の要素）
　　上の性質を満たす、最も小さい集合をA(α)とする。
　収束列が単調増加であり、任意のα, nに対してα_n∈A(α_{n+1})ならば、「α＜βならばH[α]＜H[β]」が成り立つ。

上の条件を満たさない収束列の例
　ω*(n+1)の収束列を{0,1,…,n,n+1,ω*n+n+2,ω*n+n+3,…}とすると、
　H[ω^2](n)=H[ω*n](n)=H[(ω*n)_n](n)=H[n](n)=2n＜4n=H[ω*2](n)となる。
変な収束列の選び方をしなければ、問題ないと思われる。

169 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 11:26:37

1E18=10^18

この「E」の使い方教えてくれないか？

170 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 12:00:59

指数表記だろ？　なんかの工業規格にでもあるんじゃないの？

171 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 18:54:50

>>169
浮動小数点記法、とか、科学的表記法ってやつ。
丸め誤差を含むことを明示する意味があると思う。
Eは指数(exponent)とかの頭文字じゃないかな。

172 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 20:31:25

コンピュータの浮動小数点数の表記でよく使われる。

[a]E[b] で a * 10^b を表す

1.2345E67 = 1.2345 * 10^67
1.2345E+67 = 1.2345 * 10^67
1.2345E-67 = 1.2345 * 10^(-67)

こんな表記は無い
1E1E10

科学では普通に
              23
6.022 * 10
と表記する方が多いと思う。

173 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 22:09:55

>>168
十分条件である説明と、
ε_0 未満のすべての極限順序数に対し、
カントール標準形の普通の収束列を選んだ場合
Aがどのようになるか
をご教示願いたい。

174 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 22:17:56

ところで、一番微細な数の定義ってどうなってるの？

175 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 22:20:11

ε

176 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 22:25:29

>>174
巨大数の逆数で良いから本質的に巨大数の検索と同等。

177 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 22:30:10

計算可能性とかってどうなるんだろう？

178 ：１３２人目の素数さん：2011/02/12(土) 22:54:29

ある単一の小数の値が計算可能であることは、
その小数の小数第n位の値を返す関数が計算可能であること
と同値

179 ：１３２人目の素数さん：2011/02/13(日) 00:05:26

>>173
証明は、任意の順序数αに対して、
　(1)H[α]は単調増加である
　(2)∀β∈A(α)-{α}に対し、H[β](1)≦H[α](1)かつ∀n≧2, H[β](n)＜H[α](n)
　(3a)α=α'+1のとき、H[α']＜H[α]
　(3b)αが極限順序数のとき、∀n, H[α_n]＜H[α]
を帰納的順序数についての帰納法で示せばよい。
細かいところは省略して書くと、

　α=0のとき、H[0](n)=nは単調増加、A(0)-{0}=φであるから、(1)(2)が成り立つ。

　α=α'+1のとき、H[α']が単調増加であるから、H[α'+1]も単調増加で∀n, H[α'](n)＜H[α'+1](n)である。
　よって(1)(3a)が成り立つ。α'について(2)が成り立つので、∀n, H[α'](n)＜H[α](n)から(2)が成り立つ。

　αが極限順序数のとき、仮定よりα_n∈A(α_{n+1})であるから、
　H[α_0](1)≦H[α_1](1)かつ∀n, ∀m≧2, H[α_n](m)＜H[α_{n+1}](m)である。
　H[α_n]は単調増加なのでH[α_n](n)＜H[α_n](n+1)となるから、H[α]は単調増加で(1)が成り立つ。
　α_0, α_1について(2)が成り立つので、H[α_0](1)≦H[α_1](1)=H[α](1)かつ
　∀n≧2, H[α_0](n)＜H[α_1](n)＜H[α_n](n)=H[α](n)より(2)が成り立つ。
　∀n, ∀m≧max(n+1,2), H[α_n](m)＜H[α_m](m)=H[α](m)より(3b)が成り立つ。

あとは、(3a)(3b)を用いれば「α＜βならばH[α]＜H[β]」が示せる。

Aの例としては、
　A(ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+3)
　={0,1,ω,ω^ω,ω^ω^ω,ω^(ω^ω+1),ω^(ω^ω+ω),
　ω^(ω^ω+ω^2),ω^(ω^ω+ω^2)+1,ω^(ω^ω+ω^2)+ω,ω^(ω^ω+ω^2)+ω^ω,
　ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1),ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+1,
　ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+2,ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+3}
のようになる。

書いた後で気づいたが、>>168の「β_0, β_1∈A(α)」は「β_1∈A(α)」に変えても問題ない。

180 ：１３２人目の素数さん：2011/02/14(月) 21:45:38

>>167
> 既に作った巨大関数には、それに対応する順序数が存在している。

関数と順序数を厳密に対応づけることは非常に難しい。
Hardy関数が3種類あることや、
複数の順序数に対応するHardy関数にまたがって無限回振幅するような関数の存在、
順序数に複数の表記が存在しその表記ごとに収束列が定義されるような収束列の定義、
......
などいろいろがるが、
一番の問題はやはり収束列の定義方法によって大きく増大度が変わってしまう点である。

幸い、今まで出てきた収束列の定義では、
Hardy関数の大きさは大差ない。
普通に収束列を定義するならば、
収束列によらずに、同じ順序数であればほとんど同じ増大度の関数になるのだ。

ところが、この「普通」の定義が難しい。

>>168 の 「α＜β⇒H[α]＜H[β]」という条件は普通であることの必要条件の１個と思われるが、
これだけでは「普通」を定義する条件としてはまだまだ足りない。
実際、H[ω](n) > BB(n) というようにすることもできてしまう。

181 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 03:00:37

ここで言う「普通」と正規な (canonical) は同じことなの？

182 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 19:10:45

> H[ω](n) > BB(n) というようにすることもできてしまう

これって何か問題なのか？

183 ：１３２人目の素数さん：2011/02/15(火) 19:48:22

関数の増加度と順序数を対応付ける為には
そういう不自然な収束列では都合が悪いってことよ

184 ：１３２人目の素数さん：2011/02/18(金) 18:29:06

アキレスとカメって、実は観測問題なんだよね。
アキレスとカメの距離が小さくなるというのは、亀の位置が正確に判るということだから、
不確定性原理により、その時の亀の動く速さはわからない。
亀の速さがわからない時はアキレスの速さもわからないので、アキレスは亀に追いつけるかわからない。

>>151の場合は、クマが止まれば追いつけるんだけど、クマが止まった時のシカの位置がわからないんだよな。

185 ：１３２人目の素数さん：2011/02/19(土) 16:59:21

>>184
「アキレスが亀に追いつくとき、
　それ以前に亀がいた位置を全て通過している」
というのは、自明だと思うが、何が気に入らないのか？

186 ：１３２人目の素数さん：2011/02/19(土) 18:50:21

>>185
上で言ってるアキレスとカメは、亀の速さはアキレスの何分の1だが、アキレスは亀に追いつけない。って定義の奴の事だろ。

187 ：１３２人目の素数さん：2011/02/19(土) 19:03:18

うさぎがいくら速くたって、ゴール寸前のカメに勝てないのは自明だよね。

で、問題の巨大数は観測した回数の事だから、寝てたうさぎは論外だな。

188 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 01:02:50.97

アキレスとカメやウサギと亀やクマとシカの話が
大きな実数に結びつくとはとても思えないのだが

つまり、スレ違い（もしくは板違い）

189 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 02:11:04.71

>>188
では、不等号をつけてくれ。
どの数より小さいことは言えるんだ？

190 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 04:40:23.01

無限ループを持ち出して、このループ回数は巨大数だ、と言う馬鹿↑。

191 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 05:02:47.01

どうして無限ループになるんだよ。
少なくとも先にいる方が休んでいれば追いつくことは幼稚園児にでも自明だろ。

192 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 06:02:15.70

無限数列を持ち出して、無限数列の和が収束するから有限数列だ、と言う馬鹿↑。

193 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 06:16:55.04

>>192
無限を証明しろよ

194 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 07:40:22.58

ユークリッド空間、ニュートン力学の世界、
双方が同じ直線上を同じ方向に異なる速さで等速直線運動、
スタート時には速い方が遅い方より後ろにいる、
ゴールする前に速い方は遅い方を抜いた、
という条件であれば答えは無限、
それ以外であれば定義をちゃんと書け

195 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 07:45:30.62

>>194
ありえない。

196 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 08:36:53.28

>>195
証明してみろよｗ

197 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 08:59:53.38

できるだけなめらかにと指定されているので等速直線運動ではない。
微細距離を扱うのにニュートン力学はちょっと、、、

198 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 09:09:26.43

「なめらか」とか意味不明、定義してみろ。

まあ証明も定義も無理だろうけど。

199 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 09:17:19.38

覚えたてのゼノンのパラドックスが不思議でしょうがないんですね＾＾

200 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 09:38:20.45

なめらかはなめらかだろう。
そもそも、できるだけと言っているんだから正確な所はなめらかではない。
可能な範囲でということだろう。

201 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 09:47:06.52

小学生みたいだな。

202 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 10:03:40.14

まあ、ニュートン力学とか言ってるんだからそうなんだろうな。

203 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 10:08:14.53

定義すら出来ないゴミの話題はもう止めよう。

204 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 10:10:28.36

定義はされてるだろ。解釈できる範囲は決まっている。

205 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 10:14:58.36

┐(´ー｀)┌

206 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 10:18:29.14

なめらかって日本語を知らないの？

207 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 11:24:29.78

┐(´ー｀)┌

208 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 23:17:06.63

初音ミクを定義しろと言われたら音声合成式を公開しなければならないのだろうか？

209 ：１３２人目の素数さん：2011/02/20(日) 23:29:44.64

正確な動きが不明であれば
アキレス数の値（もしくは存在）は不明である

210 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 00:26:22.01

>>209
定義の範囲で自由に動いていいんじゃないか？

211 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 00:48:00.24

>>188
結局の所、ビジービーバーの一種って事に落ち着くのだろうか？

212 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 06:09:20.65

妄想乙

213 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 08:26:27.74

なにを言っているんだ？
巨大数なんてどう考えても妄想そのものだろ？
実在させる方法はあるのか？

214 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 08:29:42.17

せいぜい指数関数

215 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 11:53:39.06

せいぜい対数関数だろ。

216 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 22:48:51.49

こんなのはどう？
A f nをfをn回適用する関数とし
pを1足す関数とする←増加のための基本関数はこれに限ることにする

A p n = +n
A (A p n) n = *n
A (A (A p n) n) n = ^n
ここで、A (A (A (A f n) n) n) nと考えていけばさらに大きい数は作れるが
A' f n = A (A f) nとすれば、その考え方自体はAを使って表現出来るため
このアイデアはAの範囲で閉じている
同様にB f nを(f f)をn回適用する関数とすれば
B p n = 2^n
などが考えられ、それらが閉じているかなどを調べる
多分パターンは多数作れるが
どんなパターンもある種の基本的増加パターンの組み合わせで表すことが出来るのか？
などの疑問が出てくる
このやり方は、直接的に構成出来る関数のみで
「?の性質を満たす最小の数」といった宣言的？な関数は表現出来無いのが弱点

217 ：１３２人目の素数さん：2011/02/21(月) 23:07:23.23

上のAを仮に増加関数Aと呼ぶことにすると
Knuthのタワー表記はAのみの範囲で閉じてるので
Knuthタワー∈Aとなる
コンウェイのチェーンはAに収まっているかわからないが、
(何らかの変形でAに収まるかもしれない)
冪やAckermannはAの範囲に収まっていないので
別の増加関数を加えて考える必要がある
それと上のB f nはfn+1=(fn fn)という合成をn回繰り返す関数、の誤り

218 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 00:56:23.93

>>216
p(x) = x +1
(A p n) x = p^n (x) = x +n
{A (A p n) n} x = (A p n)^n (x) = x +n^2
[A {A (A p n) n}] x = {A (A p n) n}^n (x) = x +n^3

219 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 09:59:07.21

間抜け関数と名付けよう。

220 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 18:37:59.64

表記が怪しいのはともかく
言いたいことは何となく伝わらないだろうか
変な所は218とか詳しそうな人に任せるとしてλ式で。

fをn回適用するもの自体を整数に対応させる。チャーチ数=間抜け関数
1=λf x.f x
2=λf x.f (f x)
3=λf x.f (f (f x))
+1=λnfx.f(nfx)
a+b=λabfx.b f (a f x)
a*b=λabfx.b (a f) x
b↑a=b^a==λabfx.a b f x = λab.a b = 1
b↑↑=λab.b (b a) = 2
b↑↑↑a=λab.b (b (b a)) = 3
このようにタワー表記はfをn回適用する関数Aそのものと自然に対応する
2↑↑2
=(λab.b (b a)) 2 2
=(λab.b (b a)) (λab.b (b a)) (λab.b (b a))
=λfx.f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f x)))))))))))))))
=16

221 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 19:09:21.77

算法騎士団はミミズ何匹の夢を見るか？

222 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 19:21:33.93

1>x>0 の時の 1/x のうちの最大の数。

223 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 20:08:21.52

>>220
> 言いたいことは何となく伝わらないだろうか
ムリ
わかんない

>>222
そんなものは存在しない。

224 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 20:14:34.79

わからないのに偉そうな奴が居るな。

225 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 21:56:06.92

もうちょっと整理。
ある高階関数Xをfに繰り返し適用して作られる関数全体をClosure(X,f)とし
これによる同値類で巨大数を生成する関数(のうち、帰納的に作れるもの)を分類しようとしている
p(x)=x+1、A f n=fをn回合成として
+,*,^,Knuthのタワーなどは全て同じクラスClosure(A,p)に含まれる
>>220ではX=チャーチ数の一種、pは後者関数と呼ばれているもので
このチャーチ数の作り方に対してはλnfx.f(nfx)

pは好きに選べるので、例えば
Ack(n)=Ack(n,n)とすると、Ack(Ack(n))やAck(Ack...(Ack(n)))みたいな作り方の高階関数は
上のAを使ってClosure(A,Ack)としてまとめて表せる
pはp(x)=x+1に固定し、Closure(X,p)を単にClosure(X)と表すことにして
既存の巨大数を生成可能なXの種類について調べる、みたいなアイデア

226 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 22:15:34.04

その閉包はちゃんと"閉じる"のかねぇ。

227 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 22:34:30.55

Closureが生成する関数がちゃんと定義されるかということなら
特に何も制限してないのでXとfの性質を受け継ぐとしかいえない
fがtotal functionであれば
Aは自己適用するだけなので
Closure(A,f)が含む関数が全てtotal functionなのは明らかだが
それはXの性質次第
既存の関数を分類するのには問題ないんじゃないかと思ってるけど。

228 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 23:02:31.10

>>223
逆数が零ではない最大の実数　は存在しないってこと？

229 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 23:21:32.76

> ある高階関数Xをfに繰り返し適用して作られる関数全体をClosure(X,f)とし
f : [整数たちから整数への関数]、
X : 『[整数たちから整数への関数]たちから[整数たちから整数への関数]への写像』
でいい？
f : [非負整数から非負整数への関数]
X : 『[非負整数から非負整数への関数]から[非負整数から非負整数への関数]への写像』
に限定しても実質同じ？
『繰り返し適用』ってのは定数回数適用で良い？

たとえば、
X(f) = f^2 とすると、
Closure(X) = { f(x) = x + 1, f(x) = x + 2, f(x) = x + 4, f(x) = x + 8, ..... }
で良い？

X(F[ある順序数]) で F[ある順序数 + α] 相当の関数ができるとすると、
F[0] に X を定数回数用いても F[α*ω] には到達しないから、
Closure(X) の上限は F[α*ω]
で良い？

230 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 23:25:47.66

>>228
当たり前だ。
実数の逆数は（存在すれば）零じゃないから
単に「最大の実数が存在しない」と同じ意味になる
すべての実数a に対し a+1という実数が存在し a < a+1 となる
だから最大の実数は存在しない

231 ：１３２人目の素数さん：2011/02/22(火) 23:45:22.35

>>230
>>1
＞大きな実数を探索するスレッドです。

232 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 00:46:54.82

>>229
f:a -> a
X:(a -> a) -> (a -> a)
が頭にあったので最初2つにYesと答えようとしたのだけど
そうすると既存のAがうまく扱えない(既存のAは(a -> a) -> 自然数 -> (a -> a)であるので　)
ので、また整理して書く

整理したものには、別名を付けるので
既存のClosure(X,p)については229さんの理解した内容でOK
そして、定数回の繰り返しかどうかについては、
順序数を取り扱いやすいように好きに決めてもらってOK
(順序数は勉強中なのでむしろ教えてほしい)

とりあえず今日は寝る

233 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 06:49:48.99

近代の情報が知りたいな
今一番でかいのはF4？F5？F6？BB？

234 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 08:03:54.71

>>229
つづき

+,*,...は2入力の関数なので閉包に与えるfも2入力である必要があったため
2入力の関数に対する閉包を同様にClosure2(χ,f)とし
最初の版のpに相当するものを通常の足し算として同様にClosure2(χ)=Closure2(χ,+)とする
X∈χは(a->a->a)な関数を受け取り、(a->a->a)な関数を返す高階関数となる

220で考えたものは自然数nでパラメータ化されているので
X: (a->a->a)->自然数->(a->a->a)な関数で
この考えをHaskellで書くと
xa f n = if n==1 then f else xa (＼x y -> foldl1 (＼acc x -> f x acc) $ replicate y x) (n-1)
closure = map (xa (+)) [1..]
first5 = map (＼f->f 2 3) $ take 5 closure

この結果は
[5,6,8,16,65536]
これはClosure({xa},(+)))の最初の5つに2と3を渡した場合の結果で
それぞれ2+3/2*3/2^3/2↑↑3/2↑↑↑3に対応する
6番目は計算が終わらなかった

235 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 08:11:26.28

(2^2)^2=16なのでコードはfoldl1→foldr1の誤りかな
質問への回答は帰ってきてからまた

236 ：１３２人目の素数さん：2011/02/23(水) 22:50:32.05

>>234
それ止まりだと単なるハイパー演算子なので、
さらに大きな数を作れるようなXの具体例を考えなくては。

237 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 00:27:32.55

>>233
●厳密に定義出来ている（もしくは簡単に出来る）ものの中での最大は、
計算不可能次数が0^[大きな帰納的順序数]であるオラクルを持つマシンによるビジービーバー関数

●厳密に定義するのは難しいが頑張れば定義できるであろうものの最大は、
計算不可能次数が0^[大きな可算順序数]であるオラクルを持つマシンによるビジービーバー関数
もしくは、
F[大きな可算順序数], H[大きな可算順序数], G[大きな可算順序数]

●アルゴリズムが具体的に示されているものの最大は、
F[大きな帰納的順序数], H[大きな帰納的順序数], G[大きな帰納的順序数]

--------
大きな帰納的順序数（収束列の定義やそれを求めるアルゴリズムまで示されている物）は
>>102 が最大

大きな可算順序数も >>102 に示されているものが使える
帰納的ではない可算順序数の収束列の作り方は、
>>7-267 で示されているような方法が使えるはず

238 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 00:39:51.17

>>229
最初2つはYes。
順序数でもいいので、比較関数を含めてClosure(X,f,<)などとしてOK
3つめはNo。↓にあるように無限リスト。加算個
4つめはYes.↓の実装にサンプル
5つめはまだわからないが
計算機ではω自体は扱えないような気がする
http://en.wikipedia.org/wiki/Domain_theory
このあたりがプログラム言語と数学の接点
半順序と、再帰関数をうまく扱うために最小不動点なるものを使うらしい

コードを再度整理
--Xに相当
--fを2回合成
f2 f = f.f
--2引数関数fをy個のxに(y-1)回適用
x1 f x y =foldl1 (flip f) $ replicate y x

closure x f = scanl (＼acc i -> x acc) f [1..]
c1 = closure f2 ((+)1) --Closure({f^2},p)
c2 = closure x1 (+) --Closure({x1},+)
test f cl= map f $ take 5 cl
result = [test ($0) c1,test (＼x->x 2 3) c2]
--結果[[1,2,4,8,16],[5,6,8,16,65536]]
--[1,2,4,8,16]はClosure(f^2,p)の先頭5つに0を適用した結果

しばらくは、過去スレの成果に追いつくことを目標に。
>>234
次はコンウェイのチェーンをやってみる

239 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 00:53:36.55

アンカーミスった、>>236
その前に、ハイパー演算子ってのもあるのか

>>237が言っていることはほとんど理解出来無い・・
ビジービーバーまでは理解したい

成果物の型のアノテーション
f2 :: (c -> c) -> c -> c
x1 :: (Int -> Int -> Int) -> (Int -> Int -> Int)
closure :: (a -> a) -> a -> [a]
--fが1引数::((a->a)->(a->a))->((a->a)->[(a->a)])
--fが2引数::((a->a->a)->(a->a->a))->((a->a->a)->[(a->a->a)])
--fがn引数ならn個の->を使ってa:=a->a->..->aと置き換え

240 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 07:47:28.54

コンウェイのチェーンで作れる関数は結局タワーの繰り返しになるので
Closure2(x1,+)に既に含まれていた
ハイパー演算子は含まれない(後者関数を含んでないため)

元のClosureはあまり役に立たないので
色々な関数を入れたり演算子を折りたたんだものを入れたりして
それらの合成を考える
A,BをClosure,Xを2つの関数を合成する高階関数とし
Mix(A,B,X)={ X(f,g) | f∈A,g∈B}とする

mix f a b = aux a b 1
where aux a b c =
f (zip (take c a) (reverse $ take c b)) ++ aux a b (c+1)

ところで、人工的に作られたのでない最も巨大な数って
有限単純群のモンスターかな？

241 ：１３２人目の素数さん：2011/02/24(木) 08:01:25.93

＞すべての実数a に対し a+1という実数が存在し a < a+1 となる
これってどこで保証されているの？

242 ：１３２人目の素数さん：2011/02/25(金) 22:49:11.44

>>238で作ったx1について
+を繰り返して演算子を作ると、冪から演算が非可換(2^3≠3^2)になるため
どちら側からたたみ込むか、というのが巨大数を作るのに影響してくる((3^3)^3<3^(3^3))

x1の作り方を細分化すると4パターン(A/B)個の(B/A)を(左/右)から合成)
x1lr f x y =foldl1 (flip f) $ replicate y x
x1ln f x y =foldl1 (flip f) $ replicate x y
x1rr f x y =foldr1 (flip f) $ replicate y x
x1rn f x y =foldr1 (flip f) $ replicate x y
うち2パターンは2入力の大小に対し対称

closure x f = scanl (＼acc i -> x acc) f [1..]
xlist = [x1lr,x1ln,x1rr,x1rn]
pclosure = flip closure (+)
--[[5,6,8,16,65536],[5,6,9,27,19683],[5,6,8,16,256],[5,6,9,27,?]]
result23 = map (map(＼x->x 2 3).(take 5).pclosure) xlist
--[[5,6,9,27,?],[5,6,8,16,256],[5,6,9,27,19683],[5,6,8,16,65536]]
result32 = map (map(＼x->x 3 2).(take 5).pclosure) xlist

19683=3^(3^2)
65536=2^(2^(2^2))
?=7625597484987=3^(3^3)
冪は天下り的に右結合とするのが多いと思うが
冪に相当する演算の結合性はx1の作り方で決まり
作り方によっては左結合よりも右結合のほうが大きくなるとは
限らない模様

243 ：１３２人目の素数さん：2011/02/25(金) 23:54:00.99

>>241
順序体の公理と0≠1から導ける

244 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 00:25:03.02

最大の有限体は存在するの？

245 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 07:57:51.91

>>244 素数pに対しZpが作れるんだから最大が存在したらおかしい

λの世界のモンスター
K(λab.a)とS(λabc.ac(bc))の2つは
ヒルベルト流の命題論理と対応している
k :: a -> b -> a
s :: (a -> b -> c) -> (a -> b) -> (a -> c)
関数適用(Apply)はModus Ponensに相当する

これをSのみに制限して研究した人がいて
その中でも正規形に到達するのに巨大なリダクション列を持つものを
モンスターと呼ぶそう
ttp://www.imn.htwk-leipzig.de/?waldmann/
Part II: The Combinator Sの部分のpsファイル
一例として、T=SSとしてSTSTSは少なくとも10^6回はReductionが必要らしい
出来上がった関数を使ってClosure(CL(S),p)とかを考えてもあまり意味はないと思うが
psに載ってるCL(S)の漸化式のnに対するReduction回数は結構な増加速度の関数を生成しそうな予感
ただ、元が全て関数なので計算が難しい→評価が難しい

246 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 08:22:17.64

比較できるのに最大が無いってどういうことなんだろう？

247 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 09:58:59.15

単に終わりがないってことじゃん。

248 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 10:53:42.55

リンゴが入った袋が沢山あります。
でもこの中にリンゴが一番多く入っている袋はありません。

…おかしくね？

249 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 11:06:31.00

一番多く入っている袋を取ったら、もっと多く入っている袋を補充すればいいじゃん．

250 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 11:12:09.11

その袋はどこに隠していたの？

251 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 12:19:48.59

リンゴの袋一つに人間を一人付けます。
笛を鳴らして一斉に一つ取り出させます。
リンゴが無くなればそれ以降の笛で一歩ずつ歩かせます。
横に居た人が歩いたら手前につめます。
元の位置に居る人間が居なくなった時、一歩進んでいる手前の人に、何個だったか聞きます。

これでどうなの？

252 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 12:31:50.39

訂正、元の位置というか、手前につめているからゼロ歩目の位置だね。
つめなければそのままでいいけど。

253 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 16:30:08.34

数論では実体を考えるとパラドキシーなことが多いよ。
無限に部屋数のあるホテルの話とか聞いたことない？

254 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 18:19:58.99

比較可能ってことは選択公理が使えるって事じゃないの？

255 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 18:36:04.91

リンゴ袋の数は知らないけど、袋にはいっているリンゴは有限である場合、いつかはリンゴは無くなる訳だよね？
笛はいくらでも鳴らせるけど、リンゴは数えられる。

256 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 19:11:30.87

ふぃっしゅ数は「63」って数字がよく使われてるけど
何で「63」なんだ？
初代ボスのグラハム数は「64」なのに

257 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 19:12:39.36

結局、このスレで言う巨大数って、逆数はリシャール数だよね？

258 ：１３２人目の素数さん：2011/02/26(土) 20:16:11.47

結局>>251-252のリンゴの数って最大なの？　それともどこかで間違っているの？

259 ：１３２人目の素数さん：2011/02/27(日) 18:15:45.97

前スレで散々順序数って何だYOって言ってた輩です。
口調が汚いのにも関わらず優しく教えていただいて感謝しています。

ですが一向に解る気配がないのです。
順序数はグラハム数、バード数、ふぃっしゅ数1、2、3とは違う次元にあるようですね。
数学が得意だと図に乗っていたのが恥ずかしいです。

260 ：１３２人目の素数さん：2011/02/27(日) 20:36:44.65

無限小数同士の比較は、有効数字だけ見ればいいんだよ。

261 ：１３２人目の素数さん：2011/02/27(日) 20:37:52.86

>>259
Wikipediaなんかの説明では、俺も分からなかった。

自然数が(ペアノの公理によって)ゼロと後者関数の定義で構成されてるなら、
順序数は、ゼロと後者関数と、上限によって定義されてるって印象。

上限をとる操作によって自然数の枠から飛び出せる感じ。
印象だからたぶん間違ってるけど。

262 ：１３２人目の素数さん：2011/02/27(日) 20:43:47.65

超限順序数だなんだと言ったって、頭に小数点を付けたら単なる無限小数なんだぜ。

263 ：１３２人目の素数さん：2011/02/28(月) 20:38:42.02

Wikipediaの順序数の説明なんか読んだら余計わからなくなるぞ。
英語版なら多少はマシだが。

ω, ω+1, ω+2, ...
ω*2, ω*2+1, ω*2+2, ....
ω*3, ω*3+1, ω*3+2, ....
ω*4, ω*4+1, ω*4+2, ....
ω*5,
ω*6,
ω*7,
.....
ω^2
ω^2 + ω
ω^2 + ω*2
ω^2 + ω*3
.....
ω^2 *2
ω^2 *3
ω^2 *4
.....
ω^3
.....
ω^ω

と順番に理解していけばいい。
とりあえずの目標はカントール標準形
とりあえずはそこまででいい

264 ：１３２人目の素数さん：2011/02/28(月) 21:24:47.48

自然数であって実数ではない超限順序数は成立しうるか？

265 ：１３２人目の素数さん：2011/02/28(月) 21:37:14.82

>>257
自然数の逆数はすべてリシャール数

>>264
超限順序数は自然数ではない

266 ：１３２人目の素数さん：2011/02/28(月) 21:43:50.35

整数であって実数ではない数は成立しうるか？

267 ：１３２人目の素数さん：2011/02/28(月) 22:16:01.82

結局、ω-1って何なんだ？

268 ：１３２人目の素数さん：2011/02/28(月) 23:01:48.10

可算無限集合はクリスプ集合だろうか？

269 ：１３２人目の素数さん：2011/02/28(月) 23:24:35.63

虚数部が空である複素数は不自然な数である。

270 ：１３２人目の素数さん：2011/03/01(火) 10:40:17.43

戦争なんかやめて
どの国が一番大きな数を作るか競えばいいのにね

271 ：１３２人目の素数さん：2011/03/01(火) 21:32:17.56

>>266
整数⊂実数

>>267
ω-1 は存在しない

>>268
クリスプ集合じゃない可算無限集合もあるかもしれない

>>269
意味不明

>>270
負けたら日本の国土がなくなっても良い？

272 ：１３２人目の素数さん：2011/03/01(火) 21:39:07.97

自然数というのがそもそもおかしいんだよ。
揃った数は自然には存在しない。

273 ：１３２人目の素数さん：2011/03/01(火) 21:44:20.88

国敗れて山河あり。算法破れて無限あり。

274 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 05:37:18.00

>整数⊂実数
ちゃんと定義から導いてよ。
っていうか成立しうるかという話なんだから、整数は広義、実数は狭義の定義を持ってきてね。

275 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 06:19:33.44

>>274
なんでそんなに偉そうなんだよw
教えてほしいならyahoo知恵袋でお願いしてみろよ
なんにしてもスレ違いだ

276 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 06:30:34.12

>>275
じゃあ成立するってことね。　別に否定したくなければいいのよ。

277 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 07:09:24.31

結果だけ書いた275を否定してるのはどう見ても274のほう

278 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 07:25:40.14

>>277
ん？否定できなくていいの？　だとすれば巨大数を定義する時にいちいち実数か調べる必要がでてくるね。

279 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 08:13:17.24

>>272
言葉がおかしいものは世の中にたくさんある。
が、数学会に広まっているごく一般的な用語だ。
あきらめろ。

>>273
?

>>274
実数の部分集合 {....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....} と実数の演算(+,×)、順序(<)は整数の公理を満たす。

もちろん、実数と整数の元を別のものと考えて直和をとれば 0_実数 ≠ 0_整数 とも出来る。
この場合、この直和は実数の公理も整数の公理も満たさない。

>>276
> じゃあ成立するってことね。
この理論がわからない。

>>278
実数と整数の元は別のものと考えたとしても、
整数から実数への対応が簡単なので無問題。

280 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 08:14:01.52

2<1.0という主張かい？

281 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 08:15:14.90

280は>>278宛

282 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 08:52:54.41

>>279
その実数の部分集合が全ての整数を含むかわからない。
否定されなければ仮説は成立したままだ。

283 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 19:49:33.69

>>282
整数の公理を満たす集合は同型を除いて一意に定まるから、
部分集合が公理を満たすなら整数と同型。
つまりモレが無い。

任意の正整数は1+1+....+1 の形であらわせる。
これはこのまま実数の1+1+....+1 に対応する。

0は整数であり実数でもある。
nが整数であり実数でもあれば、
n+1も整数であり実数でもある。
数学的帰納法によりすべての非負整数は実数である。

0は整数であり実数でもある。
正整数の空でない任意の部分集合には最小元が存在する。
実数ではない正整数が存在すると仮定し、その最小元をaとする。
この時a-1は0であるかaより小さい。つまりa-1は実数である。
任意の実数に1を加えたものは実数なので、(a-1)+1=aも実数である。
これはaの条件に矛盾する。

284 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 21:11:14.01

>>283
公理は、既知の数において否定された事がないというだけの話であるから、未知の数に対しては神話に対応する。

つまり、1+1が整数と実数で同じ数と言えても、未知のnに対しn+1が同じ数というのは予想。

285 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 22:17:35.27

帰納的に全て証明されるだろ。

286 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 22:44:38.62

>>285
最大がわからないから無理。

287 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 22:47:02.96

なんだ、こないだからずっと最大最大いってるヤツか。お前に理解は無理。

288 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 22:51:48.75

>>287
理解が無理であれば、実在性は否定できる。

289 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 23:02:28.89

>>284
> 公理は、既知の数において否定された事がないというだけの話であるから、
君は巨大数に手をだす前に公理の意味を理解した方が良い。

290 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 23:06:06.06

>>288
君が理解することが出来ないという理由で実在性を否定出来るのは
君の頭の中での実在性だけ。
理解出来ている人の頭の中の実在性を否定出来ない。

291 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 23:16:37.80

>>290
頭の中にしかなければ数ではない。

292 ：１３２人目の素数さん：2011/03/02(水) 23:23:24.43

>>289
公理の公は広く知られているということ、知らないものは扱えない。

293 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 00:08:46.83

123の世界では最大値というのは誰でもわかる値なのに、
n+1,n+1+1,n+1+1の世界ではそれが存在したらおかしいと言われる。

つまりこの二つの世界は違う。

294 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 00:10:29.37

訂正
＞n+1,n+1+1,n+1+1の世界ではそれが存在したらおかしいと言われる。
n,n+1,n+1+1の世界ではそれが存在したらおかしいと言われる。

295 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 20:36:53.45

ふぃっしゅ数V1もV3理解できたのにV2が理解出来ない
V2(　゜Д゜)ツヨスギ

296 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 21:29:03.54

>>291
数の定義と
頭の中にしかなければ数ではないという証明をよろしく。
もちろんたくさんの人が理解できる物を。

>>292
整数の公理、実数の公理は広く知られているし、
公理が広く知られている必要もない。
実際マイナーな公理もたくさんある。
数学以外の公理の話をしたいなら板違い。

>>294
実数や整数の世界では
n, n+1, n+1+1 の中ではn+1+1が最大値。

有限個の全順序集合の中では最大値が存在する。
無限個の全順序集合では最大値が存在しないかもしれない。

297 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 21:42:39.77

>>296
頭の中のものをどうやって数えるんだ？
数えられないものは数ではないのは自明。

広く知られていると言う割に、このスレに出てこないのは不思議だね。
n+1を扱う公理はともかく、n+1+1を直接扱う公理は知らないな。

298 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 21:46:57.72

>>297
> 頭の中のものをどうやって数えるんだ？
> 数えられないものは数ではないのは自明。

数えられないと言うことの証明をよろしく。

299 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 21:48:52.74

>>297
> 数えられないものは数ではないのは自明。
私には理解できない。
証明おねがい。
君の頭の中だけで理解しても証明じゃない。

> n+1を扱う公理はともかく、n+1+1を直接扱う公理は知らないな。
君が無知なだけ。

300 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 21:51:37.59

一兆もルート２も数えられない。

301 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 21:52:24.59

>>298
数えられるという証明をよろしく。

>>299
理解できないという証明をよろしく。

あと、無知というなら、その公理の名前をよろしく。

302 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 21:56:04.21

>>301
> 数えられないものは数ではないのは自明。
これを証明したら教えてやる。

303 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:00:01.61

>>302
数という漢字がその性質を意味するから。
もし数えられなかったら数のことを非数とか言わなければならないから。

304 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:10:33.11

>>301
お前の言う「頭の中にしかない数」の定義をよろしく。

305 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:16:03.68

>>304
>>290の定義を教えて。

306 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:18:04.95

>>303
ポエムじゃなくて証明を聞いてるんだが。

307 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:18:19.92

アスペ君は自殺でもしてろよ。

308 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:21:07.28

自明の証明だろ？
数という文字自身が数えられると主張しているじゃないか。

309 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:21:32.97

まったく証明になってない件

310 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:23:30.19

自明の意味を知らないってこと？
数は数を知っているから自明、あなたが数を知らないなら自明じゃない。

311 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:24:09.01

>>305
「>>290の定義」？　意味不明。

312 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:27:13.99

>>311
「頭の中の実在性」の対象は無数にあるだろうけど、>>290が話題にしているのは数なんだよね？

313 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:31:11.69

>>310
１兆は数なのか数じゃないのか？
１無量大数は数なのか数じゃないのか？
ルート２は数なのか数じゃないのか？
複素数は？
４元数は？
順序数は？
基数は？

314 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:33:04.66

>>313
そこが問題なんじゃないの？
数に何かを加えたモノが数がどうか。

315 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:33:59.10

数えられるもののみが数であったのは遥か昔の話。

0、負の数、虚数、
いずれも数と認めない方が多数派であった時代もあった。

316 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:38:36.13

>>315
一枚足りないって四谷怪談の幽霊だって数えているじゃないか。

317 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:40:42.97

>>310
証明の意味を知らないってこと？

318 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:42:06.37

>>317
漢字の意味ってこと？

319 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:48:47.31

>>315
今話題にあるのは自然数だろ。

320 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:53:31.70

>>319
なんだよ、
「ぼくちんの数えられる範囲の自然数以外は数じゃない」
くらい言い切れよ。
煮え切らんやつだなあ。

321 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:54:19.31

つまり3まで？

322 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:56:44.83

表現できれば、頭の中だけとは言えなくなるんじゃないか？

323 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 22:58:57.22

>>288 は、
自分が理解できないものは数じゃない
と主張してる。

324 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 23:07:57.87

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0

325 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 23:11:12.81

>>323は>>288ではないと主張してみる。
内容が等価であるかはとりあえず言及しない。

326 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 23:28:12.96

適度にスルーしたらいいと思う
さて置き、体をどう考えるかってのはあると思う
複素数は順序集合にならないとあるが(wikipediaの順序集合)
順序数の定義域には複素数は持って来れないという理解でいいのかな
一つのωでは、複素数の極限の発散方向が
無限にあることを表現できないように思うし

それとも、辞書式順序etcを入れれば
直感的な順序とはならなくともそれでOKという感じなのだろうか

327 ：１３２人目の素数さん：2011/03/03(木) 23:48:18.79

>>321
日本語的には単数（私、あなた）以外はファジイな集合的なもの（我々、貴方達）として表現するんだよな。
その代わりなのか、一本でもにんじん、二足でもサンダル、とタイプが沢山ある。

328 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 08:38:30.22

俺もこのスレ見て関数を作ってみようと思ったんだけど
洗練に洗練を重ねて結局多変数アッカーマン関数になったでござる
何が言いたいかというとアッカーマン氏は偉大

329 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 09:00:21.33

そういえば年表にするとどうなるんだろ？

330 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 13:22:01.72

>>328 うろ覚えだから自身ないが、クリーネが
多変数のものは2変数に変形出来るっていう定理を証明してたような

331 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 17:38:12.32

巨大数論には
N = ↑G(3,3,4)

巨大数研究室には
N = ↑G+1(3,3,4)

と書いてあるんだけど
N = ↑G+1(3,3,4)
が正しいよね？

332 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 17:38:58.04

そりゃ順序数なら可能なんじゃないの？
立方体の面積を表す3変数の関数の中身が乗算みたいなもので、
結局巨大数の関数なんて分数を小数にする関数とどう違うんだ？

ただ実数の順序ってのもよくわからないんだよな。
0.99..と1と1.00.. って見た目では順序が決まってるけど、分数にすれば同じになるなら同値なんだよな？
だったら順序集合にはどれか一つしか存在できない筈
でもそれじゃ単射にならないからもともと一つだったのか、そもそも単射が無理なのか、どっちなんだ？

333 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 18:57:10.33

順序数じゃなくても多項式とかでも良いし、
エンコーディングすれば1変数自然数でも可。
変数を減らすことが目的じゃなく、
どれだけ単純に大きな数を作れるかを目的にしないと。

334 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 19:26:10.81

結局、複雑な構造の数が大きな数とはわからないのが巨大数の問題なんだよな。

335 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 19:53:39.27

今まで出てきた数は大きさの比較が出来てると思うけど。
まともに定義できてない数や未解決問題に絡むのは除いて。

336 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 20:20:19.82

>>335
同値の数の順序はどうするの？

337 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 21:38:24.20

同値って必要十分条件のことだぞ

同じ値という意味なら、
同じ値ということが分かるってことは比較出来てるってこと

338 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 21:40:41.22

じゃあ複素数は比較できるね。

339 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 22:08:03.82

は？
なんで突然複素数？
実数の巨大数の話だぞ。
複素数は全順序集合じゃない。

340 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 22:14:23.43

全順序集合：
任意の２つの値の大小比較が出来る
a<b, a=b, a>b のどれか1個になる。

半順序集合：
大小比較が出来るかもしれないし、出来ないかもしれない
a<b, a=b, a>b のどれか1個になるか、またはどれにもならない

自然数、整数、有理数、実数、順序数、基数は全順序集合
複素数は通常は全順序集合じゃない
（暗黙の全順序関係は定められていない。）
複素数に対して順序を定義して全順序集合にすることはできる

341 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 22:16:05.76

順序数、基数が全順序集合と書いたのはまずかったか。
順序数全体、基数全体は集合じゃない。

342 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 22:44:50.74

マイナスのべき乗をどう扱うかだな

343 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 23:25:40.75

>>327 >>334 >>336 >>338 >>342

この辺の書き込みって
数えられないものは数ではない人と同一人物？
釣りなのか真性なのかわからない。

344 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 23:39:26.23

同一の定義をしないとな。

345 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 23:55:49.25

ただのかまってちゃんか

346 ：１３２人目の素数さん：2011/03/05(土) 23:58:56.29

名前欄をみれば？

347 ：１３２人目の素数さん：2011/03/06(日) 12:21:20.20

>>344,>>346 ぐぐって

348 ：１３２人目の素数さん：2011/03/06(日) 17:23:39.22

巨大数をぐぐるスレはこちらですか？

349 ：１３２人目の素数さん：2011/03/09(水) 23:13:48.38

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/213044.pdf

まとまった定義になってるものでは
今までで一番大きい数だと思います。
（概念だけのものをのぞいて）
関数fの増大度ももちろん最大。（ただし瞬発力は無い）

350 ：１３２人目の素数さん：2011/03/11(金) 22:44:25.12

>> 349
なんでか、ダウンロードできん。
再アップおねがい。

351 ：１３２人目の素数さん：2011/03/12(土) 07:36:28.16

>>350
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org1416067.pdf.html

352 ：１３２人目の素数さん：2011/03/13(日) 13:13:29.48

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/index.html
パート6、7は整理してないし
パート7はOperaじゃないと見れないから
こっち使ってる
http://mimizun.com/log/2ch/math/1163947441/

353 ：１３２人目の素数さん：2011/03/14(月) 15:01:24.98

前スレで順序数、Hardy関数を勉強しろと言われたんだけど
このスレにいる理解出来てる人たちは
どのサイトで勉強したの？

354 ：１３２人目の素数さん：2011/03/14(月) 19:10:52.44

>>353
過去の巨大数スレで
わからないことはこのスレで聞いて教えてもらった

まずは >>263 を理解
それの延長を自分で考えてみる
カントール標準形
ベブレン標準形
と進む

カントール標準形は a+b, ω^a
の2個の演算だけで作れるので、順序数の演算の理解もこの2個だけで良い。
ベブレンも演算の知識はほとんどいらない。

知っているべきことは、
「どんな順序数の集合に対しても、それらより大きい最小の順序数が存在する」
「順序数は、0、a+1の形、極限順序数 の3つに分類できる」
「ハーディーに入れられるような極限順序数は、それより小さい順序数の列の極限（または上限）と表わせる」
「順序数の無限下降列は存在しない（より小さい順序数をとって行けばからなず有限回で0になる）」

順序数を集合論的に扱ったものを最初に見てしまうとワケワカランになるので注意。

濃度、基数、共終数、....
などの単語はいずれ必要になるが、しばらくは知らなくてもなんとかなる。

355 ：１３２人目の素数さん：2011/03/15(火) 13:24:24.55

自分の中のラスボス・ふぃっしゅ数v2を撃破するのも時間の問題です

F2
SS:[m,f,S]→[n,g,S2]
ただし
S2=S^f(m)
nはS2:[m,f]→[n,p]のときのn
gはS2^x:[m,f]→[q,g]のときのg

↓これを用いて

SS:[3,x+1,S]→[n,g,S2]
ただし
S2=S^4
nは[3,x+1]にS変換を4回行ってできた自然数
gは[3,x+1]にS変換を4回をx回行ってできた関数

この「4回をx回」がよく分かりません
g(x)のxが
x=1　S変換を4回行ってできた関数にx=1を代入
x=2　S変換を8回行ってできた関数にx=2を代入
x=3　S変換を12回行ってできた関数にx=3を代入
というふうになるのですか？

356 ：１３２人目の素数さん：2011/04/01(金) 09:44:27.87

俺のせいでレス止まるとか
勘弁して

357 ：１３２人目の素数さん：2011/04/01(金) 21:45:50.07

gは【『[3,x+1]にS変換を4回』をx回行ってできた関数】

358 ：１３２人目の素数さん：2011/04/01(金) 21:54:46.69

ちがった。
ふぃっしゅ氏の定義は数学的に書かれてないから良く分からない。
まあでもバージョン２は発展途上で無理して理解する価値は無い。
ふぃっしゅ数はバージョン５だけ理解すれば良い。

359 ：１３２人目の素数さん：2011/04/03(日) 09:57:32.48

＞ふぃっしゅ数はバージョン５だけ理解すれば良い。

つーか、グッドシュタイン関数を理解しとけばいい。
http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein's_theorem

参考資料
http://en.wikipedia.org/wiki/Fast-growing_hierarchy
http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy_hierarchy
http://en.wikipedia.org/wiki/Slow-growing_hierarchy

360 ：１３２人目の素数さん：2011/04/03(日) 11:01:36.83

>>359
それが理解できるんなら、
あとは >>94 >>97 >>102 と進めば
このスレに出てくる計算可能関数は制覇。

>>111 の順で良いと思う。

361 ：１３２人目の素数さん：2011/04/05(火) 20:32:25.42

このスレで総力上げて
順序数を解説するサイトつくってください

362 ：１３２人目の素数さん：2011/04/06(水) 23:26:46.63

ゆとり特有の他力本願w

363 ：１３２人目の素数さん：2011/04/08(金) 23:54:11.82

(a,b,c)=((a,b),c)=(a,(b,c))
(a,b+c)=(a,(b+c))
(a+b,c)=((a+b),c)
(a:b:c)=((a:b):c)
(a:b+c)=(a:(b+c))
(a+b:c)=((a+b):c)
(a:b,c)=((a:b),c)
(a,b:c)=(a,(b:c))
(a@b+c)=(a@(b+c))
(a+b@c)=((a+b)@c)
(a@b,c)=((a@b),c)
(a,b@c)=(a,(b@c))
(a@b:c)=((a@b):c)
(0@a)=(a:0)=(,)=()={0個の0以上の整数}
(,a)=(a,)=(a)
(a:b+1)=(a,a:b)=(a:b,a)
((a,b):c+1)=(a,b,(a,b):c)
(a+1@b)=(a@b,(a,a@b):b)
#={0個以上の0以上の整数}
N={自然数}
F(a)={a:自然数, F(a):自然数, F(a+1)＞F(a)}

f()=N
f(0:a+1)=F(f(0:a))

if ( #＝() ∧ d＝() ) ∨ ( #≠() ∧ d＞c+1 )
　　f(#,d,c+1:b+1)=f(#,d,c+1@f(#,d,c+1:b),(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b)):b)
　　f(#,d,c+1:b+1,0:a+1)=f(#,d,c+1@f(#,d,c+1:b+1,0:a),(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b+1,0:a)):b)

if ( #≠() ∧ d＜c+1 )
　　f(#,d,c+1:b+1)=f(#,d@f(#,d,c+1:b),c+1@f(#,d,c+1:b),(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b)):b+1)
　　f(#,d,c+1:b+1,0:a+1)=f(#,d@f(#,d,c+1:b+1,0:a),c+1@f(#,d,c+1:b+1,0:a),(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b+1,0:a)):b+1)

364 ：１３２人目の素数さん：2011/04/09(土) 00:18:31.67

たとえば、N=1、F(a)=a+1　の場合

f()=1
f(0)=f()+1
f(0,0)=f(0)+1
f(0,0,0)=f(0,0)+1
f(0:n+1)=f(0:n)+1

f(1)=f(0:f())
f(1,0)=f(0:f(1))
f(1,0,0)=f(0:f(1,0))
f(1,0,0,0)=f(0:f(1,0,0))
f(1,0:n+1)=f(0:f(1,0:n))

f(0,1)=f(1,0:f(1))
f(0,1,0)=f(1,0:f(0,1))
f(0,1,0,0)=f(1,0:f(0,1,0))
f(0,1,0,0,0)=f(1,0:f(0,1,0,0))
f(0,1,0:n+1)=f(1,0:f(0,1,0:n))

f(0,0,1)=f(0,1,0:f(0,1))
f(0,0,1,0)=f(0,1,0:f(0,0,1))
f(0,0,1,0,0)=f(0,1,0:f(0,0,1,0))
f(0,0,1,0,0,0)=f(0,1,0:f(0,0,1,0,0))
f(0,0,1,0:n+1)=f(0,1,0:f(0,0,1,0:n))

f(0,0,0,1)=f(0,0,1,0:f(0,0,1))
f(0,0,0,1,0)=f(0,0,1,0:f(0,0,0,1))
f(0,0,0,1,0,0)=f(0,0,1,0:f(0,0,0,1,0))
f(0,0,0,1,0,0,0)=f(0,0,1,0:f(0,0,0,1,0,0))
f(0,0,0,1,0:n+1)=f(0,0,1,0:f(0,0,0,1,0:n))

365 ：１３２人目の素数さん：2011/04/09(土) 00:35:17.67

f(0:m+1,1)=f(0:m,1,0:f(0:m,1))
f(0:m+1,1,0:n+1)=f(0:m,1,0:f(0:m+1,1,0:n))

f(1,1)=f(0:f(1),1,0:f(1))
f(1,1,0:n+1)=f(0:f(1,1,0:n),1,0:f(1,1,0:n))
f(1,0:m+1,1)=f(1,0:m,1,0:f(1,0:m,1))
f(1,0:m+1,1,0:n+1)=f(1,0:m,1,0:f(1,0:m+1,1,0:n))

という具合になっていきます

N=10
F(a)=Ack(a,a)

とかすればまた凄いことに

366 ：１３２人目の素数さん：2011/04/09(土) 00:40:29.70

とにかくNとF(a)を決定したあと

f(1:n)
f(2:n)
f(3:n)
f(4:n)
.......

と計算していけば多重リストアッカーマンよりは大きい関数にはなっているかと

367 ：１３２人目の素数さん：2011/04/09(土) 11:42:40.51

>>363-366

> f(#,d,c+1:b+1)=f(#,d,c+1@f(#,d,c+1:b),(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b)):b)
この式を使うと、

f(1,1)=f(0:f(1),1,1:f(1))
になりそうだけど、
f(1,1)=f(0:f(1),1,0:f(1))
こうなの？

(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b)):b)
この部分、
(c+1,c:f(#,d,c+1:b)):b)
これの間違い？

(c+1,c+1:f(#,d,c+1:b)):b)
だと
c+1: (f(#,d,c+1:b)*b+b)
これと同じだよね？

368 ：１３２人目の素数さん：2011/04/09(土) 12:50:13.84

定義が長すぎ
1レスに納めろ

369 ：１３２人目の素数さん：2011/04/09(土) 19:45:59.37

定義は >>363 の1レスだけであとは解説だと思う。
ちゃんとした定義になっているかどうかは別として。

370 ：１３２人目の素数さん：2011/04/09(土) 20:19:15.65

＞ゆとり特有の他力本願w

頭の善し悪しは世代とは無関係。
いつの世でも世間の連中の９割９分９厘９毛は無知無能

さあ、リコウな奴は何人に一人か？ｗ

371 ：１３２人目の素数さん：2011/04/09(土) 20:54:50.60

＞数えられないものは数ではない

クロネッカー？

372 ：367：2011/04/09(土) 21:36:02.69

>>363-365
対称性を考えると、4つある『c+1:f(』の部分は『c:f(』じゃなくて『c+1@f(』が正しい？
#＝() の場合の定義が無いけど、#≠() の条件は不要じゃない？
d＜c+1の場合の定義、c+1の数は変わらないで、一番左のc+1より左のcの数が増えるけど、ちゃんと有限回の展開で整数になる？
（たとえば、f(1,2,3)だと3より左に2が複数出てくるけど....）

373 ：１３２人目の素数さん：2011/04/11(月) 22:24:41.69

>>349 からさらに大きくしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/223750.pdf

大きさ的にはおそらく、
>>349 が H[C(1,C(2,0,0),0)]相当、
>>373 が H[C(ω,0,0)]相当、
になると思います。
（CはDmytro氏のAn Ordinal NotationのC）

>>349 で用いていた順序数の概念は使わなくなりましたが、
>>349 の帰納的でない順序数の収束列の定義は今後何かに使えると思います。
>>373 はどちらかというと力技で特記すべき新しい発想は無いです。

374 ：１３２人目の素数さん：2011/05/04(水) 02:02:42.82

>>24のRobert Munafo氏、どこかで見たことがある名前だと思っていたら
「Orion」って20年以上前にあったMacのプログラムの作者だった

380 ： 忍法帖【Lv=11,xxxPT】 ：2011/07/16(土) 16:32:19.97

結局ふぃっしゅ数バージョン6って有限なの？

381 ：１３２人目の素数さん：2011/07/16(土) 20:20:08.62

有限

382 ：１３２人目の素数さん：2011/08/06(土) 11:14:42.43

ネタ切れ乙

383 ：１３２人目の素数さん：2011/08/14(日) 16:58:06.23

高2ですがやはり順序数が理解出来ません
どなたがご享受頂けないでしょうか

グラハム数
ふぃっしゅ数v1
ふぃっしゅ数v3
バード数
は理解できています

384 ：１３２人目の素数さん：2011/08/14(日) 23:01:00.32

>>383
高校の集合は習っている前提で。
（わかり易いように一般に使われるの定義を少しいじってる。）

順序数とは、全順序と推移的という2つの性質をもつ集合。

・集合Xが全順序とは、A,B∊Xのとき、必ずA＝B、A∊B、B∊Aの3つのどれかになること。
・集合Xが推移的とは、A∊B、B∊Xのとき、必ずA∊Xとなること。

例えば順序数を
0＝{}、1＝0∪{0}＝{}∪{{}}、2＝1∪{1}＝{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}、
3＝2∪{2}＝{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}∪{{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}}、....
と定義する。（他にもあり、それらは結局同じになるがとりあえず略）
これは全順序で推移的な集合になってる。（要確認）

このとき、0∊1∊2∊3∊4.....で、
0∊1、0,1∊2、0,1,2∊3、0,1,2,3∊4、.....となっている。
どんなにデカい数、例えば894511110003だとしても、
有限個である限り、大変だろうが{}だけで書けるはず。
ところでこう考えると、自然数の集合Nに該当するものがあって、
0∊1∊2∊3∊4....∊Nで、0,1,2,3,....∊Nとなっているものがあるはず。
ところが、自然数は無限個あるので永久に到達できない....。
それでもNは全順序で推移的なので順序数にはなる。
つまりNは{}を使って具体的に書けない最初の順序数となる。

次にNから3だけ抜いたN-{3}や、N-{3,9}、...などもNと同じで書けない。
しかし明らかにN-{3,9}∊N-{3}∊Nだから、
N2＝{N,N-{1},N-{2},N-{1,2}...}のようなものを考えられる。
するとさらにN∊N2∊N3∊N4∊.....のようにはるかに巨大な順序数を考えることができる。
これらは最早{}などで具体的な内容を記述することは不可能。
書けない者は極限順序数と言われる。

385 ：１３２人目の素数さん：2011/08/14(日) 23:14:27.69

上の補足です。
上では順序数を自然数で書いていますが、
厳密には
{}、{}∪{{}}、{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}、
{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}∪{{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}}、....
といった全順序で推移的な集合に自然数の番号を振っていると考えてください。
つまり、
A0＝{}、A1＝A0∪{A0}＝{}∪{{}}、A2＝A1∪{A1}＝{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}、
A3＝A2∪{A2}＝{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}∪{{}∪{{}}∪{{}∪{{}}}}、....
....、AN＝{A0,A1,...}、AN2、....といったイメージです。
ちなみにANは通常ωと書かれます。

386 ：１３２人目の素数さん：2011/08/15(月) 04:49:58.84

巨大って言うか、それ自然数超えてるよね。

387 ：１３２人目の素数さん：2011/08/15(月) 07:21:37.93

もちろん。
A2に該当するのが実数やベール空間。
自然数の計算に対して、相対的に計算するしかない。
例えばアッカーマン関数の引数の数がアッカーマン関数で決まるようなものなど。

388 ：１３２人目の素数さん：2011/08/15(月) 07:25:01.30

訂正：
→NA2に該当するのが実数やベール空間。

→例えば多変数アッカーマン関数の引数の数がアッカーマン関数で決まるようなものなど。

389 ：１３２人目の素数さん：2011/08/15(月) 22:24:50.14

>>386
順序数の大きさを直接競っているわけじゃない。
大きな自然数を作る為に大きな順序数を利用してるだけ。

390 ：１３２人目の素数さん：2011/08/15(月) 23:42:39.17

>>383
どこまで理解できてどこが理解出来てないかがわからない。

順序数を小さい順に書いていくと、

0, 1, 2, 3, 4, ...
ω, ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, ...
....

ってとこまでは理解出来てる？

391 ：１３２人目の素数さん：2011/08/16(火) 12:11:04.94

わっっかりませ???ん

392 ：１３２人目の素数さん：2011/08/16(火) 13:26:15.42

>>391
学校では自然数は 1,2,3,.... と習うと思いますが、
一般的には数学のジャンルや時と場合によって0を含んだり含まなかったりします。
ここでは
自然数を 0,1,2,.... とします。

393 ：１３２人目の素数さん：2011/08/16(火) 13:34:14.46

順序数は自然数を拡張したものです。
自然数全体の集合⊂順序数全体の集合 と思ってください。
（とりあえず高々加算の順序数のみ考えます）
自然数同士での演算はとりあえず忘れてください。

順序数の特徴として、
○ 順序数α、βに対し、α＜β、α＝β、α＞β のいずれか１個が成り立つ
○ どんな順序数αに対して、その次の順序数 α' が存在する
（αとα' の間に順序数が存在せず、α＜α' となる）
○ 順序数の集合に対し、その集合のどの元よりも大きな順序数が存在する
○ 順序数の集合に対し、その集合の最小の元が存在する

などがあります。

394 ：１３２人目の素数さん：2011/08/16(火) 13:45:17.87

○ 順序数αに対し、次の順序数α'を作る
○ 順序数の集合に対し、これらのどの要素よりも大きい最小の順序数を作る

という２種類の方法を使って、
どんどん大きな順序数を作っていくことにします。

まず自然数の範囲、
最小の順序数は0
0 の次の順序数0' は 1
1 の次の順序数1' は 2
2 の次の順序数2' は 3
....
です。
これで自然数すべての範囲を構成出来ました。

>>393 によると、
どの自然数よりも大きな最小の順序数が存在します。
この順序数にωという名前を付けます。

395 ：１３２人目の素数さん：2011/08/16(火) 13:56:44.67

ωはどんな自然数よりも大きい、無限の一種です。

nを自然数とすると、
n'は自然数ですので、
n' = ω となることはありません。
また、ωより小さい順序数はすべて自然数です。
よって、α' = ω となる順序数αは存在しません。

α' = β となるα、つまり1個前の順序数が存在しないような順序数βは
極限順序数と言います。（ただし0は極限順序数とは言わない）

これに対して、1個前の順序数が存在するような順序数は
後続順序数と言います。

396 ：１３２人目の素数さん：2011/08/16(火) 13:56:57.56

ここまでOK？

397 ：１３２人目の素数さん：2011/08/27(土) 15:20:15.82

BF言語を使って巨大数を記述するっていうのは鬼畜すぎるかな

使える命令は下の６つとする。
1.> ポインタをインクリメントし、次の命令へ
2.< ポインタをデクリメントし、次の命令へ
3.+ ポインタが指す値をインクリメントし、次の命令へ
4.- ポインタが指す値をデクリメントし、次の命令へ
5.[ ポインタが指す値が0なら、対応する ] の直後の命令までジャンプ
6.] ポインタが指す値が0でないなら、対応する [ にジャンプ
これら６つの命令を有限個、順番に並べたものをプログラムという。
参加者はプログラムPと、そのプログラムが終了するまでの
ステップ数の上限T（0以上の整数）を指定する。
メモリ番号は0以上T以下の整数、ポインタの初期値は0とする。
各メモリの値は0以上T以下の整数、初期値はすべて0とする。
プログラム終了後、ポインタが指す値を出力する。
（プログラム途中でポインタやポインタがさす値がマイナスになったり
　対応する括弧がなかっり、ステップ数がTを超えた場合は0を出力する。）
（出力値）÷（プログラムの長さ）をそのプログラムの評価値とする。
（ただし、プログラムの長さが0のときは、その評価値は0）
評価値のより高いプログラムを作成することを目標とする。

＜長さがそれぞれ10,20,30のプログラムの中でおそらく最良と思われるもの＞
長さ=10：プログラム=+10　出力値=10　評価値=1　ステップ数=10
長さ=20：プログラム=+7[>+7<-]>　出力値=49(=7*7)　評価値=2.45　ステップ数=92
長さ=30：プログラム=+5>+<[>[>+4<-]<-[>+<-]>]>　出力値=1024(=4^5)　評価値=34.133...　ステップ数=3169
※ここで+nは+をn個並べたものを表す。

398 ：１３２人目の素数さん：2011/08/27(土) 15:56:03.55

よく分からんけど
順序数を使わずに順序数を超えることはできないのかな

399 ：１３２人目の素数さん：2011/08/28(日) 00:36:24.24

>>397
評価値なんか使わずに素直に出力値で競えば良いと思う。
プログラム長が増えれば出力値はビジービーバー関数的に増加する訳で。
プログラムを用いた巨大数の記述は>>79参照

>>398
まとまった定義では >>373 が今のところ最大と思うが、
これは順序数の概念は用いていない。

400 ：１３２人目の素数さん：2011/09/04(日) 23:46:22.53

計算可能な巨大関数の話だけど、

f(n):=max{ Xの停止時間 | Xは入力を持たないプログラムで、停止性がn文字以下でZFCで証明できる }
とすると、（ZFCで証明できることは全て正しいと仮定すれば）fは最強の増大度を持つ計算可能関数になる。
正確に言うと、ZFCで停止性が証明できるどんな計算可能な関数よりもfは増大度が大きくなる。
もちろんこのスレに出てきたどんな計算可能関数より大きいと思う。

結局のところ、（構成的な定義にこだわらず）巨大な計算可能関数を作ることは、
どれだけ公理系を信用するかって話に帰着されると思う。

401 ：１３２人目の素数さん：2011/09/05(月) 01:36:23.43

>>400
f(n)は計算可能ではないと思う。

402 ：１３２人目の素数さん：2011/09/06(火) 23:32:56.27

超越的な方法アリなら
普通の数学の関数が使える形式体系を算術化させて、
値をゲーデル数として取り出せるような計算可能関数が作れるだろう。
この関数の中でなら無限個の計算機を同時に動かすことが出来るだろう。
具体的に記述可能なのか不明ではあるが。

403 ：１３２人目の素数さん：2011/09/07(水) 01:27:21.11

とてつもなく大きな数をどれだけ短く記述できるかを見たい
例えば9^9の方が999よりはるかに大きい　使ってるバイト数は同じなのに

404 ：１３２人目の素数さん：2011/09/07(水) 08:55:55.30

>>403
こちらのサイトが役に立つかも

字数制限つき最大数作成ゲーム
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/game.html
記数法に関する議論
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/notation.html

あと個人的には>>397のような鬼畜プログラムを使って長さn以内でどれだけ大きな数を出力できるか興味がある

405 ：１３２人目の素数さん：2011/09/07(水) 21:52:23.57

>>402
具体的に計算するアルゴリズムがわからなくて良いなら
大きな計算可能関数が定義出来るが、
計算可能関数は具体的なアルゴリズムがわかって初めて価値があると思う。

たとえば、
「BF言語グラハム数文字で作れる最大の増加度の関数」
は比較的簡単に厳密に定義出来るが、
こんなのを許すくらいなら素直に計算可能な範囲から外れて競った方が
よほど意味があるのでは？

406 ：１３２人目の素数さん：2011/09/07(水) 22:05:25.35

>>403 >>404
ルールを厳密に決められない自然言語はそういう競争に向いていない。

リンク先も記録はめちゃくちゃ。

f(n):=nに階乗をn回f^9!(9)
f(n):=nに階乗をn回f^(f^(99!)(9))(9)

これがまともな記述とは到底思えない。
この二つが許されるなら当然これも許されるはず
f(n):=nに階乗をn回f^(f^9999!(9))(9)

> あと個人的には>>397のような鬼畜プログラムを使って長さn以内でどれだけ大きな数を出力できるか興味がある
暇がある時に考えてみる。
長さが短いうちはほとんどパズルだが、
長くなって行くと数学的知識が非常に効いてくるはず。

407 ：１３２人目の素数さん：2011/09/08(木) 21:35:53.15

評価値はあまり役に立たないみたいだからプログラムで競うとしたらこんな感じになるかな

長さnを固定して優勝者を次のように決める
１．出力値が一番大きいプログラムを投稿した人
２．それで決まらない場合はその中でステップ数（の上限）Tを一番低く申告した人
３．それでも決まらない場合はその中で一番先に投稿した人


十進BASICで>>397のインタプリタっぽいのを実装してみました（はっきり言って遅いです…）
本文をそのままコピペしてお使いください
http://www5.puny.jp/uploader2/download/1315484404　パスはbasic

408 ：１３２人目の素数さん：2011/09/08(木) 23:29:48.72

100文字までざっと考えてみました。
あまり検証などを行っていない為
間違い等あるかも知れませんが、
たたき台にはなるかと思います。

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/272858.txt
（ダウンロードキーワード BF）

409 ：１３２人目の素数さん：2011/09/08(木) 23:40:07.94

>>407
Tの意味がわからないんですが。
これ必要ですか？

長さnを固定して優勝者を次のように決める
１．出力値が一番大きいプログラムを投稿した人
３．それでも決まらない場合はその中で一番先に投稿した人

これで良いんでは？

最終的に >>408 の表をみんなで洗練させて行きましょう。

410 ：１３２人目の素数さん：2011/09/08(木) 23:53:12.08

>>408
おお、すごい！
とりあえず30文字の奴だけ>>407で調べてみたら合ってた
ほかの奴も暇があったら調べてみるよ

↓出力結果ウインドウ
プログラムを入力してね +++++[->+[->+++<]>[-<+++>]<<]>
ステップ数の上限は 1000000
開始時刻:23:36:11
【結果】出力＝ 66429
プログラム↓
+++++[->+[->+++<]>[-<+++>]<<]>

プログラムの長さ: 30
ステップ数: 265742
メモリの状況↓
0 [ 66429 ] 0
終了時刻:23:42:41


>>409
一応、審査員がプログラムが正しく動くか判定ができるようにということです
なので出力値の大きさを競うのに直接は関係ありません

411 ：１３２人目の素数さん：2011/09/09(金) 00:02:51.67

27?29まで合ってました

【結果】出力＝ 340
プログラム↓
++++[->+[->++<]>[-<++>]<<]>

プログラムの長さ: 27
ステップ数: 2389
メモリの状況↓
0 [ 340 ] 0

【結果】出力＝ 1554
プログラム↓
++++[->+[->++<]>[-<+++>]<<]>

プログラムの長さ: 28
ステップ数: 7167
メモリの状況↓
0 [ 1554 ] 0

【結果】出力＝ 9330
プログラム↓
+++++[->+[->++<]>[-<+++>]<<]>

プログラムの長さ: 29
ステップ数: 42941
メモリの状況↓
0 [ 9330 ] 0

ということでとりあえず30まではプログラムが正しく動いているということで
のこりは明日やります

412 ：１３２人目の素数さん：2011/09/09(金) 00:20:24.25

>>410
> 一応、審査員がプログラムが正しく動くか判定ができるようにということです
せいぜい35文字くらいまでしかシミュレーション出来ないでしょ？

413 ：１３２人目の素数さん：2011/09/09(金) 08:28:50.65

>>412
まあそうだが例え理論上ではあっても審査可能であることを保障しておく必要があると思ったので

414 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 00:19:08.87

アッカーマン相当の関数が作れました。
一部大小関係がわからないところがあるので両方書きました

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/273186.txt

415 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 00:19:34.35

キーワードはbrainfuckです。

416 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 01:09:42.58

>>414
ありがとうございます
31以降は十進BASICではとてもじゃないけど無理ですね

とりあえずこれまでのプログラムの構文解析してみました

長さ: プログラム =出力値
1-13: +n =n
14-26: +a[->+b<]> =a*b
27-39: +a[->+[->+b<]>[-<+c>]<<]> =Σ_{i=1,...,a}b^i*c^i =b*c*(b^a*c^a-1)/(b*c-1)
40-62: +b([->+)n[->+a<](>[-<+>]<<])n> =a^{n}(b+1)-a
※ここで　(文字列)n　は文字列をn回並べたもの
※x^{0}(y):=x*y,x^{n+1}(0):=1,x^{n+1}(y+1):=x^{n}(x^{n+1}(y))

アッカーマン相当の関数についても考察してみます

417 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 09:39:11.01

>>414
すみません

60: >>+++>>+>>+>>+>>+<<[->+<[[>>]]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>>

[[>>]] は [>>] では駄目なのでしょうか？

418 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 10:01:26.69

>>417のおかげで2文字の最適化が出来ました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/273280.txt
キーワードはbrainfuck

419 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 11:30:58.19

ざっと大きさを見積もってみました
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/273290.txt
キーワードはbrainfuck

420 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 11:56:11.61

72文字でF[ω+1]相当が作れました。

72: >+++[>++[[->+>+<<]>[-<+>]>-]<<<<[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]> ≒ Ak(15,13)
73: >++++[>++[[->+>+<<]>[-<+>]>-]<<<<[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]> ≒ Ak(Ak(15,13),*)
74: >+++++[>++[[->+>+<<]>[-<+>]>-]<<<<[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]> ≒ Ak(Ak(Ak(15,13),*),*)
....

421 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 12:32:21.66

>>420はちょっとバグってましたね。
ループカウンターをデクリメントしてなくて無限ループでした。

>>420を反映させました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/273302.txt&key=brainfuck

422 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 14:18:43.55

ここまで大きくなるとステップ数の上限Tを考えるのは非常に困難（かつ本質的でない）ですね
>>397+407からTの記述を削除してルールをテンプレ化しようと思います

その際、このゲームに名前を付けたいと思いますが
「BF言語で最大数作成ゲーム」でよろしいでしょうか？
他に何かいいネーミングがあればお教えください

423 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 20:02:58.07

とりあえずゲーム名は仮名としてテンプレ作ってみました

「BF言語で最大数作成ゲーム」（仮）

【ルール】
使える命令は下の６つとする。
1.> ポインタをインクリメントし、次の命令へ
2.< ポインタをデクリメントし、次の命令へ
3.+ ポインタが指す値をインクリメントし、次の命令へ
4.- ポインタが指す値をデクリメントし、次の命令へ
5.[ ポインタが指す値が0なら、対応する ] の直後の命令までジャンプ、そうでなければ何もせずに次の命令へ
6.] ポインタが指す値が0でないなら、対応する [ にジャンプ、そうでなければ何もせずに次の命令へ

これら６つの命令を有限個並べたものをプログラムといい、その文字数をそのプログラムの長さという。
メモリ番号は0以上の整数（上限なし）、ポインタの初期値は0とする。
各メモリの値は0以上の整数（上限なし）、初期値はすべて0とする。
プログラムの最初の命令から順次処理していき、処理する命令がなくなった時点で
プログラムを終了し、その時点でポインタが指している値を出力する。
ただし、ポインタやポインタが指す値がマイナスになったり、対応する括弧がない場合は
その時点でエラーを出力してプログラムを終了する。
エラーを出力せずに有限ステップ内に終了するプログラムを有効なプログラムという。

各nに対して、参加者は長さnのプログラムを投稿していく。
それらの中から最終的に、次のように優勝者を決める。
１．有効なプログラムの中で出力値が一番大きいものを投稿した人を優勝者とする
２．それで決まらない場合はその中で一番先に投稿した人を優勝者とする

424 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 20:03:54.54

初心者のために練習問題を作ってみました。

【練習問題】
次の関数を記述するプログラムを作りましょう。
問１．xの3乗　x^3
問２．xとyの差　|x-y|
問３．xをyで割った余り　x%y
問４．異なるx個の中から同時にy個取り出す組み合わせの総数　xCy
問５．x番目の素数　p1=2, p2=3, p3=5,...

※プログラムEがn変数関数f(x[0],x[1],...,x[n-1])を記述しているとは
　fの定義域内の任意のn個からなる自然数の組(x[0],x[1],...,x[n-1])に対して、
　0番目のメモリにx[0]、1番目のメモリにx[1]、…、(n-1)番目のメモリにx[n-1]を代入し、
　n番目以降のメモリを0とし、ポインタがnの位置にある状態からプログラムEを実行したとき、
　f(x[0],x[1],...,x[n-1])を出力して終了することをいう。

※自然数xを、0変数関数 f()=x と同一視することにすると、このゲームは
　各nに対して、長さnのプログラムの中から、それによって記述される0変数関数の値を
　最大にするものをいち早く見つけ出すゲームといえる。

425 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 22:31:18.09

順番を入れ替えただけで1文字縮まりました。
89: +++[->>+[->++[[->+>+<<]>[-<+>]>-]<<<<[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]>[-<+>]<<<]>>

>>423
個人的には「brainfuckによる巨大数の記述ゲーム」かな。
まったく一般的でない省略型を使う必要も無いし、
最大数というとBB的最大値と勘違いしそう。

さすがに練習問題は板違いと思います。
それよりゲームに参加してください。

426 ：１３２人目の素数さん：2011/09/10(土) 23:51:17.06

>>424 のために練習問題を作ってみました。

【練習問題】
以下で定義される2変数関数の値を返すプログラムを作りましょう。

f(0,y) = y+1
f(x+1,0) = f(x,1)
f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))

427 ：１３２人目の素数さん：2011/09/11(日) 21:13:00.49

>>425
ありがとうございます！
ではゲーム名はそれにしたいと思います。

>>426
その問題文だと
+f(x,y) （+をf(xy)個並べたもの）とかも正解になっちゃいますよね。
ということで※にあるような定義をしました。

428 ：１３２人目の素数さん：2011/09/12(月) 01:00:19.62

>>427
屁理屈書いてる暇があったら練習問題やれ

429 ：１３２人目の素数さん：2011/09/12(月) 09:14:54.80

ここの住民とは思えん発言だな

430 ：１３２人目の素数さん：2011/09/12(月) 19:09:03.45

すみません、質問です
証明可能帰納関数の定義がいまいちよくわからなくて
　f(x)が証明可能帰納関数⇔あるペアノ論理式A(x,y)が存在して
　f(x)=y⇒├A(x,y)　かつ　?(f(x)=y)⇒├?A(x,y)
という解釈でいいのでしょうか？

431 ：１３２人目の素数さん：2011/09/12(月) 20:20:47.55

>>426は出来たが>>426はむずい

432 ：１３２人目の素数さん：2011/09/16(金) 23:49:27.57

「brainfuckによる巨大数の記述ゲーム」
もうちょっと大きなものも作ってみました。
前回より多少縮まったものもあります。

http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/275333.txt&key=brainfuck

抜粋
55: >>++>>+>>+>>+>>+[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>> . . . . F[ω]
70: >+++[->+[[->+<]>[-<+>>+<]>-]<<[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]> . . . . F[ω+1]
86: F[ω+2]
102: F[ω+3]
115: F[ω+4]
128: F[ω+5]
135: F[ω*2]
150: F[ω*2+1]
161: F[ω^2]
293: F[ω^ω]
323: F[ω^ω+1]

とてもプログラミングしにくい言語で、
定義が簡単なものでも作るのに非常に時間がかかってしまいます。

433 ：１３２人目の素数さん：2011/09/21(水) 19:42:43.45

「brainfuckによる巨大数の記述ゲーム」 記録更新

54: >>++++>>+>>+>>+[-<+>[>>]>[>>>+[-<++>]<[-<+>>+<]]<<<]>>
61: >++++++[[->+>+<<]>>-]<[-<+>[>>]>[>>>+[-<++>]<[-<+>>+<]]<<<]>>
69: >++++[->[[->+<]>[-<+>>+<]>-]+[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]>
84: +++[->>+[->[[->+<]>[-<+>>+<]>-]+[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]>[-<+>]<<<]>>
101: +++[->+[->>+[->[[->+<]>[-<+>>+<]>-]+[->+<[>>]>[>[-<+>]<[-<+>>+<]>>]<<<<<]>]>[-<+>]<<<]>>[-<<+>>]<<<]>

434 ：１３２人目の素数さん：2011/10/08(土) 14:33:56.76

順序数を使わずに一番でかい数はどれなの

435 ：１３２人目の素数さん：2011/10/08(土) 16:48:09.65

a↑b　が　べき乗

a↑↑b　が　テトレーション

a↑↑↑b　が　ペンテーション

すると　a↑↑↑↑b　は　ヘクセーションなのかｗ

436 ：１３２人目の素数さん：2011/10/08(土) 20:22:35.56

>>434
>>373

437 ：１３２人目の素数さん：2011/10/08(土) 20:53:47.12

ダウンロードできない……
誰か再うｐきぼんぬ

438 ：１３２人目の素数さん：2011/10/09(日) 15:18:08.34

誰か>>430お願いします

439 ：１３２人目の素数さん：2011/10/10(月) 09:02:31.93

証明可能帰納関数なんて初めて聞いた
証明可能な帰納関数ってこと？

440 ：１３２人目の素数さん：2011/11/05(土) 18:57:21.78

あげ

441 ：１３２人目の素数さん：2011/11/05(土) 20:51:32.42

1234567890987654321234567898765432345678909876543234561789876543456789876543234567898765436789876543212345678909876543212345678998765432123456789098765432123456789098765432123456789098765432123456789098765432123456789

探索完了！

　　　　　　　　　　　　　　このスレ終了！

442 ：１３２人目の素数さん：2011/11/06(日) 17:06:12.41

≒10^(217)

443 ：１３２人目の素数さん：2011/11/06(日) 19:52:12.62

お前も暇人だなー
おつかれ

444 ：１３２人目の素数さん：2011/11/06(日) 21:02:13.06

>>442
巨大数を（１つだけでも）探索したからこれで終了だって意味だろｗ
本人は面白いと思ってやってるんだろうからそっとしておいてやろうぜ

445 ：１３２人目の素数さん：2011/11/12(土) 11:05:52.74

>>441
え？あれ？あ！
ごめん小さすぎて見えなかった

448 ：１３２人目の素数さん：2011/11/24(木) 16:50:02.34

A,...,Zは全て整数
Nil={0個の整数（ラテン語で無を表すnullusより）}
(,)=(())=()=Nil
(,A)=(A,)=(A)
(A,B+C)=(A,(B+C))
(A+B,C)=((A+B),C)
(A,(B,C))=((A,B),C)=(A,B,C)
(A:B+C)=(A:(B+C))
(A+B:C)=((A+B):C)
(A:B,C)=((A:B),C)
(A,B:C)=(A,(B:C))
(A:B:C)=((A:B):C)
(A;B+C)=(A;(B+C))
(A+B;C)=((A+B);C)
(A;B+C)=(A;(B+C))
(A;B,C)=((A;B),C)
(A,B;C)=(A,(B;C))
(A;B:C)=((A;B):C)
(A:0)=()
(A:n+1)=(A:n,A)
((A,...,Z):0)=()
((A,...,Z):n+1)=((A,...,Z):n,A,...,Z)
(0;n)=(0:n)
(A+1;n)=((A;n,A+1):n,A;n)

449 ：１３２人目の素数さん：2011/11/24(木) 16:51:16.25

>>448の続き

Con={1個の十分に大きな自然数定数（英語で定数を表すconstantより）}
Li(N)={最初の定義で与える既知の増加関数（大きな入力を表す造語のlarge inputより）}
N≧0,　Li(N)＞N,　Li(N+1)＞Li(N)
Lo(N)={定義によって最終的に得られる関数（大きな出力を表す造語のlarge outputより）}
#={0個以上の0以上の整数}
a,b,c,m,nは全て整数
n≧0,　m≧0,　b≧0,　0≦a＜b,　c＞b+1

[]=Li(Con)
[0:n+1]=Li([0:n])
[b+1:m+1]=[(b;[b+1:m,b],b+1):m,b;[b+1:m,b]]
[0:n+1,b+1:m+1]=[(b;[0:n,b+1:m+1],a+1):m,b;[0:n,b+1:m+1]]
[b+1:m+1,0,#]=[(b;[b+1:m+1,#],b+1):m+1,#]
[0:n+1,b+1:m+1,0,#]=[(b;[0:n,b+1:m+1,0,#],b+1):m+1,#]
[b+1:m+1,a+1,#]=[(b;[b+1:m+1,a,#],b+1):m+1,a;[b+1:m+1,a,#],#]
[0:n+1,b+1:m+1,a+1,#]=[(b;[0:n,b+1:m+1,a+1,#],b+1):m+1,a;[0:n,b+1:m+1,a+1,#],#]
[b+1:m+1,c,#]=[(b;[b+1:m,b,c,#],b+1):m,b;[b+1:m,b,c,#],c,#]
[0:n+1,b+1:m+1,c,#]=[(b;[0:n,b+1:m+1,c,#],b+1):m,b;[0:n,b+1:m+1,c,#],c,#]
Lo(0)=[[];[]:[]]
Lo(b+1)=[Lo(b);Lo(b):Lo(b)]

450 ：１３２人目の素数さん：2011/11/24(木) 16:54:11.93

>>449の続き

Con=G^64(4)　　　　Conがグラハム数で
Li(b)=Ack(b,b)　　 　Li()がアッカーマン関数の時
I=Lo(Li(Con))　　　　Iは何？

451 ：１３２人目の素数さん：2011/11/24(木) 20:49:45.49

自分で大きさを見積もれないなら大して大きく無いよ。
まぐれで優れた表記など出来る物では無い。

453 ：１３２人目の素数さん：2011/11/25(金) 01:45:40.70

[]=Li(Con)　......　ω
[0]=Li(Li(Con))　......　ω+1
[0,0]=Li(Li(Li(Con)))　......　ω+2
[0,0,0]=Li(Li(Li(Li(Con))))　......　ω+3
[0:n]=Li(Li(...Li(Con)...)))　......　ω+n
[1]=[0:[]]　......　ω*2
[0,1]=[0:[1]]　......　ω*3
[0,0,1]=[0:[0,1]]　......　ω*4
[0,0,0,1]=[0:[0,0,1]]　......　ω*5
[0:n,1]=[0:[0,...,0,1]]　......　ω*(n+2)
[1,0]=[0:[1],1]　......　ω↑2
[0,1,0]=[0:[1,0],1]　......　ω↑3
[0,0,1,0]=[0:[0,1,0],1]　......　ω↑4
[0,0,0,1,0]=[0:[0,0,1,0],1]　......　ω↑5
[0:n,1,0]=[0:[0,...,0,1,0],1]　......　ω↑(n+2)
[1,0,0]=[0:[1,0],1,0]　......　ω↑↑2
[0,1,0,0]=[0:[0,1,0],1,0]　......　ω↑↑3
[0,0,1,0,0]=[0:[0,0,1,0],1,0]　......　ω↑↑4
[0,0,0,1,0,0]=[0:[0,0,0,1,0],1,0]　......　ω↑↑5
[0:n,1,0,0]=[0:[0,...,0,1,0],1,0]　......　ω↑↑(n+2)
[1,0,0,0]=[0:[1,0,0],1,0,0]　......　ω↑↑↑2
[0,1,0,0,0]=[0:[0,1,0,0],1,0,0]　......　ω↑↑↑3
[0,0,1,0,0,0]=[0:[0,0,1,0,0],1,0,0]　......　ω↑↑↑4
[0,0,0,1,0,0,0]=[0:[0,0,0,1,0,0],1,0,0]　......　ω↑↑↑5
[0:n,1,0,0,0]=[0:[0,...,0,1,0,0],1,0,0]　......　ω↑↑↑(n+2)
[0:n,1,0:m]=[0:[0,...,0,1,0,...,0],1,0,...,0]　......　ω↑[m](n+2)　←アッカーマン関数相当

454 ：１３２人目の素数さん：2011/11/25(金) 01:49:50.00

[1,1]=[0:[1,0],1,0:[1,0]]　......　ω↑[ω↑2](ω↑2)
[0,1,1]=[0:[1,1],1,0:[1,1]]　......　ω↑[ω↑[ω↑2](ω↑2)](ω↑[ω↑2](ω↑2))

[0:n_1,1,0:n_2,1,0:n_3]　......　3変数アッカーマン関数相当
[0:n_1,1,0:n_2,1,0:n_3,1,0:n_4]　......　4変数アッカーマン関数相当
[(0:m_1,1):(n-1),0:m_n]　......　n変数アッカーマン関数相当

[2]=[(0:[1],1):[1],0:[1]]　......　ω*2個変数のアッカーマン関数相当
[0,2]=[(0:[2],1):[2],0:[2]]　......　ω↑(ω*2)個変数のアッカーマン関数相当
[0,0,2]=[(0:[0,2],1):[0,2],0:[0,2]]　......　ω↑↑(ω↑(ω*2))個変数のアッカーマン関数相当
[0,0,0,2]=[(0:[0,0,2],1):[0,0,2],0:[0,0,2]]　......　ω↑↑↑(ω↑↑(ω↑(ω*2)))個変数のアッカーマン関数相当
[0:n,2]=[(0:[0,...,0,2],1):[0,...,0,2],0:[0,...,0,2]]　......　ω↑[n+2]ω個変数のアッカーマン関数相当

>>451
評価関数の書き方教えてください

455 ：１３２人目の素数さん：2011/11/25(金) 01:55:27.06

>>453-452
>>449の定義はとりあえずこんな感じに大きさが増加していきます
まだまでさっきっぽだけですが

458 ：１３２人目の素数さん：2011/11/25(金) 02:34:20.45

>>455
アンカー間違い
>>453-454

>>451
評価関数を教えてと言いましたがpdfがありましたんで
これで評価用のHardy関数を勉強してみます
http://gyafun.jp/ln/largenumber.pdf

459 ：１３２人目の素数さん：2011/11/25(金) 23:25:53.49

>>453
アッカーマンよりずっと大きな関数が出来るなら、
初期値がアッカーマンである必要もグラハム数を使う必要も無いのでは？

それから
ω↑↑↑2
の定義は？

460 ：１３２人目の素数さん：2011/11/27(日) 02:00:15.86

種の増加に比して増大速度がより速いって以外に、なんか指針ないのん

461 ：１３２人目の素数さん：2011/11/27(日) 16:15:02.40

>>459
アッカーマンやグラハム数の記述の部分はミスリードというかネタ的な意味で使っただけなんで>>450は気にしないでください
てか外したネタは恥ずかしいので説明させないでください

ω↑?↑2は大きさの雰囲気をざっくり掴んでもらおうとしただけなんで厳密な表記じゃないです

462 ：１３２人目の素数さん：2011/11/27(日) 16:48:41.30

>>460
引数の増大や階層構造を帰納的に数値化することに専念して見ました
あと物理的に記述できる範囲で大きな値を記述できるようにして
逆に定義の途中経過は物理的に記述不可能になるのを許容しました
たとえば10^100に相当する値を「[]」と「,」と「0」だけで記述しようと思うと1+2*10^100バイト必要になります

なので>>459が指摘された通りアッカーマン関数やグラハム数を使わずConとLi()を次のように定義しても構いません

Con=1
Li(0)=Con
Li(n+1)=Li(n)+Con

出力はLo()に0以上の任意の整数を引数を1個渡すだけです

463 ：１３２人目の素数さん：2011/11/27(日) 18:03:53.98

引数１個だけでも発散速度が大きくなっているのが味噌です
もちろん同じ値であれば多く並べる方が大きくなります
最大値の引数の個数が同じであれば最大値より１ランクさがる引数を右寄りの多く並べる方が大きくなります
という風に引数の取りうる状態において全てのパターンで徹底的に帰納的に組み上げて見ました
リストを発生させるための補助演算子「:」と「;」を使えば更に大きな値を作ることができます

従いましてこの定義の根幹は「[]」演算子であってLo()は「[]」演算子を使って定義した一例にしか過ぎません

464 ：１３２人目の素数さん：2011/11/27(日) 18:15:16.24

[]=2

[0]=[]+1=3

[1]=[0;[0]]=[0:[0]]=[0:3]=[0,0,0]=5

[2]=[1;[1]]=[(0:[1],1)[1],0:[1]]=[(0:5,1):5,0:5]=[0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5]
=[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0]
＞Ack(5,5,5,5,5)

[3]=[2;[2]]=[(1;[2],2):[2],1;[2]]=[((0:[2],1):[2],0:[2],2):[2],(0:[2],1):[2],0:[2]]
ふぇぇ

465 ：１３２人目の素数さん：2011/11/27(日) 18:18:00.47

[2]=[1;[1]]=[(0:[1],1)[1],0:[1]]=[(0:5,1):5,0:5]=[0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5,1,0:5]
=[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0]
＞Ack(5,5,5,5,5,5)

466 ：１３２人目の素数さん：2011/11/27(日) 18:42:09.52

>>463で主語が抜けていました

×　引数１個だけでも発散速度が大きくなっているのが味噌です
○　「[]」演算子は、引数１個だけでも発散速度が大きくなっているのが味噌です

467 ：１３２人目の素数さん：2011/11/27(日) 19:06:16.36

[]の増大の仕方ははこんな感じですね

[0;n]　1変数(0D)
[1;n]　多変数アッカーマン（多重0D）
[2;n]　多重リスト・アッカーマン(多重1D)
[3;n]　多重テーブル・アッカーマン（多重2D）
[4;n]　多重シート・アッカーマン(多重3D)
[5;n]　多重ブック・アッカーマン(多重4D)
[6;n]　多重ボックス・アッカーマン(多重5D)
[7;n]　多重ラック・アッカーマン(多重6D)
[8;n]　多重エリア・アッカーマン(多重7D)
[9;n]　多重ルーム・アッカーマン(多重8D)
[10;n]　多重ハウス・アッカーマン(多重9D)
[11;n]　多重10Dアッカーマン
[12;n]　多重11Dアッカーマン
[13;n]　多重12Dアッカーマン
.
.
.
.

468 ：１３２人目の素数さん：2011/11/29(火) 00:23:24.89

意味がわからない言葉じゃなくて
ハーディー関数＋順序数で見積もってください。

469 ：１３２人目の素数さん：2011/11/29(火) 01:27:23.49

こんな感じ

[1;n]　　→　F[ω＾ω]
[2;n]　　→　F[ε_0]
[3;n]　　→　F[Γ_0]
[4;n]　　→　F[ψ (Ω^3)]
[5;n]　　→　F[ψ (Ω^4)]
[6;n]　　→　F[ψ (Ω^5)]
[7;n]　　→　F[ψ (Ω^6)]
[8;n]　　→　F[ψ (Ω^7)]
[9;n]　　→　F[ψ (Ω^8)]
[10;n]　 →　F[ψ (Ω^9)]
[11;n]　 →　F[ψ (Ω^10)]
[12;n]　 →　F[ψ (Ω^11)]
[13;n] 　→　F[ψ (Ω^12)]
.
.
.
.

470 ：１３２人目の素数さん：2011/11/29(火) 22:40:11.46

>>469
こんな感じ？

[0:n, 2] ≒ F[ω^ω +1](n)
[0:n, 2, 0] ≒ F[ω^ω *2 +1](n)
[0:n, 2, 0, 0] ≒ F[ω^ω *3 +1](n)
[0:n, 2, 1] ≒ F[ω^(ω+1) +1](n)
[0:n, 2, 0, 1] ≒ F[ω^(ω+1) +ω^ω +1](n)
[0:n, 2, 0, 0, 1] ≒ F[ω^(ω+1) +ω^ω *2 +1](n)
[0:n, 2, 1, 1] ≒ F[ω^(ω+1) *2 +1](n)
[0:n, 2, 0, 1, 1] ≒ F[ω^(ω+1) *2 +ω^ω +1](n)
[0:n, 2, 0, 0, 1, 1] ≒ F[ω^(ω+1) *2 +ω^ω *2 +1](n)
[0:n, 2, 1, 1, 1] ≒ F[ω^(ω+1) *3 +1](n)
[0:n, 2, 2] ≒ F[ω^(ω+2) +1](n)
[0:n, 2, 0, 2] ≒ F[ω^(ω+2) +ω^ω +1](n)
[0:n, 2, 1, 2] ≒ F[ω^(ω+2) +ω^(ω+1) +1](n)
[0:n, 2, 1, 1, 2] ≒ F[ω^(ω+2) +ω^(ω+1)*2 +1](n)
[0:n, 2, 2, 2] ≒ F[ω^(ω+2) *2 +1](n)

F[ε_0]どころかF[ω^ω^ω](n)も遠い気がする。

471 ：１３２人目の素数さん：2011/11/29(火) 22:42:15.82

>>453の右の順序数の意味がまったくわからない。
解説よろしく。

473 ：１３２人目の素数さん：2011/12/02(金) 22:22:13.07

>>448
2以上が出てくると効率が一気に落ちる。
おそらくLoでF[ω^(ω*2)+1]程度。
微妙に修正すると効率を保てるが、
それでもF[ω^ω^ω]止まり。

多変数アッカーマン相当を0と1だけで表したように、
>>448 の多変数[ ] を0と1だけで表わして
さらに2,3,4,...と（上手く）定義していくことで
F[ω^ω^ω^ω]に到達する。
（その代わりに定義が非常に複雑になる）

これを繰り返していってやっと F[ε_0]

474 ：１３２人目の素数さん：2011/12/02(金) 22:46:19.76

効率が低下している部分を修正し、
無駄に複雑な部分を簡略化。
これで [n] ≒ F[ω^ω^ω](n)

n    0以上の整数
i    1以上の整数
a1, a2, ..., a_i    i個の整数で a_i ≧ .... ≧ a2 ≧ a1＞ 0 を満たす
b    a1 より大きい整数
a    0以上の整数

[0:n] = n+1
[a+1, #] = [0, a, #]
[0:n+1, a_i, ..., a2, a1] = [0:n+1, a_i, ..., a2, a1-1:[0:n, a_i, ..., a2, a1] ]
[0:n+1, a_i, ..., a2, a1, b, #] = [0:n+1, a_i, ..., a2, a1-1:[0:n, a_i, ..., a2, a1, b, #], b, #]
[0:n+1, a_i, ..., a2, a1, 0, #] = [0:n+1, a_i, ..., a2, a1-1:[0:n, a_i, ..., a2, a1, 0, #], a1, #]

475 ：１３２人目の素数さん：2011/12/03(土) 19:44:49.78

nを外に出してちょっと変えればすっきりする。
ほとんどハーディー関数だから
大きさの見積もりも簡単。

0 ＜ a1 ≦ a2 ≦ ... ≦ a_i
b ＞ a1

[ ](n) = n+1
[#, 0](n) = [#]^n (n)
[ a1, a2, ..., a_i](n) = [ a1-1:n, a2, ..., a_i](n)
[#, b, a1, a2, ..., a_i](n) = [#, b, a1-1:n, a2, ..., a_i](n)
[#, 0, a1, a2, ..., a_i](n) = [#, a1, a1-1:n, a2, ..., a_i](n)

大きさは [n](n) ≒ F[ω^ω^ω](n)

2個の記号と簡単な定義でF[ε_0](n)まで表わせるヒドラゲームの方が
優れてると思う。

476 ：名無しさん：2011/12/10(土) 10:21:11.18

f(0,0)=1
f(0,x)=x^x
f(x,0)=f(x-1,x)^x
f(x,y)=f(x,y-1)^(x^y)

477 ：１３２人目の素数さん：2011/12/10(土) 12:58:40.40

しょぼっ

478 ：１３２人目の素数さん：2011/12/10(土) 13:09:45.78

>>476
f(x,y) = 0

479 ：１３２人目の素数さん：2011/12/15(木) 21:22:40.40

>>478
おい

480 ：１３２人目の素数さん：2011/12/18(日) 18:37:44.75

今日このスレ初めて覗いて面白そうだなと思って読んでたら、
途中から変なのが来てごちゃごちゃにされてるのな。
数学板のスレってなんでこういちいち哲学めいたことを喚いて荒らすやつが現れるんだろう。

481 ：１３２人目の素数さん：2011/12/18(日) 19:43:56.67

>>480
> 数学板のスレってなんでこういちいち哲学めいたことを喚いて荒らすやつが現れるんだろう。

そうだね。不思議だね。
でもその疑問について考えるには板違いだから、
適切な板に移動するか、自分のブログでやればいいんじゃないかな。

482 ：１３２人目の素数さん：2012/01/22(日) 13:19:30.48

順序数がよく分かりません
もっと噛み砕いて説明して頂けませんか

483 ：１３２人目の素数さん：2012/01/29(日) 16:02:34.86

物を数えるときに使う数が順序数だよ。日本語だと
　ひとつ、ふたつ、みっつ、・・・
は順序数。それに対して、
　いち、にい、さん、・・・
は基数だな。

484 ：名無しさん：2012/01/31(火) 14:52:50.00 ID:???

>>483
わかんねー。
それだと、「巨大順序数」と「巨大基数」は同義？
なぜ、巨大数の定義に「基数」でなく「順序数」を使うのかわかんねーだよ。

485 ：名無しさん：2012/01/31(火) 22:33:27.47 ID:???

小さい順序数から順に理解していきなさい

486 ：名無しさん：2012/02/01(水) 00:45:33.29 ID:???

丁寧な説明は過去ログにもあったと思うので、軽く説明を。(軽くというには長くなってしまったが)
>>483は言語学的な意味での順序数、基数であって、
数学的な順序数、基数はそれを拡張した概念。

最小の順序数0があって、その次の数1があり、2、3、4、5、…と続く。
{0,1,2,3,…}のどの数よりも大きい数(のうち最小のもの)を考えて、ωと名付ける。
ωの次の数ω+1、その次の数ω+2、…と続けて、
{ω,ω+1,ω+2,…}よりも大きい数(もちろん{0,1,2,3,…}より大きい)をω+ω=ω×2と名付ける。
同様にω×3, ω×4, …を考え、それらよりも大きい数ω×ω=ω^2を考えて…、とやっていくことで大きな順序数が作れる。

この順序数を関数に対応付ける規則を考えると、巨大な順序数に対応する巨大な関数を作ることができる。
(関数の増加の速さを、関数の大きさとして考える)
巨大な関数の引数に、そこそこ大きな数(10とか100とか)を入れることで、巨大な数が作れる。

基数は個数に相当する概念で、集合の大きさを考えるのに用いる。
{0,1,2,3,…}という集合の大きさを考えると、いかなる自然数よりも大きいということで、この集合の大きさもωと書く。
ならばこの集合に一つ要素を足すと集合が大きくなるかというと、大きくはならない。
{0,1,2,3,…,ω}という集合を考えても、{0,1,2,3,…}の要素と一対一対応させることができて、同じ大きさとなる。
(例えば、ω⇔0、0⇔1、1⇔2、2⇔3、…)
なので、大きさがω+1になる集合を考えようとしても、その大きさはωとなってしまう。
だから、ωは基数だけど、ω+1は基数ではない。
一般に、全ての基数は順序数であるが、順序数は必ずしも基数ではない。
ωよりも大きな基数には、実数の集合に対応する基数などがある。

基数も順序数なのだから、巨大基数を用いて巨大な関数を作れないかと思うかもしれないが、それはできない。
巨大基数に対応するような関数を定義することが難しいからだ。
実際には、順序数の中でも関数との対応付けがうまく定義できる程度の大きさのもの(帰納的順序数)を中心に考える。
ωよりも大きな基数は、帰納的順序数ではないので関数にうまく対応させることができない。
このスレで帰納的順序数より大きな順序数の話が出てくることはあるが、
それは巨大な帰納的順序数を定義するのに用いているだけ。

結局は、帰納的でない巨大な順序数を用いて巨大な帰納的順序数を定義し、
巨大な帰納的順序数を用いて巨大な関数を定義し、巨大な関数を用いて巨大な数を定義するという流れになる。

487 ：１３２人目の素数さん：2012/02/01(水) 23:50:22.57

> 巨大な関数の引数に、そこそこ大きな数(10とか100とか)を入れることで、巨大な数が作れる。

その「巨大な関数」の例を挙げてくれると喜ぶ

488 ：１３２人目の素数さん：2012/02/02(木) 12:12:07.52

数学板覗いてるくらいだから
皆少なからず数学に興味があるんだろうね
それでも順序数で躓いてる人俺以外にも多いだろうな

489 ：１３２人目の素数さん：2012/02/03(金) 20:59:02.65

証明可能帰納関数ってググってもよくわからん
関数がペアノ算術で証明可能ってどういうことなの？
ある命題が証明可能っていうならわかるんだが

490 ：１３２人目の素数さん：2012/02/04(土) 02:32:43.23

>>488
なんで躓くんだろうね
やっぱりグラハム数とかアッカーマンより一歩抽象的になるからだろうか？

491 ：１３２人目の素数さん：2012/02/05(日) 20:38:19.50

>>487
具体的に定義された例は過去ログを漁れば色々出てくるので、
他の表記と比較できるくらいの大きさの例について、厳密性は重視せずに説明してみる。

順序数に関数を対応させる規則は、
　αは任意の順序数、βは収束列が{β_n}である極限順序数として、
　H[0](n)=n
　H[α+1](n)=H[α](n+1)
　H[β](n)=H[β_n](n)
のように定義される。ただ、初めてこれを見ても理解できないだろうからきちんと説明する。

新たな順序数を作る方法としては、>>486でも述べたように
・ある順序数αに対して、その次の数α+1を考える
・{β_0,β_1,β_2,…}という(可算無限)数列に対して、そのどれよりも大きい最小の数βを考える
などがある。(これ以外の方法もある)
例えば、{0,1,2,3,…}という数列は普通は発散すると考えるが、
これを順序数ωに収束すると考えて、{0,1,2,3,…}をωへの収束列と考える。
同様に、ω×2の収束列は{ω+n}、ω^2の収束列は{ω×n}、のようになる。
βの収束列が{β_n}のときにα+βの収束列を{α+β_n}としておくと、
H[α+β](n)=H[α](H[β](n))のように、順序数の和が関数の合成になる。
(同じ順序数への収束列は無数にあるので、各順序数に対し一つ収束列を定めておく)

492 ：１３２人目の素数さん：2012/02/05(日) 20:39:00.99

H[0](n)=nで、H[0]はただの恒等関数である。
H[1](n)=H[0](n+1)=n+1で、H[1]は引数に+1するだけの関数である。
定義に従えば、H[2](n)=n+2、H[3](n)=n+3、…、H[m](n)=n+m、となる。
これは、H[m]がH[1]をm回繰り返す関数だから、H[m]が引数に+mする関数になるとも考えられる。
ωへの収束列は{n}={0,1,2,…}なので、H[ω](n)=H[n](n)=n*2となり、H[ω]は引数を2倍する関数となる。
H[ω*2]=H[ω+ω]で、H[ω*2]はH[ω]を2回繰り返す関数、つまり引数を4倍する関数となる。
H[ω^2]=H[ω*ω]で、H[ω^2]はH[ω]を引数の回数だけ繰り返す関数になる。
具体的には、H[ω^2](n)=n*2^nとなる。大雑把に比べると、H[ω^2]はべき乗に対応する。
H[ω^3]はH[ω^2](べき乗)の引数回繰り返しで、タワー表記の↑↑に対応する。
H[ω^4]は↑↑↑に対応し、同様にしてH[ω^(n+1)]は↑^nに対応する。
H[ω^ω]はグラハム数の定義に用いるG(n)=3→3→nに匹敵する大きさになるので、
H[ω^ω](100)はグラハム数並みの巨大数になる。

これ以上大きい数についてはhttp://gyafun.jp/ln/あたりを参照してほしい。

なぜ順序数が便利なのかを軽く説明しておくと、
巨大関数を作るための操作は(計算可能関数の範囲では)ひたすら「繰り返し」になる。
(帰納的)順序数を用いると、この「繰り返し」操作を簡潔に表すことができる。
例えば、1に対応する「ある操作」を考えると、ωはある操作の引数回繰り返し、
ω*2はある操作の引数回繰り返しの引数回繰り返し、
ω*ωは「ある操作を引数回繰り返した操作を作る」操作の引数回繰り返し、
のように、言葉で書くとわけが分からなくなるような操作を順序数で表せる。
しかも、"1"に対応する操作を変えることで、様々な操作の繰り返しを順序数を用いて統一的に表せる。
「巨大な順序数を作る操作」を繰り返すのにも順序数を用いることができるので、
順序数を使わない表記に比べてはるかに巨大な関数を作ることができる。

493 ：１３２人目の素数さん：2012/02/06(月) 02:21:31.74

分かりやすい解説ありがとう

494 ：１３２人目の素数さん：2012/02/06(月) 08:28:23.26

>>489についても回答よろしくお願いします！

496 ：１３２人目の素数さん：2012/02/07(火) 09:13:33.57

誰か証明可能帰納関数について教えて下さい…お願いします

497 ：１３２人目の素数さん：2012/02/08(水) 00:44:38.20

証明可能帰納関数のことはよく知らないから間違ってるかもしれないが、
多分、関数が全域的であることが証明できればいいのだと思う。

498 ：１３２人目の素数さん：2012/02/15(水) 21:40:31.85

>>349のf(x)の定義が帰納的になる理由が分かりません
[σ,e](x)↓って一般的には帰納的でない気がするのですが

499 ：１３２人目の素数さん：2012/02/17(金) 21:51:36.04

なんで帰納的だと思ったの？

500 ：１３２人目の素数さん：2012/02/17(金) 21:58:03.02

>>499
>>373でH[C(1,C(2,0,0),0)]相当と書いてあるから

501 ：１３２人目の素数さん：2012/02/17(金) 22:14:09.83

>>500
C(1,C(2,0,0),0)は帰納的順序数じゃない。

502 ：１３２人目の素数さん：2012/02/17(金) 22:38:07.42

なんか根本的なところをわかってなかったみたい…
・ハーディー関数は帰納的順序数でなくても収束列さえ定義できれば作れるのでしょうか
・f(x)は帰納的でないビジービーバーやふぃっしゅ数６よりも大きな関数なのでしょうか

503 ：１３２人目の素数さん：2012/02/17(金) 22:40:09.38

↑訂正：ふぃっしゅ数６じゃなくてふぃっしゅ数４でした

504 ：１３２人目の素数さん：2012/02/17(金) 23:10:33.26

>>502
> ・ハーディー関数は帰納的順序数でなくても収束列さえ定義できれば作れるのでしょうか
YES.

> ・f(x)は帰納的でないビジービーバーやふぃっしゅ数６よりも大きな関数なのでしょうか
YES.

ビジービーバー関数はH[C(1,0,0)]相当、
ふぃっしゅ数4はH[C(1,ω+1,0)]とH[C(1,ω+2,0)]の間だと思います。

505 ：１３２人目の素数さん：2012/02/17(金) 23:20:12.14

なるほど、わかりました。ありがとうございました

507 ：１３２人目の素数さん：2012/02/28(火) 02:20:01.59

グラハム数だのフィッシュ数だの無量大数桁＾無量大数桁乗には敵わんだろう

508 ：１３２人目の素数さん：2012/02/28(火) 09:37:28.99

( ´・ω・`)

509 ：１３２人目の素数さん：2012/02/28(火) 11:03:36.95

>>507
顔洗って出直して来い

510 ：１３２人目の素数さん：2012/02/28(火) 23:30:28.70

無量大数桁の無量大数桁乗って結構でかくね？

511 ：１３２人目の素数さん：2012/02/28(火) 23:31:15.42

そうだね。すごく大きいね。よかったね。

512 ：１３２人目の素数さん：2012/02/28(火) 23:35:56.86

無量大数桁の自然数は無量大数桁の自然数個あるね。
１個選んで。

513 ：１３２人目の素数さん：2012/02/29(水) 03:11:09.04

0から1の間に存在する実数の個数はこのスレで上がったどんな数より大きい

514 ：１３２人目の素数さん：2012/02/29(水) 14:09:56.58

> 大きな実数を探索するスレッドです。

515 ：１３２人目の素数さん：2012/02/29(水) 16:37:26.25

つまり順序数は実数でないので対象外なわけか

516 ：１３２人目の素数さん：2012/02/29(水) 18:39:53.06

もちろん。

517 ：１３２人目の素数さん：2012/03/01(木) 03:50:37.90

このスレの順序数は巨大数を定義するための手段に過ぎない。

518 ：１３２人目の素数さん：2012/03/03(土) 11:21:09.30

どれだけ巨大な順序数が定義できるかもみてみたい

519 ：１３２人目の素数さん：2012/03/03(土) 12:21:31.93

それはすなわち巨大基数探しということになる。
専門家がいるから素人がいくら考えても勝ち目は無い。

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties
http://www.amazon.co.jp/gp/offer-listing/4431707697/

520 ：１３２人目の素数さん：2012/03/13(火) 14:33:20.37

test

534 ：１３２人目の素数さん：2012/03/21(水) 12:24:16.36

0;f(x)=f(x)
n+1;f(x)=f(n;f(x))
[f(x)]=f(x);f(x)
[0:n+1,f(x)]=[f(x):n+1];[f(x):n+1]
[#,a+1,f(x)]=[#,a,f(x)];[#,a,f(x)]
[#,a+1,0:n+1,f(x)]=[#,a,f(x):n+2];[#,a,f(x):n+2]

535 ：１３２人目の素数さん：2012/03/21(水) 12:48:36.27

A:B　 A個のB
*　　　0個以上の0以上の整数
a　　　0以上の整数
n　　　0以上の整数
f(x)　 xを変数として持つ任意の式

0#f(x) = f(x)
n+1#f(x) = f(n#f(x))
[f(x)] = f(x)#f(x)
[0:n+1,f(x)] = [f(x):n+1]#[f(x):n+1]
[*,a+1,f(x)] = [*,a,f(x)]#[*,a,f(x)]
[*,a+1,0:n+1,f(x)] = [*,a,f(x):n+2]#[*,a,f(x):n+2]

536 ：１３２人目の素数さん：2012/03/21(水) 13:05:34.41

534,535は無視

A:B　 A個のB
*　　　0個以上の0以上の整数
a　　　0以上の整数
n　　　0以上の整数
f(x)　 xを変数として持つ任意の式

0 # f(x) = f(x)
(n+1) # f(x) = f( n # f(x) )
@[ f(x) ] = f(x) # f(x)
@[ 0:(n+1), f(x) ] = @[ f(x):(n+1) ] # @[ f(x):(n+1) ]
@[ *, a+1, f(x) ] = @[ *, a, f(x) ] # @[ *, a, f(x) ]
@[ *, a+1, 0:(n+1), f(x) ] = @[ *, a, f(x):(n+2) ] # @[ *, a, f(x):(n+2) ]

537 ：１３２人目の素数さん：2012/03/21(水) 13:48:56.04

>>536
f(x)　 xを変数として持つ0以上の整数を返す任意の式

538 ：１３２人目の素数さん：2012/03/21(水) 22:00:51.66

A:B B個のAか？

g(x) = x # x とすると
@[9:9] = g^111111111 (9)

普通のアッカーマンより小さいぞ

539 ：１３２人目の素数さん：2012/03/21(水) 23:32:11.79

>>538
＞A:B B個のAか？

はいその通りです。記述まだ間違っていました。すみません。

＞g(x) = x # x とすると

f(x)　 xを変数として持つ自然数を返す任意の式

でした。すみません。

f(x)　に x を適用すると x にしかなりません。

お試しは x+1 でお願いします。

540 ：１３２人目の素数さん：2012/03/21(水) 23:35:12.21

修正しました

A:B　 B個のA
*　　　0個以上の0以上の整数
a　　　0以上の整数
n　　　0以上の整数
f(x)　 0以上の整数xを変数として持つ自然数を返す任意の式

0 # f(x) = f(x)
(n+1) # f(x) = f( n # f(x) )
@[ f(x) ] = f(x) # f(x)
@[ 0:(n+1), f(x) ] = @[ f(x):(n+1) ] # @[ f(x):(n+1) ]
@[ *, a+1, f(x) ] = @[ *, a, f(x) ] # @[ *, a, f(x) ]
@[ *, a+1, 0:(n+1), f(x) ] = @[ *, a, f(x):(n+2) ] # @[ *, a, f(x):(n+2) ]

541 ：１３２人目の素数さん：2012/03/21(水) 23:43:16.13

@[9:9] = g^111111111 (9)

f(x) = x+1 とすると
g(x) = 2x だから
@[9:9] = 9*2^111111111

542 ：１３２人目の素数さん：2012/03/22(木) 00:02:20.35

>>541
じゃあしかたがない
忘れてください

543 ：１３２人目の素数さん：2012/03/30(金) 19:33:29.67

C++で巨大数を定義してみました。
intがオーバーフローしないとして、メモリも無限にあるとしてmainの返り値はどれくらいの大きさでしょうか。
int a=9e999;
typedef struct T{int rank;struct T *list;}T;
T max(int rank){T t;t.rank=rank;if(rank==0){t.list=(T *)(a*sizeof(T));return t;}t.list=new T[a+1];for(int i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(rank-1);t.list[a].rank=-1;t.list[a].list=0;return t;}
T dup(T &t){T x;x.rank=t.rank;if(t.rank<=0){x.list=t.list;return x;}int i=0;while(t.list[i].rank!=-1)i++;x.list=new T[i+1];while(i>=0){x.list[i]=dup(t.list[i]);i--;}return x;}
bool next(T &t){if(t.rank==0)return --t.list>0;int i=0;while(t.list[i].rank!=-1&&!next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank-1);i++;}return t.list[i].rank!=-1;}
void f(T &t,int rank){if(rank==0)a<<=a<<a;else{ T s=max(a); f(s,rank-1);}if(!next(t))return;for(int i=a;i>0;i--){T x=dup(t);f(x,rank);}}
int main(){ for(int i=a;i>0;i--){T t=max(a);f(t,a);}return a;}

544 ：１３２人目の素数さん：2012/03/30(金) 21:52:03.89

葉が数値の多進木ですね。

大きさはF[ε_0+1](9e999)くらいだと思います。
変数や関数名を全て１文字にして余分なスペースを消すと628文字です。

厳密にはポインターに数値をキャストして保持するのは無理ですので、
struct T に int num; というメンバーを追加して使うべきと思います。
    T*list = (T*)(a*sizeof(T));
    while (--list>0);
これがa-1回ループして抜ける保証はありません。

545 ：５４３：2012/03/30(金) 22:41:24.86

評価ありがとうございます。
多重リストアッカーマン位の大きさでしょうか。

546 ：１３２人目の素数さん：2012/03/30(金) 23:19:23.11

間違えました。
F[ω^ω^ω*ω+1](9e999) くらいでした。

2重リストアッカーマンよりちょっと大きいくらい、
2重リスト＆1変数のアッカーマンをループした感じです。

547 ：１３２人目の素数さん：2012/03/30(金) 23:41:55.74

149文字でF[φ_ω(0)](9)相当の数を返す私の作品を紹介します。

struct A{A*B,*C;int D;A*E(int F){A*G=F?E(F-1):B,E={C?C->E(F):G,G,D-!C};return C||D?new A(E):B;}}B,*C=&B;int main(){for(;C=C->E(B.D+=9););return B.D;}

548 ：５４３：2012/04/02(月) 18:57:16.52

どうも大きさの見積もり方がわからない。
ちょっと変形してみました。今度はどれくらいでしょうか。
>>547のコードは私には理解不能でした。
int a=9e999;
typedef struct T{int rank;int num;struct T *list;}T;
T max(int rank){T t;t.rank=rank;if(rank==0){t.num=a;return t;}t.list=new T[a+1];for(int i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(rank-1);t.list[a].rank=-1;t.list[a].list=0;return t;}
T dup(T &t){T x;x.rank=t.rank;if(t.rank<=0){x.list=t.list;x.num=t.num;return x;}int i=0;while(t.list[i].rank!=-1)i++;x.list=new T[i+1];while(i>=0){x.list[i]=dup(t.list[i]);i--;}return x;}
bool next(T &t){if(t.rank==0)return --t.num>0;int i=0;while(t.list[i].rank!=-1&&!next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank-1);i++;}return t.list[i].rank!=-1;}
void f(T &s,T &t,T &u){if(!next(s)){s=max(a){if(!next(t)){t=max(a);if(!next(u))return;}}}return;for(int i=a;i>0;i--){T x=dup(s);T y=dup(t);T z=dup(u);f(x,y,z);}}
int main(){ for(int i=a;i>0;i--){T t=max(a);T s=max(a);T u=max(a);f(s,t,u);}return a;}

549 ：５４３：2012/04/02(月) 19:17:49.39

すいません間違えました。aを増やす操作を抜かしていました。
int a=9e999;
typedef struct T{int rank;int num;struct T *list;}T;
T max(int rank){T t;t.rank=rank;if(rank==0){t.num=a;return t;}t.list=new T[a+1];for(int i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(rank-1);t.list[a].rank=-1;t.list[a].list=0;return t;}
T dup(T &t){T x;x.rank=t.rank;if(t.rank<=0){x.list=t.list;x.num=t.num;return x;}int i=0;while(t.list[i].rank!=-1)i++;x.list=new T[i+1];while(i>=0){x.list[i]=dup(t.list[i]);i--;}return x;}
bool next(T &t){if(t.rank==0)return --t.num>0;int i=0;while(t.list[i].rank!=-1&&!next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank-1);i++;}return t.list[i].rank!=-1;}
void f(T &s,T &t,T &u){a<<=a<<a;if(!next(s)){s=max(a){if(!next(t)){t=max(a);if(!next(u))return;}}}return;for(int i=a;i>0;i--){T x=dup(s);T y=dup(t);T z=dup(u);f(x,y,z);}}
int main(){ for(int i=a;i>0;i--){T t=max(a);T s=max(a);T u=max(a);f(s,t,u);}return a;}

550 ：５４３：2012/04/02(月) 19:46:10.86

たびたびすいません。今度は余計なreturnが入っていました。
int a=9e999;
typedef struct T{int rank;int num;struct T *list;}T;
T max(int rank){T t;t.rank=rank;if(rank==0){t.num=a;return t;}t.list=new T[a+1];for(int i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(rank-1);t.list[a].rank=-1;t.list[a].list=0;return t;}
T dup(T &t){T x;x.rank=t.rank;if(t.rank<=0){x.list=t.list;x.num=t.num;return x;}int i=0;while(t.list[i].rank!=-1)i++;x.list=new T[i+1];while(i>=0){x.list[i]=dup(t.list[i]);i--;}return x;}
bool next(T &t){if(t.rank==0)return --t.num>0;int i=0;while(t.list[i].rank!=-1&&!next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank-1);i++;}return t.list[i].rank!=-1;}
void f(T &s,T &t,T &u){a<<=a<<a;if(!next(s)){s=max(a){if(!next(t)){t=max(a);if(!next(u))return;}}};for(int i=a;i>0;i--){T x=dup(s);T y=dup(t);T z=dup(u);f(x,y,z);}}
int main(){ for(int i=a;i>0;i--){T t=max(a);T s=max(a);T u=max(a);f(s,t,u);}return a;}

551 ：１３２人目の素数さん：2012/04/02(月) 20:21:13.62

>>550
たぶんF[ω^(ω^ω*3)+1](9e999)くらいです。
fの引数をTの配列にすればF[ω^ω^(ω+1)+1](9e999)に、
fの引数をTをさらにTのような構造にしたものにするとF[ω^ω^ω^ω+1](9e999)になります。
（もちろん上手く定義した場合ですが）

552 ：１３２人目の素数さん：2012/04/19(木) 07:09:07.45

テスト

582 ：ぬるぽP：2012/07/16(月) 13:46:39.08

f(0,0)=2
f(0,x)=x^x
f(x,y)=f(x,y-1)^f(x,y-1)^・・・(y回)・・・f(x,y-1)

583 ：ぬるぽP：2012/07/16(月) 13:50:01.92

>>582　訂正
function f(x,y){
int a=1;
for(i=1;i<x^y;i++){
a=a^(i^j);
}
}

586 ：１３２人目の素数さん：2012/07/20(金) 23:47:45.10

>>583
何語？

^ がべき乗で、
fの値がforループを抜けた後のaの値と仮定すると、
f(x,y) は常に1

j は何？ある定数？

もう１回訂正しないと意味不明。

587 ：１３２人目の素数さん：2012/08/09(木) 11:17:41.82

保守＆まとめ

このスレの中で定義された一番大きい数＝>>373
大きさ的にはおそらくH[C(ω,0,0)]相当らしい
（CはDmytro氏のAn Ordinal NotationのC）

過去ログ
part１?７: http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/
part８：http://desktop2ch.net/math/1194777915/
まとめサイト「巨大数研究室」
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
ふぃっしゅ氏著「巨大数論」
http://gyafun.jp/ln/

Large numbers - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Large_numbers

あと、Robert Munafo 氏 (Part 3 あたりでふぃっしゅ氏がメール送ってた人）のサイトが
移転して見つからなかったけど探したら出てきたのでリンク
http://mrob.com/pub/math/largenum.html

589 ：１３２人目の素数さん：2012/08/14(火) 23:49:04.32

A(0,x)=x+1
A(y+1,0)=A(y.1)
A(y+1,x+1)=A(y,A(y+1,x))

590 ：１３２人目の素数さん：2012/08/14(火) 23:51:12.53

A(0,x)[]=A(x,x)
A(y+1,0)[]=A(y.1)[]
A(y+1,x+1)[]=A(y,A(y+1,x)[])[]

591 ：１３２人目の素数さん：2012/08/14(火) 23:54:39.41

A(0,x)[][]=A(x,x)[]
A(y+1,0)[][]=A(y.1)[][]
A(y+1,x+1)[][]=A(y,A(y+1,x)[][])[][]

592 ：１３２人目の素数さん：2012/08/14(火) 23:59:10.30

A(0,x)[][][]=A(x,x)[][]
A(y+1,0)[][][]=A(y,1)[][][]
A(y+1,x+1)[][][]=A(y,A(y+1,x)[][][])[][][]

593 ：１３２人目の素数さん：2012/08/15(水) 00:02:03.48

A(0,x)[]n+1|=A(x,x)[]n|
A(y+1,0)[]n+1|=A(y,1)[]n+1|
A(y+1,x+1)[]n+1|=A(y,A(y+1,x)[]n+1|)[]n+1|

594 ：１３２人目の素数さん：2012/08/15(水) 00:04:46.71

A(0,x)[0]=A(x,x)[]x|
A(y+1,0)[0]=A(y,1)[0]
A(y+1,x+1)[0]=A(y,A(y+1,x)[0])[0]

595 ：１３２人目の素数さん：2012/08/15(水) 00:06:56.47

A(0,x)[]n+1|[0]=A(x,x)[]n|[0]
A(y+1,0)[]n+1|[0]=A(y,1)[]n+1|[0]
A(y+1,x+1)[]n+1|[0]=A(y,A(y+1,x)[]n+1|[0])[]n+1|[0]

596 ：１３２人目の素数さん：2012/08/15(水) 00:11:19.31

A(0,x)[0][]m+1|=A(x,x)[]x|[0][]m|
A(y+1,0)[0][]m+1|=A(y,1)[0][]m+1|
A(y+1,x+1)[0][]m+1|=A(y,A(y+1,x)[0][]m+1|)[0][]m+1|

597 ：１３２人目の素数さん：2012/08/15(水) 00:13:47.65

A(0,x)[]n+1|[0][]m+1|=A(x,x)[]n|[0][]m+1|
A(y+1,0)[]n+1|[0][]m+1|=A(y,1)[]n+1|[0][]m+1|
A(y+1,x+1)[]n+1|[0][]m+1|=A(y,A(y+1,x)[]n+1|[0][]m+1|)[]n+1|[0][]m+1|

598 ：１３２人目の素数さん：2012/08/15(水) 00:16:41.93

A(0,x)[0]m+1|=A(x,x)([]x|[0][])m|[]x|
A(y+1,0)[0]m+1|=A(y,1)[0]m+1|
A(y+1,x+1)[0]m+1|=A(y,A(y+1,x)[0]m+1|)[0]m+1|

599 ：１３２人目の素数さん：2012/08/15(水) 00:26:12.86

だめだ修行が足りないアクセス制限で挫折
あきらめた

600 ：１３２人目の素数さん：2012/08/15(水) 23:45:00.87

式だけじゃなくなんか言葉を書けよ
おまえの計算ノートじゃねえ

601 ：601：2012/09/15(土) 21:04:04.83

6^0=1

602 ：１３２人目の素数さん：2012/10/01(月) 20:21:05.93

よく2chで不等号を三つも四つも重ねて違いをアピールするレス見かけるんで
その度にそれ不等号二個で十分じゃんって思ってたんだけど
このスレに出てくるような巨大数なら>>>とか>>>>もありかもって気がしてきた

一<一兆<<無料大数<<<不可説不可説転<<<<グーゴルプレックス<<<<<グラハム数

こんな感じでしょうかｗ

603 ：１３２人目の素数さん：2012/10/08(月) 09:11:33.07

ほしゅ

605 ：１３２人目の素数さん：2012/10/08(月) 11:17:53.89

f(a)=1/(1-1/a)
a=f(a)

607 ：１３２人目の素数さん：2012/10/11(木) 03:37:46.87

x,　y,　n　は　任意の非負整数　である
x:n　と記述した場合　n個　の　x　である
#　は　0個以上　の　任意の非負整数　である

上記を踏まえると多変数アッカーマン関数　Ak(a_1,a_2,a_3,......,a_(n-1),a_n)　は次の３行で定義できる

Ak( x, 0:n ) = x+1
Ak( 0:(n+1), y+1, # ) = Ak( 1:(n+1), y, # )
Ak( x+1, 0:n, y+1, # ) = Ak( Ak( x, 0:n, y+1, # ):(n+1), y, # )

うむ、美しい

608 ：１３２人目の素数さん：2012/10/11(木) 04:28:29.97

次は 関数Ak を 規定関数使って 拡張関数Ak(#)| を定義する

Ak( x, 0:n )| = Ak( x:x )
Ak( 0:(n+1), y+1, # )| = Ak( 1:(n+1), y, # )|
Ak( x+1, 0:n, y+1, # )| = Ak( Ak( x, 0:n, y+1, # )|:(n+1), y, # )|

そこで次の定義を行えば

m は 任意の非負整数
Ak( # )|0 = Ak( # )
Ak( # )|(m+1) = Ak( # )|m|

拡張用記号の　|　を用いた関数が次の定義で完成

Ak( x, 0:n )|(m+1) = Ak( x:x )|m
Ak( 0:(n+1), y+1, # )|m = Ak( 1:(n+1), y, # )|m
Ak( x+1, 0:n, y+1, # )|m = Ak( Ak( x, 0:n, y+1, # )|:(n+1), y, # )|m

609 ：１３２人目の素数さん：2012/10/11(木) 04:36:46.51

規定関数に使う関数を Ak(#)@ とし
拡張関数を Ak(#)@@とすると
つねに次の関係が成立する

Ak( x, 0:n )@@ = Ak( x:x )@
Ak( 0:(n+1), y+1, # )@@ = Ak( 1:(n+1), y, # )@@
Ak( x+1, 0:n, y+1, # )@@ = Ak( Ak( x, 0:n, y+1, # )@@:(n+1), y, # )@@

したがって以後下２行は省略して１行目の規定関数と拡張関数の定義だけで
拡張関数の定義とみなす

610 ：１３２人目の素数さん：2012/10/11(木) 05:00:54.89

@@ と @ の対応は次通り

[]　→　|x

|(n+1)[]　→　|n[]

[]|(m+1)　→　|x[]|m

|(n+1)[]|m　→　|n[]|m

[][]　→　|x[]|x

[](m+1) 　→　(|x[])m|x

[]m|(n+1) 　→　(|x[])m|n

611 ：１３２人目の素数さん：2012/10/11(木) 05:11:19.32

イメージとしてはこんあ感じで拡張していくんだけど人に説明するための定義になってないんでただ今断念中

||||[]||||
|||||[]|||||[]||||[]|||[]||||
[0]
|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||
|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||
[0,0]
|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]||||[0,0]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]|||||[]||||[0]|||||[]|||||[]||||
[0,0,0]
[0,0,0,0,0]
[1]
[0,1]
[0,0,1]
[1,0]
[0,1,0]
[0,0,1,0]
[0,0,1,0,0]
[1,1]
[0,1,1]
[0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,00,0]
[2]
[0,0,2,0,0,0]
[0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0]
[3]
[4]
[5]
[10,10,10]
[|]

613 ：１３２人目の素数さん：2012/11/02(金) 23:29:32.04

何でスキューズ数が出てないんだよ
お前ら本当に数ヲタか？

614 ：１３２人目の素数さん：2012/11/03(土) 09:33:24.44

小さすぎて気がつかなかった

615 ：１３２人目の素数さん：2012/11/03(土) 12:52:32.38

せめてグラハム数くらいの大きさはないとなあ

616 ：１３２人目の素数さん：2012/11/04(日) 11:15:08.17

あげ

617 ：１３２人目の素数さん：2012/11/04(日) 12:42:58.54

さげてるやん

618 ：１３２人目の素数さん：2012/11/28(水) 11:16:09.20

保守

620 ：１３２人目の素数さん：2012/12/11(火) 21:14:02.39

ハイパー演算子ってなんすか？

621 ：１３２人目の素数さん：2012/12/12(水) 00:32:13.23

アッパー演算子
ベリー演算子
ウルトラ演算子
スーパー演算子
エクストリーム演算子
メタ演算子
トランス演算子
プリター演算子
グレート演算子
ミラクル演算子
ゴージャス演算子
マイティー演算子
パーフェクト演算子
ローリング演算子
ワンダー演算子
ドリーム演算子
アメージング演算子
スペシャル演算子
サバイブ演算子
バスター演算子
アルティメット演算子
ハイパー演算子

622 ：１３２人目の素数さん：2012/12/22(土) 15:09:21.01

Wikiみれ

625 ：１３２人目の素数さん：2012/12/24(月) 19:16:08.71

f(0,0)=1
f(0,x)=x
f(x,0)=f(x-1,f(x-1,x))
f(x,y)=(f(x,y-1),f(x-1,y))

629 ：１３２人目の素数さん：2012/12/25(火) 15:02:53.19

f(0,0)=1
f(0,x)=x+1
f(x,0)=f(x-1,f(x-1,x))
f(x,y)=(f(x,y-1),f(x-1,y))

630 ：１３２人目の素数さん：2012/12/25(火) 15:17:48.65

>>620
少しいじくってみた
f(0,0)=0
f(0,x)=x^2+1
f(x,0)=f(x-1,f(x-1,x)^2)
f(x,y)=f(x-1,f(x,y-1)^2)

633 ：１３２人目の素数さん：2012/12/27(木) 22:32:11.86

z[a]()=a+1
z[a](0)=z[z[a]()]()
z[a](b+1)=z[z[a](b)](b)
z[a](0,0:n+1)=z[z[a](a:n+1)](z[a](a:n+1):n+1)
z[a](b+1,0:n+1)=z[z[a](b,0:n+1)](z[a](b,0:n+1):n+1)
z[a](0,0:n,c+1,#)=z[z[a](a:n+1,c,#)](z[a](a:n+1,c,#):n+1,c,#)
z[a](b+1,0:n,c+1,#)=z[z[a](b+1,0:n,c,#)](z[a](b+1,0:n,c,#):n+1,c,#)

634 ：１３２人目の素数さん：2012/12/27(木) 22:42:19.89

#は0個以上の0以上の整数
x:yはy固のx（ただしyとxは0以上の整数）
a,b,c,nは0以上の整数

z[a]()=a+1
z[a](0)=z[z[a]()]()
z[a](b+1)=z[z[a](b)](b)
z[a](0,0:n+1)=z[z[a](a:n+1)](z[a](a:n+1):n+1)
z[a](b+1,0:n+1)=z[z[a](b,0:n+1)](z[a](b,0:n+1):n+1)
z[a](0,0:n,c+1,#)=z[z[a](a:n+1,c,#)](z[a](a:n+1,c,#):n+1,c,#)
z[a](b+1,0:n,c+1,#)=z[z[a](b,0:n,c+1,#)](z[a](b,0:n,c+1,#):n+1,c,#)

635 ：１３２人目の素数さん：2013/01/15(火) 22:51:02.67

ふぃっしゅ数の論文読んできたけどここ見てるやつの何割が理解出来てんだかこれ
バージョン5辺りから読むの投げた

637 ：１３２人目の素数さん：2013/01/28(月) 16:15:27.13

超天才と呼ばれるほどの数学者が本気でこのスレの課題に取り組んだら、
どんな解答を導きだすのか興味あるわ

639 ：１３２人目の素数さん：2013/02/08(金) 15:15:54.85

x,y,nは0以上の整数
x:nはn個のx
x:0はヌル
#は0個以上の0以上の整数

f()=1+1
f(0)=f()+f()
f(x+1)=f(x)+f(x)
f(0,0:n+1)=f(f(0:n+1):n+1)
f(x+1,0:n+1)=f(f(x,0:n+1):n+1)
f(0,0:n,y+1,#)=f(f(0,0:n,y,#):n+1,y,#)
f(x+1,0:n,y+1,#)=f(f(x,0:n,y+1,#):n+1,y,#)

g()=f(f():f())
g(0)=f(g():g())
g(x+1)=f(g(x):g(x))
g(0,0:n+1)=g(g(0:n+1):n+1)
g(x+1,0:n+1)=g(g(x,0:n+1):n+1)
g(0,0:n,y+1,#)=g(g(0,0:n,y,#):n+1,y,#)
g(x+1,0:n,y+1,#)=g(g(x,0:n,y+1,#):n+1,y,#)

640 ：１３２人目の素数さん：2013/02/08(金) 15:31:01.21

>>639
小さいよ

641 ：１３２人目の素数さん：2013/02/08(金) 16:35:58.44

f()=2
f(0)=4
f(0,0)=f(4)=16
f(0,0,0)=f(16,16)
f(0,0,0,0)=f(f(16,16),f(16,16),f(16,16))
f(0,0,0,0,0)=f(f(f(16,16),f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16),f(16,16)))

f(n)=2^(n+2)

f(1,0)=2^18
f(2,0)=2^(2^18)
f(3,0)=2^(2^(2^18))
f(4,0)=2^(2^(2^(2^18)))

f(0,1)=f(f(0,0),0)=f(16,0)=2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^18)))))))))))))))
f(1,1)=f(f(0,1),0)=f(f(16,0),0)
f(2,1)=f(f(1,1),0)=f(f(f(16,0),0),0)
f(3,1)=f(f(2,1),0)=f(f(f(f(16,0),0),0),0)

f(0,2)=f(f(0,1),1)=f(f(16,0),1)
f(1,2)=f(f(0,2),1)=f(f(f(16,0),1),1)
f(2,2)=f(f(1,2),1)=f(f(f(f(16,0),1),1),1)
f(3,2)=f(f(2,2),1)=f(f(f(f(f(16,0),1),1),1),1)

f(0,3)=f(f(0,2),2)=f(f(f(16,0),1),2)
f(1,3)=f(f(0,3),2)=f(f(f(f(16,0),1),2),2)
f(2,3)=f(f(1,3),2)=f(f(f(f(f(16,0),1),2),2),2)
f(3,3)=f(f(2,3),2)=f(f(f(f(f(f(16,0),1),2),2),2),2)

642 ：１３２人目の素数さん：2013/02/08(金) 16:37:26.76

f(1,0,0)=f(f(0,0,0),f(0,0,0))=f(f(16,16),f(16,16))
f(2,0,0)=f(f(1,0,0),f(1,0,0))=f(f(f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16)))
f(3,0,0)=f(f(2,0,0),f(2,0,0))=f(f(f(f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16))),f(f(f(16,16),f(16,16)),f(f(16,16),f(16,16))))

f(0,1,0)=f(f(0,0,0),0,0)=f(f(16,16),0,0)
f(1,1,0)=f(f(0,1,0),0,0)=f(f(f(16,16),0,0),0,0)
f(2,1,0)=f(f(1,1,0),0,0)=f(f(f(f(16,16),0,0),0,0),0,0)
f(3,1,0)=f(f(2,1,0),0,0)=f(f(f(f(f(16,16),0,0),0,0),0,0),0,0)

f(0,2,0)=f(f(0,1,0),1,0)=f(f(f(16,16),0,0),1,0)
f(1,2,0)=f(f(0,2,0),1,0)=f(f(f(f(16,16),0,0),1,0),1,0)
f(2,2,0)=f(f(1,2,0),1,0)=f(f(f(f(f(16,16),0,0),1,0),1,0),1,0)
f(3,2,0)=f(f(2,2,0),1,0)=f(f(f(f(f(f(16,16),0,0),1,0),1,0),1,0),1,0)

f(0,0,1)=f(f(0,0,0),f(0,0,0),0)=f(f(16,16),f(16,16),0)
f(1,0,1)=f(f(0,0,1),f(0,0,1),0)=f(f(f(16,16),f(16,16),0),f(f(16,16),f(16,16),0),0)
f(2,0,1)=f(f(1,0,1),f(1,0,1),0)=f(f(f(f(16,16),f(16,16),0),f(f(16,16),f(16,16),0),0),f(f(f(16,16),f(16,16),0),f(f(16,16),f(16,16),0),0),0)

g()=f(2,2)=f(f(f(f(16,0),1),1),1)
g(0)=f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1))
g(1)=f(f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1)):f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1)))
g(2)=f(f(f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1)):f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1))):f(f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1)):f(f(f(f(f(16,0),1),1),1):f(f(f(f(16,0),1),1),1))))

643 ：１３２人目の素数さん：2013/02/09(土) 01:18:28.95

ある関数の解が値が有限数として
数を有限であると数数回検証した場合に失敗する確率

647 ：１３２人目の素数さん：2013/02/09(土) 18:56:06.96

>>642 数が大きすぎてわかりません＞＜

652 ：１３２人目の素数さん：2013/02/12(火) 16:15:18.82

>>641 こうじゃね？
f()=1+1=2

f(0)=f()+f()=2+2=4
f(1)=f(0)+f(0)=4+4=8
f(2)=f(1)+f(1)=8+8=16
f(3)=f(2)+f(2)=16+16=32
f(4)=f(3)+f(3)=32+32=64
f(n)=2^(n+2)
f(64)=2^66

f(0,0)=f(f(0))=f(4)=64
f(1,0)=f(f(0,0))=f(64)=2^66
f(2,0)=f(f(1,0))=f(2^66)=2^(2^66)
f(3,0)=f(f(2,0))=f(2^(2^66))=2^(2^(2^66))
f(4,0)=f(f(3,0))=f(2^(2^(2^66)))=2^(2^(2^(2^66)))

f(0,1)=f(f(0,0),0)=f(64,0)
f(1,1)=f(f(0,1),0)=f(f(64,0),0)
f(2,1)=f(f(1,1),0)=f(f(f(64,0),0),0)
f(3,1)=f(f(2,1),0)=f(f(f(f(64,0),0),0),0)
f(4,1)=f(f(3,1),0)=f(f(f(f(f(64,0),0),0),0),0)

f(0,2)=f(f(0,1),1)=f(f(64,0),1)
f(1,2)=f(f(0,2),1)=f(f(f(64,0),1),1)
f(2,2)=f(f(1,2),1)=f(f(f(f(64,0),1),1),1)
f(3,2)=f(f(2,2),1)=f(f(f(f(f(64,0),1),1),1),1)
f(4,2)=f(f(3,2),1)=f(f(f(f(f(f(64,0),1),1),1),1),1)

653 ：１３２人目の素数さん：2013/02/12(火) 16:41:04.25

>>652 こうだった
f(0,0)=f(f(0))=f(4)=64
f(1,0)=f(f(0,0))=f(64)=2^66
f(2,0)=f(f(1,0))=f(2^66)=2^(2^66+2)
f(3,0)=f(f(2,0))=f(2^(2^66+2))=2^(2^(2^66+2)+2)
f(4,0)=f(f(3,0))=f(2^(2^(2^66+2)+2))=2^(2^(2^(2^66+2)+2)+2)

654 ：１３２人目の素数さん：2013/02/12(火) 16:57:17.20

>>641 0を並べるとこうなるのか

f()=2
f(0)=4
f(0,0)=64
f(0,0,0)=f(64,64)
f(0,0,0,0)=f(f(64,64),f(64,64),f(64,64))
f(0,0,0,0,0)=f(f(f(64,64),f(64,64),f(64,64)),f(f(64,64),f(64,64),f(64,64)),f(f(64,64),f(64,64),f(64,64)),f(f(64,64),f(64,64),f(64,64)))

f(0:0)=2
f(0:1)=4
f(0:2)=64
f(0:3)=f(64:2)
f(0:4)=f(f(64:2):3)
f(0:5)=f(f(f(64:2):3):4)
f(0:6)=f(f(f(f(64:2):3):4):5)
f(0:7)=f(f(f(f(f(64:2):3):4):5):6)
f(0:8)=f(f(f(f(f(f(64:2):3):4):5):6):7)
f(0:9)=f(f(f(f(f(f(f(64:2):3):4):5):6):7):8)
f(0:10)=f(f(f(f(f(f(f(f(64:2):3):4):5):6):7):8):9)

655 ：１３２人目の素数さん：2013/02/12(火) 17:14:10.09

>>642 俺はこれ以上考えるのを放棄した

g()=f(f():f())=f(2:2)=f(2,2)=f(f(f(f(64,0),1),1),1)
g(0)=f(g():g())=f(f(f(f(f(64,0),1),1),1):f(f(f(f(64,0),1),1),1))
g(1)=f(g(0):g(0))=f(f(f(f(f(f(64,0),1),1),1):f(f(f(f(64,0),1),1),1)):f(f(f(f(f(64,0),1),1),1):f(f(f(f(64,0),1),1),1)))
g(2)=f(g(1):g(1))=f(f(f(f(f(f(f(64,0),1),1),1):f(f(f(f(64,0),1),1),1)):f(f(f(f(f(64,0),1),1),1):f(f(f(f(64,0),1),1),1))):f(f(f(f(f(f(64,0),1),1),1):f(f(f(f(64,0),1),1),1)):f(f(f(f(f(64,0),1),1),1):f(f(f(f(64,0),1),1),1))))

g(0,0)=g(g(0))=g(f(f(f(f(f(64,0),1),1),1):f(f(f(f(64,0),1),1),1)))

656 ：１３２人目の素数さん：2013/02/12(火) 23:00:39.67

こんなちっちゃい関数を計算してあげるなんて優しいなぁ

657 ：１３２人目の素数さん：2013/02/13(水) 12:32:52.73

ちっちゃいよね

658 ：１３２人目の素数さん：2013/02/13(水) 18:50:57.38

俺が一日で放出する精子の方が大きい

659 ：１３２人目の素数さん：2013/02/21(木) 20:33:10.80

10!

660 ：１３２人目の素数さん：2013/03/08(金) 22:37:43.24

>>639

f(n) ≒ F[2](n)
f(n,0) ≒ F[3](n)
f(n,1) ≒ F[4](n)
f(n,2) ≒ F[5](n)
f(n,0,0) ≒ F[ω+1](n)
f(n,1,0) ≒ F[ω+2](n)
f(n,2,0) ≒ F[ω+3](n)
f(n,0,1) ≒ F[ω*2+1](n)
f(n,1,1) ≒ F[ω*2+2](n)
f(n,2,1) ≒ F[ω*2+3](n)
f(n,0,2) ≒ F[ω*3+1](n)
f(n,0,0,0) ≒ F[ω^2+1](n)
f(n,0,0,0,0) ≒ F[ω^3+1](n)
f(n:n) ≒ F[ω^ω](n)

g(n) ≒ F[ω^ω+1](n)
g(n,0) ≒ F[ω^ω+2](n)
g(n,1) ≒ F[ω^ω+3](n)
g(n,2) ≒ F[ω^ω+4](n)
g(n,0,0) ≒ F[ω^ω+ω+1](n)
g(n,1,0) ≒ F[ω^ω+ω+2](n)
g(n,2,0) ≒ F[ω^ω+ω+3](n)
g(n,0,1) ≒ F[ω^ω+ω*2+1](n)
g(n,1,1) ≒ F[ω^ω+ω*2+2](n)
g(n,2,1) ≒ F[ω^ω+ω*2+3](n)
g(n,0,2) ≒ F[ω^ω+ω*3+1](n)
g(n,0,0,0) ≒ F[ω^ω+ω^2+1](n)
g(n,0,0,0,0) ≒ F[ω^ω+ω^3+1](n)
g(n:n) ≒ F[(ω^ω)*2](n)

661 ：１３２人目の素数さん：2013/03/08(金) 22:45:02.98

>>639
明らかに多変数アッカーマンを参考にしてるのに、
多変数アッカーマンから全然大きくなってない。

胆はf,gの各定義の最後の１行だけ。
それ以外は小さくてもほとんど大きさは変わらない。
たとえば贅肉をそいで以下のようにシンプルになる。

f(0,#)=2
f(x+1,0:n)=f(x,0:n)+1
f(x+1,0:n,y+1,#)=f(f(x,0:n,y+1,#):n+1,y,#)

g(0,#)=2
g(x+1,0:n)=f(x+1:x+1)
g(x+1,0:n,y+1,#)=f(f(x,0:n,y+1,#):n+1,y,#)

fと同じ行を費やしてgを定義した割に、*2 にしかなってないところが泣ける。

定義のシンプルさ、わかりやすさ、定義の綺麗さ、値の綺麗さ、関数の増大度、定義の独自性、
この辺に特徴がないようでは価値はない。

662 ：１３２人目の素数さん：2013/03/08(金) 22:48:56.71

間違った
× g(x+1,0:n,y+1,#)=f(f(x,0:n,y+1,#):n+1,y,#)
○ g(x+1,0:n,y+1,#)=g(g(x,0:n,y+1,#):n+1,y,#)

663 ：１３２人目の素数さん：2013/03/13(水) 00:18:44.99

Dmytro Taranovsky 氏の順序数表記が最近更新されたみたい。
http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm

664 ：１３２人目の素数さん：2013/03/13(水) 22:15:01.45

質問です
G^G^64(4)(G^64(4))
で３重帰納に爪の先が引っかかる程度の数にはなっているでしょうか？

それと、順序数のイメージは
『数直線の数の場所を表す点を（速度無関係に）動かし続けた先』
で合っているでしょうか

665 ：１３２人目の素数さん：2013/03/14(木) 05:07:02.50

>>664
Gの定義は？

> 『数直線の数の場所を表す点を（速度無関係に）動かし続けた先』
こんなイメージを持ったことはない。

666 ：１３２人目の素数さん：2013/03/14(木) 16:10:37.78

>>665
Ｇ^64(4)でグラハム数
Ｇ(4)＝３↑↑↑↑３
Ｇ^2（4）＝３（↑をＧ(4)個）３
Ｇ^x(y)＝３（↑をＧ^(x-1)(y)個）３

グラハム数のイメージとグラハム数が２重帰納である事以外はよくわかりません
一応、自分で作った巨大数もあるのですが既出ではないかと不安になっていまして

後、よろしければ順序数について教えていただけると嬉しいです

667 ：１３２人目の素数さん：2013/03/14(木) 16:11:54.83

sage忘れていました、すみません

670 ：１３２人目の素数さん：2013/03/14(木) 21:36:42.33

>>666
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%8F%E3%83%A0%E6%95%B0
このGか。
人に検索させないでリンクくらい貼ろうぜ。。

G(n) ≒ F[ω](n)
G^n (4) ≒ F[ω+1](n)
G^G^n(4)(G^64(4)) は F[ω+1](n) よりちょっと大きいくらい。

３重帰納はF[ω^ω](n) 相当だから、
爪の先が引っかかるどころか、Gからほとんど進んでない。

３重帰納である関数は以下でできる。
f(a, b, c) = c+2 ....※ (a=0 and b=0) or c=0 のとき
f(a, b, c) = f(a-1,c,c) ....※ a≠0 and b=0 and c≠0 のとき
f(a, b, c) = f(a, b-1, f(a, b, c-1)) ....※ b≠0 and c≠0 のとき
※ a, b, c : 非負整数

671 ：１３２人目の素数さん：2013/03/14(木) 22:38:01.69

l,m,n　を非負整数として

l[{↑}をm個]l＝l「m」
l「[{?,}をm個]n」＝l「[{l「[{?,}をm個](n-1)」,}をm個]l「[{?,}をm個](n-1)」」
l「[{?,}をm個]n,0」＝l「[{?,}をm個]n」

とした時の　3「3,64,1」＝3「3「3,64」,3「3,64」」
が３重帰納相当だと思っていたのだが
もっと大きかったか

l[{↑}をm個]l＝l「m」
l「[{?,}をm個]n:o」＝l「[{l「[{?,}をm個](n-1)」,}をm個]l「[{?,}をm個](n-1)」:o」
l「[{?,}をm個]n,0:o」＝l「[{?,}をm個]n:o」
l「[{l,}をm個]l:n」＝l「m:(n+1)」

位はしないと駄目なのか？

672 ：671：2013/03/14(木) 22:42:29.24

すまん

?＝?が成立するとは限らないが　[{?,}をm個]＝[{?,}をm個]　である

というのを入れ忘れた
[{?,}をm個]＝m個のカンマで区切った0以上の数列
ととればわかりやすいと思う

673 ：671：2013/03/14(木) 22:47:02.61

さらに謝罪＋連投ですみません

このスレ内で説明すればよいと思っていたので
リンクを張るという事が思い浮かびませんでした
次から気を付けます

674 ：１３２人目の素数さん：2013/03/15(金) 00:16:04.52

>>671
文字化けしてるし見にくくて解読する気にならない。
大きさを見積もってほしければわかるように書いて。

675 ：671：2013/03/15(金) 00:58:34.29

>>674

見にくいのはじぶんでも思いましたが
行なっている作業を考えるとこれ以上簡略化することは自分にはできません
ちなみに、その行なっている作業というのは
１：右端の数を-1したコピーをカンマの間にペースト
２：右端の数が0になったら終了
の二つです

文字化けは自分には解りません、申し訳ありません

676 ：671：2013/03/15(金) 10:08:39.88

こちらでは正しく表示されているのですが

?←これのことなら半角疑問符なのでそのまま表示されてます
それと　>>675　の内容に誤りがあったので訂正
l[{↑}をm個]l＝l「m」
l「[{?,}をm個]n」＝l「[{l「[{?,}をm個](n-1)」,}をm個]l「[{?,}をm個](n-1)」」
l「[{?,}をm個]n,0」＝l「[{?,}をm個]n」

これによって行われている操作は

１：カンマ区切りにした数の中で一番右の数を-1する
２：「」の左隣にある数まで含めてコピーする
３：全てのカンマの左隣の数の上に上書きしてペースト
４：一番右のカンマとその右隣の数を消す
５：一番右のカンマの右隣の数が0だったら消す
６：１に戻る
※「」が重なったら内側を優先、でないと計算できない※
これをただひたすらに繰り返して
l「l「l「l…「m」」」…」の形に持って行ってから計算するだけです

例えば
2「2,6,4,3」⇒2「2「2,6,4,2」,2「2,6,4,2」,2「2,6,4,2」」

　

677 ：１３２人目の素数さん：2013/03/15(金) 18:22:51.88

定義式の一番重要なヤツが間違ってるのか。

結論から言うと、
n「n:n」 で３重帰納相当

>>670
× ３重帰納はF[ω^ω](n) 相当だから、
○ ３重帰納はF[ω^2](n) 相当だから、

678 ：１３２人目の素数さん：2013/03/15(金) 18:32:22.26

3「n」 = f_1 (n)
3「n, n」 = f_2 (n)
3「n, n, n」 = f_3 (n)
3「n, n, n, n」 = f_4 (n)
....
とすると、

f_2 (n) = f_1^(n+1) (n)
f_3 (n) = f_2^(n+1) (n)
f_4 (n) = f_3^(n+1) (n)
f_5 (n) = f_4^(n+1) (n)
....

F[α+1](n) = F[α]^n (n) だから、
f_i のi が1増えるのと、 F[α] のαが1増えるのがほぼ同じ効果。

F[α+ω] (n) = F[α+n] (n) なので、
f_1(n) ≒ F[α] (n) とすると、f_n (n) ≒ F[α+ω] (n)
つまり、f_1(n) から f_n (n) を作る操作が ＋ω の効果。

これをn回繰り返すので、
3「n:n」≒F[ω^2](n)

679 ：１３２人目の素数さん：2013/03/15(金) 18:41:33.04

同じような帰納的定義の多変数関数同士でも、
定義の差で値は大きく変わる。

● n「」
a : 0以上の整数 / n : 1以上の整数 / Ｘ : 1個以上の0以上の整数 / dim(Ｘ) : Ｘの整数の個数

n「a」 = n [↑^a] n
n「Ｘ, 0」 = n「Ｘ」
n「Ｘ, a+1」 = n「 n「Ｘ, a」 が dim(Ｘ) 個 」

n「nがn個」 ≒ F[ω*2](n)

● チェーン
a, b, c : 1以上の整数 / Ｘ : 1個以上の1以上の整数 (subチェーン) / dim(Ｘ) : Ｘの整数の個数

→(b, a) = b^a
→(Ｘ, 1, a) = →(Ｘ, 1)
→(Ｘ, b, 1) = →(Ｘ, b)
→(Ｘ, b+1, a+1) = →(Ｘ, ↑(Ｘ, b, a+1), a)

→(n個のn) ≒ F[ω^2](n)

● 多変数アッカーマン
a, b, n : 0以上の整数 / □ : 0個以上の0 / Ｘ : 0個以上の0以上の整数

Ak(□, a) = a+1
Ak(Ｘ, b+1, 0) = Ak(Ｘ, b, 1)
Ak(Ｘ, b+1, a+1) = Ak( Ｘ, b, Ak(Ｘ, b+1, a) )
Ak(Ｘ, b+1, 0, □, a ) = Ak(Ｘ, b, a, □, a)

Ak(n個のn) ≒ F[ω^ω](n)

680 ：671：2013/03/15(金) 22:08:56.15

考察有難うございます
うーむ、独学だとこの位が限界か
なんか皆さんがやっている式の動きが全く想像できなかったから
自分で思いつく限り大きな数を作ってみたのですが、全然駄目だったみたいですね
拡張は出来ますけどそういう問題じゃないんだろうなぁ

例えば
l[{↑}をm個]l＝l「m」
l「[{?,}をm個]n:o」＝l「[{?,}をm個]l「[{?,}をm個](n-1)」:o;p」
l「[{?,}をm個]n,0:o」＝l「[{?,}をm個]n:o」
l「[{l,}をm個]l:n:o」＝l「m:(n+1):o」
l「m[{:n}をo個]」＝l「m:n;o」

とかやっても対して大きくなりませんよね
順序数とか多重帰納とか全くわかりませんし
多重帰納式の動きと順序数についてご教授お願いします

681 ：１３２人目の素数さん：2013/03/15(金) 22:46:26.05

>>680 の拡張を効率化しながら続けてみよう。
>>679 も参考にしながら。

682 ：671：2013/03/15(金) 23:07:45.13

質問です
● チェーン　と　● 多変数アッカーマン
がどんな動きをしているのかが全くイメージできません
拡張の効率化ならなんとかなるかもしれませんが
後、今気づいたのですが　>>680　は循環しちゃってますね(笑)

683 ：671：2013/03/15(金) 23:43:32.22

a[{↑}をb個]a＝a<b>
a<[{?.}をb個]c.d[{|?:f}をb個]|>＝a<[{?.}をb個]a<[{?.}をb個]c.d-1>[{|?:f}をb個]>
a<[{b.}を(c-1)個]b[{|?:d}をe個]>＝a<c|(?+1):d[{|?:d}を(e-1)個]>
a<b[{|?:d}をa個]>＝a<b|?:(d+1)>

※?＝?　とは限らないが　[{|?:d}をe個]＝[{|?:d}をe個] ＝|?:d[{|?:d}を(e-1)個]　※

拡張の効率化に成功、どう見ても力業です
やりたいことは伝わったかなぁ

684 ：671：2013/03/16(土) 00:28:34.99

さっきの、よく見たらそんなに大きくなってない

a[{↑}をb個]a＝a<b>
a<[{?.}をb個]c.d>＝a<[{?.}をb個]a<[{?.}をb個]c.d-1>>
a<[{b.}を(b-1)個]b|x:y>＝a<b|(x+1):y>
a<b|0:c>＝a<b|b:(c-1)>

でもこれで大きくなっているのかも判断つかない
さっきのよりは大きいと思うけど

685 ：671：2013/03/16(土) 21:14:06.95

多変数アッカーマンを自分なりの方法で意訳しました

<[{0,}をa個]a>＝a+1
<[{?,}をa個](b+1),0>＝<[{?,}をa個]b,1>
<[{?,}をa個]b,(c+1)>＝<[{?,}をa個]b,<[{?,}をa個]b,c>>
<[{?,}をa個]b,0,[{0,}をc個]d>＝<[{?,}をa個]b,e,[{0,}をc個]d>

三行目のbに余計な＋１を付けないでください
そのせいで今まで混乱してました

686 ：671：2013/03/16(土) 22:17:03.19

よくみたら三行目のb＋1意味ありました、すみません

687 ：１３２人目の素数さん：2013/03/16(土) 23:44:36.78

具体例も説明も何も書かないんだったら、
せめて定義式を間違えないように書いてくださいな。
>>671なんか7個の式の中の3個が間違ってますよね。
訂正してないので気づいてないかもしれませんが。

+1 は値の範囲を示す役目もしてるんですよ。
あたなの書いた定義式
l[{↑}をm個]l＝l「m」
これにm=0を入れると、
l l = l「0」 ですよね。
定義式を書くならそういう範囲も考えて書いてください。

688 ：１３２人目の素数さん：2013/03/16(土) 23:51:53.37

>>684
> 具体例も説明も何も書かないんだったら、
> せめて定義式を間違えないように書いてくださいな。

689 ：１３２人目の素数さん：2013/03/17(日) 00:38:30.14

>>684
そのまま | の右に変数をうまく足していけば多変数アッカーマンくらいになります。
とりあえずもう２?３個足してみてください。
なにか気づくと思います。

690 ：671：2013/03/17(日) 03:12:42.21

>>689
多分、貴方の言う「何か」には自力で気づいていると思います
多変数アッカーマンの
(a×,b,0□,c)＝(a×,b-1,c□,c)
に相当する部分ですよね？

それと、多変数アッカーマンの記述は理解のしやすさにも欠けています
具体的にはこうするとわかりやすいかと

□＝0個以上の,0
×＝0個以上の,(0以上の整数)
(0□,a)＝(a+1)
(a×,b,0□,c)＝(a×,b-1,c□,c)
(a×,b,0)＝(a×,b-1,1)
(a×,b,c)＝(a×,b-1,(a×,b,c-1))


以前の発言に勘違いが含まれていた事は間違いを認め、謝罪します
私なんかの為に態々ご指導下さった方々に感謝します
今はきちんと理解していますのでご安心してください

それにしても多変数アッカーマン凄まじいですね、このスレの底知れなさを思い知りましたよ

691 ：１３２人目の素数さん：2013/03/17(日) 04:01:13.48

>>7
マジか、その表記ハンパないな

692 ：671：2013/03/17(日) 04:13:46.08

多変数アッカーマン拡張を閃いたので置いておきます

<[{0,}をa個],b>＝<b+1>
<[{?,}をa個]b,c>＝<[{?,}をa個]b-1,<[{?,}をa個]b,c-1>>
<[{?,}をa個]b,0,[{0,}をc個]d[{|?:?}をd個]>＝<[{?,}をa個]b-1,d,[{0,}をc個]d[{|?:?}をd個]>
<a|b:c[{|?:?}をd個]>＝<[{a,}をa個]|b-1:c[{|?:?}をd個]>
<a|0:b|c:d[{|?:?}をe個]>＝<a|a:b|c-1:d[{|?:?}をe個]>
<a|0:b[{|0:b}をc個][{|?:b+?}をd個]>＝<a[{|a:b-1}をa個][{|0:b}をc個][{|?:b+?}をd個]>


多変数アッカーマンに|a:bをくっつけただけです
|a:bのbはとりあえず『階級』と呼ぶことにしました、なんかそれっぽいですし
もし既出なら階級ではない方の呼び方を教えてください

693 ：671：2013/03/17(日) 04:36:22.43

しまった、定義が足りない

<a|0:0[{|?:?}をe個]>＝<a[{|?:?}をe個]>

これを追加します

694 ：671：2013/03/17(日) 05:56:26.75

少しおかしかったので整理

<[{0,}をa個],b>＝<b+1>
<[{?,}をa個]b,c[{|?:?}をd個]>＝<[{?,}をa個]b-1,<[{?,}をa個]b,c-1>[{|?:?}をd個]>
<[{?,}をa個]b,0,[{0,}をc個]d[{|?:?}をe個]>＝<[{?,}をa個]b-1,d,[{0,}をc個]d[{|?:?}をe個]>
<a|b:c[{|?:?}をd個]>＝<[{a,}をa個]|b-1:c[{|?:?}をd個]>
<a|0:b|c:d[{|?:?}をd個]>＝<a|a:b|c-1:d[{|?:?}をd個]>
<a|0:b[{|0:b}をc個][{|0:?}をd個]>＝<a[{|a:b-1}をa個][{|0:b}をc個][{|0:?}をd個]>
<a|0:0[{|?:?}をb個]>＝<a[{|?:?}をb個]>

695 ：671：2013/03/17(日) 11:13:09.10

整理完了、アッカーマンの部分がおまけになってた
連投すみません、これで終わりなので許してください
お願いします、ごめんなさい


○＝[{|0:x}をy個]
◎＝[{|0:?}をz個]
●＝[{|?:?}をn個]

<a>＝a
<a|b:c●>＝<a+a|b-1:c●>
<a|0:b|c:d●>＝<a|a:b|c-1:d●>
<a|0:b◎>＝<a[{|a:b-1}をa個]◎>
<a|0:0◎>＝<a◎>

696 ：671：2013/03/17(日) 12:11:01.58

ごめんなさい、さっきので終わらせると言ったのにまだ修正が必要な式になっててごめんなさい
さらに連投を繰り返してごめんなさい、許してください・・・

<a>＝a
<a|b:c●>＝<a+a|b-1:c●>
<a●|0:b|c:d●>＝<a●|a:b|c-1:d●>
<a|0:b◎>＝<a[{|a:b-1}をa個]◎>
<a|0:0◎>＝<a◎>

697 ：671：2013/03/17(日) 15:05:25.84

多重階級関数


?＝[{(0以上の整数):}を(0以上の整数)個](0以上の整数)
?＝[{|(0以上の整数)|?}を(0以上の整数)個]
?＝[{|z|?:a:b-1?}をa個]
?＝[{0:}を(0以上の整数)個]0
?＝[{a:}をa-1個]a
?＝[{|z-1|?}をa個]

<a>＝a
<a|z|b:??>＝<a+1|z|b-1:??>
<a|z|0:?|y|b:??>＝<a|z|a:?|y|b-1:??>
<a|z|?:0:b:??>＝<a??>
<a|z|??>＝<a??>
<a|0|??>＝<a?>

脳汁出過ぎてヤヴァイ、自分でもわけのわからない程の大きさになっててヤヴァイ

698 ：１３２人目の素数さん：2013/03/18(月) 16:42:18.82

>>7
じゃあこれで

(10…(0が10兆個)…00)↑…(↑が10兆個)…↑↑(10…(0が10兆個)…00)

699 ：１３２人目の素数さん：2013/03/18(月) 16:47:28.17

>>7は2年半も前のレスだった orz

700 ：１３２人目の素数さん：2013/03/18(月) 21:06:47.80

>>696

<3|0:0|0:0|0:0>=<6|-1:0|0:0|0:0>
<3|0:0|0:0|0:0>=<3|3:0|-1:0|0:0>
<3|0:0|0:0|0:0>=<3|0:0|3:0|-1:0>
<3|0:0|0:0|0:0>=<3|3:-1|3:-1|3:-1|0:0|0:0>
<3|0:0|0:0|0:0>=<3|0:0|0:0>

<3|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3>=<6|2:3|0:3|3:3|0:3|3:3>
<3|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3>=<3|3:3|3:3|2:3|0:3|3:3>
<3|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3>=<3|3:3|0:3|3:3|3:3|2:3>

どれ？

701 ：１３２人目の素数さん：2013/03/18(月) 21:13:31.35

>>698
9→9→9→9 よりちいせえ

702 ：１３２人目の素数さん：2013/03/18(月) 22:57:25.15

f(n):=n文字以内で記述可能な最大の自然数
これで楽勝♪

703 ：671：2013/03/19(火) 06:54:36.43

>>700
<3|0:0|0:0|0:0>=<3|0:0|0:0>
<3|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3>=<3|3:3|3:3|2:3|0:3|3:3>
ついでに
<3|0:3>＝<3|3:2|3:2|3:2>

704 ：671：2013/03/19(火) 07:11:09.12

>>700
というより
<3|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3>=<3|3:3|3:3|2:3|0:3|3:3>
<3|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3>=<3|3:3|0:3|3:3|3:3|2:3>
が同時に行われていると考えた方がいいかも、誤差のレベルだけど

705 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 08:05:53.86

>>703
<3|0:0|0:0|0:0>=<6|-1:0|0:0|0:0>
<3|0:0|0:0|0:0>=<3|3:0|-1:0|0:0>
<3|0:0|0:0|0:0>=<3|0:0|3:0|-1:0>
<3|0:0|0:0|0:0>=<3|3:-1|3:-1|3:-1|0:0|0:0>

<3|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3>=<6|2:3|0:3|3:3|0:3|3:3>

これらは成り立つの？成り立たないの？

706 ：671：2013/03/19(火) 15:14:11.23

>>705
成り立たない

階級関数で行なっている事は

?：<a|b:c[{|?:?}n個]>＝<a+1|b-1:c[{|?:?}n個]>
（<a|b:c[{|?:?}n個]>のbの部分を-1してaを+1するよ）
?：<a|0:c|d:e|f:g[{|?:?}n個]>＝<a|a:c|d-1:e|f:g[{|?:?}n個]>
（bの部分が0になったら|で区切られた右隣の数字の:で区切られた左側の数字を-1してbだった部分をaにするよ）
（|で区切られた右隣の数字の:で区切られた左側の数字が0になったら
　さらに|で区切られた右隣の数字の:で区切られた左側の数字を-1して|で区切られた右隣の数字の:で区切られた左側の数字をaにするよ）
?：<a|0:b[{|0:?}n個]>＝<a[{|a:b-1}a個][{|0:?}n個]>
（|で区切られた左側の数字が全部0になったら
　一番左の|で区切られた数字の:で区切られた左側の数字を-1して:で区切られた左側の数字をaにした数をa個作るよ
?：|0:0は消すよ

だから処理の中で-が出てくる時点で間違い
俺の予想だと<n|n:n>でn重帰納

707 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 15:33:00.40

>>701
じゃあこれで

(10…(0が10兆個)…00)→(10…(0が10兆個)…00)…(→(10…(0が10兆個)…00)が10兆個)…→(10…(0が10兆個)…00)→(10…(0が10兆個)…00)

708 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 15:54:50.29

>>702
f(n):=n^n文字以内で記述可能な最大の自然数

709 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 15:57:03.36

後出し最強！

710 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 19:13:03.76

>>708 >>709
それが実数であることを証明しないと認められないぞ

711 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 19:25:25.90

>>706
>>696 の式が成り立たない場合があるなら、
いつ成り立つのか明確にしてくださいよ。

まあでもなんとなくやりたいことがわかった。
たぶんめちゃくちゃ小さい。
<n|n:n> ≒ 2^n^(2n) *n
このくらいだと思う。

712 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 19:33:29.90

>>710
実数であるかどうかの前にwell-definedであるかどうかが問題。
この場合はもちろんwell-definedではない。
『99文字で記述可能な最大の自然数』は99文字より少ないわけで。

言語を明確に定義することでそのような関数も作成可能になる。
たとえばチューリングマシン語n文字で記述可能な最大の自然数が
ビジービーバー関数のΣ(n)である。

713 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 19:39:12.61

>>707
9↓9↓9↓9 よりちいせえ

714 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 20:32:01.66

>>713
それ10進数で表すと１文字１mmとしてどれくらいの面積必要？太陽系くらい？

715 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 20:37:21.67

長さ(mm)なのか面積なのか体積(太陽系)なのか、はっきりせいやｗ

716 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 20:39:26.23

僕は解るよ。でも真似されるから言わない。

717 ：あぼーん：あぼーん

あぼーん

718 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 22:36:04.46

>>713
余裕でした

(10…(0が10兆個)…00)↓(10…(0が10兆個)…00)…(↓(10…(0が10兆個)…00)が10兆個)…↓(10…(0が10兆個)…00)↓(10…(0が10兆個)…00)

719 ：671：2013/03/19(火) 22:36:06.51

>>711
<6|6:6>=<12|0:6>=<12|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5>

この先どうなるかわかる？

720 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 22:51:08.06

<12|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5>
=<24|11:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5>

721 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 23:15:06.90

ん？
<6|6:6>=<6*2^6|0:6>
だよな？

722 ：671：2013/03/19(火) 23:19:22.63

>>720 間違ってる

<12|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5>
=<24|0:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5>
=<24|24:5|11:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5>

俺自身が複雑すぎて放棄してる問題を答えさせるのもアレだな、うん
<a[{|0:0}をn個]|0:1>=
<a[{|0:0}をn個]|1:1>=
これだけでいい、答えてみて欲しい
途中式でいい、式に式が混じっててもいい
最終まで計算すれば確実に正しいわかるとこまで答えて欲しい
それと要訳に誤訳があったので訂正
?：左端の|0:0は消すよ

723 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 23:34:09.55

つまりこうすれば最強なんだよ

<(10…(0が10兆個)…00)|(10…(0が10兆個)…00):(10…(0が10兆個)…00)…(|(10…(0が10兆個)…00):(10…(0が10兆個)…00)が(10…(0が10兆個)…00))…|(10…(0が10兆個)…00):(10…(0が10兆個)…00)|(10…(0が10兆個)…00):(10…(0が10兆個)…00)>

724 ：１３２人目の素数さん：2013/03/19(火) 23:46:28.82

それでは >>723 はスルーして続きをどうぞ

725 ：671：2013/03/19(火) 23:58:08.18

<a[{|0:0}をn個]|0:1>=<a|0:1>=<a[{|a:0}をa個]>

<a[{|0:0}をn個]|1:1>=<a[{|a-1:0}をa個]|0:1>
ここから先は計算不能

726 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 00:03:39.27

>>722

●＝[{|?:?}をn個]
<a|b:c●>＝<a+a|b-1:c●>

この式から、

<12|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5>
=<24|11:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5|12:5>

これが間違ってるなら、おまえの定義式が間違ってるんだよ。

727 ：671：2013/03/20(水) 00:07:55.37

じゃぁこれで
?=[{|0:?}をx個]
?=[{|?:?}をy個]

<a>=a
<a|0:0?>=<a?>
<a|b:c?>=<a+1|b-1:c?>
<a|0:b|c:d?>=<a|a:b|c-1:d?>
<a|0:b?>=<a[{|a:b}をa個]?>

今度こそ

728 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 00:11:28.18

>>727
最後の式、間違ってない？
あと式が成り立つ条件をちゃんと書いて。

729 ：671：2013/03/20(水) 00:14:40.33

ミスった
<a>=a
<a|0:0?>=<a?>
<a|b:c?>=<a+1|b-1:c?>
<a|0:b|c:d?>=<a|a:b|c-1:d?>
<a|0:b?>=<a[{|a:b-1}をa個]?>

730 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 00:16:41.23

式が成り立つ条件は？

731 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 00:19:36.24

<a|0:1|0:1|1:1> の定義は？

732 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 00:27:42.58

>>723
3↑↑6よりちいせえ

733 ：671：2013/03/20(水) 00:36:48.94

>>731

<a|0:1|0:1|1:1>=<a|0:1|a:1|0:1>=<a|a:1|a-1:1|0:1>
=<a^a-1|0:1|0:1|0:1>=<a^(a-1)[{|a^(a-1):1}をa^(a-1)個]|0:1|0:1>
もうこれ以上は計算できない

734 ：671：2013/03/20(水) 00:37:45.94

まーたミスってた

<a|0:1|0:1|1:1>=<a|0:1|a:1|0:1>=<a|a:1|a-1:1|0:1>
=<a^a-1|0:1|0:1|0:1>=<a^(a-1)[{|a^(a-1):0}をa^(a-1)個]|0:1|0:1>
もうこれ以上は計算できない

735 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 00:39:00.85

>>733
<a|0:1|0:1|1:1> = <a|0:1|a:1|0:1>

>>729 のどの式からこれが言えるの？

736 ：671：2013/03/20(水) 00:47:30.58

>>735
<a|0:b|c:d?>=<a|a:b|c-1:d?>
これ・・・だけどまだ定義が間違ってた事には気がついた
正しくはこう<a?|0:b|c:d?>=<a?|a:b|c-1:d?>
<a>=a
<a|0:0?>=<a?>
<a|b:c?>=<a+1|b-1:c?>
<a?|0:b|c:d?>=<a?|a:b|c-1:d?>
<a|0:b?>=<a[{|a:b-1}をa個]?>

駄目だ、どう見ても冷静さを欠いてるよ自分
なんで見直しの時に気がつかないんだよ

737 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 00:49:50.33

で、
式が成り立つ条件は？
各変数の範囲は？

複数の式の左辺の形になるものがいくつもあるが、
その場合どの式を使えばいい？

738 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 00:57:56.48

a, b, c, d, x, y は 0以上の整数
3個目の式の b と、4個目の式の c と、5個目の式の b は 1以上の整数
3個目の式と4個目の式の両方の左辺の形となる場合は、4個目の式を使う
4個目の式で、|0:b|c:d となる箇所が複数ある場合、左側のものから4個目の式を使う

この条件で良い？

739 ：671：2013/03/20(水) 01:04:07.03

式が成り立つ条件
a b c d x y z ? が非負整数の時
?=?は成り立たないが　?=?　?=?　は成り立つ
各変数の範囲は非負整数
?=[{|0:?}をx個]
?=[{|?:?}をy個]
?=[{|?:?}をz個]
<a>=a
<a|0:0?>=<a?>
<a|b:c?>=<a+1|b-1:c?>
<a?|0:b|c:d?>=<a?|a:b|c-1:d?>
<a|0:b?>=<a[{|a:b-1}をa個]?>
最初の形から
<a>=a
↓
<a|0:0?>=<a?>
↓
<a|b:c?>=<a+1|b-1:c?>
↓
<a?|0:b|c:d?>=<a?|a:b|c-1:d?>
↓
<a|0:b?>=<a[{|a:b-1}をa個]?>
↓
<a>=a
と順番に流す
適応できた式はもう一度参照し、その時適応出来なければ次の式へ

740 ：671：2013/03/20(水) 01:08:35.42

またミスです
?について
?=?　は成立するとは限らず
が正しいです

741 ：671：2013/03/20(水) 01:18:17.57

まだミスが
各変数の範囲は自然数

742 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 01:20:21.62

順番に流すの意味が不明。
<a|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3> に対してどういう変形を行えば良いかがわかるように定義を書いて。

どういう変形を行った後に <a|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3> になったかによって、
適応する式が変わるのか？
そうなると <a|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3> の値はこの表記のみじゃ決まらないぞ。

『3個目の式の b と、4個目の式の c と、5個目の式の b は 1以上の整数』
この条件は、いらないの？
この条件がないと右辺で負の数になるぞ。

『4個目の式で、|0:b|c:d となる箇所が複数ある場合』
これも明示して。

743 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 01:22:51.82

>>741
ん？
自然数って0を含まない定義の自然数で良いか？
そうなると <a|0:0> は何になるの？

744 ：671：2013/03/20(水) 01:30:57.09

a b w x y z ?　が自然数（0を含む）である場合の以下を定義する
?=?と?=?は成立すると限らず　?=?　?=?　は成立する

?=[{?:}をx個]
?=[{?:}をw個]
?=[{?:}を?個]
?=[{|?|?}を?個]
?=[{|?|?}を?個]
?=[{0:}をv個]
?=[{a:}をa個]


式は上から順番に参照し、適応できる場合は全て適応する、適応出来なければ次の式へ
また、適応出来た場合にはもう一度参照し、その時適応出来る場合は全て適応する、適応出来なければ次の式へ
一番下の式の次は一番上の式を参照する

<a>=a
<a|z|b:??>=<a+1|z|b-1:??>
<a?|z|0:?|y|b:??>=<a?|z|a:?|y|b-1:??>
<a?|z|?0:b:??>=<a?|z|?a:b-1??>
<a|z|??>=<a|z-1|??>
<a|0|??>=<a?>


・・・これでOK？
OKなら「よくできました」とお願いします

745 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 01:38:37.92

だめだこいつ。
日本語が通じない。
アホだ。

746 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 01:53:42.19

定義が非常に曖昧だけど、適当に補填して大きさを調べてみた。

<n|n:n> ≒ F[ω*2](n)
このくらい。
すごくちいさいことには変わりないけど。

<n|n:n> ≒ 2^n^(2n) *n はさすがにまちがいだった。

747 ：671：2013/03/20(水) 02:13:38.49

>>745
そうか、俺はアホだったのか
どの辺の日本語が理解できてなかった？　どうアホだった？　アホじゃない奴ならどういう対応をする？
真面目に頼みます、お願いします

748 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 02:14:19.93

>>733
>>723をカキコんだ俺がスルーしろって言ってんだからスルーしてくれよw

>>718
便乗した俺の所為でスルーされてスマンw

749 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 02:18:21.88

おっとアンカーが
>>748は>>732のレスね

じゃましてスマンw

750 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 02:25:20.43

>>747
>>742 を100回よめ。

751 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 02:26:07.26

>>718
9←9←9←9 よりちいせえ

752 ：671：2013/03/20(水) 03:41:43.63

>>750
読み飛ばしてしまっていましたorz
順番に流す→順番に参照し適応する　これはこちらのミスです

>どういう変形を行った後に <a|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3> になったかによって
変形後にそんな形にはなりません
<a|3:3|0:3|3:3|0:3|3:3>と最初に入力しでもしない限り そんな形にはなりません

753 ：671：2013/03/20(水) 11:11:10.00

一つ聞くけど、多変数アッカーマンの時はどうしてたの？
今みたいに突っ込みまくったの？

754 ：671：2013/03/20(水) 14:26:44.50

アッカーマンの動きを追っていく内にアッカーマンがまだ理解できていなかった事を思い知りました
生言ってすみませんでしたorz

755 ：１３２人目の素数さん：2013/03/20(水) 18:05:54.30

僕はアッカーマン関数は中一の時知ってたよ。意味も高一の時には知ってたよ。

758 ：１３２人目の素数さん：2013/03/21(木) 00:39:25.98

アッカーマン関数の表記をちょっと変えるとハーディーそっくりになる。

Ak[0] (n) = n+1
Ak[a+1] (n) = Ak[a]^(n+1) (1)

多変数もそっくり。

Ak[□] (n) = n+1
Ak[Ｘ, a+1] (n) = Ak[Ｘ, a]^(n+1) (1)
Ak[Ｘ, b+1, 0, □] (n) = Ak[Ｘ, b+1, n, □] (n)

759 ：１３２人目の素数さん：2013/03/21(木) 10:24:26.31

>>751
楽勝ですね

(10…(0が10兆個)…00)←(10…(0が10兆個)…00)…(←(10…(0が10兆個)…00)が10兆個)…←(10…(0が10兆個)…00)←(10…(0が10兆個)…00)

760 ：１３２人目の素数さん：2013/03/21(木) 18:42:15.26

>>758

＞多変数もそっくり。
＞
＞Ak[□] (n) = n+1
＞Ak[Ｘ, a+1] (n) = Ak[Ｘ, a]^(n+1) (1)
＞Ak[Ｘ, b+1, 0, □] (n) = Ak[Ｘ, b+1, n, □] (n)

Ak[□] (n) = n+1
Ak[Ｘ, a+1, □] (n) = Ak[Ｘ, a]^(n+1) (1)
Ak[Ｘ, b+1, 0, □] (n) = Ak[Ｘ, b, n, □] (n)

こうじゃね？

761 ：１３２人目の素数さん：2013/03/21(木) 18:52:17.38

>>760は無し

762 ：１３２人目の素数さん：2013/03/21(木) 19:16:07.15

Ak[□] (n) = n+1
Ak[Ｘ, a+1] (n) = Ak[Ｘ, a]^(n+1) (1)
Ak[Ｘ, b+1, □, 0] (n) = Ak[Ｘ, b, □, 1] (n)

こうじゃね？

763 ：１３２人目の素数さん：2013/03/21(木) 20:42:44.45

>>759
9↑9↑9↑9 よりちいせえ

764 ：１３２人目の素数さん：2013/03/21(木) 20:52:31.18

>>758 は間違い。
>>760 と >>762 も違う。

Ak[□] (n) = n+1
Ak[Ｘ, a+1] (n) = Ak[Ｘ, a]^(n+1) (1)
Ak[Ｘ, b+1, 0, □] (n) = Ak[Ｘ, b, n, □] (n)

[..., A_4, A_3, A_2, A_1, A_0] が順序数の
.... + ω^4 * A_4 + ω^3 * A_3 + ω^2 * A_2 + ω * A_1 + A_0
に対応する。

765 ：１３２人目の素数さん：2013/03/21(木) 23:34:54.07

>>3→>>7→>>698→>>701→>>707→>>713→>>718→>>751→>>759→>>763
ワロタ

766 ：１３２人目の素数さん：2013/03/22(金) 00:16:29.63

>>764
了解

767 ：671：2013/03/25(月) 17:31:16.08

きちんとした定義が完成したから投下
大きさは知らない、動きはわかるけど
これ以上やる気もない

a b c u v w x y z ?　が0もしくは正の整数である場合の以下を定義する
?=?　?=?　?=?　?=?　?=?　は成立するが　?=?　?=?　は成立すると限らない
[{?:}をx個]等とある場合には{}の中のものがx個あるとして扱う

?=[{?:}をz個]
?=[{?:}をy個]
?=[{?:}を?個]
?=[{|?|?}をx個]
?=[{|?|0:?}をw個]
?=[{0:}をv個]


<a>=a
<a|0|??>=<a?>
<a|b|c:??>=<a+c|b|c-1:??>
<a?|b|0:?|d|c:??>=<a?|b|a:?|d|c-1:??>
<a|b|?0:c:??>=<a[{|b|?a:c-1:?}をa個]?>
<a|b|??>=<a[{|b-1|[{a:}をa個]}をa個]?>

768 ：１３２人目の素数さん：2013/03/25(月) 21:17:40.04

>>763
僕はそれよりずっと大きい数知ってるよ。真似されるから言わない。

769 ：１３２人目の素数さん：2013/03/25(月) 23:00:02.97

>>763 より大きいのなんて無いだろw

770 ：１３２人目の素数さん：2013/03/26(火) 03:01:45.68

↑→↓←ときて↑に戻ってるけどそういうもんなの？

771 ：１３２人目の素数さん：2013/03/26(火) 21:15:51.14

そういうもん。

772 ：１３２人目の素数さん：2013/03/26(火) 22:59:22.99

↑→↓←シリーズはネタだろ。
小さすぎて今さら語る価値もない。

クヌースの↑やハイパー演算子は知識として知っておいた方がいいとは思うけど。
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperoperation

773 ：１３２人目の素数さん：2013/03/27(水) 17:39:26.46

○2項アッカーマン演算子の定義
a°0 ＝ a+1
0°(b+1) ＝ 1°b
(a+1)°(b+1) ＝ [a°(b+1)]°b
n°n ≒ F[ω^2](n)

○3項アッカーマン演算子の定義
a°0°0 ＝ a+1
0°0°(c+1) ＝ 1°1°c
(a+1)°0°(c+1) ＝ [a°0°(c+1)]°[a°0°(c+1)]°c
0°(b+1)°c ＝ 1°b°c
(a+1)°(b+1)°c ＝ [a°(b+1)°c]°b°c
n°n°n ≒ F[ω^3](n)

○4項アッカーマン演算子の定義
a°0°0°0 ＝ a+1
0°0°0°(d+1) ＝ 1°1°1°d
(a+1)°0°0°(d+1) ＝ [a°0°0°(d+1)]°[a°0°0°(d+1)]°[a°0°0°(d+1)]°d
0°0°(c+1)°d ＝ 1°1°c°d
(a+1)°0°(c+1)°d ＝ [a°0°(c+1)°d]°[a°0°(c+1)°d]°c
0°(b+1)°c°d ＝ 1°b°c°d
(a+1)°(b+1)°c°d ＝ ［a°(b+1)°c°d]°b°c°d
n°n°n°n ≒ F[ω^4](n)

774 ：１３２人目の素数さん：2013/03/27(水) 17:40:35.13

○各項が全て同じ値の場合の簡略表記の定義
n°[0] ＝ nil
n°[1] ＝ n
n°[2] ＝ n°n
n°[3] ＝ n°n°n
n°[4] ＝ n°n°n°n
n°[m] ＝ n°n°...{ n がm個 }...n°n

○各項が0以上の任意の値の場合の簡略表記の定義
X°[0] ＝ nil
X°[1] ＝ n_1
X°[2] ＝ n_1°n_2
X°[3] ＝ n_1°n_2°n_3
X°[4] ＝ n_1°n_2°n_3°n_4
X°[m] ＝ n_1°n_2°n_3°...n_(m-2)°n_(m-1)°n_m

○多項アッカーマン演算子の定義
a°0°[m+1] ＝ a+1
0°[m+1](b+1)°X°[k] ＝ 1°[m+1]b°X°[k]
(a+1)°0°[m](b+1)°X°[k] ＝ {a°0°[m](b+1)°X°[k]}°[m+1]b°X°[k]
n°[n] ≒ F[ω^ω](n)

775 ：１３２人目の素数さん：2013/03/27(水) 17:47:06.23

>>774　はこうだった

○多項アッカーマン演算子の定義
a°0°[m+1] ＝ a+1
0°[m+1]°(b+1)°X°[k] ＝ 1°[m+1]°b°X°[k]
(a+1)°0°[m]°(b+1)°X°[k] ＝ {a°0°[m]°(b+1)°X°[k]}°[m+1]°b°X°[k]
n°[n] ≒ F[ω^ω](n)

776 ：１３２人目の素数さん：2013/03/27(水) 18:17:10.34

>>773-775 は次の表記で２重リストを表現しようとしたけど２重リストの定義の仕方で断念

a°[b]°°c°[d]°°e°[f]

なのでスルーして次の方どうぞ

777 ：１３２人目の素数さん：2013/03/27(水) 23:25:55.73

クヌースの↑なら高等数学童貞でもとてつもなく大きいのは解る
しかし他は解らん

778 ：１３２人目の素数さん：2013/03/27(水) 23:57:51.83

>>773
定義から見ると、あなたは >>673 かな？

大きさは１個ずつずれてるよ。

n°n ≒ F[ω](n)
n°n°n ≒ F[ω^2](n)
n°n°n°n ≒ F[ω^3](n)
....

個人的にはすごく見にくい表記に見えるけど、作者的には見やすい？

多重リストアッカーマンの定義や表記を突き詰めていくとヒドラになる。
ヒドラってすごいよね。
F[ε_0](n) 相当。
計算可能ドメインでは、結局大きな順序数をいかに簡単に表現するかっていう競争になる。
F[Small Veblen Ordinal](n) 相当の変形ヒドラも過去ログにあったね。

779 ：１３２人目の素数さん：2013/03/28(木) 00:00:43.14

>>673 じゃなかった。
>>607 だった。

780 ：１３２人目の素数さん：2013/03/28(木) 00:20:03.73

個人的には大きさに関与しない部分はなるべくシンプルな定義にしたい。
>>607 や >>775 ってすごく複雑じゃない？

本当は普通の２変数のアッカーマンの
Ak(m+1, 0) = Ak(m, 1)
のところも、
Ak(m+1, 0) = 2
とかに置き換えたいくらい。

そういえば、アッカーマンさんオリジナルの表記って
今の普通の２変数の定義じゃなくて、
ハイパー演算子みたいな３変数だったみたいだね。

781 ：１３２人目の素数さん：2013/03/28(木) 03:20:35.34

ヒドラの定義ってどんなの？

782 ：１３２人目の素数さん：2013/03/28(木) 03:34:51.41

ヒドラってこんな表記だっけ

a[b]c

a[b]c[d]e

a[b]c[d]e[f]g

783 ：１３２人目の素数さん：2013/03/28(木) 03:55:49.25

なんだヒドラって文字列のパターンを順序数に置き換えてるだけか
順序数は実数じゃないからなあなのでパス

784 ：１３２人目の素数さん：2013/03/28(木) 18:02:30.49

>>769
僕は知ってるよ。真似されるから言わない。

785 ：１３２人目の素数さん：2013/03/28(木) 23:13:23.34

>>763 より大きいのなんて無いだろw

786 ：１３２人目の素数さん：2013/03/28(木) 23:34:20.88

ヒドラって別に表記決まってないでしょ。
多進木だったり文字列だったり。

0 と + と ω^x で生成する順序数に対するハーディー関数だから、
素直に順序数で理解した方が早いと思う。

787 ：１３２人目の素数さん：2013/03/29(金) 10:48:22.68

俺は悟った
大きな数字には意味がないことを

788 ：１３２人目の素数さん：2013/03/30(土) 12:33:03.78

>>773　二項での°の右側が3以上のときのインフレ率は異常

790 ：１３２人目の素数さん：2013/04/01(月) 22:13:49.74

>>788
異常に小さい？

791 ：１３２人目の素数さん：2013/04/02(火) 21:02:48.65

とりあえず、Σ(n) を本質的に超えた関数じゃないと話にならん。

792 ：１３２人目の素数さん：2013/04/02(火) 21:30:33.52

本人がスルーしろって言ってんだからスルーしろよw
なんでレスがついてんだよ

793 ：１３２人目の素数さん：2013/04/02(火) 22:13:30.47

保守＆まとめ

このスレの中で定義された一番大きい数＝>>373
大きさ的にはおそらくH[C(ω,0,0)]相当らしい
（CはDmytro氏のAn Ordinal NotationのC）

過去ログ
part１?７: http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/
part８：http://desktop2ch.net/math/1194777915/
まとめサイト「巨大数研究室」
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
ふぃっしゅ氏著「巨大数論」
http://gyafun.jp/ln/

Large numbers - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Large_numbers

あと、Robert Munafo 氏 (Part 3 あたりでふぃっしゅ氏がメール送ってた人）のサイトが
移転して見つからなかったけど探したら出てきたのでリンク
http://mrob.com/pub/math/largenum.html

794 ：１３２人目の素数さん：2013/04/08(月) 10:57:08.22

>>793
ファイナルアンサー？

796 ：１３２人目の素数さん：2013/04/20(土) 19:49:08.32

6-440,441にある拡張ビジービーバー関数や、
>>237に書いてあることと似ていますが、
f(n)=(計算不能次数が0^nのオラクルを持つマシンのビジービーバー関数(n))
などよりも>>373の関数の方が大きいのですか?

798 ：１３２人目の素数さん：2013/04/21(日) 11:29:08.69

>>796
YES.

799 ：１３２人目の素数さん：2013/04/25(木) 21:44:48.66

C++言語で大きな整数を記述してみました。

21文字から180文字の160個のコードで、
各文字数できるだけ大きな数を作ってみました。

96文字でF[ω^ω] (多重帰納)
141文字でF[ε_0]
160文字でF[Γ_0]
180文字でF[Bachmann-Howard ordinal]
相当になっています。

文字数を減らせる案、もっと効率的に大きな数が作れる案などありましたら、
ぜひ教えてください。
バグの指摘も大歓迎です。

http://www1.axfc.net/uploader/so/2880982.txt

800 ：１３２人目の素数さん：2013/04/26(金) 21:49:01.13

ビジービーバー関数を正しく理解しているのは僕だけだよ。

801 ：１３２人目の素数さん：2013/04/27(土) 12:43:49.71

>>800
Σ(n) がグラハム数を超えるのはnがいくつの時？

802 ：１３２人目の素数さん：2013/04/28(日) 14:16:13.09

グラハム数＜n(n+1)/2　を解けばいいだけでは？

803 ：１３２人目の素数さん：2013/04/28(日) 16:36:02.92

(笑)

804 ：１３２人目の素数さん：2013/04/28(日) 23:54:16.38

Bachmann-Howard ordinal　って何すか？
だれか説明してけろ

805 ：１３２人目の素数さん：2013/04/30(火) 19:17:16.35

>>801
答え解るけど真似されるから言わない。

807 ：１３２人目の素数さん：2013/05/01(水) 00:48:16.05

>>801
20くらいじゃねえか？

808 ：１３２人目の素数さん：2013/05/02(木) 00:26:04.55

>>804
φ_ε_(Ω+1) (0)
θ(ε_(Ω+1))
ψ(ε_(Ω+1))
のこと。
http://en.wikipedia.org/wiki/Bachmann-Howard_ordinal

2変数Veblenの限界がΓ_0 = φ_Ω(0) = θ(Ω) = ψ(Ω^Ω)
3変数Veblenの限界がAckermann ordinal = φ_Ω^2(0) = θ(Ω^2) = ψ(Ω^Ω^2)
多変数Veblenの限界がSmall Veblen Ordinal = φ_Ω^ω(0) = θ(Ω^ω) = ψ(Ω^Ω^ω)
順序数個変数のVeblenの限界がLarge Veblen Ordinal = φ_Ω^Ω(0) = θ(Ω^Ω) = ψ(Ω^Ω^Ω)
ε_(Ω+1) は Ω, Ω^Ω, Ω^Ω^Ω, Ω^Ω^Ω^Ω, ... のリミットだから、
これらよりずっと大きい帰納的順序数。

ψの説明はここに詳しく書いてあるから見て。
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_collapsing_function

809 ：１３２人目の素数さん：2013/05/06(月) 07:38:37.41

>>808
サンクスコでげす

810 ：１３２人目の素数さん：2013/05/06(月) 18:31:44.98

ωってなんですか？
どれくらいの大きさですか？

811 ：あぼーん：あぼーん

あぼーん

812 ：１３２人目の素数さん：2013/05/11(土) 09:11:10.13

>>349の帰納的でない順序数の収束列のとり方について教えてください。
1.帰納的でない順序数αの収束列とは[α]_σのことなのでしょうか。
2.1が正しいとするとαの収束列は自然数となりωと等しくなりませんか。
3.このαに代入しても問題が生じない順序数は以下のうちどれですか。
　・帰納的順序数
　・一部の帰納的でない可算順序数
　・全ての帰納的でない可算順序数
　・一部の非可算順序数
　・全ての非可算順序数

815 ：１３２人目の素数さん：2013/05/12(日) 07:04:05.89

できるだけ少ない文字数で大きな数を表すって趣旨でいいのこのスレ？

817 ：１３２人目の素数さん：2013/05/13(月) 01:12:44.90

>>812
1. NO
αの収束列は < 【σ, min [α]_σ】(n) >_σ
<>_σ と [ ]_σ で順序数とORD_σの元が対応する。
ORD_σの元を順序数とみなせば、
α∈ORD_σ の収束列は【σ, α】(n)
※【 】は『記号３種を以下で定める。』のところの括弧

3.
σがチューリング次数0であればORD_σは帰納的順序数すべて
σのチューリング次数が大きければ、より多くの帰納的でない可算順序数を含む
非可算順序数は含まない
任意の可算順序数に対して、ORD_σがその順序数を含むようなσが存在するかどうかは私にはわからない

818 ：１３２人目の素数さん：2013/05/13(月) 19:23:38.59

>>817
ありがとうございます。
ということは、一部の可算順序数については、
可算順序数⇔計算不能次数Xの集合
という対応表を作ることができ、>>349,>>373の関数の出力の集合は
それぞれ、C(1,C(2,0,0),0)⇔{>>349のf(x)│xは自然数}
　　　　　C(ω,0,0) ⇔{>>373のf(x)│xは自然数}
(CはAn Ordinal NotationのC)
という具合になっているのでしょうか。
帰納的でない順序数を入れたHardy関数について、
限定的に言うとa≠0のときのH[C(a,b,c)](x)
の計算の仕方はどうなってるのでしょうか。

820 ：１３２人目の素数さん：2013/05/13(月) 20:39:50.47

>>817の訂正
誤解を招く言い方をしてしまいました。
a≠0のとき、H［C(a,b,c)］(x)は計算不能関数となるから
計算の仕方というのはありません。
訂正してa≠0のときH［C(a,b,c)］(x)はどのように定義されるのでしょうか。

821 ：１３２人目の素数さん：2013/05/13(月) 20:44:17.04

すみません、>>818の訂正でした。

822 ：１３２人目の素数さん：2013/05/15(水) 00:30:04.98

>>818
帰納的じゃなくても収束列があれば定義は同じ。
たとえば、>>349 ではマシンを用いて帰納的じゃない順序数の収束列を
帰納的じゃない方法で定義している。

>>349 の f はハーディーじゃなくて計算不可能次数の大きなオラクルマシンによるビジービーバー。
計算不可能次数の大きなオラクルを作るために順序数が出てくる。

※アク禁中で反応が遅くなってごめんなさい。

823 ：１３２人目の素数さん：2013/05/15(水) 17:35:51.15

C(0,a,b)の収束列の定義は>>94にありますが、
C(a,b,c)の収束列はどのように定義すればいいのでしょうか。

825 ：１３２人目の素数さん：2013/05/15(水) 23:20:00.05

An=n^(n-1)^(n-2)^(n-3)^....^2^1

(A97-A1)(A97-A2)(A97-A3)....(A97-A99)(A97-A100)

826 ：１３２人目の素数さん：2013/05/16(木) 18:20:09.73

>>823というのは、例えば、H［C(ω,0,0)］(3)という自然数を求めたいときに、
H［C(ω,0,0)］(3)=H［C(3,0,0)］(3)となり、>>94の定義だとC(3,0,0)は収束列の無い極限順序数なので、
ここから先に進めません。こういった、>>94では収束列の無い極限順序数とされてしまう順序数に、
オラクルマシンを用いて収束列を定義していくというのは分かりましたが、具体的にどういう手順で
収束列を定義していってH［C(ω,0,0)］(3)などを自然数の形にするのかというのが分からないということです。
つまり、C(a,b,c)の収束列をHardy関数に入れても大丈夫になるように定義していくにはどうしたらいいのか
についてお尋ねしています。(CはAn Ordinal NotationのC)
巨大数の世界を体験したいとは思っていながら、このように分からないことばかりで、
申し訳ないと思っていますが、よろしくお願いします。

829 ：１３２人目の素数さん：2013/05/16(木) 22:11:47.63

>>826
具体的には>>349を見てください。
たとえば C(1,0,0) の収束列は、>>349 のM_φ(n)
M_φ(n) は、n以下のプログラムで作れる最大の順序数、
ビジービーバー関数の順序数版です。
C(a,b,c)と計算不可能次数の正確な対応は私にはわかりませんし、
C(a,b,c) の収束列の一般化もできてません。
（出来てたらあっさり記録更新ですね）
ぜひ挑戦してみてください。

※相変わらずアク禁中。アク禁解除までレスやめます。

830 ：１３２人目の素数さん：2013/05/21(火) 21:36:26.14

巨大数はたぶん僕が一番詳しいよ。凄い大きい数も想像できる。

832 ：５４３：2013/05/29(水) 19:42:03.85

５４３です。前回のプログラムを改良してみました。今度はどれくらいの大きさでしょうか。
int a=9e999;
typedef struct A{int a;int rank1;int rank2;int rank3;struct A* list;}A;
A sentinel={-1,-1,-1,-1,0};
A max(int x,int y,int z){int i;A t;t.a=a;t.rank1=x;t.rank2=y;t.rank3=z;
if( x==0 && y==0 && z==0){t.list=0;return t;}
if(y==0 && z==0){t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(x-1,a,a);t.list[a]=sentinel;return t;}
if(z==0){t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(x,y-1,a);t.list[a]=sentinel;return t;}
t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(x,y,z-1);t.list[a]=sentinel;return t;}
A dup(const A &s){A t;t.a=s.a;t.rank1=s.rank1;t.rank2=s.rank2;t.rank3=s.rank3;
if(s.list){int i=0;while(s.list[i].rank1!=-1)i++;t.list=new A[i+1];for(int j=0;j<=i;j++)t.list[j]=dup(s.list[j]);return t;}
t.list=0;return t;}
bool next(A &t){int i;if( x==0 && y==0 && z==0)return t.a--;
if(y==0 && z==0){i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.x-1,a,a);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
if(z==0){i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.x,t.y-1,a);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.x,t.y,t.z-1);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
void f(A &t){a<<=a<<a;if(next(t))for(int i=a;i>0;i--){A s=dup(t);f(s);}}
int main(){A t=max(a,a,a);f(t);return a;}

833 ：543：2013/05/29(水) 21:01:24.96

すいません。バグがありました。書き直します。

834 ：543：2013/05/29(水) 21:11:30.99

int a=9e999;
typedef struct A{int a;int rank1;int rank2;int rank3;struct A* list;}A;
A sentinel={-1,-1,-1,-1,0};
A max(int x,int y,int z){int i;A t;t.a=a;t.rank1=x;t.rank2=y;t.rank3=z;
if( x==0 && y==0 && z==0){t.list=0;return t;}
if(y==0 && z==0){t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(x-1,a,a);t.list[a]=sentinel;return t;}
if(z==0){t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(x,y-1,a);t.list[a]=sentinel;return t;}
t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(x,y,z-1);t.list[a]=sentinel;return t;}
A dup(const A &s){A t;t.a=s.a;t.rank1=s.rank1;t.rank2=s.rank2;t.rank3=s.rank3;
if(s.list){int i=0;while(s.list[i].rank1!=-1)i++;t.list=new A[i+1];for(int j=0;j<=i;j++)t.list[j]=dup(s.list[j]);return t;}
t.list=0;return t;}
bool next(A &t){int i;
if( t.rank1==0 && t.rank2==0 && t.rank3==0)return t.a--;
if(y==t.rank2 && t.rank3==0){i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.x-1,a,a);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
if(t.rank3==0){i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.x,t.y-1,a);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.x,t.y,t.z-1);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
void f(A &t){a<<=a<<a;if(next(t))for(int i=a;i>0;i--){A s=dup(t);f(s);}}
int main(){A t=max(a,a,a);f(t);return a;}

835 ：543：2013/05/29(水) 21:16:25.95

すいません。まだバグがありました。
int a=9e999;
typedef struct A{int a;int rank1;int rank2;int rank3;struct A* list;}A;
A sentinel={-1,-1,-1,-1,0};
A max(int x,int y,int z){int i;A t;t.a=a;t.rank1=x;t.rank2=y;t.rank3=z;
if( x==0 && y==0 && z==0){t.list=0;return t;}
if(y==0 && z==0){t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(x-1,a,a);t.list[a]=sentinel;return t;}
if(z==0){t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(x,y-1,a);t.list[a]=sentinel;return t;}
t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(x,y,z-1);t.list[a]=sentinel;return t;}
A dup(const A &s){A t;t.a=s.a;t.rank1=s.rank1;t.rank2=s.rank2;t.rank3=s.rank3;
if(s.list){int i=0;while(s.list[i].rank1!=-1)i++;t.list=new A[i+1];for(int j=0;j<=i;j++)t.list[j]=dup(s.list[j]);return t;}
t.list=0;return t;}
bool next(A &t){int i;
if( t.rank1==0 && t.rank2==0 && t.rank3==0)return t.a--;
if(t.rank2==0 && t.rank3==0){i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank1-1,a,a);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
if(t.rank3==0){i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank1,t.rank2-1,a);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank1,t.rank2,t.rank3-1);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
void f(A &t){a<<=a<<a;if(next(t))for(int i=a;i>0;i--){A s=dup(t);f(s);}}
int main(){A t=max(a,a,a);f(t);return a;}

836 ：１３２人目の素数さん：2013/05/31(金) 01:16:42.85

>>835
F[ω^ω^ω^ω](9e999) くらいではないかと。

>>799 だと 141文字で F[ε_0](9) 相当になるので、141文字で抜かれる。
int A;struct B{B*C(int D){B*E=9+D?C(D-1):F,C={E,G?G->C(D):E};return!G*A?E:new B(C);}B*F,*G;}C,*D=&C;
int main(){for(;D=D->C(A);)++A;return A;}

837 ：543：2013/05/31(金) 06:07:27.71

では、rankを一つ増やしたらどれくらい大きくなりますか？
int a=9e999;
typedef struct A{int a;int rank1;int rank2;int rank3;int rank4;struct A* list;}A;
A S={-1,-1,-1,-1,-1,0};
A max(int w,int x,int y,int z){int i;A t;t.a=a;t.rank1=w;t.rank2=x;t.rank3=y;t.rank4=z;
if(!w&&!x&&!y&&!z){t.list=0;return t;}
if(!x&&!y&&!z){t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(w-1,a,a,a);t.list[a]=S;return t;}
if(!y&&!z){t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(w,x-1,a,a);t.list[a]=S;return t;}
if(!z) {t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(w,x,y-1,a);t.list[a]=S;return t;}
t.list=new A[a+1];for(i=0;i<a;i++)t.list[i]=max(w,x,y,z-1);t.list[a]=S;return t;}
A dup(const A &s){A t;t.a=s.a;t.rank1=s.rank1;t.rank2=s.rank2;t.rank3=s.rank3;t.rank4=s.rank4;
if(s.list){int i=0;while(s.list[i].rank1!=-1)i++;t.list=new A[i+1];for(int j=0;j<=i;j++)t.list[j]=dup(s.list[j]);return t;}
t.list=0;return t;}
bool next(A &t){int i;
if(!t.rank1 &&!t.rank2&&!t.rank3&&!t.rank4 )return t.a--;
if(!t.rank2&&!t.rank3&&!t.rank4){i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank1-1,a,a,a);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
if(!t.rank3&&!t.rank4){i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank1,t.rank2-1,a,a);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
if(!t.rank4){i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank1,t.rank2,t.rank3-1,a);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
i=0;while(t.list[i].rank1!=-1 && !next(t.list[i])){t.list[i]=max(t.rank1,t.rank2,t.rank3,t.rank4-1);i++;}if(t.list[i].rank1==-1)return t.a--;return true;}
void f(A &t){a<<=a<<a;if(next(t))for(int i=a;i>0;i--){A s=dup(t);f(s);}}
int main(){A t=max(a,a,a,a);f(t);return a;}

838 ：１３２人目の素数さん：2013/05/31(金) 20:02:53.03

>>835 が F[ω^ω^4](9e999)
>>837 が F[ω^ω^5](9e999)
くらいでした。

rankを順序数化(intじゃなくてAに)して入れ子にすればF[ε_0]相当になります。

839 ：543：2013/05/31(金) 20:31:22.26

前回よりは大きくなってるはずなんですが。
前回の大きさも本当はもっと小さいんですか？

840 ：１３２人目の素数さん：2013/05/31(金) 21:14:29.94

前のよりrankが増えてるので当然前より大きいですよね。
前が間違いか今回が間違いかどっちかです。

ある程度予想で見積もってるので精度が悪いですね。
すいません。

listの中身が全部0の時の扱いも微妙に違いますが、
大きさ的には微妙な違いです。

841 ：１３２人目の素数さん：2013/05/31(金) 21:15:20.45

今度時間があるときにじっくり時間をかけて見積もってみます。

842 ：１３２人目の素数さん：2013/06/02(日) 15:15:14.22

>>826です。
任意のa,b,cについてC(a,b,c)をHardy関数に入れてもよくなるように
収束列を定義する方法はまだ作られてなくても、
>>373がH[C(ω,0,0)](x)程度ということは、少なくともα≦C(ω,0,0)
となる順序数αについてはH[α](x)が定義されていると思うのですが、
C(1,0,0)からC(ω,0,0)までの順序数をどうやって>>349の式を用いて
Hardy関数に入れてもよくなるよう収束列を決めているのでしょうか。
また、0≦a≦ωについてC(a,b,c)のHardy関数に入れられるような収束列
が定義できてるのに、どういう問題があって任意のa,b,cについて
H[C(a,b,c)](x)を定義できずにいるのでしょうか。

843 ：１３２人目の素数さん：2013/06/02(日) 18:09:45.75

僕は巨大数と三平方の定理が得意だよ。証明は10通り知ってる。

845 ：１３２人目の素数さん：2013/06/03(月) 22:23:51.96

どんな巨大数も可算無限から見たら零に等しい
可算無限も非可算無限から見たら零に等しい

848 ：１３２人目の素数さん：2013/06/04(火) 18:08:29.19

>>841
>>550 は F[ω^(ω^2+2)+1] くらい。
fが3変数な部分で +2, mainのループで +1
ほとんど大きさに関与しないということがわかって
これを除いて >>835 >>837 としたんだと思うけど、これは正解。

rank1?4の4つのランクで ω^3 * rank1 + ω^2 * rank2 + ω * rank3 + rank4
の順序数のような使い方になっていて、
rank n個で ω^n 未満の順序数を表現している。
rank でα未満の順序数を表せるとすると、
構造体は ω^(ω*α) 未満の順序数を表せる。

非常に複雑な構造なのにも関わらず、いまいち大きな順序数を表せないのは、
nextの中のmaxが多進木の構造を無視してrankだけから作っていることが原因かと。
上手く定義すればrankなんかなくっても多変数veblen程度にはなるはず。

多進木じゃなくて2進木で、
構造体 {α, β} で β + α^ω をあらわすことを目標としてみては？
これで F[ε_0] 程度が作れる。

1行目で定義してるaをnextの引数に追加して以下のように定義するだけ。
next( {0, β}, a ) = β
next( {α, β}, 0 ) = β
next( {α, β}, a+1 ) = { next(α, a), next( {α, β}, a) }

849 ：１３２人目の素数さん：2013/06/04(火) 18:41:43.40

>>842
> >>373がH[C(ω,0,0)](x)程度ということは、少なくともα≦C(ω,0,0)
> となる順序数αについてはH[α](x)が定義されていると思うのですが、
定義してません。
定義してないけど、定義したらこれくらいな大きさだろうっていうざっくりした見積りです。

収束列の定義によってH[α](x) の大きさはもちろん変わりますが、
C(a,b,c) に対するある程度普通の定義の収束列を考えていけば、
H[C(a,b,c)](n) の大きさはそれほど大きくは変わりませんよ。

たとえば C(1,0,0) はどんな帰納的順序数よりも大きい最小の順序数。
だからH[C(1,0,0)](n) はどんな計算可能な関数よりも速く増加する関数の中で
比較的遅く増加する関数であると思います。
C(1,0,0) の収束列を >>349 の M_φ(n) と定義した場合、
実際にM_φ(n) を求めるのに
どの程度の計算不可能度が必要か正確にはわかりませんが、
少なくとも計算不可能度ωではM_φ(n)が求まりますので、
H[C(1,0,0)](n) は計算不可能度ωのマシンのビジービーバー関数よりは小さいことがわかります。
大きさ的に普通のビジービーバー関数程度となってくれるとうれしいですが、
そういう証明は出来てません。

850 ：１３２人目の素数さん：2013/06/15(土) 01:45:42.09

よくわからないけど、このスレはエメラルド・ポテト数で言うところの
第何世代数に到達したの？

851 ：１３２人目の素数さん：2013/06/19(水) 22:15:53.20

>>349と>>373で使われる計算模型について質問があります。

・ip［s］=ipとかip［s］=ip+1といった表現が出ますが、
　単体の「ip」とはどう定義された数なんでしょうか。
　>>373のようにip[s]=ip[s-1],ip[s]=ip[s-1]+1
ということを言いたいのでしょうか?(>>349)

・なぜ多くの命令についてi=p1の真偽を確認してから
　真のときだけ命令をこなすのでしょうか。(両方)
　
・>>373のir=5について、t[a][b](c)という形で
　表されているものはどう定義されてますか。
また、ir=5の複雑な条件分岐は何のために
　行なわれてますか。そして、>>349と違い>>373
　にはどの命令が日本語で言うとどういうことを
　しているのか書かれてないので、>>373のir=5
が何をしているのかという説明もしてくださる
　とありがたいです。

856 ：１３２人目の素数さん：2013/06/21(金) 18:14:03.28

チェーン表記で
超グラハム数(1)＝グラハム数→グラハム数→・・・(グラハム数回)・・・→グラハム数
とする。
超グラハム数(2)＝超グラハム数(1)→超グラハム数(1)→・・・(超グラハム数(1)回)・・・→超グラハム数(1)
といった具合に、超グラハム数(n)を定義する。
超グラハム数(n)＝超グラハム数(n-1)→超グラハム数(n-1)→・・・(超グラハム数(n-1回))・・・→超グラハム数(n-1)

さらに、下記のようにウルトラグラハム数を定義する。
ウルトラグラハム数(1)＝超グラハム数(超グラハム数(1))
ウルトラグラハム数(2)＝超グラハム数（超グラハム数（超グラハム数(1)））
ウルトラグラハム数(3)＝超グラハム数（超グラハム数（超グラハム数（超グラハム数(1)）））

という具合にどんどん大きな数を作れるので、考えても意味がない。
グラハム数やチェーン表記では表しきれない新たな考え方が必要。

857 ：１３２人目の素数さん：2013/06/21(金) 19:38:33.18

>>856
グラハム数から超グラハム数への拡張、超グラハム数からウルトラグラハム数
への拡張はともに三重帰納関数+合成(原始帰納)であるため、
そのような拡張ではいくら繰り返しても四重帰納関数にはかなわないし、
1スレ埋めるほど繰り返しても既出のふぃっしゅ数などの足元にも及ばない。
一方で、グラハム数やチェーン表記によらない多変数アッカーマン(x重帰納)など
の巨大関数はすでに探索スレ内に登場している。
(詳しくはふぃっしゅっしゅ氏の巨大数論や、過去スレを参照)

確かに、大きくない関数(例えばf(x)=xなど)でもxを大きくすれば無限に大きい数を
作れるが、引数の増加に対して返す値が爆発的に増えるわけではない。
f(x)=axもaを増やせばいくらでも急増加する関数になり得るが、f(x)=x^2に負ける。
このスレで求められるのは、引数の増加に対して返す値が爆発的に増える
ような関数である。

858 ：１３２人目の素数さん：2013/06/21(金) 19:53:34.47

お前が引数の増加に対して返す値が爆発的に増える関数f(x)を提案するだあよ。
そしたら俺がg(x)=f(x)^2を提案するだあよ。

859 ：１３２人目の素数さん：2013/06/23(日) 13:02:20.24

今までのところをまとめますと、

計算不能次数0(計算可能関数)部門
>>102が最大

計算不能次数0^(帰納的順序数)部門
「巨大数論」の最後に記載されているビジービーバーの
Hardy的拡張(Hardyでいうところの+1をオラクル拡張に書き換えている)
に>>102の巨大帰納的順序数を入れたものが最大

計算不能次数0^(可算順序数)部門
>>349(帰納的でない順序数を扱える)が最大

といったところでしょうか。私は、>>373のT_nが
アレフ_nにあたる巨大基数で、それを利用しているから
>>373は、計算不能次数0^(巨大基数)部門に属する
計算不能次数0^アレフ_ωの関数だと考えましたが、
この考え方で正しいでしょうか。もし正しければ、アレフ_ω
より大きな基数(例えばk=アレフ_k)について>>373のような
関数を考え、より大きな関数を作れませんか?
まだ>>373を満足に理解できていない私には難しいことですが、
そのような関数を定義できないかと考えています。

860 ：１３２人目の素数さん：2013/06/23(日) 19:44:43.62

何か意味のある数でないと、どんなに巨大な数でも意味がない。

861 ：１３２人目の素数さん：2013/06/24(月) 22:26:52.33

>>851
> ・ip［s］=ipとかip［s］=ip+1といった表現が出ますが、 .....
ip[s] = ip[s-1] の間違いです。
>>349 の記述ミスでした。

> ・なぜ多くの命令についてi=p1の真偽を確認してから
> 　真のときだけ命令をこなすのでしょうか。(両方)
対象となるレジスタに対して命令を実行するので、
対象とならないレジスタは以前の値を保持します。
という意味です。

>>・>>373のir=5について、t[a][b](c)という形で ....
t[s][n] ∈ T_n です。
初期値 t[s][0] は t_n で外から与えられます。

>>349 と >>373 の差はこの5番目の命令です。
>>349 は、1個目の引数が、外から与えられたオラクルσ (自然数の部分集合) に含まれていれば
1をセット、含まれていなければ0をセットする命令です。
>>373 は t[s][n+1] の変換を t[s-1][n] に対して行う命令です。
reg1 = 0 の場合、t[s][0] は自然数から自然数への変換なので、
reg1に対して変換します。
条件は、変換対象かどうかの判別です。
ir = 5 の時の reg[s][i] = ... の定義がちょっと怪しい気がしてきました。
暇なときに検証してみます。

862 ：１３２人目の素数さん：2013/06/24(月) 22:42:37.20

>>859
具体的なアルゴリズムがわからないまま計算可能関数を定義することが可能なので、
「計算可能次数0部門」というのはあまり意味がないと思います。
「具体的に計算アルゴリズムを示すことができる」部門の方がよろしいかと思います。

あと、計算不可能次数0^[アレフ1]の定義や H[アレフ1] の定義は
できないと思ってます。

863 ：紫陽花：2013/06/25(火) 21:55:45.97

>>851および>>859です。これからは紫陽花(アジサイ)と名乗ります。
回答をお待ちしていました。答えてくださってありがとうございます。
計算不能次数0^(巨大基数)とはなりませんか・・・
とりあえず>>373の関数がどういう動作をしていて、
どうオラクルを変化させているかは分かったつもりでいます。
しかし、>>373がなぜ巨大関数かが納得できずにいます。
例えば、ビジービーバー+ハーディーよりも>>349のほうが大きい
のは、一方は帰納的順序数なのに対し、他方は帰納的でない可算順序数
と、扱う順序数の大きさが違うからだという理由で納得できます。
一方で、>>373は順序数を扱わないため、順序数で比べることは困難に感じられます。
なぜ>>349より>>373のほうが大きいと言えるのでしょうか。

関係の無い話になりますが、私は学校の課題研究授業(自由研究のようなもの)で
巨大数について研究している学生です。年末あたりに発表があるので、
それまでは知識を得る手段としてここを利用するつもりでいます。
目標は>>373を(+1や合成のような小さい拡張なしに)超える関数を定義することです。
厚かましい態度をとってしまうこともありますが、これからもよろしくお願いします。

864 ：紫陽花：2013/06/28(金) 22:33:38.33

>>373を分かったつもりでいると書きましたが、
まったく理解できてませんでした。
私の解釈でいくと、
1.B［0］(x)=x
2.B［α+1］(x)=B［α］(n)をオラクルにもつビジービーバー関数(x)
3.B［α］(x)=B［α_n］(n)をオラクルにもつビジービーバー関数(x)
(3はαが極限順序数のとき)
として、>>373に登場する関数がそれぞれ、
BB［I_0,I_1,...］(x)=B［1］(x)
BB［s_0,I_1,...］(x)=B［2］(x)
BB［s_0,s_1,I_2,...］(x)=B［ω］(x)
BB［s_0,s_1,s_2,I_3,...］(x)=B［ω^ω^2］(x)
という風に計算できてしまい、BB［s_0,s_1,...］(x)が
とても小さくなってしまうと予想されるからです。
私の解釈は、例えばs_0,s_1,s_2があったときに、ir=5の操作
を通じてs_2(s_2(s_1))(s_1(s_0))といった感じでどんどん帰納的に
より計算不能次数の大きなNの写像を作れる、というものです。
ですから、BB［s_0,s_1,s_2,I_3,...］ならばs_2(t_1)のt_1にいれる
ものをs_1,s_2(s_1),s_2(s_2(s_1)),...としていけばいいと考え、
BB［s_0,s_2(s_2(...(s_2(s_1))...)),I_2,...］の極限として
とらえて計算しました。
私が>>373を正しく理解できるように、私の解釈の間違いを
指摘してください。

865 ： 忍法帖【Lv=4,xxxP】(1+0：8) ：2013/07/07(日) 07:47:20.72

http://www.amazon.co.jp/dp/4000054244
順序数から先が全く分からないんだけどこれ読めばいいの？
良書あったら教えろください

866 ：１３２人目の素数さん：2013/07/08(月) 14:57:59.38

ふぃっしゅっしゅ氏の「巨大数論」がオススメ
p32-p33に順序数について書いてある
http://gyafun.jp/ln/largenumber/.pdf

867 ： 忍法帖【Lv=5,xxxP】(1+0：8) ：2013/07/09(火) 20:39:22.85

巨大数論は熟読させてもらったけど、P.32以降が理解できないのです
数学系の大学を出たわけではないので、基礎知識が無いのです

868 ：紫陽花：2013/07/10(水) 15:39:21.33

順序数の何が分からないかがはっきりしないとあまり良い答えを
出せませんが、「順序数とは何か」となると「数字とは何か」
みたいな感じで答えにくいので、数学が「数字はどう役に立つか」
を研究する学問であるように、順序数に対しても「順序数は
どのように役に立つか」という見方でとらえるのはいかがでしょうか。

例えば、アッカーマン関数はなぜ大きいか分からなくても、
定義にしたがってA(5,5)を計算することはできます。
そして計算の途中でこれは計算しきれないということを実感し、
だから大きいのだと納得できます。

Hardy関数と順序数については巨大数論に書かれているのですから、
適当にH[ω](6)とかH[ω^3](8)とかを定義にしたがって計算すれば、
どうして順序数を使うと効率良く巨大関数を定義できるのかが、
理解とまではいかなくても納得することはできると思います。

869 ：紫陽花：2013/07/10(水) 23:28:59.59

>>864の訂正
怪しいと思って計算し直して、BB［s0,s1,s2,I3,...］=B［ε0］
となりました。しかし依然として私の解釈ではこの関数が小さい
ままです。これではBB［s0,s1,s2,...］=B［Ψ(Ω^Ω^ω)］程度
となってしまいます。(Ψはordinal collapsing function)
>>373はただ単にir=5の操作でNの写像の計算不能次数を上げていく
だけではなく、より高度なことをしているのでしょうか。

870 ：１３２人目の素数さん：2013/07/11(木) 13:28:56.97

>>868
「数」と「数字」の使い分けにこだわりがあるの？

871 ：紫陽花：2013/07/11(木) 14:02:04.62

特にこだわってはいません。理解の補助になるかもしれないと思って書いただけです。

872 ：１３２人目の素数さん：2013/07/11(木) 20:55:55.22

（問)
10秒以内に最も大きい数字を言うには？
ただし、∞や特異点、一般的でない演算は使わってはいけない。


(例)
1000極の1000極乗の1000極乗の1000極上の1000極上の…1000極(10秒間言い続ける)
早口で言い切るために大きい数を言えば良いというわけではない。

873 ：１３２人目の素数さん：2013/07/11(木) 22:46:08.77

グラハム数の一言に負けてしまうようでは

874 ：１３２人目の素数さん：2013/07/12(金) 18:38:35.89

299792458^299792458
って
(10^(10^9.405053700223194))
らしいけれども、
10^2541286914.5560436620739217614233337722901128681087314284574406149885468020269568419821180361839018584443241525530338439025196785904655860646038241440395314469885465863903489316965803782599890744883141
で合ってんのか？
3.59791748008390901819218095800279765476418641501790...e2541286913らしいけれども。
分解した値でも途中の値でも検索で出ねーよ。クソグーグルうぜー。

875 ：１３２人目の素数さん：2013/07/12(金) 20:22:32.26

しょうがないな。
3が基準であると分かっているので、クヌースの矢印を使わずに個数を使えばいい。
クヌースの矢印では個数が多くなりすぎる。
グラハム数より大きな値を用いたければ、
「桁数の桁数の桁数の...」を表現すればいい。
例えば桁数の桁数の桁数が3§1である数では、
桁数の桁数は2§9まで
その場合の桁数は1§999999999まで
これで9§9の桁数を計算してみろ。
グラハム数とどっちが大きい？範囲指定してみて欲しい。
俺にはちょっと分からなかったが、
とりあえず少ない文字数で表現可能だろう。
少なくとも64§？よりは小さいんじゃないのか？どうなんだろう？
これで足りないとは言わせたくないが、足りなくても構わない。
もっと上の圧縮を考える。

876 ：１３２人目の素数さん：2013/07/12(金) 20:42:49.37

桁数の桁数の桁数の...という状態を簡易表現する方法をスターインテグラルと名づけてみた。
スターインテグラルは必ずx§1で収束する。

便利だろ？

877 ：１３２人目の素数さん：2013/07/12(金) 21:03:42.68

ついでに超グラハム数とかウルトラグラハム数とか見たけれども、
そういった関数に対する同じ係数に対して10進の桁数で範囲で書けない？
スターインテグラルでもいいし。
表記が長くなると比較が難しいんだけれども。

とにかくでかい実数が欲しい。
スターインテグラルの左側の数字が書ききれないほどで構わない。
そういった数の実数をスパコンに計算させてみたい。

878 ：１３２人目の素数さん：2013/07/12(金) 21:25:00.65

今、構築が予定されているストレージエリアであるという
40ZBで、ベタエリア表現で
2^320000000000000000000000
らしいな。
？*10^96329598612473982468396か？
実数、出る？
計算できるともっと増えるらしい。

879 ：１３２人目の素数さん：2013/07/12(金) 21:57:50.70

2997*7680*4320*24*120*60*60*24*365.25/8*年数
に対して、余裕をみて40ZB程度らしい。
エシュロンらしいな。
実数計算されると真似をされるかもしれないということでもっと増えるらしい。
ただしHDDのRaidだろう。
たぶん数年でSSDのRaidに早変わりして、その後にメモリエリアで実装を検討するはずだ。
こういったストレージは実ビット数の計算と、そのビット数で扱える10進数の計算がまず先らしい。
補数表現での基準はUnix系だろうから1000ではなく1024かもしれないけどな。
もともとこれ自体がバックアップストレージの考え方らしいが、
これに対するバックアップストレージで考えると、YBエリアを考えているらしい。
早く実エリアで1000YBを越えたいようだ。
今は一般的には32ビットブロックで圧縮されるが、
64ビットブロック化も進んでおり、さらに128ビットブロック化も進んでいるだろう。
(2^32)^(2^32)^(2^32)...とか(2^64)^(2^64)^(2^64)...とか(2^128)^(2^128)^(2^128)...とかだろう。
一般的には2段までらしいけれども。
ちょっと前にDouble-Doubleなんて表現された。
1クロック範囲で扱えるエリアの研究だろう。
指数に64ビットを使えると18,446,744,073,709,551,616桁まで実数が扱えるイメージになり、ちょっと大きい。
通常は指数は32ビット止まりだろう。

880 ：１３２人目の素数さん：2013/07/14(日) 11:51:35.16

>>874
とりあえず実数の桁数と先頭は合ってるらしいな。
uint32で桁数を扱うと桁あふれするきわどい値だ。
(((299792458^149896229)/(10^1270643457))^2)
と
*10^
と
((log(299792458)/log(10))*299792458)
で出るかもしれないが、
(floor((log(299792458)/log(10))*299792458))
でいいのか悩んだ。
どっちみち既知の値だろ？あほくせー。

情報がないのでいちいち分解して再計算しなくてはいけないのは面倒くさい。
で、物理系はこの値をどうやって扱うんだろうな？
c(299792458)でべき乗で299792458-1個並べるか？

881 ：１３２人目の素数さん：2013/07/14(日) 12:00:21.99

e=mc^2のcって299792458だよな？
ところでmc^2ってm・c^2か(mc^2)か、どっち？
どっちもだよな？

e=mc(c)^2にしたらどうなるの？ワープドライブユニットに応用可能か？

882 ：１３２人目の素数さん：2013/07/14(日) 12:22:34.41

こいつ何言ってんだ？

883 ：１３２人目の素数さん：2013/07/14(日) 13:39:59.24

この暑さだしな

884 ：１３２人目の素数さん：2013/07/14(日) 17:47:38.79

どうだ？
朝鮮人にもwikipedia上にグラハム数が分かりやすく書けるか？

子どもの自殺防止 教員研修へ
http://www3.nhk.or.jp/shutoken-news/20130714/962758c8f587eb3171918b23986b7b04.html

公立中学校の中学生が、教師どもに殺される呪いの数字、グラハム数。
その数は占い師にタロットカードでの占いを頼んだ際に、
繰り返し占い師がタワーを引きなおす回数の繰り返し数をイメージしており、
通称「グラ公数」と言われるようである。
開き直ると円周率は3になるという数であるようだ。

885 ：１３２人目の素数さん：2013/07/14(日) 18:18:57.02

円周率が3では計算が合わない、とのことで円周率は3/10となった。
しかしまだ計算が合わないので
3と3/10の間で何かないか？
と選ばれたのが今の円周率である。
・最初に3があった
・次に10との関係によって3/10が出た
・円周率はpiになった
残念ながら、3/10からpiまでの計算が抜けているようだ。

886 ：１３２人目の素数さん：2013/07/14(日) 18:36:44.25

古来中国より22/7, 113/355 という優れた近似があるというのに

887 ：１３２人目の素数さん：2013/07/15(月) 18:22:40.23

>>881
一般に空間ｎ次元に対して
ｍｃ^（n-1）

888 ：紫陽花：2013/07/25(木) 18:14:48.57

>>504
ふぃっしゅ数ver4はおそらくH［C(1,ω+1,0)］(x)もないと思います。
C(1,0,0)=Church Kleene ordinal=ckとして、
H［ck］(x)=ビジービーバー関数（以下BB(x)）とすると、
BB(x)の帰納的拡張は帰納的順序数αを用いて、
H［ck×α］(x)と表すことができ、
BBのhardy拡張(以下B［α］(x))の、B［2］(x)はB［1］(x)=BB(x)
にどんなに帰納的拡張を加えても到達できない関数であるから、
B［2］(x)=H［ck×ck］(x)と表せるとすると、
B［α］(x)=H［ck^α］(x)となります。

ここで、帰納的でない可算順序数β,γについて、
β=γ⇔C(0,β,0)=C(0,γ,0)と定義します。すると、
ordinal notationに
C(0,ck^ck,0)=large Veblen ordinal=Ψ(Ω^Ω^Ω)
C(0,C(1,0,ck),0)=Bachmann-Howard ordinal=Ψ(Ω^Ω^...)
とあるので、ck^ck^ck^...=C(1,0,ck)とできると考えられます。
よってふぃっしゅ数ver4はB［ck^α］(x)の形で表せ、
ck^α＜ck^ck＜C(1,0,ck)＜C(1,1,0)＜C(1,ω,0)であるため、
ふぃっしゅ数ver4はH［C(1,ω+1,0)］(x)とH［C(1,ω+2,0)］(x)
の間とはならない、はるかに小さい、と思います。

889 ：紫陽花：2013/07/25(木) 18:58:37.53

また、同様に>>349や>>373について考えると、私自身が理解しきって
ない部分が多いので申し訳ないのですが、

>>349の関数は、最後のΣ_nの定義が、Σ_(n-1)をオラクルにもつ
計算模型の生み出せる最大の順序数を計算不能次数にもつ
計算模型による集合ととらえて、計算模型によって作れる順序数を
C(1,0,0)→C(1,0,C(1,0,0))→C(1,0,C(1,0,C(1,0,0)))→...
としていけるならH［C(1,1,0)］(x)相当ということとなり、
f(n)=max【Σ_2,e】(x)(e,xはn以下)はH［ck^α］(x)の形で表せない、
f(n)=max【Σ_3,e】(x)(e,xはn以下)はH［ck^(ck+α)］(x)の形で表せない
というふうに、帰納的でないHardy拡張を繰り返しているととらえると、
f(n)=max【Σ_n,e】(x)(e,xはn以下)=H［ck^(ck×ω)］(x)相当と
考えられます。

>>373の関数は>>864でも書いたとおり、私の解釈だと
H[ck^C(0,ck^ω,0)](x)相当、すなわち、
H[ck^α](x)（αは帰納的順序数）の形で表せる関数という
大変小さいものになってしまいます。

ただ、先述のとおり私が十分に理解できてないために、
どちらも私の勘違いだという可能性があります。

890 ：１３２人目の素数さん：2013/08/02(金) 21:19:20.36

https://plus.google.com/103404025783539237119/posts/iLjHRK21PZV

891 ：Nayuta Ito ◆QMArcg8PWk ：2013/08/04(日) 14:40:24.38

グラハム数(以下G)はG^64(4)である。
f_1(x)=G^x(4)とする。
f_2(x)=f_1^x(4)とする。
f_3(x)=f_2^x(4)とする。
同様につづけ、
f_G(G)

892 ：１３２人目の素数さん：2013/08/08(木) 21:25:44.95

>>888
前半が私の考えとは異なります。

ckはプログラムn文字で作れる最大の（帰納的）順序数の極限ですので、
計算不可能次数を何個か上げればckを表現できます。
ckが表現できればH[ck×ck]やH[ck^α]やH[ckから帰納的に作る順序数]
は簡単に作れます。
よって、比較的小さな帰納的順序数αで、
BB[α] > H[ckの次の帰納的独立な順序数]
とできます。

※しばらくアク禁で返事が遅くなってごめんなさい。

893 ：紫陽花：2013/08/10(土) 10:53:34.06

プログラム、というのがもしチューリング等価なものを指しているとすると、
チューリングマシンは有限順序数(自然数)しか扱えないので、
ck=lim{BB(1),BB(2),BB(3),...}=ωとなってしまいます。
チューリングマシンにオラクルを与えても、ωを超える順序数は表せません。
すべての帰納的順序数関数を計算できる計算模型があるならいいのですが、
(確かに、Kleene's O とかNathanael Leedom Ackerman氏の
ordinal turing machineとか無限時間チューリングマシンとか
それらしいのはたくさんあります)大きな順序数を生み出してかつ
その収束列まで定義してくれる計算模型というのは、
あったとしても少なくとも普通のチューリングマシンではありません。
(そして私は、無限時間チューリングマシンについては大きな順序数
は作れても、それに収束列を与えることはできないと考えています。)

仮に、先述の条件を満たす計算模型を定義できても、例えばBB(x)を
オラクルとして与えるとckから帰納的に導ける順序数をすべて表せるか
どうか、というのは疑問に思います。

また、f(x)=x+1の合成回数をアルゴリズムがある方法で決めた関数は
H［1×α］(x)(αは帰納的順序数)の形で表せ、その形では到達できない
関数の１つとしてBB(x)を選びこれをH［1×ck］(x)と名づけ、
BB(x)の合成回数をアルゴリズムがある方法で決めた関数(つまり
BB(x)の帰納的拡張)をH［ck×α］(x)と名づけるのは妥当だと
思います。そして、この形では到達できない関数の１つとして
B［2］(x)を選び、これをH［ck×ck］(x)と名づけるのも妥当
だと思います。

894 ：紫陽花：2013/08/11(日) 11:24:21.07

少し訂正します。
(チューリング等価な)プログラムn文字で記述できる順序数は必ず
有限順序数なので、その収束先はωでありChurch-Kleene ordinal
とは区別されるべきです。しかし、このωの収束列は1,2,3,...では
なく、BB(1),BB(2),BB(3),...となります(どちらも自然数数列の収束先)。
そのため普通とは違った収束列のとりかたをしてるこのωをωbと
名づけると、H［ωb］(x)=BB(x)となり、
H［ωbの次に帰納的独立な順序数］(x)=B［2］(x)と言えると思います。

とりあえず、ckの収束列を定義する方法が決まってないのに、
むやみにH［ck^α］(x)とかを持ち出すのは止めたほうがよいでしょう。
反省します。

896 ：紫陽花：2013/08/31(土) 15:49:39.82

ややむちゃくちゃなことを書いたかもしれません。

まず>>888について
β=γ⇔C(0,β,0)=C(0,γ,0)としてしまうと、
ε_0=C(1,0,0)⇔C(0,ε_0,0)=C(0,C(1,0,0),0)という明らかに
誤った等式を導けてしまうので不適です。(右は真)

次に>>893について
>>892にあるとおり、何らかの手段でckの収束列がとれれば、
(しかしこれは自然数の数列ではいけません)簡単な拡張で
H［ck^ck］(x)などを定義できるので、
B［2］(x)=H［C(1,0,ck)］(x)としていいでしょう。

こういうふうに考え直すと、以下のようになると思います。
B［1］(x) = BB(x) = H［C(1,0,0)］(x)
B［ω］(x)= H［C(1,1,0)］(x)
ふぃっしゅ関数ver4 = B［ω^((ω^(ω+1))x64)］(x)
≒H［C(1,ω^ω,0)］(x)

897 ：１３２人目の素数さん：2013/09/22(日) 18:12:57.71

http://googology.wikia.com/wiki/Googology_Wiki
にある Xi function の定義が分かる人いる？
今はページが空白になってるみたいだから過去の版を辿ってね

898 ：１３２人目の素数さん：2013/09/22(日) 18:15:10.31

http://googology.wikia.com/wiki/Googology_Wiki
にある Xi function の定義が分かる人いる？
今はページが空白になってるみたいだから過去の版を辿ってね

899 ：１３２人目の素数さん：2013/09/22(日) 18:24:27.45

すまん、調子が悪くて二重投稿になった

903 ：１３２人目の素数さん：2013/09/24(火) 12:55:30.38

({(S-1)/2}-Y)*({(S-1)/2}+Y)＝K*((S+1)-K)
Sに奇数を代入した際
｛（S+1）/2-√S｝ (＞=) K ＞0 のあいだで整数Kの数字を変動させて一つもYに整数をあたえないときSは素数
同様に [（S-1)/2] >Y (>=)0 の間でYにいかなる整数の値をとらせてもKが整数にならないのならSは素数
たとえば9973は素数なので　　　(4986-Y)*(4986+Y)=K*(9974-K)においてYとKが同時に正の整数をみたすことはない
たとえば１５の際は(7-Y)*(7+Y)=K*(16-K)　(８?√15)(＞=) K ＞0 のあいだでK=４のとき　Y＝１を満たすため１５は素数でない
{(S-1)/2}^2-(S+1)K+K^2=K^2
K=Y＝{(S-1)/2}^2/(S+1)が整数のときSは素数でない

904 ：１３２人目の素数さん：2013/09/25(水) 13:29:13.30

T*((S-1)-T)＝K*((S+1)-K)

｛（S+1）/2-√S｝ (＞=) K >0 [（S-1)/2] (>=) T >0

これを満たすKとTが整数のときSは素数でない
S（K?T）＋（K＋T)ー（K+T)（K-T)＝0
（K+T)（K-T-1)/(K-T)=S
(K+T)は（K-T)を因数にもつ整数

905 ：１３２人目の素数さん：2013/09/25(水) 14:45:52.52

T*((S-1)-T)＝K*((S+1)-K)

｛（S+1）/2-√S｝ (＞=) K >0 [（S-1)/2] (>=) T >0

これを満たすKとTが整数のときSは素数でない
＞S（K?T）＋（K＋T)ー（K+T)（K-T)＝0
＞（K+T)（K-T-1)/(K-T)=S
＞(K+T)は（K-T)を因数にもつ整数

Ｔ=Ｋ＋ＸとかくとＫ＝ＡＸになる
(２Ａ＋1)(１＋Ｘ)＝S
Ｋ:T＝A：(Ａ＋1)

906 ：１３２人目の素数さん：2013/09/25(水) 21:39:11.39

({(S-1)/2}-Y)*({(S-1)/2}+Y)＝K*((S+1)-K)
Sに奇数を代入した際
｛（S+1）/2-√S｝ (＞=) K ＞0 のあいだで整数Kの数字を変動させて一つもYに整数をあたえないときSは素数
同様に [（S-1)/2] >Y (>=)0 の間でYにいかなる整数の値をとらせてもKが整数にならないのならSは素数
たとえば9973は素数なので　　　(4986-Y)*(4986+Y)=K*(9974-K)においてYとKが同時に正の整数をみたすことはない
たとえば１５の際は(7-Y)*(7+Y)=K*(16-K)　(８?√15)(＞=) K ＞0 のあいだでK=４のとき　Y＝１を満たすため１５は素数でない
{(S-1)/2}^2-(S+1)K+K^2=K^2
K=Y＝{(S-1)/2}^2/(S+1)が整数のときSは素数でない
T*((S-1)-T)＝K*((S+1)-K)
｛（S+1）/2-√S｝ (＞=) K >0 [（S-1)/2] (>=) T >0
これを満たすKとTが整数のときSは素数でない
S（K?T）＋（K＋T)ー（K+T)（K-T)＝0
（K+T)（K-T-1)/(K-T)=S
(K+T)は（K-T)を因数にもつ整数
Ｔ=Ｋ＋ＸとかくとＫ＝ＡＸになる
(２Ａ＋1)(１＋Ｘ)＝S
Ｋ:T＝A：(Ａ＋1)
Y=T*((S-1)-T)とY＝K*((S+1)-K)が共通解Mを有しているとする
∫[M→0] ((S-1)X-2X^2) dx=((S-1)M^2/2-2M^3/3)
∫[M→0] ((S+1)X-2X^2) dx=((S+1)M^2/2-2M^3/3)
MK-∫[K→0] ((S-1)X-X^2) dx=MK-((S-1)K^2/2-K^3/3)
MT-∫[T→0] ((S+1)X-X^2) dx=MT-((S+1)T^2/2-T^3/3)
MK-((S-1)K^2/2-K^3/3)=((S-1)M^2/2-2M^3/3)
MT-((S+1)T^2/2-T^3/3)=((S+1)M^2/2-2M^3/3)
((S+1)M^2/2-2M^3/3)-((S-1)M^2/2-2M^3/3)＝MT-((S+1)T^2/2-T^3/3)ー｛MK-((S-1)K^2/2-K^3/3)｝

907 ：１３２人目の素数さん：2013/09/25(水) 22:05:05.29

X^2-(S+1)X+M=0 X^2-(S-1)X+M=0
K={ (S+1)-√[(S+1)^2-4M] }/2 T= { (S-1)-√[(S-1)^2-4M] }/2
{ √[(S+1)^2-4M]-√[(S-1)^2-4M] }/2-1 =X

908 ：１３２人目の素数さん：2013/09/26(木) 09:50:15.43

Y=T*((S-1)-T)とY＝K*((S+1)-K)が共通解Mを有しているとする
∫[K→0] ((S-1)X-2X^2) dx=((S-1)K^2/2-2K^3/3)
∫[T→0] ((S+1)X-2X^2) dx=((S+1)T^2/2-2T^3/3)
MK-∫[K→0] ((S-1)X-X^2) dx=MK-((S-1)K^2/2-K^3/3)
MT-∫[T→0] ((S+1)X-X^2) dx=MT-((S+1)T^2/2-T^3/3)
MK-((S-1)K^2/2-K^3/3)=((S-1)K^2/2-2K^3/3)
MT-((S+1)T^2/2-T^3/3)=((S+1)T^2/2-2T^3/3)
((S+1)(A+1)^2X^2/2-2(A+1)^3X^3/3)-((S-1)A^2X^2/2-2A^3X^3/3)
A^2X^2+(S+1)(2A+1)X^2/2-2(3A^2+3A+1)X^3/3
(A+1)X*((S-1)-(A+1)X)=AX*((S+1)-AX)
AXS-AX+XS-X-(A^2+2A+1)X^2=AXS+AX-A^2X^2
(2A-S+1)X+(2A+1)X^2=0
X=(S-2A-1)/(2A+1)

二つの二次曲線ｆ（X)=X*((S+1)-X)とF(X)＝X*((S-1)-X)　[ （S-1)^2/4 ≧　Y　＞０　]の範囲において
K=A*(S-2A-1)/(2A+1)　T＝（A+1）＊(S-2A-1)/(2A+1)　ｆ（K)＝F(T)
という整数解をみたす整数AがそんざいするときSは素数でない

909 ：１３２人目の素数さん：2013/09/26(木) 10:42:20.49

（S+1)A(S-2A-1)/(2A+1)-{A(S-2A-1)/(2A+1)}^2=(S-1)(A+1)(S-2A-1)/(2A+1)-{(A+1)(S-2A-1)/(2A+1)}^2

（S+1)A(S-2A-1)(2A+1)-{A(S-2A-1)}^2=(S-1)(A+1)(S-2A-1)(2A+1)-{(A+1)(S-2A-1)}^2

（S+1)A(2A+1)-A^2(S-2A-1)=(S-1)(A+1)(2A+1)-(A+1)^2(S-2A-1)

2SA^2+SA+2A^2+A-SA^2+2A^3+A^2=2SA^2+3SA+S-2A^2-3A-1-SA^2+2A^3+A^2-2S+4A^2+2A-S+2A+1

2SA^2+SA+3A^2+A-SA^2+2A^3=SA^2+3SA+3A^2+A+2A^3-2SA

((S+1)A+(3+S)A^2+2A^3)/.(2A+1)=M [ （S-1)^2/4 ≧M>０　] [(S-1)/2≧ A>0]

Sを９で試すと0<M≦１６　(10A+12A^2+2A^3)/(2A+1)=M A=1のとき　M＝８　A＝２の時　M=８４/5
M=8が存在するので９は素数でない

曲線　F(A)=((S+1)A+(3+S)A^2+2A^3)/.(2A+1)　が　 [ （S-1)^2/4 ≧F(A>０　] [(S-1)/2≧ A>0]　の範囲において
格子点を通るときSは素数でない

910 ：１３２人目の素数さん：2013/09/26(木) 12:32:56.78

（S+1)A(S-2A-1)/(2A+1)-{A(S-2A-1)/(2A+1)}^2=(S-1)(A+1)(S-2A-1)/(2A+1)-{(A+1)(S-2A-1)/(2A+1)}^2

（S+1)A(S-2A-1)(2A+1)-{A(S-2A-1)}^2=(S-1)(A+1)(S-2A-1)(2A+1)-{(A+1)(S-2A-1)}^2

（S+1)A(2A+1)-A^2(S-2A-1)=(S-1)(A+1)(2A+1)-(A+1)^2(S-2A-1)

2SA^2+SA+2A^2+A-SA^2+2A^3+A^2=2SA^2+3SA+S-2A^2-3A-1-SA^2+2A^3+A^2-2SA+4A^2+2A-S+2A+1

2SA^2+SA+3A^2+A-SA^2+2A^3=SA^2+3SA+3A^2+A+2A^3-2SA

((S+1)A+(3+S)A^2+2A^3)(S-2A-1)/.(2A+1)^2=M [ （S-1)^2/4 ≧M>０　] [(S-1)/2≧ A>0]

Sを９で試すと0<M≦１６　(10A+12A^2+2A^3)(S-2A-1)/(2A+1)^2=M A=1のとき　M＝16　
M=16が存在するので９は素数でない

曲線　F(A)=A*((S+1)+(3+S)A+2A^2)*(S-2A-1)/(2A+1)^2　が　 [ （S-1)^2/4 ≧F(A)>０　] [(S-1)/2≧ A>0]　の範囲において
格子点を通るときSは素数でない

911 ：１３２人目の素数さん：2013/09/26(木) 12:35:55.11

{ (S+1)(S-1)+(1+S)(S-1)A+(S-1)A^2-2(3+S)A^2-4A^3 }/(2A+1)^2　が　 [ （S-1)^2/4 ≧F(A)>０　] [(S-1)/2≧ A>0]　の範囲において
格子点を通るときSは素数でない

912 ：１３２人目の素数さん：2013/09/27(金) 11:51:09.66

X=(S-2A-1)/(2A+1)
A=(S-X-1)/｛２(X+1)｝ Xは必ず偶数
K=X(S-X-1)/｛２(X+1)｝
Y=T*((S-1)-T)とY＝K*((S+1)-K)9
(S K T)= (9 2 4) (15 4 6) (21 6 8) (25 8 12) (27 8 10) (33 10 12) (35 12 16) (39 12 14) (45 14 16) (49 18 24) (51 16 18) (55 20 24) (57 18 20) (63 20 22) (65 24 28)
A:(A+1)= 1:2 2:3 3:4 2:3 3:4 4:5 5:6 3:4 6:7 7:8 3:4 8:9 5:6 9:10 10:11 6:7

913 ：１３２人目の素数さん：2013/09/28(土) 12:50:56.47

二つの二次曲線ｆ（X)=X*((S+1)-X)とF(X)＝X*((S-1)-X)　[ （S-1)^2/4 ≧　Y　＞０　]の範囲において
X=(S-2A-1)/(2A+1)
A=(S-X-1)/｛２(X+1)｝ Xは必ず偶数
K=X(S-X-1)/｛２(X+1)｝
Y=T*((S-1)-T)とY＝K*((S+1)-K)
S(T-K)-(T+K)-(T+K)(T-K)=0

(S K T)= (9 2 4) (15 4 6) (21 6 8) (25 8 12) (27 8 10) (33 10 12) (35 12 16) (39 12 14) (45 14 16) (49 18 24) (51 16 18) (55 20 24) (57 18 20) (63 20 22) (65 24 28) (69 22 24)
(75 24 26) (77 20 24) (81 32 40) (85 32 36) (87 28 30) (93 30 32) (95 36 40) (99 40 50)

A:(A+1)= 1:2 2:3 3:4 [2:3] 4:5 5:6 [3:4] 6:7 7:8 [3:4] 8:9 [5:6] 9:10 10:11 [6:7] 11:12 12:13 [5:6] [4:5] [8:9] 14:15 15:16 [9:10] [4:5]

914 ：１３２人目の素数さん：2013/09/28(土) 15:48:08.96

121+210x≦S≦271+210x
37+210x≦S≦187+210x
191+210x≦S≦341+210x
183+210x≦S≦313+210x
107+210x≦S≦257+210x
49+210x≦S≦229+210x
23+210x≦S≦173+210x
149+210x≦S≦299+210x

S=121+210x+30y(0≦y≦5)
S=37+210x+30y(0≦y≦5)
S=191+210x+30y(0≦y≦5)
S=183+210x+30y(0≦y≦5)
S=107+210x+30y(0≦y≦5)
S=49+210x+30y(0≦y≦5)
S=23+210x+30y(0≦y≦5)
S=149+210x+30y(0≦y≦5)

915 ：１３２人目の素数さん：2013/09/28(土) 16:28:46.87

AX*((S+1)-AX)＝(A+1)X*((S-1)-(A+1)X)　 [0<(A+1)X≦(S-1)/2]

AX*((2+24S)-AX)＝(A+1)X*(24S-(A+1)X)　 [0<(A+1)X≦12S]

AX*((6+24S)-AX)＝(A+1)X*((4+24S)-(A+1)X)　 [0<(A+1)X≦2+12S]

AX*((8+24S)-AX)＝(A+1)X*((6+24S)-(A+1)X)　 [0<(A+1)X≦3+12S]

AX*((10+24S)-AX)＝(A+1)X*((12+24S)-(A+1)X)　 [0<(A+1)X≦5+12S]

AX*((12+24S)-AX)＝(A+1)X*((14+24S)-(A+1)X)　 [0<(A+1)X≦6+12S]

AX*((16+24S)-AX)＝(A+1)X*((18+24S)-(A+1)X)　 [0<(A+1)X≦8+12S]

AX*((18+24S)-AX)＝(A+1)X*((20+24S)-(A+1)X)　 [0<(A+1)X≦9+12S]

AX*((22+24S)-AX)＝(A+1)X*((24+24S)-(A+1)X)　 [0<(A+1)X≦11+12S]

Sが素数のとき等号が成り立つ整数AとXは存在しない

916 ：１３２人目の素数さん：2013/10/03(木) 18:52:33.25

http://urasunday.com/u-2_09/index.html
寿司 虚空編 第2話に(ふぃっしゅ数の前座として)アッカーマン関数が出てきましたが
ああいった式の展開過程を表示するには、どういうプログラム言語が向いているんでしょうか？

Haskell の場合、
ack 0 n = n + 1
ack m 0 = ack (m-1) 1
ack m n = ack (m-1) (ack m (n-1))

ghc> ack 3 3
61
breakポイントを置いて逐次トレース実行もできますが、
見たいのは延々と流れる展開式の方です。

917 ：１３２人目の素数さん：2013/10/07(月) 04:11:57.12

普通にCでもなんでも、それようにプログラム書けば済む話じゃん
難しいアルゴリズムでもあるまいに

918 ：１３２人目の素数さん：2013/10/07(月) 10:27:13.44

質問者は、どういうプログラム言語が「向いているか」と仰っておられる。
それが数行で済むようなのがあるなら自分も知りたいです

919 ：１３２人目の素数さん：2013/10/07(月) 16:50:21.40

א

920 ：１３２人目の素数さん：2013/10/07(月) 18:34:17.02

P_0=2
P_1=3
P_2=5
P_3=7
……
P_n　=　n+1番目の素数

m_0?m_nは0以上の整数

[m_0,m_1,m_2,m_3,……,m_n]　=　P_0^m_0×P_1^m_1×P_2^m_2×P_3^m_3×……×P_n^m_n-1


M　=　100
f(0)　=　[M…{MがM個}…,M]
f(n+1)　=　[f(n)…{f(n)がf(n)個}…,f(n)]

921 ：１３２人目の素数さん：2013/10/12(土) 18:21:50.07

>>920　f(0)はこれですか？
http://i.imgur.com/rzgY4ou.png

922 ：１３２人目の素数さん：2013/10/12(土) 18:34:15.15

この関数の
http://i.imgur.com/gnT40Ak.png
f(64,64,・・・(64が合計65個)・・・,64,64)

925 ：１３２人目の素数さん：2013/10/16(水) 01:03:16.51

S変換がよくわからん。
3+3+3を3*3にしたり
3*3*3を3＾3にしたりするような事ですか？

926 ：920：2013/10/16(水) 14:50:29.48

>>921
わざわざ計算してくれてありがとう

927 ：920：2013/10/16(水) 15:44:16.71

>>920の下の3行はとりあえず無視して

>>920の「n,…{nがm個}…,n」という表現を「n:m」と定義、 「n:0」の場合は「nil」と定義して以下の演算子を定義する
ただし、以下の「M」は任意の自然数であり、「N」は0個以上の任意の0以上の整数であり、その他の変数は任意の0以上の整数である

M[]　=　[M:M]

M[]0　=　[(M[]):(M[])]
M[](n+1)　=　[(M[]n):(M[]n)]

M[0:(j+1)]0　=　M[M:j]M
M[0:(j+1)](n+1)　=　(M[0:(j+1)]n)[(M[0:(j+1)]n):(M[0:(j+1)]n)](M[0:(j+1)]n)

M[N,k+1,0:(j+1)]0　=　M[N,k,0:(j+1)]M
M[N,k+1,0:(j+1)](n+1)　=　(M[N,k+1,0:(j+1)]n)[N,k,0:(j+1)](M[N,k+1,0:(j+1)]n)

M[N,k,0:j,m+1]0　=　M[N,k,0:j,m]M
M[N,k,0:j,m+1](n+1)　=　(M[N,k,0:j,m+1]n)[N,k,0:j,m](M[N,k,0:j,m+1]n)


100[100:100]100　なんてどうでしょう

928 ：920：2013/10/16(水) 16:03:37.46

>>927はキャンセル

>>920の「n,…{nがm個}…,n」という表現を「n:m」と定義、 「n:0」の場合は「nil」と定義して以下の演算子を定義する
ただし、以下の「M」は任意の自然数であり、「N」は任意の0個以上の0以上の整数であり、「k,n,m」は任意の0以上の整数である

M[]　=　[M:M]

M[]0　=　[(M[]):(M[])]
M[](n+1)　=　[(M[]n):(M[]n)]

M[0:(k+1)]0　=　M[M:k]M
M[0:(k+1)](n+1)　=　(M[0:(k+1)]n)[(M[0:(k+1)]n):k](M[0:(k+1)]n)

M[N,m+1,0:k]0　=　M[N,m,M:k]M
M[N,m+1,0:k](n+1)　=　(M[N,m+1,0:k]n)[N,m,0:k](M[N,m+1,0:k]n)


100[100:100]100

929 ：920：2013/10/16(水) 16:08:31.50

>>928もキャンセル

>>920の「n,…{nがm個}…,n」という表現を「n:m」と定義、 「n:0」の場合は「nil」と定義して以下の演算子を定義する
ただし、以下の「M」は任意の自然数であり、「N」は任意の0個以上の0以上の整数であり、「k,n,m」は任意の0以上の整数である

M[]　=　[M:M]

M[]0　=　[(M[]):(M[])]
M[](n+1)　=　[(M[]n):(M[]n)]

M[0:(k+1)]0　=　M[M:k]M
M[0:(k+1)](n+1)　=　(M[0:(k+1)]n)[(M[0:(k+1)]n):k](M[0:(k+1)]n)

M[N,m+1,0:k]0　=　M[N,m,M:k]M
M[N,m+1,0:k](n+1)　=　(M[N,m+1,0:k]n)[N,m,(M[N,m+1,0:k]n):k](M[N,m+1,0:k]n)


100[100:100]100

こんどこそ大丈夫

930 ：920：2013/10/16(水) 16:14:47.80

>>929もキャンセル。これが最後です連投勘弁

>>920の「n,…{nがm個}…,n」という表現を「n:m」と定義、 「n:0」の場合は「nil」と定義して以下の演算子を定義する
ただし、以下の「M」は任意の自然数であり、「N」は任意の0個以上の0以上の整数であり、「k,n,m」は任意の0以上の整数である

M[]0　=　[M:M]
M[](n+1)　=　[(M[]n):(M[]n)]

M[0:(k+1)]0　=　M[M:k]M
M[0:(k+1)](n+1)　=　(M[0:(k+1)]n)[(M[0:(k+1)]n):k](M[0:(k+1)]n)

M[N,m+1,0:k]0　=　M[N,m,M:k]M
M[N,m+1,0:k](n+1)　=　(M[N,m+1,0:k]n)[N,m,(M[N,m+1,0:k]n):k](M[N,m+1,0:k]n)


100[100:100]100

931 ：１３２人目の素数さん：2013/10/18(金) 13:35:50.09

http://gyafun.jp/ln/largenumber.pdf#search='%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0%E8%AB%96'

932 ：１３２人目の素数さん：2013/10/18(金) 19:31:27.31

目次が文字化けしてるぞ

933 ：920：2013/10/21(月) 17:08:19.05

A := この世のだれかが思いついたもっとも大きな数
B := この世のだれかが思いついたもっとも発散の早い増加関数

C(0) := A
C(n+1) := B(C(n))

これで終了ですね

934 ：１３２人目の素数さん：2013/10/21(月) 17:42:06.89

こういう風にBが定義された場合、「Bの発散の速さ>=Cの発散の速さ」という意味になるのかな

935 ：１３２人目の素数さん：2013/10/21(月) 19:18:59.49

>>933
それでもいつかは頭打ちになるよ
定義の仕方が一緒だとＣの増加度も限界点がある

936 ：920：2013/10/22(火) 17:14:53.64

そなんですか、残念

937 ：１３２人目の素数さん：2013/10/24(木) 13:05:14.56

１、２、３、たくさん

これで十分

938 ：１３２人目の素数さん：2013/10/28(月) 23:52:32.75

ラヨ数はある意味反則だな
今まで定義された巨大数も
おそらく一階の集合論の中で1ゴーグル文字で書けるだろうから
「君の定義した巨大数プラス1」って言ってるのと実質変わらないし
このスレでは似たような話が出てボツになってた

939 ：１３２人目の素数さん：2013/10/29(火) 17:55:38.65

こうやって関数の入れ子数を増大させて行けばいつもでも大きくなりそうだけど

g　　　　　　2個の0以上の整数を受け取る任意の増加関数
a,b,n,m,x,y　0以上の整数
b:n　　　　　n個のb
%　　　　　　0個以上の0以上の整数

F(g,0,x)=g(x,x)
F(g,n+1,x)=g(F(g,n,x),F(g,n,x))

f(0,x)=x+1
f(y+1,0)=f(y,1)
f(y+1,x+1)=f(y,f(y+1,x))

f[](0,x)=F(f,x,x)
f[](n+1,x)=F(f,f[](n,x),f[](n,x))

f[0:(m+1)](0,x)=F(f[x:m],x,x)
f[0:(m+1)](n+1,x)=F(f[f[0:(m+1)](n,x):m],f[0:(m+1)](n,x),f[0:(m+1)](n,x))

f[%,a+1,0:m](0,x)=F(f[%,a,x:m],x,x)
f[%,a+1,0:m](n+1,x)=F(f[%,a,f[%,a+1,0:m](n,x):m],f[%,a+1,0:m](n,x),f[%,a+1,0:m](n,x))

F[](g,0,x)=F(g,f[x:x](x,x),f[x:x](x,x))
F[](g,n+1,x)=F(g,F[](g,n,x),F[](g,n,x))

940 ：１３２人目の素数さん：2013/10/31(木) 12:15:56.49

Rayo(5)=グラハム数

うむ、強いな

941 ：１３２人目の素数さん：2013/10/31(木) 12:44:12.53

Rayo(1)=?
Rayo(2)=?
Rayo(3)=?
Rayo(4)=?
Rayo(5)=グラハム数

1から4までは具体的な値だせるんじゃね？

942 ：１３２人目の素数さん：2013/10/31(木) 16:39:34.99

X(0)=1
Y_0(0)=G^64(4)
Y_0(a+1)=G^(Y_0(a))(Y_0(a))
Y_(n+1)(0)=Y_n(X(n))
Y_(n+1)(a+1)=Y_n(Y_(n+1)(a))(Y_(n+1)(a))
X(n+1)=Y_n(X(n))

X(0)=1
X(1)=Y_0(1)=G^(G^64(4))(G^64(4))
X(2)=Y_1(G^(G^64(4))(G^64(4)))
X(3)=Y_2(Y_1(G^(G^64(4))(G^64(4))))
X(4)=Y_3(Y_2(Y_1(G^(G^64(4))(G^64(4)))))
X(5)=Y_4(Y_3(Y_2(Y_1(G^(G^64(4))(G^64(4))))))

グラハム数（笑）
ちょろいな

943 ：１３２人目の素数さん：2013/11/01(金) 07:17:05.79

Ｒａｙｏ数って可算無限じゃん
巨大数を定義したらそれを定数記号にして
一階集合論を保存拡大してを永久に繰り返せるから
この操作を回避する定義は思いつかない
よってＲａｙｏ（５）は自然数でない

944 ：１３２人目の素数さん：2013/11/01(金) 15:28:57.58

ラヨ数を定義したMITの哲学者とやらは
ただ単に屁理屈がうまいということでつね

945 ：１３２人目の素数さん：2013/11/02(土) 02:42:04.13

loader.c

946 ：１３２人目の素数さん：2013/11/03(日) 10:34:46.18

U(P, T, B) = 地球上のある地点からTにて観測できた
　　　　　西暦P年1月1日の最初の時点で存在する最大の巨大数
　　　　　Bはバッファを表す。通常は正の無限大として扱う。(B=∞)
　　　　　バッファは記憶容量であり、観測において過去にどれだけ遡って
　　　　　その証拠を追えるかを記す。現在は1であり、1つ遡れる場合は2。
　　　　　B=0の場合現在すらないのでそのようなUは定義されない。

ただしU(X) は西暦X年1月3日になることで初めて実体を持つ。それまでは存在しない。
実体を持つのは地球上の任意の点でよい。
1月2日とされる地点においては、U(X)は存在せず、U(X-1)までが存在する。
たとえば、U(2014,∀T,∀B) は存在しない。なぜなら地球上の
どの地点もまだ西暦2014年の1月3日を迎えていないから。
観測の元データは2chのこのスレでもよい。このスレを便宜的に0とすると
現時点ではU(2013,0,∞)が0における最大の巨大数
現実には過去の記録を∞に遡れることはないので、
∀T>∃nにおいてU(2013,0,T)=U(2013,0,∞)とみなす。

947 ：１３２人目の素数さん：2013/11/03(日) 13:39:03.25

寿司屋でバージョン７の完成を聞いてやってきました

948 ：１３２人目の素数さん：2013/11/04(月) 23:55:12.03

円周率の10進数表記の任意の位置までを整数と見なす

π（0桁目まで） = 3
π（1桁目まで） = 31
π（2桁目まで） = 314
π（3桁目まで） = 3141
............

Pi（0） = π（初めて0が出てくる最初の桁目まで） = 314159265358979323846264338327950288419716939937510
Pi（n+1） = π(π(n)の位置からπ(n)桁目を起点として初めてπ(n)が見つかったπ(n)の末尾の位置の桁目まで)

Pi(1)の場合
　314159265358979323846264338327950288419716939937510（0桁目）............(π(0)桁目)(ここからπ(0)を探索).............(π(0)が見つかった場合π(0)の末尾位置まで)

949 ：１３２人目の素数さん：2013/11/05(火) 10:44:45.60

>>948
あまりにちっちゃい数字を出すからビックリしちゃったじゃないか。

950 ：１３２人目の素数さん：2013/11/05(火) 11:27:53.92

ちっちゃいのが良いんだよ
理解出来ない巨大数なんてなんの役にもたたないじゃにか
あははは

951 ：１３２人目の素数さん：2013/11/05(火) 11:30:45.25

無量大数で十分だよね

952 ：１３２人目の素数さん：2013/11/05(火) 11:55:14.81

>>950
クヌースの矢印表記以外の表現は面白みがないのはたしか
数年前に一番スレが盛り上がっていた時だな
順序数が出た当たりから過疎ってきた

953 ：１３２人目の素数さん：2013/11/05(火) 12:31:26.21

だって順序数が分からないもん

＞{0,1,2,3,…}のどの数よりも大きい数(のうち最小のもの)を考えて、ωと名付ける。
自然数って無限だろ？無限の中の最大の数？

954 ：１３２人目の素数さん：2013/11/05(火) 16:52:09.12

もうこのスレは9で閉じちゃって以後こっちで議論した方がいいよね

巨大基数の集合論とその応用
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1326184859/

955 ：１３２人目の素数さん：2013/11/08(金) 00:26:00.47

自然数は無限じゃない有限
はじめての無限が自然数の集合＝ωと定義している
順序数は通常の数の拡張だと考えたほうがよい
多重再帰とかを記述するのに適した記法なわけ

クヌースの矢印表記などは数の表記の工夫
順序数は数や関数の操作の工夫

956 ：１３２人目の素数さん：2013/11/08(金) 00:38:03.40

とはいえ、
集合論みたいな慣れが必要な知識がなくても
わかるような具体的な操作で説明してほしいわ

957 ：１３２人目の素数さん：2013/11/10(日) 18:44:57.79

やっぱりわかんない(´・ω・｀)ショボーン

958 ：１３２人目の素数さん：2013/11/11(月) 00:29:26.87

メモ

public int hoge(int n, int a){
　if(a == 0){
　　return Math.power(n, n);

　} else {
　　return Math.power(hoge(n, a-1), hoge(n, a-1));
　}
}

960 ：１３２人目の素数さん：2013/11/11(月) 14:07:57.72

ノート

ω　＝　lim_[n→∞]n
ω×2　＝　lim_[n→∞](n＋n)
ω^2　＝　lim_[n→∞](n×n)
ω^ω　＝　lim_[n→∞](n^n)

n↑^[0]0　＝　1
n↑^[0](m+1)　＝　n^(n↑^[0]m)

ω↑^[0]ω　＝　lim_[n→∞](n↑^[0]n)

n↑^[1]0　＝　1
n↑^[1](m+1)　＝　n↑^[0](n↑^[1]m)

ω↑^[1]ω　＝　lim_[n→∞](n↑^[1]n)

n↑^[2]0　＝　1
n↑^[2](m+1)　＝　n↑^[1](n↑^[2]m)

ω↑^[2]ω　＝　lim_[n→∞](n↑^[2]n)

n↑^[k+1]0　＝　1
n↑^[k+1](m+1)　＝　n↑^[k](n↑^[k+1]m)

ω↑^[k]ω　＝　lim_[n→∞](n↑^[k]n)

ω↑^[ω]ω　＝　lim_[n→∞](n↑^[n]n)

961 ：１３２人目の素数さん：2013/11/11(月) 21:25:21.10

グラハム問題の解の上限はグラハム数
だと今まで思ってたけど巨大数論論文の30ページを読む限りそうではないってことなの？

11≦グラハム問題の解≦1971年にグラハムが論文で示した数＜グラハム数

ってなるよね。

962 ：１３２人目の素数さん：2013/11/12(火) 17:45:02.01

チラシの裏

グラハムとはグラタンとハムサラダの略かもしれない

963 ：１３２人目の素数さん：2013/11/12(火) 22:40:27.78

グラハムバーガーってことか

964 ：１３２人目の素数さん：2013/11/13(水) 21:23:50.92

なんか面白いアプローチないの
むしろ限りなく小さい数を追求してくとか

965 ：１３２人目の素数さん：2013/11/13(水) 21:44:28.32

1/n→0みたいなやつ

966 ：１３２人目の素数さん：2013/11/13(水) 23:11:05.90

巨大数出す関数の逆数とって終了と

967 ：１３２人目の素数さん：2013/11/13(水) 23:20:36.41

>>966
巨大にしよう！ってのと別のアプローチをしたいって意味なんだけどご理解頂けないのか
より0に近い数とか考えていったら確率論とかも視野に入れられると思うんだけど

968 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 00:36:11.67

逆数より強力な微小数<->巨大数の相互変換関数作って、
振動させながらでかくしていくとかは可能かな

969 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 01:58:33.67

普通の数学で使う（思いつく）ような手法は
多重再帰とかが出た時点で歯が立たない
基礎論的手法でしか対抗できない

970 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 02:18:44.05

>>964,967
巨大数の場合、生成プロセスそのものが興味の対象だと思う。
極小数？については、巨大数の逆数をとるのとは違う何らかの
価値が示せるのならありかも。

でも無限小解析で使われる「０でない無限小超実数」のような
面白そうな使い道があるのかなあ？

971 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 09:34:45.59

本格的にふぃっしゅ数理解に取り組もうと思うんだけど氏のpdf最初から読んでけばどうにかなる？
高校数学の知識しかないけど

972 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 10:06:24.29

アッカーマン関数が出て来た時点で全部終わった感
あとは蛇足に見える

973 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 14:14:37.84

巨大関数方程式の解を求めるアプローチ

巨根

974 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 15:02:41.22

ご存知のように↑d(a,b,c)＝矢印をd回転させたa↑b↑c

第1段階、新たな「↑」をa↑b＝↑b（a,a,a）と定義し、
更に、新たな「↑」をa↑b＝a↑a↑…(b個)…↑aと定義する

第2段階、新たな「↑」をa↑b＝定義をb回したときのa↑a↑…(b個)…↑aと定義し、

更に、新たな「↑」をa↑b＝b段階のときのa↑a↑…(a個)…↑aと定義する

ここまでを「第1段階」と呼び直し、
f(n)＝n回呼び直したときのn↑n↑…(n個)…↑nとしf^64(4)

ダメだ…ふぃっしゅ数v3の劣化コピーですね

975 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 16:38:59.45

まあこう定義すればいいだけだしね

f(0,0,x)=↑x(x,x,x)
f(z+1,0,x)=f(z,x,x)
f(z,y+1,0)=f(z,y,1)
f(z,y+1,x+1)=f(z,y,f(z,y+1,x))

976 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 16:55:20.59

そんなことはどうでもいいんだよ
このスレも後20ちょっと
ガンバって埋めようぜ

977 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 18:27:20.90

無料対数

978 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 18:28:34.90

夢幻

979 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 18:29:36.70

虚題崇

980 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 19:46:07.18

a([c]*1)b=a([c-1]*b)a
a([1]*1)b=a^b
a([c]*d)b=a([c]*(d-1))([c]*1)b
a(...)([c]*1)b=a(...)([c-1]*b)a
a(...)([c]*d)b=a(...)([c]*(d-1))([c]*1)b
a(...)([1]*1)b=a(...)(a(...)([1]*1)(b-1))
a(...)([1]*d)1=a(...)1

f(x)=3([x]*1)3
f^64(4)

981 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 19:48:06.48

せっかくネタ提供してやったのにクソみたいなレスばっか
テンプレはこれでいいかな？

大きな実数を探索するスレッドです。

前スレ
　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1284207329/
巨大数研究室
　http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
巨大数 (Wikipedia)
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0
ふぃっしゅっしゅ氏の巨大数論PDF
　http://gyafun.jp/ln/
たろう氏のまとめ
　http://gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt
Dmytro Taranovsky の順序数表記
　http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
mixi 巨大数コミュ (要 mixi アカウント)
　http://mixi.jp/view_community.pl?id=2771859

982 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 20:26:42.23

ネタってなに。

983 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 20:37:55.03

加算無限をωとすると連続体無限は何になるの？ω＾ω？

984 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 22:29:48.89

２＾ω

985 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 22:36:04.44

無限にも大小あるってのを分かりやすく説明してくれ
自然数の集合より実数の集合のがデカイことは理解出来たけど濃度とかよーわからん

986 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 22:41:52.32

寿司を見てここに来た新参の俺には、
＾ωがどうしても顔に見える

987 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 22:44:11.56

全単射が作れれば同じ濃度
そうでなければ違うってこと
濃度はつまり具合というイメージで作られたみたい
数直線上で自然数より実数のがつまってるってこと

988 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 22:51:12.05

>>987
なるほど
それ以上みっちりした無限ってどんなのがあるの？
Wikipediaみたら色々書いてあったけどよくわからん

989 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 23:05:25.34

確か実数の部分集合全体の集合は実数全体の集合より真に濃度が大きくなるよね
ただ、みっちりという言葉にそぐうものかはわからん
これって全順序集合になるんかしら

991 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 23:24:43.46

>>989
どういうこっちゃ…
実数以外だと？

992 ：１３２人目の素数さん：2013/11/14(木) 23:51:51.60

>>991
すまん、俺も詳しくはわかってない
いわゆる「数」で実数より濃度の高いものはないんじゃないかなあ
正確には数全体のなす集合だけど

993 ：１３２人目の素数さん：2013/11/15(金) 00:16:03.19

>>992
数でってことは数から外れるとまだ何かあるってことか興奮する

994 ：１３２人目の素数さん：2013/11/15(金) 00:33:47.66

超現実数




は集合にすらならないか

995 ：１３２人目の素数さん：2013/11/15(金) 00:39:06.67

>>993
上で書いたように、濃度は集合に対して定義されているのよ
だから、数を要素に持つような集合以外にも無限集合は考えられる
そういう中には、実数全体の集合よりも真に濃度の大きい集合も存在する

996 ：１３２人目の素数さん：2013/11/15(金) 00:42:42.56

済まぬ…次スレ建てられんかった…誰か頼む

997 ：１３２人目の素数さん：2013/11/15(金) 00:52:20.56

次スレ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1384444271/

998 ：１３２人目の素数さん：2013/11/15(金) 01:06:12.64

>>995
ヒエッ…
とすると数じゃない要素の集合で実数よりみっちりなのって例えば何になるんだ？
よくわからんけど興奮する

999 ：１３２人目の素数さん：2013/11/15(金) 01:33:49.96

>>998
集合を要素に持つ集合ってのが一番わかりやすいかなあ
そういう例が>>989の「実数の部分集合全体の集合」ってやつ
あとはそれこそWikipediaにあるようなのが一般的な例だと思う

1000 ：１３２人目の素数さん：2013/11/15(金) 01:43:44.35

>>999
なるほど
実数の部分集合全体の集合がもうそうつかんけど

1001 ：１００１：Over 1000 Thread

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