巨大数探索スレッド過去ログ
巨大数探索スレッド7
- 1 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 23:44:01
- 巨大数研究室
http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
前スレ、過去スレ、避難所はこのページからどうぞ。
「前の数+1」
「1/x x→0」
「∞」
「9を延々と書き続けるプログラム」
「本日からこのスレでは、いっさいの数学的ではない話を禁止する。
私以外で検証する能力を持っている人間はいないようなので、
数学的に明確に証明できた場合以外は反論しないように。
特に今日のような低俗な煽りには徹底して放置で対応すること。」
という類の投稿は放置推奨。
- 2 :もやしっ子:2006/11/19(日) 23:57:02
- ありがとうございます。
巨大数研究室からのリンク張り換えました。
- 3 :もやしっ子:2006/11/20(月) 00:54:09
- いきなり無限の話ですが、「数の本」を片手に少々。
(現在、無限絡みの巨大数生成プロセスの議論が込み入ってるのです)
・ωって何?
「0,1,2,… したがって、ω本の電柱がある」(抜粋)
というイメージだそうで、
「全ての有限の数よりも大きい"最初"の数」=ω とのことです。
・ωとかが絡んだ演算はどうなの?
ぶっちゃけ、定義があって大丈夫なようになってるみたいです。
・ε_0ってどんな?
とにかくωより十分でかいみたいです。タワーを使うと
ω↑↑ωという記述ができますが、これをε_0 と呼んでるみたいです。
こいつは ω^ε=ε を満たす最初の数、とのことです。
そんで、もっと上もその上も、作れるみたいです。
とりあえず上の2種だけ噛み砕いてみました。
- 4 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 01:42:17
- 巨大数とは逆に小さい数の話だけど冪集合の濃度がN_0になるような自然数の部分集合って
つくれるのかな?今日一日カントールとか考えてたけど思いつかなかった
- 5 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 02:59:47
- アレフ_0なら無理
- 6 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 03:58:24
- アレフゼロが最小だというのは証明されていた気がする。どんな証明だったっけ?
- 7 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 04:19:43
- 選択公理を使用
- 8 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 04:31:44
- 無限集合は可算無限集合を部分集合として持つからアレフゼロ以上になるわけか
- 9 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 17:53:33
- このスレは新しい巨大基数の公理でも見つけるスレなのかね
- 10 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 21:10:19
- じゃなく高速に有限巨大数を作る方法を考えるスレかな?そのために順序数を利用しようという流れかと。
- 11 :132人目の素数さん:2006/11/22(水) 19:30:14
- ビジービーバーはどうなった?
- 12 :132人目の素数さん:2006/11/22(水) 23:43:43
- ωとか使えばビジービーバーを抜ける可能性があるわけ?
それとも無理なわけ?
- 13 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 08:10:32
- >>12
両方巨大数を生み出せるという点では共通しているがその他の性質
が違いすぎるので比べるのは至難の技だと思う
- 14 :132人目の素数さん:2006/11/24(金) 12:46:00
- ωを使った巨大数は、計算可能なの?
計算可能ならばBBの方が大きいだろうし、
計算不可能ならば…計算不可能なもの同士の大小を
比べるのは、至難だろうね。
- 15 :5-682:2006/11/24(金) 23:10:37
- >>14
前スレを参照すればわかるかもしれませんが
ω式の巨大数(関数)は超限帰納的なので計算可能だと思います。
ただ計算可能だからBB関数のほうが大きいかどうかは
よくわからないところです。
- 16 :132人目の素数さん:2006/11/24(金) 23:21:39
- BBはあらゆる計算可能な関数より大きいことになっている。
- 17 :132人目の素数さん:2006/11/24(金) 23:28:29
- 証明があるってことか?
- 18 :132人目の素数さん:2006/11/24(金) 23:39:59
- ある関数fがn状態のチューリングマシンで計算可能で、入力がmなら
f(m)はBB(n+log(m))を超えられないようなキガス。
厳密なことはおれにはわからんが。
- 19 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 00:00:33
- f(m)を計算するにはテープにmが書かれた状態で
fを計算するチューリングマシンを走らせればよい。
テープにmを書くチューリングマシンはlog(m)状態で
実現できるので、f(m)の値を得るには入力を生成する部分と
fを計算をする部分でn+log(m)状態あればよい。
BB(n+log(m))はn+log(m)状態で一番大きい数を出力するので
f(m)はBB(n+log(m))を超えられない。
- 20 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 00:06:04
- と思ったけどBBの定義はテープに1を何個かけるかだっけ?
とすると2^f(m)とBB(n+log(m))を比べないといけない?
すまん。よくわからなくなってきた。
- 21 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 00:23:53
- とおもったけど2のべき乗を計算する処理も入れてやれば良いのか?
2のべき乗を計算するチューリングマシンの状態をpとすれば
f(m)はBB(n+p+log(m))を超えられない。
スレ汚しスマソ。
- 22 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 00:46:05
- BBの逆概念風なものに、コルモゴロフ複雑性ってのがあるんやね。
ウィキペに載ってた。
- 23 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 06:58:27
- 「計算可能」っていうのは単に「計算出来そう」という意味じゃなくて
厳密な定義がある概念ですよ。
- 24 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 08:32:44
- オートマトンには状態数があるけどチューリングマシンの状態数って?
テープに状態を記録できるから状態数は∞のはずじゃ?
- 25 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 09:20:18
- >>24
ここで言う「状態」はマシンの内部状態のことでせう
- 26 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 15:20:49
- オートマトンには状態遷移表みたいなのが内蔵されるんよー。
- 27 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 15:21:30
- まちがえた、チューリングマシンだった。
- 28 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 15:51:57
- TMの状態数は計算可能性には関係ないんじゃなかったっけ?
- 29 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 16:10:51
- 1状態でも停止できないものが作れるからな。
- 30 :132人目の素数さん:2006/11/26(日) 04:49:43
- 状態数と計算可能性に関係がないのなら上限値にBB(n+log(m))のようにnが含まれるのは変な気がする
- 31 :132人目の素数さん:2006/11/26(日) 10:46:12
- 計算可能性と上限値に関連はないと思うけど。
- 32 :132人目の素数さん:2006/11/26(日) 18:07:42
- 状態数が多いほど計算できる関数は増える。
- 33 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 21:30:25
- チューリングマシンを使わずに計算不能な関数は定義できるか?
- 34 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 21:40:55
- 出来る。再帰的でない函数のことなんだから。
というかチューリングマシン勉強したら習うだろ。
- 35 :132人目の素数さん:2006/11/30(木) 12:48:22
- 結局現時点で一番大きな数はなんなの?
- 36 :132人目の素数さん:2006/11/30(木) 14:49:59
- 範囲を有限にしないとこのスレの意味無いじゃん。
- 37 :132人目の素数さん:2006/11/30(木) 15:11:23
- 数自体は自然数しか扱っていないよ
- 38 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 19:27:50
- なんつーかBBがある限り計算可能な関数の議論は白けてしまうっつーか。
厄介だな。
- 39 :132人目の素数さん:2006/12/05(火) 21:26:31
- >>18-21の理屈で行くとfが単調増加関数だとするとテープに
m以上の入力を書くのにはBB^-1(m)状態あればいいから
f(m)はBB(n+p+BB^-1(m))を越えられないって事だな。
nもpも定数だしBB^-1(m)もほとんど定数みたいなもんだから
計算可能な関数はBBからみればまさに止まって見えるつーことだな。
- 40 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 18:06:55
- ヒルベルト論理体系を超えた関数を作ろうぜ
- 41 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 21:52:44
- >>40
kwsk
- 42 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 22:01:03
- kwskというか意味がわからん
- 43 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 22:13:45
- >>40がなんか面白そうなアイディアを持ってそうなのでkwsk聞きたかったのだが。
- 44 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 23:59:19
- チューリングマシンで計算可能な関数はλ計算でも計算可能。逆も真
λ計算ではヒルベルト論理体系で構築できる全ての関数を計算可能
(まあ別にヒルベルトじゃなくてもいいけど)
だからBBを超えるにはλ計算の構築が不可能な論理体系に基づく関数が必要
とまで書いて気付いたけど不動点定理とか非停止問題があったな・・・
- 45 :132人目の素数さん:2006/12/13(水) 21:54:14
- >>39の要領でフィッシュ数がBBのいくつ以下とか出せそうな気がする。
俺には無理だが。
- 46 :132人目の素数さん:2006/12/17(日) 15:15:13
- ωって結局なによ?有限?無限?
- 47 :132人目の素数さん:2006/12/17(日) 15:15:53
- sage忘れスマソ
- 48 :132人目の素数さん:2006/12/17(日) 15:18:49
- チューリングマシンはバンダイで売っていますか?
- 49 :132人目の素数さん:2006/12/17(日) 15:33:05
- 量子コンピュータができたら高速で任意の
n 番目の素数を検索できたりするのかな?
- 50 :132人目の素数さん:2006/12/17(日) 17:14:13
- そばで机を指でたたくと値が変わる
- 51 :132人目の素数さん:2006/12/19(火) 22:30:37
- Gをグラハム数としてBB(G)↑↑BB(G)とBB(G+1)ってどっちが大きいと思う?
俺はBB(G+1)の方が大きいんじゃないかと思ってるんだが。
もちろんこんなもん比べようも無いがみんなの意見聞かせて。
- 52 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 15:20:24
- >>51
漏れもBB(G)↑↑BB(G)<BB(G+1)説に同意
そのレベルになるともう1増えるだけで全然違うだろうからな
- 53 :132人目の素数さん:2006/12/21(木) 22:44:31
- BBって滑らかなのかぁ。などと言ってみるテスト。
- 54 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2
:2006/12/21(木) 23:32:39
- talk:>>53 滑らかの定義から分かるように、必ず滑らかでない。
- 55 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2
:2006/12/21(木) 23:33:28
- talk:>>53 それとも、滑らかである関数に延長できるのか?
- 56 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 00:18:13
- kingこのスレみてたのか。
階乗なんかは滑らかな関数に延長できるんだっけ?
- 57 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 00:55:38
- ガンマ関数のことかー。
まぁBBに関しては無理だろう。
BB(X)とBB(X+1)に計算可能な関係が存在しないんだから。
- 58 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 01:02:49
- x<yならばBB(x+1)-BB(x)<BB(y+1)-BB(y)といえるか?
- 59 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 08:18:44
- >>58
BB(x+1)<BB(y+1)-BB(y)+BB(x)
ということなので
まあ成り立つ
- 60 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 14:09:53
- BB(2)-BB(1) = 3
BB(3)-BB(2) = 2
(・д・)
- 61 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 18:26:41
- w
- 62 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 18:42:28
- >>60
引数が小さなときだけの特殊な場合なのか、
もっと大きいときでも逆転が起こるのか興味あるな。
逆転が起こるとしたらどんな理由だろ?
- 63 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 20:24:24
- n次元空間の構造みたいな話になっていきそうでアレだなぁ。
- 64 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 08:33:55
- >>59がすでに証明できていれば良いのだが
- 65 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 19:37:08
- BB(x+1)<BB(y+1)-BB(y)+BB(x)
=BB(x+1)<BB(x+2)-BB(x+1)+BB(x)
=2BB(x+1)<BB(x+2)+BB(x)
xが充分に大きければBB(x+1)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<BB(x+2)
みたいになるからほぼ成り立つだろう
- 66 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 21:39:06
- >>65
いや、58はそもそもBB(x+1)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<BB(x+2)
を疑っているのだろう。
BB(x+1)-BB(x)>BB(y+1)-BB(y)
は無理かもしれないが、
BB(x+1)/BB(x)>BB(y+1)/BB(y)
くらいなら案外ありうるかも。
- 67 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 22:53:30
- (2^3)/(2^2)=(2^2)/(2^1)
( ゜д゜ )
- 68 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 23:09:57
- 巨大数の定義は?
- 69 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 23:36:02
- 具体的に想像もできないくらい巨大な数。
俺定義。
- 70 :もやしっ子:2006/12/31(日) 04:36:27
- どうも。BBすげえ強そうですね。どうでしょう、ひとまず無視しては(笑)。
前スレからHardy
functionのもう少し堅いやつを拾ってきたので
性懲りもなくまた貼ります。言いだしっぺはあの人でした。懐かしい…
****
60 名前:有流才蔵 :03/04/06 11:13
Hardy Function のHierarchyというのが面白そう。
以下、[]の0,a,λは順序数(ordinal)
H[0](x)=x+1
H[a+1](x)=H[a](x+1)
H[λ](x)=H[Λ(x)](x)
λは極限順序数、
Λ(x)はλに収束する基本列
(canonical
fundamental sequence)
三行目はふぃっしゅ氏の"対角化"に似ているけれども
違うのは"Λ(x)"ってところ。
61 名前:有流才蔵 :03/04/06 11:25
Hardy FunctionのHierarchyでいうと、
primitive recursive functionはH[ω^ω]より小さく
multiply recursive
functionはH[ω^ω^ω]より小さく
general recursive functionはH[ε0]より小さいそうだ。
(ε0とはω^ω^・・・なる順序数)
***
勝てない相手より、こっちの観戦がしたいです(他力本願)
対角化っていまだに何だか理解してないですから。ええ。
- 71 :もやしっ子:2006/12/31(日) 04:56:34
- あー前スレで順序数の議論もやってたみたいですね。
アルゴリズムや定義論みたいなのに行ってしまいましたが。まあいいか。
巨大数スレ6のDATを募集中です。
- 72 :もやしっ子:2006/12/31(日) 05:47:37
- コミケまで時間あるな…
チェーンの簡易表記の解説でもしようかな。
a→b→c→dをf(a,b,c,d)と表記されたのは画期的でした。
同じことな訳ですが、初見で面食らう方もいると思うので
定義の同じところだけ噛み砕こうと思います。
f(a)=a
これはチェーンでいえば何もない状態なので、a=aってことです。
f(a,b)=a^b
これはa→bのことですね。つまりa→b=a^bです。
f(a,…,x,y,1)=f(a,…,x,y)
これは、a→…→x→y→1と同じです。
チェーンの最後の数が1のときはこれを落とすことができるので、
a→…→x→y→1=a→…→x→y ということです。
f(a,…,x,1,z)=f(a,…,x)
同様に、a→…→x→1→zのことです。1より後ろは落とせるので
a→…→x→1→z=a→…→x となります。
f(a,…,x,y,z)=f(a,…,x,f(a,…,x,y-1,z),z-1)
a→…→x→y→zのことです。チェーンの定義より、
a→…→x→y→z
=a→…→x→(a→…→x→(y-1)→z)→(z-1) となります。
- 73 :もやしっ子:2006/12/31(日) 05:49:09
- まずはこれを踏まえて、いざリスト関数の解読!(どうだか…)
第一歩、こんな定義をしてる模様。
f((a,…,z),(1))=f(a,…,z)
ほら、なんとなく分かるかも?
続きは来年…
- 74 :5-682:2006/12/31(日) 19:24:25
- 大晦日に久しぶりレス。
今Veblen関数とリスト構造を組み合わせた
巨大増加関数の案がまとまりつつあります。
(Veblen関数の変数中をリスト構造で表したものです。)
さらに一言付け加えるとすれば
リスト構造を順序数ωのように表すことができるようです。
これで順序数を大幅に拡張できます。
これを使ってナゴヤ関数をもっと詳しく
説明できるかもしれませんね。
さらにナゴヤ関数Ver2まで発展していきたいところです。
- 75 :132人目の素数さん:2006/12/31(日) 19:47:16
- >>70
どうしても(^ω^)が見えてきてしまうのは俺だけか
- 76 :132人目の素数さん:2007/01/01(月) 00:19:49
- ↓うるせーんだよ
↓このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
- 77 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 07:49:22
- 難し杉で議論に入れないナゴヤ関数ってなに?BBと比べるとどうなの?
- 78 :もやしっ子:2007/01/04(木) 15:43:34
- あけましておめでとうございます。今年もちんたらやりましょう。
時に激しく。
で、73の続きですが、途中で分からない箇所があったので
(前スレで解決があったのかもしれませんが見てないです)、
わかるとこまで書きます。
>>77
ナゴヤ関数というのは現時点でも超強い関数、のはずです。
BBはすべての計算可能関数より強いので比較するまでもなく鬼強い、はずです。
(適当)
- 79 :もやしっ子:2007/01/04(木) 15:54:36
- >>74
レス順ずれちゃいました。どもども。
現在前スレを読めないので、どの関数がどんなんだったか
サイトに記載した以外のものはド忘れしております。申し訳ない。
僕としては強いのが産まれれば何でもいいというか(BBは仕方ないもんなぁ)、
うまくまとまることを願ってやみません。またそれをイノセントな方々に
語り部として咀嚼するのが自分のささやかな使命、ってことでひとつ。
以前ロジシャンやプログラマの面々まで首を突っ込んで頂いた
well-defined がそもそも何だったのか、と(ヘボ)。
well-definedな関数でないと、何が起こってしまうのでしょうか。
なぜあの議論になったのかであるとか、結論などを記載していかないと
埋もれてしまうかな、と思ったり…
- 80 :もやしっ子:2007/01/04(木) 20:16:51
- さて、リスト関数の続き。
f((a),(n))=a なぜ個々に括弧? つまり、 f(a,n)とすると
a→nという式と同じになってしまうので区別してる訳です。
f((a,b),(n))=f((a,…,(b個),…,a),(n-1))
もうチェーンでは表現できないかな。でも怖くないですよ。たぶん…
f((a,…,x,y,1),(n))=f((a,…,x,y),(n)) 最後の1が落ちただけです。
f((a,…,x,1,z),(n))=f((a,…,x),(n)) これも1以下が落ちただけ。
f((a,…,x,y,z),(n))=f((a,…,x,f((a,…,x,y-1,z),(n)),z-1),(n))
ここがミソです。
手前の(a,…,x,y,z)が化ける訳です。後ろ2つのy,zが。
zは(z-1)になるだけなので怖くないです。むしろyですよ。
yは、f((a,…,x,(y-1),z),(n))といった具合に肥大化します。
- 81 :もやしっ子:2007/01/04(木) 20:35:41
- さて、いよいよリスト導入にいく訳ですが、
さっき入れた(n)、これが(*,…,*)という「リスト」に拡張されるという。
と、進む前に一応。nも他のaやzのように、こちらが数を決めて
ぶっこんでもよい、みたいです。つまり例えば、
f((4,6,2,3,5),(10))と書いても平気で、これは一意の巨大数として決まると。
で、(*,…,*)ですが、これがどういうニュアンスなのかちとわからんです。
(n)は1次で、2次以上だと(*,…,*)と書いて、リストと呼ぶってことなのかなぁ。
この次数がどう決まるのか、とかわからんです。
ひょっとしてf_nの定義から逆読みしていけばちゃんと決まるのかなぁ。
あと、m重リストってのは、
m=1で(*,…,*)
m=2で((*,…,*),(*,…,*)) みたいに続くのかな。
これらリストの次数は互いに異なってもいいのかな。あはん
- 82 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 22:10:28
- >>81
(*,…,*)というのは、その前に(a,…,z)とか書いていたのと同じ意味です。
つまり、(*,…,*)は具体的には(31,41,5,9,2)とか(2,71,8)とか(6)のようなものです。
(1重)リストの定義はきちんと書けば下の通りです。
{(a_1,a_2,…,a_n)|nは自然数; ∀i=1,…,n ,
a_iは自然数}
nを要素の個数、a_iを(i番目の)要素と呼ぶ。
任意のリストを表す記号として(*,…,*)を使っています。(n)は要素が1個のリストです。
同様に、m重リストは下のように再帰的に定義します。
{(L_1,L_2,…,L_n)|nは自然数; ∀i=1,…,n ,
L_iは(m-1)重リスト}
注:L_iの要素の個数は互いに異なっていても構わない
2重リストなら((*,…,*),…,(*,…,*))となります。
f((a),(n))=aというのは、((a),(n))という2重リストにfが作用していると見ることができます。
個々に括弧がついているのは、(a)と(n)が1重リストであることを示すためです。
- 83 :もやしっ子:2007/01/05(金) 00:50:22
- >>82
1重リストは多分わかりました。(*,…,*)をきちんと書くとそうなるという
理解でいいのかしら。
2重リストはそうすると、定義が
{(L_1,L_2,…,L_n)|nは自然数; ∀i=1,…,n ,
L_iは1重リスト}
ですよね。
例えばn=4なら
(L_1,L_2,L_3,L_4) となって、L_1番目からL_4番目までリストが入ってると。
でもって、この4つのリストの要素の個数は互いに異なってもよいのですね。
つまり((4),(3,8,5,7),(2,9,3),(6,5))とかやっても大丈夫。
順番にやらないと分からん脳みそなので、次は3重リストの例も書きます。
- 84 :もやしっ子:2007/01/05(金) 01:14:11
- 3重リストの定義は、
{(L_1,L_2,…,L_n)|nは自然数; ∀i=1,…,n , L_iは2重リスト} ということで、
例えばn=5で書きましょう。5にしている意味は別にないです。
やはり見た目は(L_1,L_2,L_3,L_4,L_5) となる訳ですが、今度は
L_1?L_5が、それぞれ2重リストでなければならないみたいです。
ちょっと戻っていいですか。
1重リストにおいてn=1のとき、
(L_1) ただし L_1は自然数
2重リストにおいてn=1のとき、
(L_1) ただし L_1は1重リスト 1重リストは(*,…,*)の形態をとる訳ですが、
この場合、1重リストの要素の個数にもn=1を適用するかというと、そうではないと。
なぜなら、定義よりL_1の要素の個数が互いに異なってもよいから。
さて戻ります。さっき作った3重リスト
(L_1,L_2,L_3,L_4,L_5) L_1?L_5はそれぞれ2重リスト ですが、
L_1?L_5の要素(内包する1重リストの個数)も互いに異なってよい訳です。
ということは、
(((2,3,4),(5,6)),((7,8,9,8)),((7,6),(5),(4,3,2,3)),((4,5,6,7,8),(9,8)),((7),(6,5),(4),(3,2,3)))
とかどうでしょうか。大丈夫でしょうか。
(((7)))なんかも3重リストですか。
- 85 :もやしっ子:2007/01/05(金) 01:41:45
- ということでm重リストもそんな感じでしょう(適当)。
リストがなんなのかを踏まえたということで、f関数のルールいきましょう。
原文で「リストの列」と呼ばれる(*,…,*),…,(*,…,*)を短縮して[L]と表記してみます。
ちなみにこいつは1重リストですね。(n)も同じく1重リストですが、ちょいと区別しときます。
では2重リストのf関数のルールを。
f([L],(1))=f([L])
f([L],(1,b))=f([L])
f([L],(a,b))=f([L],(f([L],(a-1,b)),b-1))
f([L],(a,…,x,y,1))=f([L],(a,…,x,y))
f([L],(a,…,x,1,z))=f([L],(a,…,x))
f([L],(a,…,x,y,z))=f([L],(a,…,x,f([L],(a,…,x,y-1,z)),z-1))
f([L],(1),(n))=f([L])
f([L],(a),(n))=f([L],(a))
f([L],(1,b),(n))=f([L])
f([L],(a,b),(n))=f([L],(a,…,a),(n-1)) ただしaはb個
f([L],(a,…,x,y,1),(n))=f([L],(a,…,x,y),(n))
f([L],(a,…,x,1,z),(n))=f([L],(a,…,x),(n))
f([L],(a,…,x,y,z),(n))=f([L],(a,…,x,f([L],(a,…,x,y-1,z),(n)),z-1),(n))
最後の行、原文はf([L],(a,…,x,f([L],(a,…,x,y-1,z),n),z-1)とありましたが、
nに括弧がないのは誤植でしょうか。
括弧の展開は、例によって一番ケツから定義に従って開いていけばよいです。
こうしてみると、チェーンのお約束にリストがぶりぶりくっついた物体のように
見えないこともないかな、と。
- 86 :もやしっ子:2007/01/05(金) 02:03:48
- さてm重リストのf関数は、こうです。
f(m重リストの列,(a,b),(n))=f(m重リストの列,((a,…,a),…,(a,…,a)),(n-1))
ただし((a,…,a),…,(a,…,a))はm重リストで、各リストの要素はb個。
[L]がm重になって、後のルールは概ね同様ってことでいいでしょうか。
そんな気がする年頃。
じゃあf_2関数いきましょう。
関数のルールが変わるだけです。びびらずに…
f_2の計算法はfとほとんど同じだが、下の式が違う。
f_2(a,b)=f((a,…,a),…,(a,…,a))
ただし((a,…,a),…,(a,…,a))はb重リストで、各リストの要素はb個。
f関数は、f(a,b)=a^bとなっていました。ここんとこを強化してる訳です。
この強化方式を悶々と拡張していった結果、こんな関数ができます。
f_n(a,b)=f_(n-1)((a,…,a),…,(a,…,a))
リストが何なのか分かれば、関数の構造自体は割とシンプルなようです。
しかしそれでいて、バード数がf_63(3,3)に到底及ばないという強力さ。
そんで思ったのは、関数がシンプルでこれだけ強いんだから、強化方式に
ふぃっしゅ系のなんかよくわからんアレをうまいこと組み込んだら
どんな感じでしょうか。有意でしょうか。
とりあえずこんな感じで…
- 87 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 07:15:30
- >>84
最後の例はちゃんと3重リストになってます。
>>85
nには括弧が必要ですね。
>>86
これを書いたときは「三重以降も同様」で済むかと思ってましたが、
三重のときはもう少しきちんと書くべきだと思ったので次のレスで書いておきます。
バード数より大きくするには、実はf_2どころか3重リストを持ち出すまでもなく、
要素がたった3個の2重リストでも十分です。バード数<f((3,3),(3,3),(3,3,2))
- 88 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 07:17:03
- 三重リストの計算法
f(((a,…,z)),((1)))=f(a,…,z)
f(((a)),((n)))=a
f(((a,b)),((n)))=f(((a,…,a),…,(a,…,a)),((n-1))) ただしaはb個,(a,…,a)もb個
f(二重リスト,((n)))で上記に当てはまらないときは、二重リスト部分を二重リストのみの時と同様に計算。
二重リストの列を[L2]と書くと、
f([L2],((1)))=f([L2])
f([L2],((1,b)))=f([L2])
f([L2],((a,b)))=f([L2],((f([L2],((a-1,b))),b-1)))
f([L2],二重リスト)で上記に当てはまらないときは、二重リスト部分を二重リストのみの時と同様に計算。
f([L2],((1)),((n)))=f([L2])
f([L2],((a)),((n)))=f([L2],((a)))
f([L2],((1,b)),((n)))=f([L2])
f([L2],((a,b)),((n)))=f([L2],((a,…,a),…,(a,…,a)),((n-1)))
ただしaはb個,(a,…,a)もb個
f([L2],二重リスト,((n)))で上記に当てはまらないときは、二重リスト部分を二重リストのみの時と同様に計算。
特に分かりにくいのは、f(((*,…,*),(m)),((n)))のようになっているときに
(m)も((n))もそのままにして(*,…,*)の部分を計算することだと思います。
例えばf(((a,…,y,z),(m)),((n)))=f(((a,…, f(((a,…,y-1,z),(m)),((n)))
,z-1),(m)),((n)))
- 89 :もやしっ子:2007/01/05(金) 07:51:14
- レスどうもです。改めて咀嚼しようと思います。サイト更新なども。
リストを使ったふぃっしゅ系関数との比較とかやれるもんなんでしょうか。
眠れないので過去ログを読んでいました。
僕が読み飛ばしてただけで、結構皆さんチェーン拡張の可能性を
探ってたんですね。当時は喧嘩ログばかり読んでたもんで…
懲りずにVeblen関数の定義を見ましたが、やはり模様にしか見えませんでした。
- 90 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 08:29:15
- >>86
ということは
f_2(a,b)には(a,…,a)(aがb個の一重リスト)がb^b-1個あるということ?
気が遠くなる........
f_n(a,b)なんて化け物ですはい、僕にはf_n(a,b)=g(n,a,b)ぐらいしか次が思い浮かびません
- 91 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 15:44:45
- 最近このスレを知った初心者ですが、
初代スレから今までのスレで登場した色んな巨大数の大きさを
わかりやすくランキング形式でまとめてもらえまへんか?
とリクエスト
- 92 :もやしっ子:2007/01/05(金) 16:07:26
- >>91
それはなかなか難儀なことなのです。総て挙げればかなりの量です。
各々の比較はいまだ途上ですし、好みや難易度などの問題もあります。
基本的にはスレが進むにつれ強力な関数が出てくるので、研究室のログを
全部読むと把握しやすいと思います。不明な点は聞けば誰かしら答えるかと。
産まれた経緯なんかも含めて面白いんです。
とりあえず、いま上に書いてある関数は相当強いですよ。
- 93 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 19:07:55
- >>90の続き
さらにg(n,a,b)もg((a)(b)(c)(d)(e))みたいに多重リスト化していって
それを繰り返してf1_2(a,b)=f_2(a,b) f2_2(a,b)=g_2(a,b)
みたいに定義できたら.........う?ん
- 94 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 19:08:39
- >>93の続き
まあBBには勝てないと思うけどね
- 95 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 19:50:29
- f_2(a,b)=f((a,…,a),…,(a,…,a))だと二重リストのように見えますね。
f_2(a,b)=f(((…(((a,…,a),…,(a,…,a)),…,((a,…,a),…,(a,…,a)))…)))とか書いた方が良かったかも。
>>90
一重リストの個数よりは、m重リストのmが大きいことの方がずっと重要です。
後で気付いたことですが、下のような式が成り立ちますし。
f_2(a,b)=f(((…((a,b))…)),((…((2))…))) (b+1)重リスト
この式には一重リストは2つしかありません。
こういう風に、無駄なところで頑張らずに単純かつ効果的な拡張を行うことが
巨大数作りには重要だと思います。
>>94
BB(n)は「n文字のプログラムで計算できる最大の数」というのと似たような意味なので、
プログラムを書けるような関数を考えている時点でBBには勝てないはず。
- 96 :もやしっ子:2007/01/05(金) 21:13:06
- >>95
増やしても大差ない列というのはありましたね。初期のふぃっしゅ関数の
改良の中でも。最小限で最高の効率を得るにはどうチョイスするかですが、
こういうのはやはり再帰的帰納なんとかを知らないといかんのでしょうか。
そういえばn重帰納云々の議論は埋もれましたね。結局は絶対安心な定義が
無かったんでしょうかあれは。
あと、ログ漁ってたら
>無限順序数は有限の数ではないが、関数を定義すれば
>有限の数はすぐに得られる
という発言がありました。そうなのですか。
長いこと揉めてますが、とりあえずのシンプルな
「ωを導入した、有限数を得る関数」を見たいです。
どういう仕組みで動くのか興味があります。
- 97 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 22:02:14
- アッカーマン関数やチェーン表記が持っている最大の強みは、
A(x+1,y+1) = A(x,A(x+1,y))
a→...→x→y→z=a→...→x→(a→...→x→y-1→z)→z-1
という定義だと思います。
ここには何重にも入れ子にする強さが隠れているわけで、リスト関数の定義でもこうした定義を使っています。
あとは、↑表記の持つ、並べることの強みを使っています。
そして、f_nの定義では、ふぃっしゅ数の持つ特徴のうちの一つである、
大元の関数をどんどん強くするという強みを使っています。
そう考えると、リスト関数は色々なものの長所を併せ持っていると言えるかもしれません。
>>93
リスト関数の拡張としては、f_nのnの部分を多重リストにするというのが考えられます。
たとえばf_(y,z)(多重リスト)=f_( f_(y-1,z)(多重リスト) ,z-1)(多重リスト)のようにして、
f_(多重リスト)という関数を定義するとか。
ただ、初めてリスト関数を書き込んだときにはあまり反響がなかったので、
それ以上先を考えることはしなかったけど。
- 98 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 04:11:21
- 多重リストに大小関係を導入すると、ωを用いるのと同様の順序関係が作れるようです。
ただ、ω^ω^nよりも先には進めませんでした。
(n)=(n,1)<(1,2)=ω
右側に1を付け足しても同じものとします。
ただし、fの計算と違って(a,1,b)≠(a)です。途中に1があっても消せません。
また、右側の数字が大きいリストの方が大きいとします。
すると、(1,2)はどんな自然数nよりも大きいのでωと同一視できます。
(n+1,2)=ω+n
一番左の数字にnを足すのは、順序数にnを足すのと同じとみなせます。
すると、以下のような式が成り立ちます。
(1,3)=ω+ω=ω*2 (1,n+1)=ω*n (1,1,2)=ω*ω=ω^2 (1,1,3)=ω^2+ω^2=ω^2*2
(1,1,1,2)=ω^2*ω=ω^3 (1,1,1,1,2)=ω^4
多重リストの大小関係としては、右側のリストが大きい多重リストの方が大きいとします。
(1,1,1,1,2)=((1,1,1,1,2),(1))<((1),(2))=ω^ω ((1),(3))=ω^ω+ω^ω=ω^ω*2
((1),(1,2))=ω^ω*ω=ω^(ω+1) ((1),(1,1,2))=ω^(ω+1)*ω=ω^(ω+2)
((1),(1),(2))=ω^(ω+ω)=ω^(ω*2) ((1),(1),(1),(2))=ω^(ω+ω)=ω^(ω*3)
(((1)),((2)))=ω^(ω*ω)=ω^ω^2 (((1)),((1),(2)))=ω^ω^2*ω^ω=ω^(ω^2+ω)
(((1)),((1),(1),(2)))=ω^(ω^2+ω*2)
(((1)),((1)),((2)))=ω^(ω^2+ω*ω)=ω^(ω^2*2)
((((1))),(((2))))=ω^(ω^2*ω)=ω^ω^3 (((((1)))),((((2)))))=ω^ω^4
((…(1)…),(…(2)…))=ω^ω^n ただし(n+1)重リスト
- 99 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 04:25:45
- リスト関数fは、与えられた多重リストを上に述べた意味でより「小さい」多重リストに変換し、
最終的にどんなリストよりも「小さい」自然数に変換していると考えられます。
fは順序数(の一部)から自然数への関数ともみなせます。
もしもε_0やη_0を表すことができるリスト構造を作ることができたなら、
リスト関数をもっと強力なものに拡張できるのではないかと思います。
順序数の話はよく分からなくて読み飛ばしていたので、似たような構想は既にあるのかもしれませんが。
- 100 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 05:35:39
- 過去ログを読んでたら、
>順序数を使う代わりに2変数にしたりするのが通常のやり方といえます。
>(結果n変数になったりリストが入れ子になったりして行き詰まる)
という書き込みが見つかった。これって私が今陥っている状況そのものだろうか。
ちなみに、多重リストのm重リストを(m,2)重リストと表し、
多重リストの多重リストのm重リストを(m,3)重リストと表し、
…として(多重リスト)重リストなるものを定義したら、
ω^ω^…^ω^ωはリストとして表せました。でも、ε_0には到達できませんでした。
(どうしても((…((多重リスト)重リスト)…重リスト)重リスト)重リストから先に進めない)
- 101 :もやしっ子:2007/01/06(土) 05:49:20
- (n)=(n,1)<(1,2)=ω まさに目から鱗です。こういう作り方があるとは…
僕はこれだけで十分満足です。
試しに咀嚼してもいいですか。
まず、ここでの1重リスト(n)は、どう頑張ろうが有限の自然数です。
(最終的に
ある関数f(n)がこの形から有限数を出力する必要があるため?
出口が無限では意味がなかろう、と勝手に理解。)
定義よりイコールなので(n,1)も有限の自然数です。
関数とリストがごっちゃになりそうですが、よーするにリストとは
記法の問題で、ルールに沿って展開していけばいつかは一意に定まった
数になりますから、つまりは数なんです。そうしましょう。
さて、前とは展開のルールが若干異なるようなので気を付けつつ…
新ルールは、右端の数(またはリスト)の大小を優先的に評価するからなのか、
途中の1は飛ばせない仕様になっているようです。
「右端の数(リスト)が大きいものが、大小関係で上に立つ」ルールにより、
(n,1)<(1,2) という不等式が書けます。
これはつまり、
[任意の大きさの自然数]<(1,2) ということです。
ここで(1,2)の1は飛ばせません。最もコンパクトな形になってます。
そして、(1,2)とは(n,1)より大きいリストのうち最小のものです。
繰り返しますが、リストとは1つの数です。すると…
(1,2)とは「任意の有限の数よりも大きい最初の数」ということになります。
そして「任意の有限の数よりも大きい最初の数」とは、ズバリωのことです。
だから(1,2)=ω なんでございます。いかがでしょうか。
- 102 :もやしっ子:2007/01/06(土) 06:19:27
- さて、関数で無限から有限に落とすとのことですが。やってみます。
f{4}(1,2)というものを考えてみました。
この関数f{m}(*)は、(*)がωを用いた式で表せる超限順序数だったとして、
ωをnに置き換えた式に自然数mを代入した値を出力するというものです。
(ヘボは承知なので、あまり突っ込まないように…)
したらばf{4}(1,2)は、(1,2)=ωなのでこれをnに引きずり落として、
nに4を代入して、そのまんまですが4が出力されます。
例2。
f{10}((1),(1,2))
((1),(1,2))=ω^(ω+1)なのでn^(n+1)に引き下げてnに10を代入。
よって出力は10^11=100000000000 みたいな。
定義がやばい上に弱いですが、個人的に無限を組み込んだ関数から
有限の出力を得たので勝手に納得。
あまりにクルクルパーであればご指導ください。
- 103 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 08:04:38
- >>101
途中の1を飛ばすと、多重リスト自体は「小さく」なります。
リスト関数では、多重リストをどんどん小さくしていく必要があるので、
途中の1を飛ばすことが許されるわけです。
一方、多重リストを順序数と対応させるときは、リストの「大きさ」が変わるような変化は許されません。
末尾の1が自由に付け外しできるのは、有限小数の末尾に無限個の0が省略されているのと同様に、
「多重リストの末尾には無限に1が並んでいるが、省略されている」と考えているからです。
再帰的に関数を定義するときは、ある引数がどんどん小さくならないときちんと定義されません。
リスト関数の場合は、リストそのものが小さくなっていく「引数」と考えられます。
「小さくなる」という考え方ができるということは「順序関係を持っている」ということであり、
順序数と対応付けられるのは自然なことなのかもしれません。
- 104 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 08:10:01
- リスト関数をもう少し単純に定義してみます。
m重リストを表す括弧には_mをつけて表記する。(ただし_1は省略)
また、あるリストの唯一の要素となっている多重リストの括弧は省略する。
(例えば、((a,b))は(a,b)_2、((a),(b))は((a),(b))_2、(((n)))は(n)_3のように表記)
f(a)_m=a
f(a,b)_m=a^b
多重リストの要素に自然数の1または1のみを要素とする多重リストがあるとき、そこから右側の要素をすべて取り去る。
リストの右側のカンマから順番に見ていき、以下の表記に当てはまる最初のカンマに対し変換を適用する。
f(…y,z…)_m=f(…
f(…y-1,z…)_m ,z-1…)_m
f(…(y),(z)…)_m=f(…(y,…,y),(z-1)…)_m ただしyはy個
f(…(y)_n,(z)_n…)_m=f(…((y)_(n-1),…,(y)_(n-1))_n,(z-1)_n…)_m ただし(y)_(n-1)はy個
f_n(a)_m=f_(n-1)((a)_(a-1),…,(a)_(a-1))_a ただし(a)_(a-1)はa個
定義は以上です。以前のリスト関数と定義が一部変わっているので
二重リスト以上に対しては異なる値となりますが、
f(a,b,…,y,z)=a→b→…→y→zなことには変わりはありません。
これだと、>>100で述べた(多重リスト)重リストにも拡張しやすいと思います。
- 105 :もやしっ子:2007/01/06(土) 09:06:39
- なんか僕が個人教授を受けているな雰囲気に…いや楽しいですが。
なるほど、1を飛ばす根拠はその辺りにあったのですね。ははあ。
しかし順序数をガチで学ぼうとするとZFCの公理系とかで即コケます。
全順序とか半順序とか、関係についてすら定義ありますもんね。うう…
>>104ではかなりスマートになりましたね。かつ明解。
軽く咀嚼を混ぜて改訂版を研究室に載せたいですね。
- 106 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 20:57:43
- なんか自分の思いつくままに色々なことを書き連ねている気がします。
それはともかく、リストに対する別の見方について。
一重リストは、自然数から自然数への関数と対応付けることができます。
つまり、(a_1,a_2,…,a_n)というリストは、1→a_1,
2→a_2, …, n→a_n, n+1→1, … という関数に対応付けられます。
もしも多重リストの(a_1,a_2,…,a_n)要素というのを、
n重リストのa_n番目の要素である、(n-1)重リストのa_(n-1)番目の要素である、…、
2重リストのa_2番目の要素である、1重リストのa_1番目の要素と定義すれば、
多重リストは一重リストから自然数への関数と対応付けられます。
同様に考えれば、多重リストから自然数への関数と対応付けられるリスト構造を考えることができます。
それは、>>100で少しだけ書いた(一重リスト)重リストと同じものです。
同様にして(多重リスト)重リスト、((一重リスト)重リスト)重リスト、…というリスト構造が作れます。
そして、リストと順序数の対応を考えて見ます。
ωより小さい任意の順序数は、自然数と対応付けできます。
ω^ωより小さい任意の順序数は、一重リストと対応付けできます。
ω^ω^ωより小さい任意の順序数は、多重リストと対応付けできます。
そして、ω^ω^ω^ωより小さい任意の順序数は、(一重リスト)重リストと対応付けできます。
すると、上で考えたリスト構造は、ε_0より小さい任意の順序数と対応付けできます。
ε_0から先を表すには、また別の工夫が必要でしょう。
- 107 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 01:18:33
- つ前スレ
ttp://up.spawn.jp/file/up63970.lzh.html
かちゅの.datを圧縮しただけ あとはまかせる
- 108 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 04:41:05
- 下手にごちゃごちゃしたリスト構造を作るより、
順序数表記をリスト構造の表記法とみなす方がいいように思えてきた。
ε_0より小さい順序数はω^α*aの形の項の和として表されます。
>>106で多重リストの(*,…,*)要素という言い方を考えたのですが、
(*,…,*)の部分は指数αであり、要素の値は係数a+1となっています。
例えば、((1),(1,2))=ω^(ω+1)を考えると、指数はω+1=(2,2)、係数は1です。
リストを見ると、(2,2)要素が係数+1の2となっています。
このような見方をすれば、リスト関数は順序数の係数を変化させていく関数と言えます。
注:(a)というリストにはa-1という順序数を対応させないと自然な関係になりません。
つまり、(1)=0, (2)=1,
(3)=2, …
- 109 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 18:06:00
- ごめんなさい。>>104の定義はおかしいです。
f((3,3),(2))_2=f((f((f((1,3),(2))_2,2),(2))_2,2),(2))_2
=f((f((1,2),(2))_2,2),(2))_2=f((1,2),(2))_2=1
となってしまい、二重リスト以上で常に1になってしまいます。
- 110 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 21:29:28
- リスト関数とHardy functionを比較してみました。
Hardy functionの定義は、大きく分けると下の二種類があるようです。
F[0](x)=x+1
F[α+1](x)=F[α]^x(x) (αは順序数)
F[λ](x)=F[Λ(x)](x)
(λは極限順序数、Λ(x)はλに収束する基本列)
H[0](x)=x
H[α+1](x)=H[α](x+1)
H[λ](x)=H[Λ(x)](x)
FとHの間には、F[α](x)=H[ω^α](x)という関係が成り立つそうなので、以下ではFを使います。
順序数についての説明。
自然数を小さい順に並べると、0,1,2,3,…となります。
そして、あらゆる自然数よりも大きい「数」の中で最小のものをωと表します。
ωのような「数」を導入しても順序関係は保たれるので、このような「数」を順序数と呼びます。
ωよりも大きい順序数を順番に考えると、ω,ω+1,ω+2,ω+3,…のようになります。
ω,ω+1,ω+2,ω+3,…のうちのどの順序数よりも大きい最小の順序数は、ω*2=ω+ωと書けます。
このとき、ω,ω+1,ω+2,ω+3,…をω*2に収束する基本列と呼びます。
この基本列をΛ(x)としたときには、Λ(x)=ω+xです。
また、基本列を用いて定義した順序数を極限順序数と呼びます。
同様に、ω*3=ω*2+ω, ω*4=ω*3+ω,
…という順序数を考えることができます。
そして、Λ(x)=ω*xという基本列を考えます。
この基本列のどの数よりも大きい最小の順序数をω^2=ω*ωと書きます。
ω*a+b(a,bは自然数)に対し、ω*a+b<ω*a+ω=ω*(a+1)<ω*ω=ω^2ですから、ω*a+b<ω^2です。
そして、ω^2+1,ω^2+2,…と順に考えれば、ω^2+ω, ω^2+ω*n, ω^2*2=ω^2+ω^2, ω^2*nが表せます。
Λ(x)=ω^2*xを考えると、ω^3=ω^2*ωが表せます。
同様にω^nを表し、Λ(x)=ω^xを考えればω^ωが定義できます。
- 111 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 21:58:15
- そしてω^(ω+1)=ω^ω*ω, ω^(ω*2)=ω^(ω+ω), ω^ω^2=ω^(ω*ω)などを考えていけば、
ω^ω^ω,
ω^ω^ω^ω, ω^ω^ω^ω^ωなどが表せます。
Λ(x)=ω^ω^…^ω^ω(ωはx個) としたときの収束先がε_0です。
ω^ε_0という数を考えると、ω^Λ(x)=ω^ω^…^ω^ω(ωはx+1個)よりも大きい最小の順序数となりますが、
これはε_0です。よってω^ε_0=ε_0という関係が成り立ちます。
細かい計算を書くと長くなるので省略しますが、
Hardy functionのF[α]でαに1を足すことは、リスト関数でxの右の数に1を足すことに相当します。
また、αにωを足すことは、リスト関数でxを一つ右に移動させることに相当します。
αにω^2を足すことは、リスト関数でxの一つ右の一重リストの数に1を足すことに相当し、
αにω^3を足すことは、リスト関数でxを一つ右の一重リストに移動させることに相当します。
一般に、αにω^(2n)を足すことは、xの一つ右のn重リストの数に1を足すことに相当し、
αにω^(2n+1)を足すことは、xを一つ右のn重リストに移動させることに相当します。
f_2を使うとn重リストのnをいくらでも大きくできるので、f_2はF[ω^ω]に相当します。
結論として、f_(n+1)はF[ω^ω*n]に相当します。
過去ログによれば、ふぃっしゅ関数ver.1<F[ω^2]、ふぃっしゅ関数ver.2<F[ω^3]、
ふぃっしゅ関数ver.3はF[ω^ω*63]程度だそうなので、
f_64(3,3)はふぃっしゅ数ver.3程度の大きさということになります。
多重リストはω^ω^ωより小さい順序数に対応しますが、f_2≒F[ω^ω]=H[ω^ω^ω]なので、
リスト構造を拡張してε_0未満まで表せるようにしてもせいぜいH[ε_0]程度でしょう。
それならばリスト関数を使わずともHardy
functionを使えばいいわけで、
リスト関数を拡張する意味はもはやないと思います。
それはともかく、このスレから読み始めた人向けの順序数やHardy functionの説明も必要でしょうね。
前スレでの順序数やHardy functionの説明はまとまってないので。
- 112 :もやしっ子:2007/01/07(日) 23:50:03
- ログありがとうございます。
それにしても、えらいことになってきましたな…
- 113 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 20:47:46
- 巨大数を作るための方針についての考え。
今までは、
急激に増加する関数を作る→関数を利用して巨大数を作る
という考えだったわけです。
ところが、多変数関数やリスト構造などを利用した大抵の関数よりもH[ε_0]の方が大きい。
それならば、巨大な順序数を作ってHardy functionを利用する方が簡単に大きな関数が作れます。
では、巨大な順序数を作るにはどうすればいいか。
それには、順序数から順序数への大きな関数を作ればいいわけです。つまり、
急激に増加する順序数の関数を作る→関数を利用して巨大な順序数を作る
→Hardy functionを利用して巨大数を作る
ということです。順序数の関数を作るには、Veblen関数を拡張するのがいいでしょう。
結局、これはナゴヤ関数と同じ考えです。
これから先、効率よく巨大数を作っていくためには、
順序数、Veblen関数、Hardy functionの理解が欠かせないと思います。
>>105
ZFCの公理系とか、全順序・半順序とかはひとまず無視しても支障はないかと思います。
ε-δ論法を知らなくても極限や微積分についてある程度理解はできるように、
そういうことを知らなくても順序数やVeblen関数、Hardy
functionは理解できると思います。
ただ、Veblen関数やHardy functionについてのまとまった説明がないのが難しいところですが。
- 114 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 21:44:46
- >>89
Veblen関数については、6-292の定義だけを見ても全く分からないと思います。
Veblen関数で定義される順序数への収束列というのを考えると理解しやすいでしょう。
以下の説明では具体例を書くと長くなるので、具体例は自分で考えてみてください。
α(n)
(ただしnは自然数)という順序数の数列を考えたとき、
α(n)のどの項よりも大きい順序数の中で最小のものをαとすれば、
α(n)はαへの収束列です。ωへの収束列はω(n)=nとして考えます。
Veblen関数に入る前に、和や積に関する収束列を考えます。
以下では、βとγはそれぞれβ(n)とγ(n)の収束先になっているとします。
α=β+γのとき、α(n)=β+γ(n)とします。
α=β*(m+1) (mは自然数)のとき、α(n)=β*m+β(n)とします。
α=φ_0(γ)=ω^γとします。
γ=0のとき、α=ω^0=1なので収束列は考えません。
γ=γ'+1と表されるとき、α(n)=φ_0(γ')*n=ω^γ'*nとします。
α(n)の収束先は、ω^γ'*ω=ω^(γ'+1)=ω^γとなり、αに一致します。
γへの収束列がγ(n)のとき、α(n)=φ_0(γ(n))=ω^(γ(n))とします。
α=φ_(β'+1)(γ)とします。
γ=0のとき、α(0)=φ_β'(0)、α(n+1)=φ_β'(α(n))という漸化式で定義します。
γ=γ'+1のとき、α(0)=φ_(β'+1)(γ')+1、α(n+1)=φ_β'(α(n))とします。
γへの収束列がγ(n)のとき、α(n)=φ_(β'+1)(γ(n))とします。
βへの収束列がβ(n)のとき、α=φ_β(γ)とします。
γ=0のとき、α(n)=φ_(β(n))(0)とします。
γ=γ'+1のとき、α(n)=φ_(β(n))(φ_(β)(γ')+1)とします。
γへの収束列がγ(n)のとき、α(n)=φ_(β)(γ(n))とします。
- 115 :5-682:2007/01/08(月) 23:13:01
- 皆さん順序数やリスト関数についての説明ご苦労様です。
最初の案のナゴヤ関数はF[*](x)の*の部分が
2変数以上のリストのとき、HardyFunctionを利用して
順序数から巨大な順序数を作ることになるということです。
例えばF[1, 1](x) = F^x[ω](x) = F[F[ ... F[ω](ω) ... ](ω)](x)
となり、[
]のネストで順序数ωから巨大順序数が作られます。
つまり、順序数→順序数変換の段階からHardyFunctionを
使っていることになります。
- 116 :5-682:2007/01/08(月) 23:24:06
- 続き。
ところでHardyFunctionでは
F[ε0](x) >=(( ... m(x)
...)m(2)f)(x) となることがわかっているので
F[ε0](ω)はふぃっしゅ関数Ver5相当の巨大な順序数になります。
ということはVeblen関数を多変数に拡張してもF[ε0](ω)には
足元にも及ばないと思われます。
(それどころか(多重リスト)リストに拡張しても追いつかないと考えられる)
したがって、ナゴヤ関数はF[2, n](x)の段階で
多重リスト関数に拡張したVeblen関数を使ったHardyFunctionを
はるかに越える巨大増加関数になってしまいます。
- 117 :5-682:2007/01/08(月) 23:51:12
- ただ、現時点での問題として、F[ε0](ω)が
どの形の順序数で表されるかが問題になっています。
例えばF[1](x) = x +
1として、
F[ω](x) = x*2
F[ω*2](x) = x*2^x
F[ω*3](x) = ( ... (x*2^x)*
... )*2^(x*2^( ... (x*2^x) ...)) > x*2^^x
F[ω*2^ω](x) >= F[ω*ω](x)
>= 2^^ ... ^^x = ak(2, x, x)
となり、途中で2^xとか2^2^ ... 2^xが出てくるところが曲者です。
今はF[λ(2^ω)](x) = F[λ(2^x)](x)としているところです。
- 118 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 04:42:57
- 順序数に対するHardy functionの定義をきちんと考えてみる必要がありそうですね。
順序数に対する演算は自然数に対する演算と性質が違うので、
単純にxとωを置き換えても、一意に定まる保障がありません。
例えば、1+x=x+1ですが、1+ω=ω≠ω+1です。
そして、2^ω=ωとなってしまいます。
2^ω=ωなのに2^xとxという違うものに置き換えてしまうと、一意的に定義されるのかが不安です。
もし、順序数に対するHardy
functionの定義を最初に戻って考えるとすれば、
H[0](x)=x H[α+1](x)=H[α](x+1)
に対しては
H[0](β)=β H[α+1](β)=H[α](β+1)
とすればいいですが、
H[α](x)=H[α_x](x)
に対しては、α_βが定義できなければ単純な置き換えはできません。
もしも、α_βはβが極限順序数のときにα_β_nの極限だとしてしまうと、α_ωはαそのものになります。
すると、H[α](ω)=H[α_ω](ω)=H[α](ω)となって定義されません。
なので、α_nのnを順序数に拡張することはできません。
かといって、H[α](β)をH[α_n](β_n)の極限としてもおかしくなります。
というのも、H[α](ω)はH[α_n](n)の極限ですが、
H[α_n](n)は自然数なのでその極限はωであり、H[α_n](ω)=ωとなってしまいます。
そして、H[α](β)をH[α_n](β)の極限としたときには、H[ω](β)=β+ωまではうまく定まるのですが、
H[ω+1](β)=β+1+ω=β+ωとなってしまい、これ以上大きくなりません。
こういった変なことを起こさずに、うまく順序数に対するHardy functionを定義できるのでしょうか。
- 119 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 04:45:38
- 順序数に対するHardy functionの定義をきちんと考えてみる必要がありそうですね。
順序数に対する演算は自然数に対する演算と性質が違うので、
単純にxとωを置き換えても、一意に定まる保障がありません。
例えば、1+x=x+1ですが、1+ω=ω≠ω+1です。
そして、2^ω=ωとなってしまいます。
2^ω=ωなのに2^xとxという違うものに置き換えてしまうと、一意的に定義されるのかが不安です。
もし、順序数に対するHardy
functionの定義を最初に戻って考えるとすれば、
H[0](x)=x H[α+1](x)=H[α](x+1)
に対しては
H[0](β)=β H[α+1](β)=H[α](β+1)
とすればいいですが、
H[α](x)=H[α_x](x)
に対しては、α_βが定義できなければ単純な置き換えはできません。
もしも、α_βはβが極限順序数のときにα_β_nの極限だとしてしまうと、α_ωはαそのものになります。
すると、H[α](ω)=H[α_ω](ω)=H[α](ω)となって定義されません。
なので、α_nのnを順序数に拡張することはできません。
かといって、H[α](β)をH[α_n](β_n)の極限としてもおかしくなります。
というのも、H[α](ω)はH[α_n](n)の極限ですが、
H[α_n](n)は自然数なのでその極限はωであり、H[α_n](ω)=ωとなってしまいます。
そして、H[α](β)をH[α_n](β)の極限としたときには、H[ω](β)=β+ωまではうまく定まるのですが、
H[ω+1](β)=β+1+ω=β+ωとなってしまい、これ以上大きくなりません。
こういった変なことを起こさずに、うまく順序数に対するHardy functionを定義できるのでしょうか。
- 120 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 06:22:16
- 二重に投稿されてますね。すみません。
Hardy functionのもう一つの定義である、
F[0](x)=x+1 F[α+1](x)=F[α]^x(x) F[α](x)=F[α_x](x)
を使えばうまく定義できそうです。
F[0](β)=β+1
F[α+1](β)=F[α]^β(β)
F[α](β)はF[α_n](β)の極限(ただしβ<ωのときn=β)
ただし、F[α]^β(γ)は以下のように定義します。
F[α]^0(γ)=γ
F[α]^(β+1)(γ)=F[α](F[α]^β(γ))
F[α]^β(γ)はF[α]^(β_n)(γ)の極限
こうすると、F[1](β)=β*2、F[2](β)=β*2^β、F[3](ω)=ε_0となります。
ただ、F[3](ω)への収束列はω,
ω^2, ω^ω, ω^ω^ω, …となり、
ε_0への普通の収束列とは少し異なります。
- 121 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 07:37:32
- 訂正
F[3](ω)への収束列はω, ω^2, ω^ω^2, ω^ω^ω^2, …です。
おそらく、β≧ω^2ならば2^β=ω^βだと思います。
- 122 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 12:32:09
- 今年に入ってから久々に盛り上がってますね
自分は全くの門外漢なので応援しつつ
スレの成り行きを見守らせてもらいます
- 123 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 19:46:58
- >>121
再度訂正。
F[3](ω)への収束列はω, ω^2, ω^ω, ω^ω^ω,
…で、
β≧ω^ωならばたぶん2^β=ω^βです。
とりあえず、6-510の書き込みを元に、勝手にナゴヤ関数の2変数リスト以下の場合を再定義してみます。
L[1](x) = f(x)
L[n+1](x) = f(L[n](x))
L[ω](x) = L[x](x)
はそのまま使いますが、f(x)に対しては「順序数に対してもきちんと定義されているもの」という条件をつけます。
(例えばf(x)=x+1とか)
そして、収束列α_nの定められた極限順序数αに対して、
L[α](x) = L[α_x](x)
L[α+n+1](x) =
L[α](L[α+n](x))
とします。リストが2項のときは
L[2 , 1](x) = L[ω](x)
L[2 ,
n+1](x) = L[L[2 , n](ω)](x)
L[m+1 , 1](x) = L[m , ω](x)
L[m+1 ,
n+1](x) = L[m ,L[m+1 , n](ω)](x)
とします。ここまでは、元の定義とほぼ同じです。
リストの右の数が順序数のときの定義は見当たらないようなので、
L[2 , α](x) = L[α_x](x)
L[2 ,
α+n+1](x) = L[L[2 , α+n](ω)](x)
L[m+1 , α](x) = L[m , α_x](x)
L[m+1
, α+n+1](x) = L[m ,L[m+1 , α+n](ω)](x)
としておきます。
- 124 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 19:48:12
- すべきことは、xがωのときの定義と、極限順序数に対する収束列の定義です。
まず、ωの収束列はω_n=nとします。そして、xがωのときは以下のように定義します。
L[1](ω) = f(ω)
L[n+1](ω) = f(L[n](ω))
L[ω](ω) は収束列が L[n](ω) の極限順序数
L[α](ω)
は収束列が L[α_n](ω) の極限順序数
L[α+n+1](ω) = L[α](L[α+n](ω))
L[2 , 1](ω) =
L[ω](ω)
L[2 , n+1](ω) = L[L[2 , n](ω)](ω)
L[m+1 , 1](ω) = L[m ,
ω](ω)
L[m+1 , n+1](ω) = L[m ,L[m+1 , n](ω)](ω)
L[2 , α](ω) は収束列が
L[α_n](ω) の極限順序数
L[2 , α+n+1](ω) = L[L[2 , α+n](ω)](ω)
L[m+1 , α](ω)
は収束列が L[m , α_n](ω) の極限順序数
L[m+1 , α+n+1](ω) = L[m ,L[m+1 , α+n](ω)](ω)
こうすれば、関数がきちんと定義されないということは避けられるはずです。
- 125 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 07:48:27
- Veblen関数を拡張したものを定義してみました。
定義が長いので、とりあえず定義だけを書いておきます。
φ([α,β],[γ,δ],…,[ε,ζ])という形で表記する。
ただしα>γ>…>εであり、φ(…,[α,0],…)=φ(…,…)とする。
φ([1,α],[0,β])=φ_α(β)、φ([2,1])=Γ_0である。
α=lim
α_nと書いたとき、αはα_nを収束列とする極限順序数とする。
元のVeblen関数とΓ_0の定義。
φ([0,0])=φ()=1
φ([0,α+1])=lim φ([0,α])*n
φ([0,α])=lim φ([0,α_n]) (φ([0,α])≠αのとき)
φ([1,α+1],[0,0])=φ([1,α+1])=lim φ_n
ただしφ_0=φ([1,α]),φ_(n+1)=φ([1,α],[0,φ_n])
φ([1,α+1],[0,β+1])=lim φ_n
ただしφ_0=φ([1,α+1],[0,β])+1,φ_(n+1)=φ([1,α],[0,φ_n])
φ([1,α+1],[0,β])=lim φ([1,α+1],[0,β_n]) (φ([1,α+1],[0,β])≠βのとき)
φ([1,α],[0,0])=φ([1,α])=lim φ([1,α_n]) (φ([1,α])≠αのとき)
φ([1,α],[0,β+1])=lim φ([1,α_n],[0,φ([1,α],[0,β])+1])
φ([1,α],[0,β])=lim φ([1,α],[0,β_n]) (φ([1,α],[0,β])≠βのとき)
φ([2,1])=lim φ_n
ただしφ_0=φ(),φ_(n+1)=φ([1,φ_n])
- 126 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 07:49:20
- αが後続順序数のとき。
φ(…,[α+1,1])=lim φ_n
ただしφ_0=φ(),φ_(n+1)=φ([α,φ_n])
φ(…,[α+1,1],[0,β+1])=lim φ_n
ただしφ_0=φ(…,[α+1,1],[0,β])+1,φ_(n+1)=φ([α,φ_n])
φ(…,[α+1,1],[0,β])=lim φ(…,[α+1,1],[0,β_n]) (φ(…,[α+1,1],[0,β])≠βのとき)
φ(…,[α+1,β+1])=lim φ_n
ただしφ_0=φ(…,[α+1,β])+1,φ_(n+1)=φ(…,[α+1,β],[α,φ_n])
φ(…,[α+1,β+1],[0,γ+1])=lim φ_n
ただしφ_0=φ(…,[α+1,β+1],[0,γ])+1,φ_(n+1)=φ(…,[α+1,β],[0,φ_n])
φ(…,[α+1,β+1],[0,γ])=lim φ(…,[α+1,β+1],[0,γ_n])
(φ(…,[α+1,β+1],[0,γ])≠γのとき)
φ(…,[α+1,β])=lim φ(…,[α+1,β_n])
(φ(…,[α+1,β])≠βのとき)
φ(…,[α+1,β],[0,γ+1])=lim
φ(…,[α+1,β_n],[0,φ(…,[α+1,β],[0,γ])+1])
φ(…,[α+1,β],[0,γ])=lim
φ(…,[α+1,β],[0,γ_n]) (φ(…,[α+1,β],[0,γ])≠γのとき)
αが極限順序数のとき。
φ(…,[α,1])=lim φ(…,[α_n,1])
φ(…,[α,1],[0,β+1])=lim
φ(…,[α_n,1],[0,φ(…,[α,1],[0,β])+1])
φ(…,[α,1],[0,β])=lim
φ(…,[α,1],[0,β_n]) (φ(…,[α,1],[0,β])≠βのとき)
φ(…,[α,β+1])=lim
φ(…,[α_n,φ(…,[α,β])+1])
φ(…,[α,β+1],[0,γ+1])=lim φ_n
ただしφ_0=φ(…,[α,β+1],[0,γ])+1,φ_(n+1)=φ(…,[α,β],[0,φ_n])
φ(…,[α,β+1],[0,γ])=lim φ(…,[α,β+1],[0,γ_n]) (φ(…,[α,β+1],[0,γ])≠γのとき)
φ(…,[α,β])=lim φ(…,[α,β_n]) (φ(…,[α,β])≠βのとき)
φ(…,[α,β],[0,γ+1])=lim
φ(…,[α,β_n],[0,φ(…,[α,β],[0,γ])+1])
φ(…,[α,β],[0,γ])=lim
φ(…,[α,β],[0,γ_n]) (φ(…,[α,β],[0,γ])≠γのとき)
これで、lim φ_n
(φ_0=φ(),φ_(n+1)=φ([φ_n,1]))を考えると非常に大きい順序数ができます。
- 127 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 20:07:02
- 式の展開を自動でやってくれるプログラム誰か作って。
- 128 :菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU
:2007/01/10(水) 20:13:12
- >>127
マスマティカ
- 129 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 22:16:40
- >>128
>>126の式なんかもOKなの?
あとフリーなのが良い…
- 130 :132人目の素数さん:2007/01/11(木) 06:33:04
- >>125-126についての説明。
どの定義式もφ(…,[α,β],[0,γ])=という形をしていますが、
α,β,γに対して0 or
1,後続,極限の3通りを考えなければならないので式が27種類もできてしまいます。
(Γ_0=φ([2,1])の定義式は数えない)
うまくまとめれば式を12種類にまで減らせますが、それだとどの式を適用するか多少分かりづらくなります。
「φ(…,[α,β])≠βのとき」とかいうのは、例えばω^ε_0=ε_0で
左辺と右辺に別々の収束列を定義してしまうのを避けるためです。
右辺では1, ω, ω^ω, ω^ω^ω, …となりますが、
左辺ではω, ω^ω, ω^ω^ω, ω^ω^ω^ω, …と一つずれてしまいます。
もっとも、順序数は巨大数の計算のための道具に過ぎないと考えて
ω^ε_0≠ε_0としてしまっても、巨大数の計算をすることは可能です。
つまり、ω^ε_0やε_0は単なる収束列を表す記号に過ぎないという考えをとるわけです。
すると、収束列の異なる順序数は「別のもの」であるとみなせるわけです。
ω^ε_0=ε_0という性質は、関数の増加度を見積もるときに使えば十分なわけです。
>>126の最後の順序数でH[α](2)の計算をしたとすると、順序数の減り方は
φ([φ([1,1]),1])=φ([ε_0,1])→φ([ω^ω,1])→φ([ω^2,1])→φ([ω*2,1])→φ([ω+2,1])→
φ([ω+1,φ([ω+1,1])])→φ([ω+1,φ([ω,φ([ω,1])])])→φ([ω+1,φ([ω,φ([2,1])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,φ([1,1])])])])=φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ε_0])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω^ω])])])→φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω^2])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω*2])])])→φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω+2])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω+1])])])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω],[0,φ([1,ω],[0,φ([1,ω])])])])])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω],[0,φ([1,ω],[0,φ([1,2])])])])])])])
=φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω],[0,φ([1,ω],[0,η_0])])])])])])→
…となり、入れ子構造がすごいことになるのが分かります。
- 131 :132人目の素数さん:2007/01/11(木) 08:10:44
- ω^ε_0やε_0は単なる収束列を表す記号だという考え方について。
Hardy
Functionに順序数を入れるときは、極限順序数は収束列のx番目の項に置き換えるわけです。
ならば、Hardy
Functionを使う分には極限順序数と収束列は一対一に対応するものとみなせます。
では、1+ω=ω≠ω+1のような、順序数に対する等式は何を意味するのでしょうか。
これは、Hardy
Functionに入れたときの関数の増加度を表しています。
F[1+ω](x)=F[1+x](x), F[ω](x)=F[x](x),
F[ω+1](x)=F[ω]^x(x)という三つの関数を考えたとき、
F[ω](x)<F[1+ω](x)<F[ω](x+1)となるので、この二つの関数の増加度はほぼ同じです。
一方、F[ω](x)とF[ω+1](x)では明らかに増加度が違います。
なので、急激に増加する関数を作りたいときは、順序数の大きさをちゃんと考えなければいけません。
でも、順序数の大きさが分からなくても計算することだけならできます。
順序数を使った関数の計算法を理解したいだけなら、
「極限順序数と収束列が一対一に対応する」という不正確な理解でも十分です。
- 132 :132人目の素数さん:2007/01/12(金) 00:31:42
- 以前の定義は間違っているところがあったので、書き直しました。
順序数を知らない人は「極限順序数」を「数列」と読み替え、
limは無視して「左辺の記号=右辺の数列」だと思えば理解できると思います。
α=lim φ_nと書いたとき、αは極限順序数、α_n=φ_n
βが極限順序数のとき
α+β=lim α+β_n
φの定義(Veblen関数の拡張)
φ(…,[α,0],…)=φ(…,…)
φ()=1
φ([0,α+1])=lim φ_n
ただしφ_0=0,φ_(n+1)=φ_n+φ([0,α])
φ(…,[α+1,1],[0,β+1])=lim φ_n
ただしφ_0=φ(…,[α+1,1],[0,β])+1,φ_(n+1)=φ(…,[α,φ_n])
φ(…,[α+1,β+1])=lim φ_n
ただしφ_0=0,φ_(n+1)=φ(…,[α+1,β],[α,φ_n])
β≠0のとき
φ(…,[α,β+1],[0,γ+1])=lim φ_n
ただしφ_0=φ(…,[α,β+1],[0,γ])+1,φ_(n+1)=φ(…,[α,β],[0,φ_n])
αが極限順序数のとき
φ(…,[α,1],[0,β+1])=lim φ(…,[α_n,1],[0,φ(…,[α,1],[0,β])+1])
φ(…,[α,β+1])=lim φ(…,[α,β],[α_n,1])
βが極限順序数のとき
φ(…,[α,β])=lim
φ(…,[α,β_n])
φ(…,[α,β],[0,γ+1])=lim φ(…,[α,β_n],[0,φ(…,[α,β],[0,γ])+1])
Fの定義(Hardy function)
F[0](x)=x+1
F[α+1](x)=F[α]^x(x)
αが極限順序数のとき
F[α](x)=F[α_x](x)
巨大関数の定義
f(x)=F[φ_x](x) ただしφ_0=0,φ_(n+1)=φ([φ_n,1]))
- 133 :132人目の素数さん:2007/01/12(金) 09:17:41
- >>132
小さい値について計算してみると、こうなります。
f(0)=F[0](0)=1
f(1)=F[φ([0,1])](1)=F[1](1)=F[0](1)=2
f(2)=F[φ([φ([0,1]),1])](2)=F[φ([φ([0,1]),0],[2,1])](2)=F[φ([2,1])](2)=F[φ([2,0],[1,φ([2,0],[1,0])])](2)
=F[φ([1,φ()])](2)=F[φ([1,1])](2)=F[φ([1,0],[0,φ([1,0],[0,0])])](2)=F[φ([0,φ()])](2)=F[φ([0,1])](2)
=F[2](2)=F[1]F[1](2)=F[1]F[0]F[0](2)=F[1](4)=F[0]F[0]F[0]F[0](4)=8
この関数はH[Γ_0]よりもずっと大きい関数なので、このスレで今まで出てきた関数の中では
ナゴヤ関数とBBを除くどの関数よりも急激に増加するはずです。
BBは計算可能などの関数よりも大きいので、当然この関数よりも大きいです。
ナゴヤ関数は、順序数にHardy functionを適用するとどの位大きくなるか見積もらないと比較できません。
リスト構造で比較してみると、ナゴヤ関数Ver.1は”自然数”個の変数を使っているのに対し、
この関数では[α,β]を「α番目の要素がβ」という意味で解釈しているので、
ある意味では”順序数”個の変数を使っていることになります。
見た目はただの2重リストですが、要素が順序数なので自然数を要素とする2重リストよりは
はるかに複雑な構造となります。
>>116では"Veblen関数を多変数に拡張してもF[ε0](ω)には足元にも及ばない"と書いてありますが、
F[ε0]はあくまでも「自然数のリスト構造」を変数とする関数より大きいだけで、
「順序数のリスト構造」となるとそうは言い切れないと思います。
- 134 :132人目の素数さん:2007/01/12(金) 09:56:15
- >>133
考察乙です
- 135 :132人目の素数さん:2007/01/12(金) 23:28:37
- Hardy functionを順序数に適用したらどうなるかを>>120の定義を用いて計算してみると、
どうやらF[α](β)≒φ_α(β)となりそうです。α<ω*2の場合しか確かめてませんが。
少なくとも、F[ω+n](φ_[ω+n](α))=φ_[ω+n-1](φ_[ω+n](α)*2)という式が成り立ちます。
Veblen関数は、実はかなり巨大な順序数を作り出せる関数のようです。
この推測に基づいてナゴヤ関数と>>132の関数を比較すると、
L[α,β](ω)≒φ([2,1],[1,α],[0,β])ということになるようです。
(左辺はナゴヤ関数、右辺は>>132の拡張Veblen関数)
もし、L[a_n, …,
a_0](ω)≒φ([n,a_n],…,[0,a_0])という関係が成り立つのなら、
ナゴヤ関数Ver.1より>>132の関数の方が大きいということになります。
でも、ナゴヤ関数Ver.2はずっと巨大なものになるそうなので、
>>132を上回るような関数になることを期待しています。
それと、上の記述はかなり推測が入っているので、間違いがあるかもしれません。
- 136 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 13:20:48
- >>132の定義式で、
β≠0のとき
φ(…,[α,β+1],[0,γ+1])=lim
φ_n
ただしφ_0=φ(…,[α,β+1],[0,γ])+1,φ_(n+1)=φ(…,[α,β],[0,φ_n])
αが極限順序数のとき
φ(…,[α,1],[0,β+1])=lim
φ(…,[α_n,1],[0,φ(…,[α,1],[0,β])+1])
の式を、
φ(…,[α+1,β+1],[0,γ+1])=lim
φ_n
ただしφ_0=φ(…,[α+1,β+1],[0,γ])+1,φ_(n+1)=φ(…,[α+1,β],[α,φ_n])
αが極限順序数のとき
φ(…,[α,β+1],[0,γ+1])=lim
φ(…,[α,β],[α_n,φ(…,[α,β+1],[0,γ])+1])
に訂正します。
- 137 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 19:28:51
- 今のところ、BB以外の計算可能な巨大数については
ナゴヤ関数なるものが最強候補なわけですな
- 138 :132人目の素数さん:2007/01/16(火) 09:38:57
- >>137
そういうことですね。ただ、ナゴヤ関数は>>117のように定義が怪しいところもあるようです。
その点では、>>132、>>136の関数はちゃんと定義できていてナゴヤ関数Ver.1より大きいようなので
現時点では最強なのかもしれません。自分で言っても説得力はありませんが。
>>132、>>136の関数の定義がよく分からない人がいたら聞いてください。
- 139 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 11:11:45
- 拡張Veblen関数による順序数の大小関係
α=φ(…,[β,γ],…)のとき、γをαのβ成分と呼ぶ。
γ=φ(…)のとき、α<γ,β<γならばα+β<γ
β=φ(…)のとき、α<βならばα+β=β、α≧βならばα+β>α,β
α=φ(…),β=φ(…)のとき、αのγ成分>βのγ成分 となるγが存在して、
δ<γならばα>βのδ成分 であり、ε>γならば
αのε成分=βのε成分 が成り立つとき、α>β
α=φ(…,[β,γ]),γ=φ(…)のとき、δ<βならば αのδ成分=0 であり、
ε>βならば αのε成分≦γのε成分 であり、
ζ>β、αのζ成分<γのζ成分 となるζが存在するならばα=γ
上記のような大小関係が成り立つように、>>132、>>136で収束列を定めてあります。
ただし、上の式での=は順序数として等しいだけで、>>132、>>136で定義される収束列は異なるので、
>>132、>>136の関数の計算で=とすることはできません。
また、上の大小関係を見ると0以外の自然数が出てきていませんが、
0より大きくφ()よりも小さい数が存在しないとしても矛盾は生じないので
φ()を1とみなせることが分かります。
- 140 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 04:54:26
- 巨大数と直接は関係ない話ですが、>>139の大小関係に以下の基本的な定義を加えれば、
0に+,φを次々に適用して得られる数の集合(仮にΦと呼ぶ)に対し順序関係がきちんと定まるはずです。
(α+β)+γ=α+(β+γ)
α+0=0+α=αをみたす元0が存在する
任意のα,βに対しα>β,α=β,α<βのうちいずれか一つのみが成り立つ
α<β,β<γならばα<γ
また、厳密に+やφという演算を定義すれば、
+:Φ×Φ→Φ; (α,β)├→α+β
E={e:Φ→Φ; α├→e(α)|Ψ⊂Φ, α∈Ψでなければe(α)=0}として
φ:E→Φ;
e├→φ(…,[α,e(α)],…,[β,e(β)],…) ただしα,β∈Ψ, α>β
ただし、eはαに対しα成分を与える写像です。
こんな説明は理解しなくても>>132、>>136の関数は理解できるはずですが、
この関数について詳しく知りたい人がいたときのために書いておきます。
- 141 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 09:40:19
- >>140
一つ抜けてました。Ψは要素が有限個の集合です。
0<φ()というのは、以下のように導けます。
0≧φ()とすると>>139の4行目より0+φ()>0
ところが0+φ()=φ()であるからφ()>0となり矛盾する よって0<φ()
- 142 :もやしっ子:2007/01/19(金) 05:31:56
- どうも。のろのろと勉強しております。
F[λ](x)=F[Λ(x)](x) (λは極限順序数、Λ(x)はλに収束する基本列)
ここのくだりが長いことわからなかったのですが、要するに
例えばλ=ωの場合であれば Λ(x)=x なので
F[ω](x)=F[x](x) のようになるんでしょうか。
λ=ω*2の場合は Λ(x)=ω+x より
F[ω*2](x)=F[ω+x](x)
これはここからどう展開するのか分からんです。(そもそも合っているのか)
- 143 :もやしっ子:2007/01/19(金) 20:20:30
- ちなみに英語サイトに、ωは最小の極限順序数である、という
記述があったのでそういう理解をしております。荒っぽいでしょうか。
>The first limit ordinal is ω.
- 144 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 20:32:21
- 「最小の超限順序数」ではなくて?
- 145 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 20:39:19
- >>143
ただ、0を極限順序数とする人も多いよ
- 146 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 20:40:05
- limit ordinalってのはsuccessor ordinalじゃないというのが定義だったような。
だとしたらそれで良いはずですけど。
別にどういう用語を使っても良いだろうけど「超限」ってのは
transfiniteの訳語として使うことが一般的じゃないのかな。
しかし超限ってどういう意味ですか、と聞かれるとちょっと困りますね
- 147 :もやしっ子:2007/01/19(金) 20:44:51
- wikipediaに「極限順序数(limit ordinal)」という記載があったので
英語で検索したところ、
http:///mathworld.wolfram.com/LimitOrdinal.html
ここにそういう記載がありました。
超限順序数を英語で何と呼ぶのかが見つかっておりません。
wikipediaではωは最小の超限順序数であるとも書いてありますね。
謎は置いておいて、目先の疑問に触れてみた、ということでひとつ。
- 148 :もやしっ子:2007/01/19(金) 20:50:00
- >自然数でない序数を transfinite ordinal という。
との記述を発見。でも序数って「first」「second」みたいなもんですか?
むう…
- 149 :もやしっ子:2007/01/19(金) 20:53:30
- さらに怪しい翻訳。謎。
正の整数の超限順序数はωによって指定されます。
- 150 :もやしっ子:2007/01/19(金) 21:07:50
- 性懲りもなく。
>超限数は,超限順序数と超限基数に分かれる
ここでの運用を勝手に推測すると、ωは極限順序数であるし、また
超限順序数でもあるから混乱を避けるため呼称を統一した、とか?
あるいは、極限順序数の定義でいかないと基本列のカラクリが使えないとか。
妄想です。
- 151 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 21:27:10
- >>149
それは、「正の超限順序数をωと表すとする」って約すのが正解。
「傾きをvとおく」みたいなものだ。
- 152 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 22:25:27
- 日本語版wikipediaには、
>有限整列集合から定義される順序数を有限順序数といい、
>そうでないものを超限順序数と呼ぶ。
という記述がありますが、超限というのはおそらく、
0,1,2,3,・・・として定義できる"限"界を"超"えた数という意味ではないでしょうか。
>>142
[ ]の中の数を一つ減らしてx回繰り返します。
xに具体的な数字を入れてやってみると、
F[ω*2](1)=F[ω+1](1)=F[ω](1)=…
F[ω*2](2)=F[ω+2](2)=F[ω+1](F[ω+1](2))=…
F[ω*2](3)=F[ω+3](3)=F[ω+2](F[ω+2](F[ω+2](3)))=…
F[ω*2](4)=F[ω+4](4)=F[ω+3](F[ω+3](F[ω+3](F[ω+3](4))))=…
ということになります。x=2の場合でもう少し先までやってみると、
F[ω+1](F[ω+1](2))=F[ω+1](F[ω](F[ω](2)))=F[ω+1](F[ω](F[2](2)))
=…=F[ω+1](F[ω](8))=F[ω+1](F[8](8))=…
となります。( )の中身が計算されてからωを置き換えるので、
F[ω]が入れ子になると外側ほど大きな数で置き換えられることになります。
- 153 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 22:55:31
- 個人的なイメージとしては、
超限が先にあるものじゃなくて、
ω以上の順序数を「超限順序数」と呼ぶみたいな印象が
- 154 :もやしっ子:2007/01/20(土) 00:06:57
- >>151
訂正ありがとうございます。0を極限順序数とするというのは、
主張の問題であって算術的には問題ないのでしょうか。
>0=α+1となるような順序数αは存在していませんので、0は極限順序数
こんなん拾いました。ということは0も順序数ということでいいですか。
>>152
とりあえず僕は「極限順序数」と呼んでおくことにします。
さて上の続きを書いてみますが、
F[ω*2](2)=F[ω+2](2)=F[ω+1](F[ω+1](2))=F[ω+1](F[ω+1](F[ω](2)))
=F[ω+1](F[ω+1](F[2](2)))
ここでF[2](2)としていいのか分かりませんが続けます。
F[2](2)=F[1]^2(2)
=F[F[1](2)](2)
=F[F[0]^2(2)](2)
=F[F[F[0](2)](2)](2)
=F[F[3](2)](2) …
元の式に戻ると、 F[ω+1](F[ω+1](F[F[3](2)](2)))
あれ、またヘマやったかな?
- 155 :もやしっ子:2007/01/20(土) 01:17:13
- 研究室に巨大数スレ6のログを丸ごとぶち込みました。
暇潰しにどうぞ。
- 156 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 01:58:59
- >>154
0はもちろん順序数だよ。
というか、自然数は全部、順序数。
順序数は自然数の概念を無限の領域まで拡張したみたいな感じのもの
- 157 :もやしっ子:2007/01/20(土) 02:05:18
- >>156
解説ありがとうございます。0が自然数に含まれるのか分からなかったのです。
前スレをちんたら読んでおります。
魚スキー氏曰く、Hardy functionについて、
H[ω](x)=H[x](x)=2x+1
H[ω+n](x)=H[ω](x+n)=2x+2n+1
H[2ω](x)=H[ω+x](x)=4x+1
…… H[nω+ω](x)=H[nω+x](x)=H[nω](2x) なので
H[nω](x)=2^n*x+1
……ω^2の基本列は{ω, 2ω, 3ω, ...}
H[ω^2](x)=H[ωx](x)=2^x*x+1
H[ω^2+ω](x)=H[ω^2](2x)=2^(2x)*2x+1
H[ω^2+2ω](x)=H[ω^2+ω+x](x)=2^(4x)*4x+1
H[ω^2+nω](x)=2^(2^n*x)*2^n*x+1
H[2ω^2](x)=H[ω^2+ωx](x)=2^(2^x*x)*2^x*x+1
との結果を得ているようで、僕はヘボなのでプロセスが分かりません。
H[x](x)=2x+1 となる理由すら。うはは
- 158 :もやしっ子:2007/01/20(土) 02:18:56
- うーん、自分ナゴヤ関数の咀嚼に挑んでたのか…
全く記憶にない(笑)
- 159 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 02:26:30
- ω=α+1になる順序数αは存在しないから極限順序数。
ってことでいいのだろうか。
- 160 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 02:59:11
- >>154
F[ω+1](F[ω+1](2))=F[ω+1](F[ω+1](F[ω](2)))ではなく、
F[ω+1](F[ω+1](2))=F[ω+1](F[ω](F[ω](2)))です。
それから、F[α+1](x)=F[α]^x(x)というのは[ ]の中に入れ子にするのではなく、
( )の中に入れ子にします。そうしないと[
]の中の数が減らないので
永久に計算が終わりません。
F[2](2)=F[1](F[1](2))=F[1](F[0](F[0](2)))=F[1](F[0](3))=F[1](4)
=F[0](F[0](F[0](F[0](4))))=F[0](F[0](F[0](5)))=F[0](F[0](6))=F[0](7)=8
となります。
>>157
HとFでは定義が違うことに注意しなければいけませんが、6-303には、
H[0](x)=x+1
H[1](x)=H[0](x+1)=x+2
H[n](x)=H[0](x+n)=x+n+1
と書いてあります。一行目と二行目は定義に当てはめただけです。
H[a+1](x)=H[a](x+1)の式を見ると、[ ]の中の数を1減らして
( )の中の数を1増やしています。これをn回繰り返すと、
H[n](x)は[ ]の中の数がn減って( )の中の数がn増えるので、
H[n](x)=H[0](x+n)となります。H[0]の定義を使えばH[n](x)=x+n+1となります。
この式は、nがどんな自然数でも成り立つので、nをxに置き換えてもかまいません。
すると、H[x](x)=x+x+1=2x+1となります。
以下も同様で、「n回繰り返す」ということをやってnを含む式を導いてから、
「nをxに置き換える」ということをやっています。
- 161 :もやしっ子:2007/01/20(土) 03:58:47
- >>160
わざわざすみません。過去ログですっ飛ばしてるような初歩的なことばかりで。
F[ω+1](2)=F[ω](F[ω](2)) は了解しました。昔ながらの入れ子をやってしまいました。
>一行目と二行目は定義に当てはめただけです
まんまですね。びびりすぎでした。
>「n回繰り返す」ということをやってnを含む式を導いてから、
>「nをxに置き換える」
H[n](x)=x+n+1 もガッテンです。ここから
H[x](x)=x+x+1=2x+1 や、それ以降が出てくる訳ですね。どれどれ。
H[ω+n](x)=H[ω](x+n)=H[x](x+n)=2x+n+1
H[2ω](x)=H[ω+x](x)=H[ω](2x)=H[x](2x)=3x+1
…なんか前述の解と違っておるのですが、まだ勘違いしているのでしょうか、僕は。
- 162 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 05:05:21
- >>161
>H[ω](x+n)=H[x](x+n)
>H[ω](2x)=H[x](2x)
の部分ではωをxではなく、( )の中身に置き換える必要があります。つまり、
H[ω](x+n)=H[x+n](x+n)=2(x+n)+1=2x+2n+1
H[ω](2x)=H[2x](2x)=4x+1
となります。
- 163 :もやしっ子:2007/01/20(土) 06:23:52
- >>162
なんとなく分かったような気がします。
H[ω](x+n) においては基本列がΛ(x+n)になるから、ということでしょうか。
基本列と呼ぶからには列なんだと考えてしまうのですが、ひとかたまりの
ものとして振舞いますよね。収束と対応しているから同値ということでしょうか。
そもそもなぜ列がΛ(x)として表現できるのかがいまいち…
- 164 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 07:18:51
- >>163
基本列は順序数の数列だと考えればいいです。
数列を{a_n}と書くように、基本列をΛ(x)と書いています。
数列でnの部分に相当するのが基本列でのxです。
ただ、数列でa_n(つまり一つの項)に相当するものもΛ(x)と書いています。
H[λ](x)=H[Λ(x)](x) (Λ(x)はλに収束する基本列)
と書いてあるとき、左のΛ(x)はa_nの意味で、右のΛ(x)は{a_n}の意味です。
これは、f(x)が「関数」そのものを表すこともあれば、
「関数にxを代入した値」を表すこともあるのと同じです。
- 165 :もやしっ子:2007/01/20(土) 07:49:26
- >>164
なるほど、数列の一般項が自然数の関数であるようなものですか。
また解読できるログが増えるといいなぁ…
- 166 :もやしっ子:2007/01/20(土) 16:56:59
- >>110のHardy functionの定義で
H[0](x)=x というのはH[0](x)=x+1の誤植でしょうか。
それと、F[ω+x](x)を展開する場合、ω+xは極限順序数ではないので
(xは自然数なのでω+(x-1)が存在してω+x=ω+(x-1)+1となる)、
F[ω+x](x)=F[ω+(x-1)]^x(x) とすべきでしょうか。
またやっちまった予感…
- 167 :もやしっ子:2007/01/20(土) 17:11:10
- 自己レス。誤植ではありませんでした。
- 168 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 00:42:18
- >>166
x≠0のときはそれで合ってます。
x=0のときも考えるならば、F[ω+0](0)=F[ω](0)=F[0](0)=0+1=1となります。
- 169 :もやしっ子:2007/01/21(日) 01:37:50
- >>168
どうもありがとうございます。
ようやくHardy
functionのビギナー(僕もですが)向け説明文を
一通り記述したので、研究室の方にupした際は添削して頂ければ
幸いです。推敲がまだなので後日…
- 170 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 03:09:49
- 6-713を読んでみました。大体の流れとしては、
φ_α(β)≒ak(ω,β,α)
Γ_0はφ_{*}(0)にω回入れ子にすれば得られるはずだから
Γ_0≒ak^ω(ω,ω,*)
そして、>>116ではアッカーマン関数よりF[ε_0]の方が急激に増加するはずだから
F[ε_0](ω)>Γ_0>Veblen関数で定義される数
としているのだと思います。
一方、>>135での私の見積もりでは、
F[ε_0](ω)≒φ_ε_0(ω)<Γ_0
ということになってしまいます。
こうなってしまう原因としては、「アッカーマン関数よりF[ε_0]の方が急激に増加する」というのは
変数が自然数のときのみ成り立つことで、変数が順序数だと成り立たないというのが考えられます。
例えば、2^xの方がx^2より急激に増加しますが、2^ω<ω^2です。
これを見ると、順序数の関数の大小比較は簡単にはできないというのがわかります。
- 171 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 04:02:47
- >>132、>>136でのVeblen関数の拡張は、6-714での拡張とほぼ同じもののようです。
ただ、>>132、>>136では「順序数」個の変数を使っていることになりますが。
- 172 :もやしっ子:2007/01/21(日) 04:10:24
- 関数と表記法のページにHardy functionを追加しました。
さてVeblen functionの入り口にやってきた、と思ったら…
>>170
無限順序数の演算は交換法則が成り立たないんですよね。
それだけ知ってます。手を出すとやばそうなので見守ります。
ところで、Veblen functionの
φ_1(0)=ε_0 を導いてみたんですが、左辺は
φ_(β'+1)(γ)の形をとっているので β'=0 γ=0 とおいて、
γ=0のとき、α(0)=φ_β'(0)、α(n+1)=φ_β'(α(n))という漸化式を定義。
すると
α(0)=φ_0(0)=1
α(n+1)=φ_0(α(n))=ω^α(n) を得る。この数列は
1,ω,ω^ω,ω^ω^ω,… となるので、収束先はε_0となる。
というのはいかがでしょう。
- 173 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 10:24:45
- >>172
それで合ってますね。Veblen関数については、以下のような見方もできます。
Veblen関数の定義は、φ_(α+1)(β)=「φ_α(γ)=γとなるβ番目の数」ということですが、
これは、「ある順序数γより小さい数に+,φ_0,φ_1,…,φ_αを何回適用してもやはりγより小さい」
という条件を満たすγのうちβ番目のものと見ることができます。
「
」の条件は、「γより小さい数は+,φ_0,φ_1,…,φ_αという演算について閉じている」
と言い換えることもできます。
もう少し具体的な例で考えてみると、φ_0(α)=ω^αより小さい数はいくら足し合わせても
φ_0(α)=ω^αより小さな数となります。
例えば、α=0のときはω^0=1より小さい数は0しか存在せず、
0をいくら足し合わせても1よりは小さいことから、
1が「その数より小さい数は+について閉じている」ような0番目の(最初の)数ということになります。
α=1のときは、ω^1=ωより小さい数(つまり自然数)をいくら足し合わせても
ωよりは小さいということになります。これを逆に考えると、自然数をいくら足し合わせても
到達できないような最小の数をφ_0(1)=ωとして定義していることになります。
この考え方でα=2としてみると、φ_0(2)は2番目の数であるため
1番目の数であるωよりは大きな数となります。なので、自然数やωをいくら足し合わせても
到達できないような最小の数を考えると、それはω*nの収束先であるω^2ということになります。
φ_1(0)=ε_0で考えると、ε_0より小さい数に+やφ_0を何回適用しても
ε_0より小さいということになります。逆に考えれば、0に+やφ_0を何回適用しても
到達できないような数のうち、最小のものをφ_1(0)=ε_0と定義していることになります。
φ_1(1)=ε_1は、ε_0以下の数(ε_0も含む)に+やφ_0を何回適用しても到達できない
最小の数ということになります。
このように、+だけでは到達できない数をφ_0で定義し、+とφ_0だけでは到達できない数をφ_1で定義し、
+とφ_0とφ_1だけでは到達できない数をφ_2で定義し、…とやっていって、
最終的にはVeblen関数を何回使っても到達できない最小の数をΓ_0と定義していることになります。
- 174 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 21:15:20
- すごく面白そうなんだが、いかんせん俺には難しすぎ…。
- 175 :もやしっ子:2007/01/23(火) 22:01:16
- >>174
最近はかなり解説が咀嚼されていますので、研究室のHardyと合わせて
読んでみて下さい。ヘボの僕でもVeblenまで追い付くことができました。
些細な疑問でも書いて頂ければ、優しい人が丁寧に教えてくれます。
(他力本願…)
個人的な印象では、リスト関数の解読よりは物量的に楽だと思いました。
変な文字達とお友達になれれば、結構すぐですよ。
- 176 :もやしっ子:2007/01/24(水) 00:11:51
- 言ったそばから質問でございます。Veblenの解説を書いているのですが、
>βへの収束列がβ(n)のとき、α=φ_β(γ)とします。
>γ=γ'+1のとき、
>α(n)=φ_(β(n))(φ_(β)(γ')+1)とします。
ここのa(n)がこの形に展開される理屈が分かりませんでした。
値をうまく置き換えてやればφ_β(γ)=αに持っていけるのでしょうか。
- 177 :もやしっ子:2007/01/24(水) 08:28:21
- どうにもφ_nという式が顔を出してきます。この子ってば
どうやって飛ばせばいいですか。
α=φ_ω(1)=ε_1なのかなーと思ったり。
- 178 :もやしっ子:2007/01/24(水) 14:24:04
- βへの収束列がβ(n)の場合の具体例の様子を見てみました。
ここではβ=ωとおいて β(n)=n,γ'=0とする。 このとき、
α=φ_ω(1)
α(n)=φ_n(φ_ω(0)+1)
α(0)=φ_0(2)=0^2=1
ここで定義より α=φ_ω(1)=ε_1 なお、このαの収束列は、
1,ε_0,ω^(ε_0+1),ω^ω^(ε_0+1),ω^ω^ω^(ε_0+1),…と続き、
α(0)=1
α(1)=ε_0 そして最終的にnが十分大きいとき
α(n)=(ω↑↑(n-2))^(ε_0+1)となる。
これがα=(ω↑↑ω)^(ε_0+1)=ε_1 の収束列である。
話を α(n)=φ_n(φ_ω(0)+1) に戻すと、
φ_ω(0) = 「すべての ω'< ω に対し φ_ω'(δ)=δ となる δ」 のうち
0番目のもの。 ω'=0 とおくと(ωより小さい順序数は自然数しかない)
φ_0(δ)=ω^δ=δ が得られ、
定義より φ_ω(0)=ε_0 から α(n)=φ_n(ε_0+1) 以上より
φ_n(ε_0+1)=(ω↑↑(n-2))^(ε_0+1) (n<2) 謎のオチ。
- 179 :もやしっ子:2007/01/24(水) 14:49:18
- 思いつきで喋っていますが。
文京区シビックセンターの良さげな部屋を借りるツテができたので
2月あたりに近隣の方はゼミごっこしませんか?
メンツが集まらない場合は、素人衆に巨大数をオルグする
イベントに変更となります。いかがでしょう。
僕が暇すぎるのかもしれません。
- 180 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 14:58:46
- うちの近くだw
- 181 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 15:14:59
- >>178
φ_ω(1)=ε_1というのは、もしかしてωを1に置き換えてますか?
Hardy
functionと違ってφの添え字のωは1に置き換えられません。
φ_ω(0)というのは、φ_0(0), φ_1(0), φ_2(0),
φ_3(0), …という収束列の収束先で、
φ_ω(1)というのは、φ_0(φ_ω(0)+1), φ_1(φ_ω(0)+1),
φ_2(φ_ω(0)+1), …の収束先です。
- 182 :もやしっ子:2007/01/24(水) 16:01:35
- >>181
えーっと…
φ_ω(1)=「すべての ω'< ω に対し
φ_ω'(δ)=δ となる δ」 のうち
1番目のもの …ここですな。
もろに文脈が混線していたようです。
さて、
α=φ_ω(1) のとき
α(n)=φ_n(φ_ω+1) などと性懲りもなくやってますが、
φ_β(γ)そのものが列の収束先そのものとは、全く気付きませんでした。
いやはや。
- 183 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 19:59:20
- 数学板オフ?
都内ならkingも呼ぼうぜ。
- 184 :もやしっ子:2007/01/24(水) 21:55:40
- 巨大数に関連した催しとして僕個人が突発的に企画しました。
いっぺんホワイトボード使ってワイワイやってみたかったのです。
情報や理解も共有することができるかもしれないですし。
往年の功労者諸氏はもう見てないかな…
あと、民間人に巨大数ロマンを植え付けるという企みもあります。
30人くらい入れる部屋とか用意できますが、そんなには来ないでしょう。
2/10を候補日としています。
- 185 :もやしっ子:2007/01/25(木) 12:46:24
- Cantor normal formの和訳みたいなことをしてみました。そしたら
「集合論入門 無限への誘い」の169,170ページにも「カントールの標準形」
の解説がありました。読み比べてみたところ、それぞれ少し異なる箇所が
あったりしたので適当にまぜて体裁を整えました。
やばかったら指摘してください。たぶん本読んだ方が早いですが。
0でない任意の順序数αは以下のような式に一意に展開することができる。
α=((ω^(β_1))・c_1)+((ω^(β_2))・c_2)+…+((ω^(β_k))・c_k) [kは自然数]
c_1,c_2,…,c_k は正の整数
β_1>β_2>…>β_k はそれぞれ順序数 (β_k=0 でも可)
上式ではωを用いているが、これは「ωを底とした」場合である。
底には2以上の順序数を用いてよい。
このように展開された式を、αのCantor normal formと呼ぶ。
- 186 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 15:06:57
- 任意なの?
非可算順序数でも大丈夫なんだ。
- 187 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 20:48:18
- 任意でよかったはず
- 188 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2
:2007/01/25(木) 23:04:05
- talk:>>183 何やってんだよ?
- 189 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 00:39:58
- >>186
任意でおkです。
- 190 :132人目の素数さん:2007/01/27(土) 19:56:56
- 英語版Wikipediaに、Γ_0よりずっと大きい順序数を定義する方法がありました。
それを和訳すると下のようになります。
ψ(α)は、0とΩ(最小の非可算順序数)から始めて、それ以前に作られた順序数に対し
加法、Veblen関数、ψを繰り返し適用しても作ることのできない最小の順序数である。
ただし、ψはαより小さい順序数に対してのみ適用する。
定義には非可算順序数を用いていますが、定義される順序数は可算です。
これだけだとよく分からないし、具体例はほとんどなかったので、自分なりに解釈してみました。
もしかしたら、間違っているところがあるかもしれませんが。
まず、ψ(0)を考えます。この時点ではまだψは使えないので、加法とVeblen関数だけを使います。
0に対して加法とVeblen関数を使うと、Γ_0未満の順序数をすべて作り出すことができます。
Ωから作った順序数はどれも非加算なので、Γ_0を作り出すことはできません。
なので、ψ(0)=Γ_0ということになります。
次に、ψ(1)を考えます。これは、0とψ(0)とΩに対して加法とVeblen関数を使っても作れない
最小の順序数ですが、これはΓ_1です。同様にして、ψ(α)=Γ_α(ただし、α≦ψ(Ω))となります。
- 191 :132人目の素数さん:2007/01/27(土) 19:57:32
- この方法を繰り返していくと、Γ_Γ_Γ_…_0の収束先として定義される順序数
(>>132,>>136の表記を用いるとφ([2,1],[1,1])と書ける)よりも小さな数はすべて作ることができますが、
φ([2,1],[1,1])は作ることができません。そこで、初めてψ(Ω)を考えます。
ψ(Ω)は、0とΩに加法、Veblen関数、ψを適用しても作ることのできない最小の順序数です。
(ただしΩにはψを適用しない) つまり、ψ(Ω)=φ([2,1],[1,1])です。
ψ(ψ(Ω))を考えると、ψ(Ω)=φ([2,1],[1,1])より小さい順序数に
加法、Veblen関数、ψを適用しても作ることのできない最小の順序数なので、
ψ(ψ(Ω))=ψ(Ω)=φ([2,1],[1,1])となります。
ψ(Ω)≦α≦Ωとしてψ(α)を考えると、ψ(Ω)を使うことはできないので、ψ(α)=ψ(Ω)となります。
なので、次はψ(Ω+1)を考えればいいです。
あとは結果だけ書きますが、>>132,>>136の表記とψを用いた表記を比較すると、
ψ(Ω^Ω^α)=φ([α,1])
(α≧ω)となるようなので、
>>132,>>136の表記ではψ(Ω^Ω^Ω)未満の順序数しか表せないようです。
6-708で出てきたHoward ordinalというのはψ(ε_(Ω+1))だそうです。
ε_(Ω+1)はおそらくΩ^Ω^Ω^…^Ωの収束先です。
- 192 :132人目の素数さん:2007/01/28(日) 06:42:53
- Ω^Ω^ΩをVeblen関数で表すには、Ω=ω^Ωという性質を使って
Ω^Ω^Ω=(ω^Ω)^Ω^Ω=ω^(Ω*Ω^Ω)=ω^Ω^Ω=ω^(ω^Ω)^Ω
=ω^ω^(Ω*Ω)=ω^ω^(ω^Ω*ω^Ω)=ω^ω^ω^(Ω+Ω)として、
Ω^Ω^Ω=φ_0(φ_0(φ_0(Ω+Ω)))とすればいいと思います。
非可算順序数を可算順序数と同じように扱っていいのかは分かりませんが。
- 193 :132人目の素数さん:2007/01/28(日) 15:07:45
- (^ω^)よくわからないお
- 194 :132人目の素数さん:2007/01/28(日) 16:08:57
- 本当に分かろうとする気があるのかと、
ただ(^ω^)を貼り付けたいだけちゃうんかと。
- 195 :132人目の素数さん:2007/01/28(日) 17:47:27
- ψで表された順序数への収束列は、おそらく以下のように定まるはずです。
α=ψ(0)のとき、α_0=φ_0(0),
α_(n+1)=φ_(α_n)(0)
α=ψ(β+1)のとき、α_0=ψ(β)+1, α_(n+1)=φ_(α_n)(0)
α=ψ(β)(βは収束列の定義された順序数)のとき、α_n=ψ(β_n)
α=ψ(β)(βは収束列の定義されていない非可算順序数)のときは、
以下の手順で収束列を定める。
まず、βに注目する。
注目する順序数がΩになるまで、以下の手順を繰り返す。
注目する順序数が和のときは、一番右の項に注目する。
注目する順序数がφ_γ(δ)の形のときは、以下のようにする。
δ=0のときは、γに注目する。
δ=δ'+1のときは、δをφ_γ(δ')+1に置き換えてからγに注目する。
その他のときは、δに注目する。
ψ(β)の、注目するΩをxで置き換えた関数をf(x)とする。(f(x)は順序数の関数)
α_0=0,
α_(n+1)=f(α_n)とする。
最後の手順を、具体例でやってみます。(かなり複雑な例ですが)
ψ(φ_(φ_(φ_Ω(Ω+Ω))(Ω+2))(0))でやってみると、
まずはφ_(φ_(φ_Ω(Ω+Ω))(Ω+2))(0)に注目します。
(
)の中が0なので、添え字のφ_(φ_Ω(Ω+Ω))(Ω+2)に注目します。
(
)の中が+1の形なので、Ω+2をφ_(φ_Ω(Ω+Ω))(Ω+1)+1に置き換えて、
添え字のφ_Ω(Ω+Ω)に注目します。
今度は(
)の中が0でも+1の形でもないので、Ω+Ωに注目します。
Ω+Ωは和なので、右のΩに注目します。
注目したΩをxに変えると、
f(x)=ψ(φ_(φ_(φ_Ω(Ω+x))(φ_(φ_Ω(Ω+Ω))(Ω+1)+1))(0))
となります。 この関数を入れ子にしたものが収束列となります。
この収束列の定義でHardy
functionも使ってF[ψ(Γ_(Ω+1))]という関数を作ると、
ものすごく大きな自然数の関数となるはずです。
ただし、Γ_(Ω+1)の収束列はα_0=Ω+1, α_(n+1)=φ_(α_n)(0)です。
- 196 :132人目の素数さん:2007/01/28(日) 17:48:07
- 結局のところ、巨大な非可算順序数を作り、非可算順序数から巨大な可算順序数の関数を作り、
可算順序数の関数から巨大な可算順序数を作り、可算順序数から巨大な自然数の関数を作り、
自然数の関数から巨大な数を作るということになります。
Ωを可算順序数の変数で置き換えるのと、ωを自然数の変数で置き換えるのには共通点も見られます。
今やっていることがよく分からないという気持ちも分かります。
具体的に計算しようにも巨大すぎて、現実には計算できないような数を扱っているし、
主題は数→自然数の関数→順序数→可算順序数の関数と、どんどん普通の数から離れてきているので。
ただ、作られていく数はどんどん巨大になってきています。
一つ残念なのは、このスレの住人がこれまでにないような巨大な数を作り出したと思っても、
いつもそれを上回る巨大な数を作り出す方法が既に数学界に存在しているということです。
上で述べた関数も、Hardy
functionと英語版Wikipediaのψ表記を組み合わせただけなのに、
このスレで作られた関数の中ではふぃっしゅ数ver.4を除くどの関数よりも大きいわけです。
(ふぃっしゅ数ver.4はBBを用いて作られた、定義可能だが計算不能な数なので別格ですが)
それでも、巨大な数の作り方を紹介していくというだけで十分意味のあることだと思いますが。
- 197 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 23:15:55
- >>179 >>184
ゼミは本当にやるのかな?はたして、このスレの
住人は何人くらい集まるか?
素人衆向けの企画ならば、素人衆として参加します。
実際に素人衆だし。
- 198 :もやしっ子:2007/01/30(火) 03:18:41
- >>197
部屋はすでに取ってあります。2/10午後、文京シビックセンター会議室です。
初心者と熟練者の議論のギャップをどう埋められるか、という。
とりあえずその日程オッケーみたいな方は、ここで点呼してみて下さい。
5人も集まれば、十分に時間が潰せると思います。たぶん。
- 199 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 00:07:15
- WikipediaにもHoward ordinalについて書かれていますね。
英語ならHoward
ordinalの定義について書いてある論文は結構見つかるのですが、
分かりやすかったものは、Veblen関数の応用で、
φ_α[Ω](β):=φ_α[γ](0)=γとなるγのうちβ番目のもの
とします。例えば、φ_Ω(0)=Γ_0、φ_(Ω+1)(0)=Γ_Γ_Γ_……となります。
以降はCNFと同様に、
Ω^α_0*β_0+Ω^α_1*β_1+Ω^α_2*β_2+……
(ただしα_0>α_1>α_2>……,
Ω>β_i)
とすれば、φ_α(β)の有限和でHoward ordinalより小さいすべての順序数を表記できます。
- 200 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 00:27:09
- また、1変数にすることもできますね。
A(α):=ω^α(Ω>α)
A(α[Ω]+β):=A(α[γ])=γとなるγのうちβ番目のもの
例えば、
A(Ω)=ε_0
A(Ω*α+β)=φ_α(β)
A(Ω^2)=Γ_0 です。
もちろんA(ε_(Ω+1))とかもできますがさらに上の基数を使って、
B(α):=Ω^α
B(α[ω_2]+β):=B(α[γ])=γとなるγのうちβ番目のもの
とすれば、A( B(ω_2) ) = A( ε_(Ω+1) ),
A( B((ω_2)^2) ) = A( Γ_(Ω+1) )
となってHoward ordinalよりも大きい順序数を作ることができます。
しかし、この方法だとA(Ω),A(B(ω_2)),A(B(C(ω_3))),A(B(C(D(ω_4)))),………
という列の極限順序数が限界で、以降のうまい定義がなかなか難しいのですが・・・
- 201 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 00:29:34
- 順序数の表記についてのサイト↓(英語)
http:///web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
- 202 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 02:23:36
- 英語版Wikipediaには、ψの拡張法の方針も載っていたので、それを定義してみました。
ψ_α(β)は、0に対して加法、Veblen関数、ψを繰り返し適用しても
作ることのできない、濃度がω_α(α番目の無限基数)の最小の順序数である。
ただし、ψの添字として用いる順序数を除いては、ψはβより小さい順序数にのみ適用する。
最後の行では、例えばψ_[ψ_0(1)](0)=ψ_[ψ_0(1)](1)<ψ_[ψ_0(1)](2)のような
不自然なことを起こさないために、添字ではψを自由に使えるようにしてあります。
濃度に関しては、次の性質だけ理解しておけば十分だと思います。
ω以上の順序数には、濃度として一つの無限基数が対応する。
可算順序数の濃度は、ω(=ω_0)である。
α<βならば、濃度ω_αの順序数<濃度ω_βの順序数である。
濃度ω_α以下の順序数の収束列は、濃度ω_α以下の順序数に収束する。
最後の行は、「以下」であって「未満」ではありません。
例えば、ω_nはω_ω未満の順序数の収束列ですが、ω_ωに収束します。
添字付きψで定義される最大の非可算順序数はω_ω_…_0の極限です。
この順序数を仮にΨと書くことにすると、
添字付きψで定義される最大の可算順序数は、ψ_0(Ψ)となります。
- 203 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 02:24:11
- 収束列の定義は、以下のようになるはずです。
α=ψ_0(0)のとき、α_0=φ_0(0), α_(n+1)=φ_(α_n)(0)
α=ψ_β(0)のとき、α=ω_βであり、
βに収束列があるときはα_n=ω_(β_n)となる。
α=ψ_β(γ+1)のとき、α_0=ψ_β(γ)+1, α_(n+1)=φ_(α_n)(0)
α=ψ_β(γ)(γは収束列の定義された順序数)のとき、α_n=ψ_β(γ_n)
α=ψ_β(γ)(γは収束列の定義されていない非可算順序数)のときは、
以下の手順で収束列を定める。
まず、γに注目する。
注目する順序数がψ_[δ+1](0)の形になるまで、以下の手順を繰り返す。
注目する順序数が和のときは、一番右の項に注目する。
注目する順序数がφ_ε(ζ)の形のときは、以下のようにする。
ζ=0のときは、εに注目する。
ζ=ζ'+1のときは、ζをφ_ε(ζ')+1に置き換えてからεに注目する。
その他のときは、ζに注目する。
注目する順序数がψ_ε(0)の形のときは、εに注目する。
γの、注目するψ_[δ+1](0)をxで置き換えた関数をf(x)とする。
α'_0=0, α'_(n+1)=ψ_δ(f(α'_n))とし、
収束列はα_0=0,
α_(n+1)=ψ_β(f(α'_n))とする。
(つまり、最後だけはψ_βを適用し、それ以外はψ_δを適用する)
Ψ_0=0,
Ψ_(n+1)=Ψ_[Ψ_n](0)
Hardy functionや、上記の順序数の計算のできるプログラムをRubyで作ってみました。
Rubyはttp://arton.hp.infoseek.co.jp/indexj.htmlからインストールしてください。
ttp://www.uploda.net/cgi/uploader4/index.php?file_id=0000009755.lzh
解凍するとLarge_number.rbというファイルがあるので、
これをメモ帳などで開くと初めの方に使い方が書いてあります。
- 204 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 21:15:13
- >>203
GJ!ありがたく使わせていただきます。
- 205 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 22:53:49
- この前のプログラムはまだバグが残っていたので、修正しました。
ttp://www.uploda.net/cgi/uploader4/index.php?file_id=0000009781.lzh
- 206 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 20:17:08
- プログラムは細かくみると、正確に計算してないところもあります。
たとえば、ω^φ_1(0)=ω^ε_0=ε_0=φ_1(0)ですが、
F[ω^φ_1(0)](2)とF[φ_1(0)](2)は違う結果になります。
また、>>190の定義からすればψ(ψ(Ω+2))=ψ(Ω)<ψ(Ω+1)ですが、
F[ψ(ψ(Ω+2))](2)>F[ψ(Ω+1)](2)となってしまうはずです。
ただ、普通に使う分には問題はないと思います。
- 207 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 21:15:56
- >206
>>130-131
- 208 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 23:09:45
- 206も、130-131も、プログラムを書いたのも、全部私なので、
>>130-131みたいに収束列の異なる順序数は別物という見方をすれば
前者は問題ないのは分かってます。
後者に関しては、>>190での定義によるψと、
>>195の収束列から定義されるψが全く同じではないのが原因です。
数学的に厳密に言うのならば、Hardy functionに使っているものは
極限順序数ではなく、「収束列」です。ここでいう「収束列」は、
”自然数か「収束列」の列”として再帰的に定義できます。
ただ、「収束列」は列の収束先の極限順序数と対応づけることができ、
順序数の大小とHardy
functionの増加度の大小には関連性があるので、
極限順序数と「収束列」を普段は同一視しているわけです。
でも、極限順序数と「収束列」は違うものであるため、>>206の前者のような問題が生じます。
>>131で「極限順序数と収束列は一対一に対応する」と言ってしまったのは不正確で、
極限順序数と「収束列」は一対多に対応します。
「収束列」と一対一に対応する(正確には「一対一対応させている」)のは、「極限順序数の表記」です。
>>205のプログラムが計算しているのは順序数ではなく、「収束列」です。
>>206で「プログラムが正確に計算してない」といったのも不正確ですね。
不正確だったのは定義の方であって、プログラムの計算が不正確なわけではありません。
- 209 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 02:30:22
- 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
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- 210 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 02:40:11
- この極めて小さい数に何か意味があるのだろうか。。。。。
- 211 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 03:10:09
- =(ω^Ω)^Ω^Ω=ω^(Ω*Ω^Ω)=(^o^)=ω^(ω^Ω)^Ω
=ω(=´ω`=)^ω^(Ω*Ω)=(^ω^)(^ω^)(^ω^)(o^Ω^o)=ω^ω^ω^ ^^ ^^
- 212 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 18:39:05
- 073
- 213 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 17:23:52
- いよいよ明日ですね
- 214 :132人目の素数さん:2007/02/10(土) 01:37:03
- 本当にやるの
- 215 :もやしっ子:2007/02/10(土) 09:17:59
- えーと、グレートに人が集まらないので次回に仕切り直そうかと思ってます。
ちゃんと準備して。
- 216 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2
:2007/02/10(土) 20:05:54
- 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。
- 217 :五劫の擦り切れ:2007/02/11(日) 02:56:43
- ちょいと質問。
「グラハム数」のグラハム博士って、電話発明したグラハム・ベルと親戚?
ゼミ後に検索してみたら「秋山仁」やら「ベル研究所」がヒットしますが…
- 218 :132人目の素数さん:2007/02/11(日) 08:03:49
- ロナルド L. グレアムとアレクサンダー・グレアム・ベルか。
別にしんせきじゃねえんじゃね。
- 219 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 07:05:12
- Ronald Grahamはピーター・フランクルの友人で
AMSの会長をやってたこともある人。
秋山仁と日本語の離散数学の入門書も出してるね。
時代が全然違うからあまり「親戚」とは言わないんじゃないかなあ。
Ronald
Lewis Graham (born October 31, 1935)
Alexander Graham Bell ( March 3, 1847
? August 2, 1922 )
http:///en.wikipedia.org/wiki/Ronald_Graham
http:///en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Graham_Bell
http:///ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%8F%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%99%E3%83%AB
たぶん親戚関係は無いんじゃないの。日本の田中さんとかと同じで。
- 220 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 16:58:37
- ωやΩの固まりからどうやって自然数にするのかが気になるな....
- 221 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 16:59:15
- sage忘れスマソ
- 222 :132人目の素数さん:2007/02/23(金) 15:22:03
- オフと聞いてやってきました
- 223 :132人目の素数さん:2007/03/05(月) 17:53:04
- 保守しておく
- 224 :132人目の素数さん:2007/03/11(日) 18:19:18
- age
- 225 :132人目の素数さん:2007/03/18(日) 12:56:59
- age
- 226 :132人目の素数さん:2007/03/28(水) 23:37:18
- ひさしぶりにのぞいてみたが、
大して進展はないのかな?
今のところチャンピオンは前スレの >>863 か。
- 227 :132人目の素数さん:2007/03/29(木) 02:16:03
- これかな?File not foundになるのが惜しいところ。
863 :通りすがり:2006/08/29(火) 21:34:51
>>440-441 をちゃんと書いてみた。
チューリングマシンのままじゃ扱いにくいので、
今のコンピューター風命令にした。
ついでに拡張も。
http:///free.gikoneko.net/up/source/up124719.txt
- 228 :132人目の素数さん:2007/03/29(木) 02:31:01
- ついでに440-441もコピー
440 :通りすがり:2006/03/09(木) 18:27:05
●STEP0
比較的単純なマシンモデル(チューリングマシン)を定義することで、
どのような帰納的定義の関数よりも早く増大する関数、ビジービーバー関数が定義出来た。
ビジービーバー関数は「どのような帰納的定義の関数よりも早く増大する関数」の中ではほとんどMINの関数である。
BBに帰納的拡張をしていくことである程度大きくすることは可能。、
(BB^n(2)やBBのふぃっしゅ数的拡張など)
●STEP1
チューリングマシンにビジービーバーの値を返す動作を追加したマシンを考えてみる。
厳密にはたとえば、
各ステートの動作定義に1ビット加え、このビットが立っていたら
BB(テープ上のヘッド位置から右に続く1の数)個の1をヘッドの右側に書き込むという動作で良い。
このマシンnステートでセット可能な1の数の最大をBB2(n)とすると、
この関数はビジービーバー関数に通常の多重帰納的定義を用いて拡張したどんな関数よりも早く増加する。
(BBのふぃっしゅ数的拡張もBB2に及ばない)
一般に、
『チューリングマシン+関数f』のマシンnステートで
セット可能な1の数の最大をBB「f」(n)とする。
BB「f」 は、fに通常の多重帰納的定義を用いて拡張したどんな関数よりも早く増加する。
BB「恒等変換」 = ビジービーバーであり、
BB「ビジービーバー」 が上の BB2 である。
BB「f」の「」の中に関数を入れることで新たな関数ができ、
帰納的定義の関数のように帰納的にBB「f」の定義が可能である。
- 229 :132人目の素数さん:2007/03/29(木) 02:31:38
- 441 :132人目の素数さん:2006/03/09(木) 18:28:15
●STEP2
STEP1の方法でマシンの帰納的定義を行っていけば大きい関数が作成できるが、
この方法にも限界がある。
この限界を超える為にはチューリングマシンに以下のような機能追加が必要である。
1.自然数から自然数への関数をテープに読み書きできる(可算無限のデータ量)
2.テープに関数の初期値(恒等関数で良い)をセット出来る
3.関数fからBB「f」をつくることが出来る
4.関数の値を返せる
といった感じであろうか。
(厳密な定義は他の人に任せる)
このようなマシンnステートで表現できる最大の数をCC(n)とする。
これはいわば「STEP1の帰納的拡張をn文字以内で一番効率よく行った場合の数」
のようなものであり、CC(n)はBB「」のどんな帰納的拡張よりも早く増大する。
●STEP3
さらなる拡張はやはりマシン自体を定義できるようなマシンということになるだろう。
矛盾がおこらないような定義で最良のものはどんな感じになるのかな?
- 230 :通りすがり:2007/04/06(金) 23:12:40
- 停止問題を解くことが出来るマシンを考えればずっと大きな数を作ることが出来る。
あるチューリング完全マシンをMachine[0],
Macihne[0]のn命令のプログラムで表現可能な最大の数をM[0](n)とすると、
M[0](n) ≒ BB(n)
Machine[0] の停止問題を解く命令をhalt[1],
Machine[0] に halt[1] の命令を追加したマシンを
Machine[1],
Macihne[1]のn命令のプログラムで表現可能な最大の数をM[1](n)とすると、
M[1](n) は 前スレ
>>863 の mm(n) を大きく超える。
Machine[a]のn命令のプログラムで表現可能な最大の数をM[a](n)
Machine[a]
の停止問題を解く命令をhalt[a+1]
Machine[a] に halt[a+1] の命令を追加したマシンを M[a+1]
としてM[a]を定義することが出来る。
halt[a] を 「b<a となるすべてのマシン Machine[b]
の停止問題を解く命令」としても同じであり、
この定義にすると、a を順序集合に拡張できるようになる。
M[ω](n), M[ω^ω](n),
M[Γ_0](n) などが定義できる。
- 231 :132人目の素数さん:2007/04/08(日) 14:42:10
- >>230
> 前スレ >>863 の mm(n) を大きく超える
前スレ >>863 のプログラムが見えないので、どこかにアップしてもらえますか。
- 232 :通りすがり:2007/04/09(月) 20:13:01
- >>231
http:///2ch-library.com/uploader/src/2ch6734.txt
>>230 は検証せずにイメージで書いちゃったけど、
> M[1](n) は 前スレ >>863 の mm(n) を大きく超える。
これは嘘でした。
- 233 :132人目の素数さん:2007/04/09(月) 22:59:54
- >>232
サンクス。念のため、魚拓で保存しておきました。
http:///symy.jp/?eblK
- 234 :132人目の素数さん:2007/04/16(月) 10:16:05
- かなり改善された模様
- 235 :132人目の素数さん:2007/04/16(月) 19:04:01
- それって計算可能なの?
- 236 :132人目の素数さん:2007/04/16(月) 20:12:35
- チューリングマシンでは計算不可能なんじゃね
- 237 :132人目の素数さん:2007/04/16(月) 21:43:33
- Ackerman関数より急に増加するような関数は
たいてい計算不可能なんじゃないかな
- 238 :132人目の素数さん:2007/04/16(月) 21:44:32
- 何言ってるんだ俺w
- 239 :132人目の素数さん:2007/04/17(火) 17:11:54
- ( ^ω^)
- 240 :132人目の素数さん:2007/04/23(月) 22:12:22
- 数学は加減乗除くらいしか判らないんですが、物や人の歴史には非常に強い
興味があるので、このスレは10文字で云々って頃から見てました
プロジェクトX風ナレーションで、マジ泣きしたこともありました
で、ふと思ったんですが、現在20文字部門最強の
>f(n):=nに階乗をn回
>f^9!(9)
と、
グラハム数をグラハム数!回階乗
では、どちらが大きいんでしょうか?
表記のルールに反するので対象外だとは思いますが、私の知識だと「f(n)」
ってのが既に何なのか判らないので、比較ができません
どなたか教えて頂けませんでしょうか?
また、「グラハム数」の表記が認められた場合、どのような表記が最大になる
のでしょうか?
- 241 :132人目の素数さん:2007/04/24(火) 05:02:59
- 20文字部門最強よりグラハム数の方が大きいんじゃないか?
グラハム数!回階乗なんかしなくても。
- 242 :132人目の素数さん:2007/04/25(水) 07:32:47
- >>241
ありがとうございます
意外と小さいんですね
って、それだけグラハム数が大きいってことで、そんなのもミクロの世界に追いやる
ふぃっしゅ数が偉大だってことなんでしょうけど
- 243 :132人目の素数さん:2007/04/25(水) 16:53:39
- 数に偉大も何も無いと思うけどなー。
あ、でも数を擬人化すればこそこんなバトル風になったのか。
- 244 :132人目の素数さん:2007/04/25(水) 19:23:30
- フィッシュ数たん( ;´Д`)ハァハァ
こうですか? わかりません><
- 245 :132人目の素数さん:2007/04/25(水) 19:52:37
- >>243
です
基本的な数学の概念自体判ってないので、自分なりに理解する為に
脳内で物語とかを展開しながらROMってます
何スレか前、RPG風にスレの流れを書きましたが、あんな感じです
ふぃっしゅ数は打たれても打たれても立ち上がってくる、ジャンプ系の
主人公って感じでしょうかね
戦隊組んだら、ふぃっしゅ数は間違いなく赤だと思います
- 246 :132人目の素数さん:2007/04/25(水) 22:18:17
- ふぃっしゅ数なんて力技で作った数なんかどうでも良い。
- 247 :132人目の素数さん:2007/04/26(木) 07:57:00
- いくら作ってもミクロなところを出られないてのが凄いな。
探索は限りないんだろうか。なんかの構造的なシフトでもどっかにあるんだろうか。
- 248 :132人目の素数さん:2007/04/27(金) 21:00:38
- 誰か20文字最強をチェーンとかタワーで評価して頂けないでしょうか。
- 249 :132人目の素数さん:2007/04/27(金) 21:36:18
- 9999999999→999999999
か
9999→9999→9999→99999
か
999→999→999→999→9999
か
99→99→99→99→99→99→99
か
9→9→9→9→9→9→9→9→9→99
のどれかじゃないかと思うんですけど、>>240なので比較できません(;´Д`)
- 250 :132人目の素数さん:2007/04/27(金) 21:43:26
- →の定義が無いと自然数を定義したとは言えない
- 251 :132人目の素数さん:2007/04/27(金) 22:51:41
- >249
一番上以外は全部グラハム数より遥かにデカイ
当然のごとく一番下が最大だろう
- 252 :132人目の素数さん:2007/04/29(日) 02:00:13
- >>248
文字の規定はどうするんだ?
ある記号に意味をいくらこめても良いんじゃ意味ないし。
- 253 :132人目の素数さん:2007/04/29(日) 06:35:28
- チェーン表記の矢印を定義するには、タワー表記の矢印も定義しなきゃ
ならないんですね
数字2つなら「a→b=a^b」でいいけど、3つ以上になると定義の説明だけで
20文字超えそう
- 254 :132人目の素数さん:2007/05/02(水) 22:33:26
- >>248 の意味をだれも理解してないところが数学板クオリティー
- 255 :132人目の素数さん:2007/05/02(水) 22:58:18
- >>248
9↑↑↑(9!) < 「20文字最強」 < 9↑↑↑(9!+2) < 2↑↑↑↑3 =
2→3→4
- 256 :132人目の素数さん:2007/05/02(水) 23:59:59
- >>254
証明付けてやったろうかと思ったら思いのほかめんどかったし、
その間に別のレスがついたし。
まぁこの程度の比較してるだけなら証明なんて不要なんだろうと思ったし。
- 257 :132人目の素数さん:2007/05/03(木) 07:38:11
- http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/game.html
20文字部門は f^9! と括弧なし
30文字部門は f^(99!) と括弧あり
な理由がわからん。
- 258 :132人目の素数さん:2007/05/03(木) 20:08:43
- F[ψ(Γ_(Ω+1))](グラハム数) < BB(120)
- 259 :132人目の素数さん:2007/05/04(金) 23:20:50
- >>254
理解してるだろう・・・。
- 260 :132人目の素数さん:2007/05/10(木) 22:10:08
- >>257
ただ単にn文字で大きな数では曖昧なため、
C++言語を使ったルールを考えてみました。
C++言語のnトークン(n語)で大きな数をつくるというものです。
int
main();
がどれだけ大きな整数を返すか競います。
----------ルール-----------
int
型は無限長符号付整数とします。
数値(即値)は十進表記のみであらわしますが、
数値だけは例外として桁数をトークン数に数えます。
(コメントや空白はカウントしません)
以下のような、処理系に依存するコードはNGとします。
引数の評価順に依存するコード、
不定値参照、
sizeof 演算子、
ポインター <=> 0以外の整数値 のキャスト
など
プリプロセッサの使用、ライブラリの使用は不可
- 261 :132人目の素数さん:2007/05/10(木) 22:12:08
- // 10 word
int main(){
return 99;
}
// 20 word
int main(){
return 9<<(9<<(9<<99));
}
// 30 word
int main(){
int a = 99, b = a<<a;
while
(b--)
a <<= a;
return a;
}
// 40 word
int
main(){
int a = 9<<9, b, c = a;
while (b = a, c--)
while
(b--)
a <<= a;
return a;
}
- 262 :132人目の素数さん:2007/05/10(木) 22:12:53
- // 50 word
int func(int a, int b){
return
a ?
b ?
func( a-1, func(a, --b) )
: a
: ++b;
}
int main(){
return func(9,9);
}
- 263 :132人目の素数さん:2007/05/10(木) 22:17:02
- // 返す値: アッカーマン関数
// 定義域: a >= 0, b >= 0
// サイズ: 42
int
Ackermann(int a, int b){
return
a ?
b ? Ackermann( a-1,
Ackermann(a, --b) )
: Ackermann(--a, 1)
: ++b;
}
//
返す値: クヌースの矢印表記 a ^^...^^ b (^ がc個)
// 定義域: a >= 1, b >= 0, c >= 0
// サイズ: 44
int Knuth(int a, int b, int c){
return
c ?
b ? Knuth( a, Knuth(a, --b, c), c-1 )
: 1
: a * b;
}
- 264 :132人目の素数さん:2007/05/10(木) 22:17:35
- // 返す値: コンウェイのチェーン表記 p[0] → p[1] → ... → p[s-1]
// 定義域: s >= 1,
p[i] >= 1
int Conway(int s, int *p){
int i = s, int *q = new
int[s];
while (i--)
q[i] = p[i];
if (s == 1)
return
p[0];
if (p[s-1] == 1)
return Conway(s-1, p);
if (s ==
2){
q[1] --;
return b[0] * Conway(s, q);
}
if
(p[s-2] == 1)
return Conway(s-2, p);
q[s-2] --;
q[s-2] =
Conway(s, q);
q[s-1] --;
return Conway(s, q);
}
- 265 :132人目の素数さん:2007/05/11(金) 22:48:13
- H[Γ_0](99) のソース
http:///2ch-library.com/uploader/src/2ch6803.cpp
- 266 :132人目の素数さん:2007/05/16(水) 20:59:14
- >>190-203 を参考にして、
>>205 に定義されているΨ(ψの極限)を使って、
hardy[ψ(0, Ψ)](99)
を返す関数を作ってみました。
http:///2ch-library.com/uploader/src/2ch6886.cpp
- 267 :132人目の素数さん:2007/05/16(水) 21:08:19
- >>266 のように、ある言語を用いて大きな可算順序数を作ることを考える。
n文字(またはn単語、nトークンなど) で表せる最大の可算順序数を
o(n) とした場合、この極限 lim o は可算なのだろうか?
可算だとすると、
帰納的定義では到達できないほど大きな可算順序数が存在することになる。
非可算(つまりΩ)になるとすると、
可算順序数の列で、極限が非加算になるものが存在することになる。
- 268 :132人目の素数さん:2007/05/16(水) 21:28:35
- ω_1のcofinalityはω_1だから、可算順序数の可算列ではω_1にはならないんじゃないか?
- 269 :132人目の素数さん:2007/05/16(水) 22:08:40
- cofinalityというのは知りませんが、
> 可算順序数の可算列ではω_1にはならないんじゃないか?
ということは、
帰納的定義では到達できない最小の順序数を☆_0とし、
☆_0と帰納的定義では到達できない最小の順序数を☆_1とし、
....
☆_n の極限を☆_ω とし、
....
☆_☆_...._☆_☆_0 を ★_0 とし、
....
とか定義できるのかな?
- 270 :132人目の素数さん:2007/05/17(木) 09:11:32
- cofinalityってのは共終数と言って、順序数論ではかなり
基本的な概念だから、順序数を使って急増加函数を作りたいなら
勉強したほうが良いよ。無理にとは言わないけどね。
n文字を用いて或る数を表す、とかいうときの文字数は
Peano算術なりZFCなりの論理式の文字数と考えれば良いだろう。
μxP(x)と表したときのPでも良いだろうし。
Pに量化記号が無制限に入っていいことにすると、
急増化函数の存在がZFCから独立、
なんてことが起こるから基礎論に詳しくないとどう考えていいか分からなくなるけど。
- 271 :132人目の素数さん:2007/05/17(木) 23:48:47
- >>270
わざわざどうも。
私は基礎論も順序数論も集合論も詳しくないので、先は長そう。
帰納的定義によりたどり着ける順序数は、
言語によらず同じで、
☆_0 も1個に定まると楽観的には思いますが、
いかがでしょうか。
H[☆_0](n) は計算不可能(アルゴリズム存在せず)なので、
結局BB(n)と実質同じになります。
●このスレで出た最大
順序数、基数、濃度: Ψ
可算順序数: ★_0
帰納的定義の可算順序数: ψ(Ψ)
関数: >>230
帰納的定義の関数: H[ψ(Ψ)](n)
- 272 :132人目の素数さん:2007/05/18(金) 19:13:44
- >>266
保存しておきました。
http:///symy.jp/?C1vg
- 273 :132人目の素数さん:2007/05/19(土) 14:14:25
- recursiveでない最小の順序数はω_1^CKという(Church-Kleene順序数)
- 274 :132人目の素数さん:2007/05/19(土) 23:56:47
- >>273
もう既に名前がついてるんですか。
>>202では、
ψ_α(0) を、濃度がω_αである最小の順序数としていますが、
ψ_α(0) = ☆_α としてもまったく同じように各順序数の収束列を定義でき、
>>203 や >>266 のプログラムもまったくかわらず、
H[ψ(Ψ)](n) の値もまったく同一になりますね。
(この場合、Ψ=★_0)
さらにψ_α(0)を小さく定義することもできそうです。
(つまり帰納的定義の範囲内)
こう考えると、
はじめは H[ψ(Ψ)](n) の定義には巨大な基数が現れるので、
H[Γ_0](n)
に比べて革命的に大きくなっているように見えたんですが、
だんだんと普通の拡張に見えてきました。
プログラムも2倍程度に増えただけですし。
- 275 :132人目の素数さん:2007/06/17(日) 15:05:45
- あげ
- 276 :132人目の素数さん:2007/06/19(火) 23:08:35
- 関数の大小の比べ方なんですが、以下のようなことを考えてみました。
任意の自然数cに対しある数nが存在しn<xならばf^c(x)<g(x)が成り立つならばgはfより本質的に大きい。
というアイディアはどうでしょうか。既出かもしれませんが。
- 277 :132人目の素数さん:2007/06/22(金) 12:35:51
- >>276
g = f^x(x) と定義すれば、gはfよりも本質的に大きくなるね。
通常の関数であれば十分に本質的に大きい、と言えるだろうけど、
たとえば>>230のような関数に対してこのような拡張をしたところで、
本質的に大きいとは言えないかも。
- 278 :132人目の素数さん:2007/06/25(月) 22:27:46
- http:///web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
ここにある「C」は、「An Ordinal Notation」の段階で
>>202 の添字つきψと同じ順序数まで表せる模様。
さらに、
「A Stronger
Ordinal Notation」
「Second Order Arithmetic」
「Beyond Second Order
Arithmetic」
と続くので、相当巨大な順序数が作れそう。
- 279 :276:2007/06/26(火) 22:59:19
- >>277
276ですが、どうもこの方法は原始帰納関数?では上手く機能すると思うのですが、
それ以上となると駄目なような気がなんとなくしてきました。
- 280 :132人目の素数さん:2007/06/26(火) 23:49:45
- >>276
計算可能な関数に関しては、
Hardy Function
を用いて、F[順序数](n) という形に近似して順序数の大小で比較。
Hardy Function を本質的に超える関数が出てくるまでは、
これで大小比較が可能。
(順序数が本質的に大きいかどうかという問題になる)
---例---
Knuthの上矢印
3(↑^n)3 ≒ F[ω](n)
n個のnからなるConwayのチェーン ≒ F[ω^2](n)
↑n (3,3,3) ≒
F[ω^3](n)
Ak(n, 3) = ≒ F[ω](n)
Ak を多変数に拡張、Ak(n個のn) ≒ F[ω^ω](n)
Ak
を2重リストに拡張、Ak([n個のn], [n]) ≒ F[ω^ω^ω](n)
Ak を多重リストに拡張、Ak(n重リスト) ≒ F[ε_0](n)
ちなみに、g = f^x(x) とするのは、F[順序数](n) の順序数に1を加えるのと同じ効果。
----
計算不可能なものも含めた場合には、
ある程度小さなものは、
>>230 の形に近似して順序数の大小で比較すれば良いが、
順序数をマシンで生成させ、これを引数とするHALT[順序数] 命令にすると、
M[順序数](n)
よりも大きくなるため、順序数での比較は不可になる。
- 281 :たろう:2007/06/27(水) 23:00:18
- >>260 のルールで作ってみました。
http:///up.spawn.jp/file/up29497.txt.html
F[ω^3] までゆっくりで、一気に F[φ_ω(0)] まで飛んでます。
F[ω^4], F[ω^ω], F[ε_0]
なども作ってみたけど、
F[φ_ω(0)] より大きくなってしまいました。
順序数を使う2個は >>278 の C を参考にしてます。
「An Ordinal
Notation」より手前の段階のを多変数にしてます。
veblen関数を普通に多変数にしたものよりは効率がよさそうです。
(+
の定義まで含まれているのと、収束がちょっと簡単)
いずれは
「An Ordinal Notation」や「Beyond Second
Order Arithmetic」、
「An Ordinal Notation」から「Beyond Second Order
Arithmetic」を順序数回繰り返したもの
など、より大きなものを作る予定。
あと、>>280 にある、
アッカーマンの拡張で F[ε_0] やその先まで到達する方法をまとめました。
http:///up.spawn.jp/file/up29500.txt.html
- 282 :たろう:2007/06/30(土) 05:40:21
- ----BB以上の関数----
M[順序数](n) の関数を作るには、
>>233 の基本命令に
test ** という命令を加えればよい。
これは、ラベル
** へジャンプした場合に halt で停止する場合はポインタ位置を1にセット、
無限ループする場合はポインタ位置に0をセットする命令。
この命令は引数として順序数を取る。
ジャンプ先に、引数以上の test ** 命令が出現する場合には停止問題は解決できない為、
ジャンプ先で、halt より前に、引数以上の test ** 命令が出現する場合は halt と同じ動作をする。
引数の順序数の与え方は、
たとえばM[ω](n)を定義するマシンの場合には、
ポインタ位置から1が続く個数を数え、これを引数nとする。
M[C(a, b, c) の極限](n) を定義するマシンの場合は、
...(Cは>>278のもの)
順序数を 0 , C ( ) の5個の文字で表し、
0 には 1 を、
, には 11 を、
C( には 111 を、
) には 1111 を、
割り振り、
文字の境目を 0
としてエンコードしたものを引数とすればよい。
たとえば、ポインタ位置から 111 0 1 0 11 0 1 0 11 0 1 0 1111
となっている場合は
引数は C(0,0,0) と解釈する。
※ C(a, b, c) は0とCのみでCの極限未満のすべての順序数を表現可能
- 283 :132人目の素数さん:2007/06/30(土) 05:55:11
- すべての帰納的順序数を引数に取れる test ** 命令は、
>>233 のようなマシンでは定義が非常に複雑になるが、
C++
のような高級言語なら出来そうである。
>>266 のように、ordinalを、0 から始めて再帰的に、
1個前の順序数を使って定義する
収束列を使って定義する
としていけばすべての帰納的順序数を表現できる。
これを引数にとるような test ** 命令を持つマシンでの
n命令での最大のステップ数が M[帰納的でない最小の順序数](n) である。
(>>269 でいう ☆_0)
さらに、☆_a をあらかじめ定義しておくことで、
M[★_0](n), M[☆_2](n) なども定義できる。
ただ、このようなルールはマシンを定義する段階で必要であるので、
すべての順序数を定義できるわけでなく、
いままで人間が到達出来ていない最小の順序数
のようなものに対してマシンを定義できない。
たとえば、M[Ω](n) なんかは、可算順序数がすべて表現可能な
方法が見つかってから始めて定義できる。...つまり定義できない。
- 284 :132人目の素数さん:2007/06/30(土) 06:07:41
- ということで、
>>280 の後半「順序数の比較は不可になる」というのは嘘で、
M[順序数](n)
として大小比較が出来そう。
----
☆_0 の収束列を、
C++ n語で表現できる最大の帰納的順序数
とすれば、
F[☆_0](n) が定義できる。
「C++ n語で表現できる最大の帰納的順序数」を求めるアルゴリズムは存在しないため、
これは
BB と同程度の大きさとなる。
F[帰納的順序数](n) はすべて計算可能であり、
すべての計算可能な関数は、F[ある帰納的順序数](n)
で押さえられる。
M[0](n) ≒ F[☆_0](n) であり、
M[1](n) ≒ F[☆_1](n) であり、
おそらく、M[a](n) ≒ F[☆_a](n) といえる。
- 285 :もやしっ子:2007/07/05(木) 03:42:16
- こんにちは。見てます。何とか見てます。
さっぱりです。
何とかします。
- 286 :132人目の素数さん:2007/07/06(金) 18:18:38
- http:///www.polytope.net/hedrondude/scrapers.htm
ここに載ってるのとふぃっしゅ数だったらどっちがでかいのか?
表記法の説明(英語)
http:///www.polytope.net/hedrondude/array.htm
- 287 :たろう:2007/07/06(金) 21:49:47
- ふぃっしゅ数の定義はこれ?
http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln023.html
S変換がハーディー関数の順序数にωを足す位の変換。
つまり、F[a](n)にS変換を行うとF[a+ω](n)になる位。
SS変換はω^2を足すのと同等、
SSS変換はω^3を足すのと同等、
....
S^i変換はω^iを足すのと同等、
--------
(S^n変換)f(n) ≒ F[a+ω^ω](n)
最初の関数にアッカーマンを使っているが、
f(x) = x+1 としても大差なし。どちらもF[ω^ω](n)程度となる。
>>281の多変数#と同程度。
- 288 :たろう:2007/07/06(金) 21:53:01
- >>286 のほうは、定義が複雑でよくわからないが、
Extended Operators
の下の方の4変数の段階で F[ω^2](n) 程度。
- 289 :たろう:2007/07/06(金) 22:14:29
- http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln051.html
こちらの >>10 にバージョン5の記述がありましたね。
m(2)
がハーディー関数の順序数に1を加えるのと同等、
m(3)m(2) がハーディー関数の順序数にωを加えるのと同等、
m(4)m(3)m(2)
がハーディー関数の順序数にω^2を加えるのと同等、
....
f5(n) ≒ F[ω^ω](n)
となり、古いバージョンとほぼ同じとなるようです。
- 290 :132人目の素数さん:2007/07/06(金) 22:19:59
- ふむう。だいぶ研究が進んでるようですね。
いよいよこのスレの終焉も近い?
- 291 :たろう:2007/07/06(金) 22:41:10
- あ、ちょっと解釈を間違ってたかもです。
>>289は取り消し。
- 292 :たろう:2007/07/06(金) 22:49:37
- ふぃっしゅ数バージョン5の大きさ(訂正)
m(2) がハーディー関数の順序数に1を加えるのと同等、
m(3)m(2)
がハーディー関数の順序数にωを加えるのと同等、
m(4)m(3)m(2) がハーディー関数の順序数にω^ωを加えるのと同等、
m(5)m(4)m(3)m(2) がハーディー関数の順序数にω^ω^ωを加えるのと同等、
....
f5(n) ≒
F[ε_0](n)
- 293 :132人目の素数さん:2007/07/07(土) 21:41:33
- ブーンが沢山いるスレだな…
- 294 :132人目の素数さん:2007/07/10(火) 09:20:52
- てすと
- 295 :132人目の素数さん:2007/07/31(火) 13:41:18
- 保守
- 296 :132人目の素数さん:2007/08/02(木) 02:56:33
- 無限大が無限大にある、という言い方もできますが、この場合は
無限大を超えることになる。
無限大×∞
∞^∞
∞^∞^∞ とかぎりなく増やせるということは、
さらに、上数があるということだろうか?
- 297 :感覚的限界:2007/08/02(木) 16:38:09
- >296
∞ = 1+1+1+…
として
2∞ = (1+1+1+…)+(1+1+1+…)
=
1+1+1+1+1+1+…
としてしまうと∞と変わらなくね?となるので
「1が無限個ある」はまだいいけど「1が2∞個ある」は禁止。
きちんと掛け算を定義しないといけなくてそれをやってるのが順序数。
で
「∞に^∞を無限個つなげる」から先はどうすればいいんでしょうね。
- 298 :132人目の素数さん:2007/08/02(木) 17:37:18
- アレフ0とアレフ1じゃないのか?
- 299 :132人目の素数さん:2007/08/03(金) 23:40:15
- 順序数のことじゃないのか?
∞ ==> ω
- 300 :132人目の素数さん:2007/08/04(土) 17:29:01
- とりあえず有志が整理しないとω?SS変換???てことになるぞ
- 301 :132人目の素数さん:2007/08/05(日) 00:41:21
- ωは「最小の超限順序数」だから
ω+1とか定義できるしなあ。
>>297の言いたいこととはちょっと噛み合ってないんじゃないかと思われ
- 302 :132人目の素数さん:2007/08/09(木) 15:55:06
- 私のExploding Array Functionは私が数年前に開発した様々なアレイ記法の一般化された
フォームです、(直線的)のアレイ記法や、広げられて(次元)のアレイ記法や、いくつかの
変更があるtetrationalアレイ記法などのように。 元々、様々なアレイ記法には、いくつ
かの規則がありました--直線的のための5、広げる、私がtetrationalであっ、それでも、
今それを解決しようとして、3つの規則しかなくて、すべてのアレイの世話をするtetrati
onalアレイのずっとも先の7。
--------------------------------------------------------------------------------
どのように、それ、Started
数年間、私は数多く興味を持っています、数個のために名前を鋳造しさえするまで私の
「「不-ライオン」番号」ページを参照してください。 ある日(およそ20年前)、私は強国を
超えたオペレータ、tetrationなどのオペレータ、pentation、hexationなどについて議論し
たものを本(名前を覚えていない)に読み込みます。 これによって、私は次元スペース(私が
現在呼ぶ空間、最高の次元の、そして、trimensionalなquadramentionalなど)を超えた極端
な空間と同様により極端な数を調査したくなりました。 時間が経ったように、私はその本の
見られるオペレータにextentionを開発し始めました、私が拡張オペレータに言及するつもり
であるこれら。
その後、AckermannのFunctionやコンウェイのChained Arrow Notationなど
の知られている大きい数の機能を調べた後に、私はこれらのよく知られている機能と拡張オ
ペレータを比べることができました。
オペレータのはるかに凌がれたAckermannのFunctionを
広げて、実際にコンウェイのChained
Arrowと比較することができました--詳細がないかどうか
M.ロブの大きい数のページでチェックしてください。 その後、私は拡張オペレータを広げる
タスクを引き受けました--私は、後で4つの番号、および次のextentionが5時までに拡張オペ
レータを定義することができると発見しました。 これは私のArray Notationの開発の始まり
です。
- 303 :132人目の素数さん:2007/08/09(木) 19:59:48
- 機械翻訳かけるぐらいなら原文引用しろよ…
- 304 :132人目の素数さん:2007/08/11(土) 22:17:30
- >>302は自分じゃ日本語が話せないんじゃないの?
- 305 :132人目の素数さん:2007/08/12(日) 00:40:16
- なるほど。
>>302
You might wanna post it in English.
- 306 :132人目の素数さん:2007/08/23(木) 20:28:14
- 俺用まとめ。
足し算a+bは1を足すのをb回繰り返す
掛け算a*bはaを足すのをb回繰り返す
階乗a^bはaかけるのをb回繰り返す
タワーa↑↑bはaをb乗するのをb回繰り返す
タワーa↑↑↑bはa↑↑bをb回繰り返す
タワーa↑^nbはa↑(n-1個)bをb回繰り返す
これを改良したのがコンウェイのチェーン表記
アッカーマン関数
原始帰納的でない帰納的関数
ack(0,n)=n+1
ack(1,n)=n+2
ack(2,n)=2*n+3
ack(k,n)はack(k-1,n)と階乗を使って表わせる。
以下、俺の理解
バード数
タワーと、グラハム数を使った関数を用いた数。
ふぃっしゅ数
バージョン1のS変換は↑^nのこと
その次のS変換(SS変換?)は↑の代わりにアッカーマン関数を使ったもの
それらの変換を使って定義した数
ビジービーバー関数
どんな計算可能な関数よりも増加率の大きい関数。
「じゃあ、俺今まで出た一番でかい関数+1ね。」っていうズルと一緒
ハーディ関数:ω(無限順序数のうち最小のもの)が計算可能でないのでズルに思える。
多分、S変換とバード数の回転だと、初期の値の振る舞いはバード数が勝つ(グラハム数を使っているため)が
基本的にタワーよりはアッカーマン関数のほうが増加率が大きいので
グラハム数を...回適用する程度の差は吸収されて、S変換を使った数のほうが大きくなるように感じる。
- 307 :132人目の素数さん:2007/08/23(木) 22:33:19
- あまたがわるそうなやつのまとめだな。
- 308 :132人目の素数さん:2007/08/23(木) 23:29:33
- とりあえずこのくらいの認識から初めて、ちょっとずつ改めまていけばおk
ぐらいには上手くまとまってる。
- 309 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 01:01:07
- >>306
おかしなところを指摘しておく。
>タワーa↑↑bはaをb乗するのをb回繰り返す
この書き方だと、a↑↑b=((a^b)^b)^b…=a^(b^b)という意味にとれてしまう。
もしかしたら、「aの○乗というのをb回繰り返す」と言いたかったのかもしれないけど。
>ack(k,n)はack(k-1,n)と階乗を使って表わせる。
ack(k,n) =
ack(k-1,ack(k,n-1))だから、階乗を使って表すことはできないだろう。
>「じゃあ、俺今まで出た一番でかい関数+1ね。」っていうズルと一緒
ビジービーバー関数の値は他に依存せずに定義されているから、
そういう他に依存した定義をするズルとは違う。
ただ、「計算可能」でないと、他の「計算可能」でない関数と大小比較をするのも難しいし、
具体的な計算手順が分からなくて面白みに欠けるから、このスレではあまり深く扱われないのだと思う。
(ここでいう「計算可能」とは、簡単にいえば、与えられた引数から関数の値を計算するプログラムが書けるということ。)
>ω(無限順序数のうち最小のもの)が計算可能でないのでズルに思える。
ここで”計算可能でない”と言ってるのは、単にωが「普通の数」ではないという意味だと思う。
ただ、そういう「普通でない数」を使っていても、各順序数に対して定まる関数は「計算可能」であるから、
(例えばH[ω](x)=2xだから、H[ω]は「計算可能」な関数)
ハーディ関数自体はズルではないと言える。
バード数とふぃっしゅ数についてはよく覚えてないので、指摘はしない。
- 310 :たろう:2007/08/24(金) 07:18:44
- バード数の定義はこれ?
http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/ambitious.html
X_1(n) ≒ F[ω^3+1](n)
X_a(n) ≒ F[ω^3+a](n)
X_n(n) ≒ F[ω^3+ω](n)
入れ子操作n回 ≒ [ω^3+ω+1](n)
n回回転チェーン↑n(3,3,3) ≒ F[ω^3](n) だから
ほとんど増えていないことに。
- 311 :たろう:2007/08/24(金) 07:41:23
- 大きさのまとめ
Knuthの上矢印 3(↑^n)3 ≒ F[ω](n)
Ak(n, 3) ≒ F[ω](n)
n個のnからなるConwayのチェーン ≒ F[ω^2](n)
チェーンの回転 ↑n (3,3,3) ≒ F[ω^3](n)
バード数の定義の X_n(a) の入れ子操作n回 ≒ F[ω^3+ω+1](n)
5変数Ak ≒ F[ω^4](n)
多変数Ak
Ak(n個のn) ≒ F[ω^ω](n)
Ak を2重リストに拡張、Ak([n個のn], [n]) ≒ F[ω^ω^ω](n)
ふぃっしゅ数バージョン5のf5(n) ≒ F[ε_0](n)
- 312 :たろう:2007/08/24(金) 07:50:38
- >>309
計算可能でない関数の比較も順序数を用いて出来る。
>>282 付近参照。
- 313 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 22:17:39
- >>309
>この書き方だと、a↑↑b=((a^b)^b)^b…=a^(b^b)という意味にとれてしまう
確かに。補足さんくす。
a^b^cはa^(b^c)だな。
^以降では、交換法則が不成立性なのはすぐわかるんだが、結合法則はどうやって示すんだろ
2+2+2=3+3が成り立つから2*3=3*2
2*2*2=3*3が成り立たないから2^3=3^2じゃない
ackについては、もう少し書くと
ack(3,n)=2^(n+3)-3
ack(4,n)=2^(2^n+3)-3
ack(5,n)=2^(2^(2^n+3))-3
↑細かくは間違っているかもしれんがふいんきをつかんでくれ
ack(k,n)とack(k-1,n)を再帰の定義の関係としてでなくて
ack(k,n)の一般項とack(k-1,n)の一般項の関係でみればいい。
つまり、ackは高階原始帰納的関数というわけ
hardy functionに関しては、n<ωの時はこうなるよな?
3(↑^n)3<ω
Ak(n,3)<ω
↑n(3,3,3)<ω
n>=ωの場合は、計算の仕方がわからん・・
>そういう他に依存した定義をするズルとは違う。
違わないと思う。
ttp://www.ice.nuie.nagoya-u.ac.jp/?h003149b/lang/undecidable.html
- 314 :132人目の素数さん:2007/08/24(金) 23:19:54
- >>313
> ack(4,n)=2^(2^n+3)-3
>
ack(5,n)=2^(2^(2^n+3))-3
これじゃ原始帰納だよ
- 315 :132人目の素数さん:2007/08/25(土) 01:48:40
- あまたがわるそうなやつがまたきた。
> ^以降では、交換法則が不成立性なのはすぐわかるんだが、結合法則はどうやって示すんだろ
(3^3)^3 ≠ 3^(3^3)
> ackについては、もう少し書くと
どこをたてよみ?
>
hardy functionに関しては、n<ωの時はこうなるよな?
「hardy function に関しては」と書いているのに hardy
function が出てこない不思議。
>> そういう他に依存した定義をするズルとは違う。
> 違わないと思う。
自分が理解できないからってズルか。
あたまがわるいふりをした釣り?
- 316 :132人目の素数さん:2007/08/25(土) 04:16:19
- >>313
ackとチェーン表記については、ack(m,n)=2→(n+3)→(m-2) -
3という関係式が成り立つようだ。
ただ、m=0を代入すると右辺の計算ができないからm>0とする。
(a→b→(-1) = a+b,
a→b→0 = a*bとしておく)
どうやら、>>306では「階乗」という言葉を"!"以外の意味で使いたかったようだな。
hardy
functionに対しては何を言いたいのか分からないので、
もう一度hardy functionのことを勉強してから書き直してほしい。
ビジービーバー関数みたいな定義をズルと感じるかどうかは、人によって違うかもしれない。
関数に対して具体的な計算手順を定めなければいけないと考えるなら、
ビジービーバーみたいな具体的な計算手順を与えない定義はズルだとも言える。
ただ、この場合は暗黙のうちに「計算可能」な関数のみを考えているということになる。
一方、関数というのはある引数に対してある値が定まりさえすればいいと考えるなら、
ビジービーバー関数もズルではないということになる。
いずれにしても、「今まで出た一番でかい関数+1」というのは状況によって異なる関数になってしまうから、
まともに定義しているとは言えず明らかなズルだと言える。
結局、客観的に見てズルかどうか判断するには、ルールや暗黙の了解が必要になる。
そういうものがあれば、それに反するものがズルだと客観的に判断できる。
現状では「計算可能」な関数に限るというルールも暗黙の了解もないから、
ビジービーバー関数がズルだと言っても単なる個人の意見でしかない。
ビジービーバー関数がズルだという主張も理解できなくはないけどな。
「今まで出た一番でかい関数+1」というのは他に依存した定義だから悪いというのなら、
他に依存しないように定義すればいい。他に依存しない定義をするためには、
あらゆる可能性をあらかじめ考えてその中で最大のものを選び出せばいい。
「あらゆる」といってしまうときりがないから、「n文字以下のプログラム」とか制限をつければいい。
とやって行き着くところがビジービーバー関数だとも言えなくはないわけで。
- 317 :132人目の素数さん:2007/08/25(土) 08:23:40
- > いずれにしても、「今まで出た一番でかい関数+1」というのは状況によって異なる関数になってしまうから、
>
まともに定義しているとは言えず明らかなズルだと言える。
単に+1するのに14文字も費やして非常に効率が悪いのでだれも見向きもしないけど、
14文字である関数を非常に大きく出来るならそれはそれで意味があると思う。
S変換なんかは関数を大きくする変換だしね。
計算可能じゃない関数がズルだとかいっていたらそこで進歩は止まるよ。
虚数なんかは数じゃないといって否定するようなもの。
実際ビジービーバー関数よりずっと大きな関数も出てきてるし。
- 318 :132人目の素数さん:2007/08/25(土) 10:28:26
- >>317
別に、計算可能じゃない関数がズルだと316で主張したいわけではない。
ビジービーバー関数に違和感を感じる人の気持ちも理解できなくはないというだけで。
個人的な考えとしては、計算可能な関数に限って大きいものを考えるのも、
計算不能な関数も含めて大きいものを考えるのも、どちらも意味あることだと思う。
実数の範囲のみで考えることも、複素数の範囲まで広げて考えることも、どちらも意味があるように。
- 319 :132人目の素数さん:2007/08/25(土) 19:04:16
- >>317 の下3行は >>316 宛じゃない。過剰反応。
- 320 :132人目の素数さん:2007/08/25(土) 21:56:26
- 313は間違ってた。316さん補足どうも。
理解コストの高そうなのはスキップして前スレ一通り読んでみた。
俺の印象では計算不可能な巨大数だと、到達不能基数を除いてε数が強げ。
そんでωを表わすためのC言語の関数を考えてみた
big w(){return 1+w();} //bigは多倍長正数型(つか、値より停止性にしか意味ないような)
この関数の返す値(もちろん計算可能でない)をωとする
するとw()の多項式は、順序数ωの計算同様、右分配法則を満たさない
1+w()はw()に吸収されるからw()の値と同じ→1+ω=ωのアナロジー
n+w()はw()に吸収されるからw()の値と同じ→n+ω=ωのアナロジー
2*w()はw()に吸収されるからw()の値と同じ→2*ω=ωのアナロジー
n*w()はw()に吸収されるからw()の値と同じ→n*ω=ωのアナロジー
w()+1はw()で計算がとまる→ω+1≠1+ωのアナロジー。残りも同様
あと、ack3項版を作ってみた
1.ack(0,0,z)=z+1
2.ack(0,y,0)=ack(0,y-1,1)
3.ack(x,0,0)=ack(x-1,ack(x-1,1,0),0)
4.ack(x,0,z)=ack(x-1,z+1,0)
5.ack(0,y,z)=ack(0,y-1,ack(0,y,z-1))
6.ack(x,y,z)=ack(x-1,ack(x,y-1,z),ack(x-1,y,z))
☆ack(0,m,n)は2項のack(m,n)と一致する
停止性を満たしたまま1,2,5式を残せば☆を満たせる。
つまり、ackのn項化って色々やり方がある
多重帰納法の種類だけ、作れるんじゃなかろうか
- 321 :132人目の素数さん:2007/08/26(日) 00:40:18
- あまたがわるそうなやつがまたきた。
> 俺の印象では計算不可能な巨大数だと、到達不能基数を除いてε数が強げ。
計算可能という意味をまず理解したほうがいい。
> big w(){return 1+w();}
//bigは多倍長正数型(つか、値より停止性にしか意味ないような)
> この関数の返す値(もちろん計算可能でない)をωとする
無限ループとなり値は返らない。
> あと、ack3項版を作ってみた
複雑なわりに大して大きくなってない。
3変数ならもっとずっと大きく出来る。
- 322 :132人目の素数さん:2007/08/28(火) 12:09:42
- >>320
ackやチェーン表記みたいな巨大関数の拡張案は過去に何度も出ているが、
その多くは元の関数にあった単純さを失ってる上にそれほど大きくないものになっている。
単純で巨大な計算可能関数としてはHardy関数があるし、
ただの拡張案で大きな関数を目指すことにはほとんど意味がないと思う。
あと、「ωはどんな自然数よりも大きい」とかの説明を聞くと、
順序数自体を巨大数として扱うのだと思ってしまう人がいるが、
順序数は単に巨大な自然数を作るための道具として使われてるだけのはず。
順序数から巨大関数を作るための手段の一つがHardy関数。
- 323 :たろう:2007/08/28(火) 22:28:59
- Hardy関数や >>282 のような関数は非常に強力であるが、
これだけだと、単に大きな順序数を考えることと同じになってしまう。
Hardy関数、順序数やチューリングマシンの概念を使わずに
シンプルに、もしくは新しい方法で巨大な関数を作ることは十分意味があると思う。
Hardy関数と比較することで大きさの評価も比較的簡単になったし。
今のところHardy関数やチューリングマシンを使わない最大は、
ふぃっしゅ数バージョン5 (F[ε_0] 相当の関数) であろうか。
----
ちなみに、
>>320 のack は F[ω+ω](n) 程度の大きさ。
以下のように定義すれば、よりシンプルで F[ω^2](n) 程度まで大きくなる。
(こんな簡単な定義でコンウェイのチェーンでn個のnを結んだものと同程度になってしまう)
1.ack(0,0,z)=z+1
2.ack(x+1,0,z)=ack(x,z,z)
3.ack(x,y+1,0)=ack(x,y,1)
4.ack(x,y+1,z+1)=ack(x,y,ack(x,y+1,z))
※x, y, z は非負整数
多変数や多重リストへの拡張は >>281 の up2950.txt 参照。
- 324 :132人目の素数さん:2007/08/28(火) 22:32:01
- 数学板でこのスレが一番おもしろいな
- 325 :132人目の素数さん:2007/08/29(水) 09:39:08
- あげときます
- 326 :132人目の素数さん:2007/09/03(月) 23:41:17
- ★1つ目の関数
A(n)では非負のnは1以下。パラメータの階層と、最上階層のパラメータの数はともに1。
A(0)=2 (初期値)
A(1)=A(0)^A(0)^A(0)=2^2=4
(=2↑↑2)
★2つ目の関数
この4が次のパラメータの階層と、最上階層のパラメータの数になる。すなわち、
A(n_1_1(n_1_2(n_1_3(n_1_4))),n_2_1(n_2_2(n_2_3(n_2_4))),n_3_1(n_3_2(n_3_3(n_3_4))),n_4_1(n_4_2(n_4_3(n_4_4))))
3つ目の関数に移行するためには、(5^(4*4)-1≒1.5^11)回の計算を経なければならない。
A(0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(0))))=A(1)=4
A(0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(1))))=4↑↑↑↑4=4→4→4
A(0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(2))))=(4→4→4)↑↑<4→4→4個>↑↑(4→4→4)
=(4→4→4)→(4→4→4)→(4→4→4)
A(0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(3))))=[(4→4→4)→(4→4→4)→(4→4→4)]→[(4→4→4)→(4→4→4)→(4→4→4)]→[(4→4→4)→(4→4→4)→(4→4→4)]=あ
A(0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(4))))=あ→あ→あ
A(0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(1(0))))=(あ→あ→あ)→(あ→あ→あ)→(あ→あ→あ)=い
A(0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(1(1))))=い→い→い
A(0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(1(2))))=(い→い→い)→(い→い→い)→(い→い→い)
★3つ目の関数
2つ目の関数の最後、
A(4(4(4(4))),4(4(4(4))),4(4(4(4))),4(4(4(4))))
はすでにグラハム数ですら無に等しいほどの巨大数となっている。仮にこれを「う」とする。
3つ目の関数は「う」の階層を持ち、最上階層の数が「う」のパラメータを持つことになる。
4つ目の関数に移行するには「(う+1)^(う*う)-1」回の計算を行わなければ成らない。
★64番目の関数
「ふぃっしゅ数」を軽く超えているものと予想される。
- 327 :132人目の素数さん:2007/09/04(火) 02:32:05
- >>326
どのくらい大きいのかはよく分からないけど、なんだか昔の
スレッドに戻ったみたいでほのぼのした。
- 328 :326:2007/09/04(火) 04:14:04
- とはいっても、基本形がすべて
○→○→○
だから、イマイチ増加率が大きくないことに気づく。
ただ、関数を1つ上げるために必要な項の増加率が膨大だから、どちらが大きくなるか。
語弊を招くことを承知で極論すれば、
「ある等差数列の1無量大数項目と、ある等比数列の百項目のどちらが大きいか」
と同じ話だ。
- 329 :132人目の素数さん:2007/09/04(火) 10:01:57
- >>326
定義を誤解しているかもしれないが、思ったことを書いておく。
パラメータの数が多い割には、その多さが活かされていないと思う。
f(x)=x→x→xとすると、「う」というのは、f^{5^(4*4)-1}(4)と表される。
(f^n(x)は、xにfをn回適用した数とする)
n番目の関数でパラメータに最大値を代入したときの値をg(n)と表すと、
g(1)=4, g(n+1)=f^{(g(n)+1)^(g(n)*g(n))-1}(g(n))という漸化式でg(n)を表すことができる。
g(n)の大きさを見積もるためにHardy関数を用いると、
f(x)≒F[ω],
g(n+1)≒f^{g(n)}(g(n))なので、g(n)≒F[ω+2](n)程度の大きさということになる。
過去ログによると、ふぃっしゅ関数ver.1はF[ω^2*63]程度の大きさということなので、
残念ながら326の関数ではふぃっしゅ数ver.1にも及ばない。
定義を解釈するときに、A(0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(0))),4(4(4(4))))=☆として、
A(0(0(0(0))),0(0(0(0))),0(0(0(1))),0(0(0(0))))=☆→☆→☆のように計算するのだと解釈したが、
この解釈がもし間違っていたら指摘してほしい。
- 330 :326:2007/09/04(火) 14:24:56
- >>329
はい、その通り。返す言葉もございません。
私も未明の書き込みの時点でふぃっしゅ数に遠く及ばないだろうと感じていた。
もともとこの式は、
・高校生でも理解できる関数(↑までは容易に理解できると思われるので)
・パラメータを爆発的に増やすことで「それなりに」大きな数を作ることを試みる
を満たそうと考えたのもので、これはその最も原始的なものという扱いです。
グラハム数やふぃっしゅ数とどちらが大きいかもまったく検証してなかった。ごめんなさい。
関数自体の増加率もパラメータの数もさらに増やすことは容易なので、
修正すればもう少し大きな数ができるかもしれない。
ふぃっしゅ数に勝てるかはわからんが、パラメータにも前項の式を代入できるようにすればあるいは…
- 331 :331:2007/09/04(火) 18:44:15
- 3/3=1
- 332 :132人目の素数さん:2007/09/04(火) 21:54:36
- x→x→x→x よりも小さいんじゃ意味ねえ。
- 333 :326:2007/09/05(水) 03:09:54
- ある項は、その前の項Akを(((AkのAk回乗数繰り返し)回乗数繰り返し)…(AkのAk回乗数繰り返し)…)回乗数を繰り返す。
つまり、ある項A_k+1はその前の項までAkを用いて、
A_k+1 = Ak^Ak^…(Ak↑↑Ak…(Ak↑↑Ak 回)…Ak↑↑Ak
回)…^Ak^Ak
A_k+1 = Ak^Ak^…(Ak↑↑↑Ak 回)…^Ak^Ak = Ak↑↑↑↑Ak = Ak→Ak→4
ある関数のパラメータは、その前の関数の最後の項の数Cだけ最上階層パラメータをもつ。
各最上階層パラメータはそれぞれCだけ2次パラメータを持ち、さらにその2次パラメータはそれぞれCだけ3次パラメータを持つ。
パラメータの階層はCある。
すべてのパラメータmはm(i1,i2,i3,…,in)(1≦n≦C)と表記される。ここでi1,i2…は最上階層、次の階層…の値。
各パラメータには順序があり、i1が小さいもの、その中でi2が小さいもの、その中でi3が小さいもの、…から計算される。
たとえばC=3のとき、
A(あ(い(う,え,お),か(き,く,け),こ(さ,し,す)),せ(そ(た,ち,つ),て(と,な,に),ぬ(ね,の,は)),ひ(ふ(へ,ほ,ま),み(む,め,も),や(ゆ,よ,ら)))
とパラメータがおかれ、「ら」が最大値となったとき「よ」が1つ加算され、
「ら?せ」がすべてそれぞれ最大値となった時「す」が1つ加算され、となる。
また、あ→ら にかけて上位→下位のパラメータと定義する。
すべてのパラメータがそれぞれ最大値をとったとき、次の関数に移行する。
各パラメータは1からB(l)の値をとる。
ここで、あるパラメータの値が1つ下位のパラメータの最大値B(l-1)に達した時の、項の値をB(l)とする。
このとき、1つ上位のパラメータに移行するには、
B(l+1) = A_(k+B(l))
A_(k+B(l+1)) =
A_(k+A_(k+B(l))) = A_(k+(Ak→Ak→4)→B(l)→2)
A_(k+B(l+1)) =
(Ak→Ak→4)→((Ak→Ak→4)→B(l)→2)→2 (B(l)<Ak)
次の関数に移行するには…
やめた。326よりは確実に大きくなっているが、これだけややこしい説明してもグラハム数には及ばない。
高校生にも簡単に理解できて、かつグラハム数を超える数は作れないのか…
ちなみに高校生っていうのは、理屈の上ではタワー表記を使わずに説明できること(便宜上使ったが)
- 334 :132人目の素数さん:2007/09/05(水) 05:20:32
- >>333
>高校生にも簡単に理解できて、かつグラハム数を超える数
>>323の3変数アッカーマン関数で、ack(1,1,100)とするだけでグラハム数を超えると思う。
ack(1,0,x) = ack(x,x)=2→(x+3)→(x-2) - 3だから大雑把に見てack(1,0,x)≒3→3→xで、
ack(1,1,x)はack(1,0,x)をx回繰り返すのと大体同じくらいになるので、
3→3→xを4に64回適用したグラハム数よりack(1,1,100)の方が大きくなるはず。
左の方の引数を増やせば、もっと大きい数を作ることもできる。
そもそも、パラメータを増やすとごちゃごちゃしてくるのでかえって分かりにくくなってしまう。
あと、パラメータに最大値があるというのも、あまり大きくならない原因の一つだと思う。
それから、パラメータに階層構造があるのに、それが活かされていない。
たとえば、326の2つ目の関数では、括弧を取り除いて16個のパラメータを並べても同じ関数になる。
巨大数作りではよくあることだが、数を爆発的に大きくするための要点があって、
その要点をうまく抑えれば単純な定義でも非常に巨大な数が作れる。
逆に、その要点を外すとどんなに複雑な定義をしてもたいして大きくならない。
それがはっきり分かる一例としては、>>323の3変数アッカーマン関数がある。
たった3変数で、たった4つの定義式しかないのに、一番左の引数を大きくすれば
チェーン表記を伸ばすのと同程度の速さで増大していく。
- 335 :326:2007/09/05(水) 06:09:38
- >>334
詳しい解説サンクス。
私も326を書き込む前に3変数アッカーマン関数を見て驚いた。
これは単純ながら強力だなあと感心した。
(じゃあ複雑化しただけで使い道のない関数作ってないでそれ使えよという突っ込みはなしで)
変数に関数自体を格納してしまうのが賢いとは分かっていながら、同じ手法使っても面白くないし。
読む気も失せる333だが、これは326を改良したものである。
どちらも結局、増加率には乗数しか使っていない。
パラメータにもなんら関数は格納していないし(順番に1ずつ増えていくだけ)、
ひどく原始的な手法で巨大数を作ろうという試みだ。
恐れ多くもこれでグラハム数を超えようとは呆れたものだ。
いまさらだが結局、乗数だけに頼っていては限界があるという愚例になったと思う。
(さらにまどろっこしい説明を加え続ければx→x→x→xを説明できないこともないが、無益なのでやめ)
- 336 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/05(水) 21:24:49
- >>323
なるほど。ふぃっしゅ数バージョン5の意味付けをしていただき
ありがとうございます。
>>311
こうやって整然と比較できるのが、Hardy関数の威力ですね。
せっかくなので、これまでのふぃっしゅ数について
http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/thread6.html
ここの531、544を参考にして大きさを評価すると、
ふぃっしゅ数バージョン1のSS変換n回:F[ω^2+1](n)
ふぃっしゅ数バージョン2のSS変換n回:F[ω^3](n)
ふぃっしゅ数バージョン3のs(n):F[ω^ω](n)
といった感じになりましょうか。
ちなみに、
http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln051.html
ここの115に出てくるSnakeは、どの程度の大きさになりますか?
>>323では、F[ω^2]程度の関数をシンプルに表記していますが、
F[ω^ω]程度、あるいはF[ε_0] 程度の関数を出来るだけシンプルに
表記するにはどうすればいいか?といった問題設定もできそうですね。
なにをもってシンプルとするかは主観ですが…。
- 337 :たろう:2007/09/05(水) 22:39:13
- >>336
Snake の定義の3つ目の式を、
Snake([a<1>,・・・,a<n>],x)
=Snake([a<1>,・・・,a<n>-1],Snake([a<1>,・・・,a<n-1>,1],x))
と解釈し、
Snake([1],x) = x+1
とした場合は、
Snake([1がn個], n) ≒
F[ω^ω](n)
- 338 :たろう:2007/09/05(水) 23:06:50
- 「なにをもってシンプルか」という解のひとつが、
>>260 でしょう。
>>281 でアップしたものをもう一度アップしておきます。
http:///1rg.org/up/46579.txt.html
ついでに、定義自体に順序数を使わない大きな関数です。
概念的には順序数+Hardy関数ですが、
順序数を知らなくても、頑張れば理解できるかも。
http:///1rg.org/up/46580.txt.html
- 339 :132人目の素数さん:2007/09/06(木) 01:36:03
- >>338
保存しておきます
http:///symy.jp/m1mG
http:///symy.jp/Lo51
- 340 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/06(木) 23:12:12
- >>338
難しいですね…。
「概念的には順序数+Hardy関数」とのことなので、
Hardy で F[ω^2], F[ω^ω], F[ε_0] に相当する
大きさの H[A] を作ると、Aの値はどうなりますか?
- 341 :たろう:2007/09/07(金) 20:42:22
- >>340
H[((((0)))0)] ≒ F[ω^2](n)
H[(((0)0)0)] ≒
F[ω^ω](n)
H[((0)00)] ≒ F[ε_0](n)
H[(((0))00)] ≒ F[η_0](n)
H[((0)000)] ≒ F[Γ_0](n) = F[ψ(0)](n)
H[((0)(0)00)] ≒ F[Γ_Γ_...Γ_0](n)
= F[ψ(Ω)](n)
H[(((0))000)] ≒ F[ψ(Ω^2)](n)
H[((0)0000)] ≒ F[ψ(Ω^3)](n)
H[((0)00000)] ≒ F[ψ(Ω^4)](n)
H[((0)00.....n個.....00)](n) ≒
F[ψ(Ω^ω)](n)
- 342 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/08(土) 02:43:26
- それでは、感覚をつかむために H[((((0)))0)] ≒ F[ω^2](n) から計算してみます。
まずは、>>338の定義をコピーします。
N:非負整数 とする (0, 1, 2, .....)
■集合T
○定義
0 ( ) の3つの文字からなる文字列の集合で、以下の2つの条件を満たす最小のもの
"0"
はTの元である
Tの元を1個以上有限個繋げて () でくくったものはTの元である
演算子 + で文字列の連結を表す
"(0)" + "0" = "(0)0"
○意味
葉が0の多進木
0と多変数の関数funcで生成できる数 と対応する
"(000)" => (0,0,0) => func(0, 0, 0)
"((0)0(0)((0)0))" =>
((0),0,(0),((0),0)) => func( func(0), 0, func(0), func( func(0), 0 ) )
- 343 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/08(土) 02:44:25
- ■Seq : T×N => T
○定義
Seq は T×N から T への関数であり以下を満たす
s =
"0" の時
Seq(s, i) は未定義
s = "(" + □ + a + ")" の形の時
Seq(s, i) = a
s = "(" + X + B + □ + a + ")" の形の時
Seq(s, 0) = "(" + a + ")"
Seq(s, i+1) = "(" + X + Seq(B, i+1) + Seq(s, i) + □ + ")"
ただし、
s, a, b, B ∈ T ただし、B ≠ 0
□ : 0個以上の0を有限個繋げたもの
X : 0個以上のTの元を有限個繋げたもの
i ∈ N
- 344 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/08(土) 02:45:00
- ■H[a] : N => N
○定義
a ∈ T とし、H[a] で N => N の関数を表し以下を満たす
H[0](n) = n+1
H[A](n) = H[Seq(A, n)](n+1)
ただし、
A ∈ T,
A ≠ 0
- 345 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/08(土) 02:45:37
- 【略号】
(1) = ((0))
(2) = (((0)))
(3) = ((((0))))
(i,j) =
(i)(i)(i)…j+1個…(i)
0^i = 000...i個…0
【Seq の計算】
Seq((0), i)
= 0
Seq((n), i) = (n-1)
Seq(((n+1,1)), i+1) = (Seq((n+1), i+1) +
Seq(((n+1,1)), i))
= ((n) + Seq(((n+1,1)), i))
= ((n, i) +
Seq(((n+1,1)), 0))
= ((n, i) + (n+1))
Seq(((n+1,m+2)), i+1) = ((n+1,m)
+ Seq((n+1), i+1) + Seq(((n+1,1)), i))
= ((n+1,m) + (n, i) + (n+1))
Seq(((n+1) + 0), i+1) = (Seq((n+1), i+1) + Seq(((n+1) + 0), i))
= ((n)
+ Seq(((n+1) + 0), i))
= ((n, i) + Seq(((n+1) + 0), 0))
= ((n, i) + 0)
Seq(((n+1, m+2) + 0), i+1) = ((n+1,m) + Seq((n+1), i+1) + Seq(((n+1) + 0),
i))
= ((n+1,m) + (n, i) + 0)
Seq((0, m+2) + 0, i+1) = ((0,m) +
Seq((0), i+1) + Seq(((0, m+2) + 0), i))
= ((0,m) + 0 + Seq(((0, m+2) + 0),
i))
= ((0,m) + 0^(i+2))
- 346 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/08(土) 02:47:25
- 【H[((((0)))0)] の計算】
H[((((0)))0)](n) = H[((2)0)](n) =
H[Seq(((2)0), n)](n+1)
= H[((1, n-1) + 0)](n+1)
= H[Seq(((1, n-1) +
0), n+1)](n+2)
= H[((1, n-3) + (0, n) + 0)](n+2)
= H[Seq(((1, n-3) +
(0, n) + 0), n+2)](n+3)
= H[((1, n-3) + (0, n-2) + 0^(n+3))](n+3)
=
H[Seq(((1, n-3) + (0, n-2) + 0^(n+3)), n+3)](n+4)
Seq((X + (0, n-2) +
0^(n+3)), n+3)
= (X + (0, n-3) + Seq((0), n+3) + Seq((X + (0, n-2) +
0^(n+3)), n+2) + 0^(n+2))
= (X + (0, n-3) + 0 + Seq((X + (0, n-2) +
0^(n+3)), n+2) + 0^(n+2))
普通に計算したのでは、歯が立たないかな。
また、改めて出直してきます。
- 347 :たろう:2007/09/08(土) 07:44:37
- 簡単に解説します。
http:///web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
順序数の生成にはこれを参考にしたC0を使っています。
(Cの一番小さいものを多変数にしたもの)
veblen関数の多変数に比べて変数1個分小さいですが、
その分、加算の定義が不要となります。
-----------C0-----------
●定義
C0(□, a) = a+1
C0(X, b+1,
a) = lim { 初項 a / 2項目以降 C0(X, b, 1個前の項) }
C0(X, b+1, 0, □, a) = lim { 初項
a / 2項目以降 C0(X, b, 1個前の項, □, a) }
C0(X, B, □, a) = lim C0(X, B_n, □, a)
ただし、
a, b : 順序数
A, B : 極限順序数 (A_n, B_n : 収束列)
□ :
0個以上の0
X : 0個以上の0以上の順序数
●大きさ
C0(a) = a+1
C0(a,0) = ω^a
C0(1,0,0) = ε_0
C0(2,0,0) = η_0
C0(1,0,0,0) = Γ_0
C0(1,0,0,0) = Γ_Γ_...Γ_0
C0(2,0,0,0) = ψ(Ω^2)
C0(1,0,0,0,0) =
ψ(Ω^3)
lim C0(1,0,0,....n個.....,0,0) = ψ(Ω^ω)
- 348 :たろう:2007/09/08(土) 07:53:24
- 集合TはC0で生成する順序数と対応しています。
"0" => 0
"(0)" => 1
"((0))"
=> 2
"(((0)))" => 3
"((0)0)" => C0(1,0) => ω
"(((0))0)" => C0(2,0) => ω^2
"((0)00)" => C0(C0(0),0,0) =>
ε_0
"((0)000)" => C0(C0(0),0,0,0,0) => Γ_0
Seq(s, i)
は、順序数が極限の場合はその収束列を返し、
順序数がa+1の形の場合はaを返します。
H[a]
はaが後続順序数と極限順序数の時の定義をくっつけた
ハーディー関数になります。
- 349 :132人目の素数さん:2007/09/08(土) 07:59:56
- >>341 間違ってました。訂正。
H[((((0))0)0)] = H[ω^ω^2] ≒
F[ω^2](n)
H[((((0)0)0)0)] = H[ω^ω^ω] ≒ F[ω^ω](n)
- 350 :たろう:2007/09/08(土) 08:06:53
- >>348
× "((0)000)" => C0(C0(0),0,0,0,0) =>
Γ_0
○ "((0)000)" => C0(C0(0),0,0,0) => Γ_0
ミスが多くてすいません。
Seq の定義は、定義式の数を減らすため、>>347 の定義と微妙に変えてあります。
- 351 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/09(日) 01:17:49
- >>350
> Seq の定義は、定義式の数を減らすため、>>347 の定義と微妙に変えてあります。
C0(X, B, □, a) = lim {
初項 a / 2項目以降 C0(X, B_n, 1個前の項, □) }
といった感じですか?
どうしてこれが順序数の収束列になるのかがまだよく分かりませんが、
もう少しよく考えてみます。
- 352 :132人目の素数さん:2007/09/09(日) 22:45:32
- >>336
F_ω^ω(x)はx重帰納的関数に相当するとたいていのHardy functionに
関する論文には書いてあるようです。x重帰納的関数は詳しくは知りませんが
たしか前スレにそれらしいものが載ってたと思います。
このようなこともあってF_ε_0(x)に相当する関数を順序数なしで定義するのは
不可能だと思っていたのですがふぃっしゅ数ver5がそれに到達している
というのは本当でしょうか?
Snakeやver5はまだ理解していないので理解できたらそれらとHardyの比較も
やりたいと思っています。
- 353 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/10(月) 01:39:12
- >>352
ふぃっしゅ数ver5がF[ε_0](n)に達しているかどうかは、
よく分かりません。>>292では、達しているとされていますが、
その計算内容が十分にまだ分かっていません。
「F[ω^ω](x)はx重帰納的関数に相当する」ということから
「F[ε_0](x)に相当する関数を順序数なしで定義するのは不可能」
という帰結になるのはなぜでしょうか?「x重帰納的関数よりも
大きな関数は順序数なしでは定義できない」というようなことでも
あるのでしょうか?
「定義できない」ということが、もしも「TMで構成できない」と
いうことになればF[ε_0](x)がBB級の大きさになる可能性もありますが、
そんなことはないですよね。Hardy関数が計算可能である、という
ことに関しては特に問題ないようですし。
逆に、F[ε_0](x)等のHardy関数をTMで構成できるのであれば、
それはつまり帰納的に定義できるという意味だと感じますが、
甘いでしょうか。
Provably recursive という言葉も出てきましたが、そのあたりの
言葉との関係でしょうか…。
- 354 :132人目の素数さん:2007/09/10(月) 17:28:44
- ふぃっしゅ氏キテター
>>352
よく考えたら順序数と対応付けられる集合とかリストとかを
しらみつぶしに禁止するつもりですか?
Peano Arithmeticの中では任意のm(x)を構成することが
不可能ってことになるんじゃないでしょうか。
- 355 :ルート41:2007/09/10(月) 18:59:48
- 新参者です。最近このスレを知った物で。
僕が前から考えていた巨大数の表記方法を失礼ながら書かせてもらいます。
A?・Bという表記をするんですが、(?・で一つの記号です)定義として
A?・1=A
A?・2=A^A
A?・3=A↑↑A
A?・4=A→→A
としています。つまり、?・の後の数字が一つ増えるごとに→→と同じこと
前の記号に行うという事です。
次にA?・?・B=A?・(A?・B)と定義します。
次にabcdの自然数において
n=a?・b>(a^b)?・(c^d)>b>d>c>a
が成り立つ時のnの最小数を◎と表示します。
?・だとふた文字に見えるので♪を代用します。
◎♪♪♪♪♪♪♪♪◎という表記は10文字以内では大きい表示になるんでしょうか?
- 356 :132人目の素数さん:2007/09/10(月) 20:08:54
- 定義を含め10文字にしなきゃいかんがな。
- 357 :ルート41:2007/09/10(月) 20:19:23
- >>355一番大切な事書くの忘れてました。
A?・Bの表記のBは何種類目の記号が使われたかを表しています。
B=100なら100種類目の記号という意味です。巨大数を表す場合、
なんらかの記号を使って標記すので、最終的にはその記号の数を数える
のが最も大きな数になるという考えから?・を考案したのです。
ただこのままだと、ほとんど反則なので>>355では一番解りやすい
→→の法則で次の記号を定義しました。(もともとA?・Bは絶対
に表記出来ない数がある事の証明で作ったので、B=100なら100種類
の記号を必ず使います) 説明下手ですいません。
あと途中の式ですが、これは
abcdの自然数において
n=a→→b>(a^b)→→(c^d)>b>d>c>a
が成り立つ時のnは少なくとも3→→1025より大きい数のとき
であるの応用で作りました(nの最小値がいくらは、僕にわ
解らないです。誰か計算できるひといませんかね)
- 358 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/10(月) 20:48:34
- ちなみに、>>338 のプログラムでは、F[ε_0](n)を超える
F[φ_ω(0)](n)やF[ψ(Ω^(Ω+ω))](n)がいとも簡単にコーディング
されていますが、このプログラムを理解できる人はいますか?
おそらく、基本的には>>347のアイデアを使っているのだと
思います。私としては、順序数の収束列をこのように多重帰納
関数の様な形で定義できる、ということが驚きで、いまだ理解に
至っていないのですが…。
http:///web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
こちらのページを見ても、C(X, B, □, a)を導く一般式、のような
ものは書かれていないように見えますし。やはり、なぜ>>347の
式で順序数の収束列を定義できるか、という点については解説
していただかないと、私だけではなく皆さん理解できないのでは
ないでしょうか?
- 359 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/10(月) 20:59:32
- ふぃっしゅ数の大きさについては、
http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln051.html
ここの58で、m(3)がF(x,y,z)=F(x-1,F(x,y-1,z),F(x,y-1,z)) で
あらわされました。この関数が真の三重帰納か、それとも実は
二重帰納か、という議論があったとは思いますが、いずれにしても、
m(n)は良くて多重帰納、もしかすると二重帰納になる気がします。
F[ε_0](n)になるというのは、落ち着いて考えると過大評価しすぎ
なような…。
また、m(3)が三重帰納であれば、s(n)はm(3)で生成される程度の
関数ですから、それよりも小さく、二重帰納程度です。
- 360 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/10(月) 21:00:03
- そうすると、チェーンはs(2)程度、チェーン回転、バードはs(3)程度
であることが分かっているので、いずれも二重帰納で、
m(n)が多重帰納であるとすれば、
Knuthの上矢印 3(↑^n)3 ≒ F[ω](n)
Ak(n, 3) ≒
F[ω](n)
ふぃっしゅ数バージョン1のSS変換:F[ω^2](n)
n個のnからなるConwayのチェーン ≒ F[ω^2](n)
ふぃっしゅ数バージョン2のSS変換:F[ω^2](n)
チェーンの回転 ↑n (3,3,3) ≒ F[ω^2](n)
バード数の定義の X_n(a) の入れ子操作n回 ≒ F[ω^2](n)
ふぃっしゅ数バージョン3のs(n)変換:F[ω^2](n)
ふぃっしゅ数バージョン5のm(3) ≒ F[ω^3](n)
真の三重帰納関数 ≒ F[ω^3](n)
例:
A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,z)))
真の四重帰納関数 ≒
F[ω^4](n)
例: A(w+1,x+1,y+1,z+1)=
A(w,A(w+1,x,A(w+1,x+1,y,A(w+1,x+1,y+1,z)),A(w+1,x+1,y+1,z)),A(w+1,x+1,y,A(w+1,x+1,y+1,z)),A(w+1,x+1,y+1,z))
真のn重帰納関数 ≒ F[ω^ω](n)
ふぃっしゅ数バージョン5のf5(n) ≒ F[ω^ω](n)
こんな感じになるのではないでしょうか。
- 361 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/10(月) 21:01:03
- もし、m(n)が二重帰納だよ、ということになれば、>>360で
真の○重帰納関数以外は、すべてF[ω^2](n)でした、という話に
なると思います。
>>311が正しいのか、それとも本当は>>360のような感じなのか。
そして、それはHardy関数を正確に計算することではっきりする
ものなのか。
Hardy で関数の大きさが整理できるといっても、正確に計算
しようとするとけっこう大変ですね。
- 362 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/10(月) 21:50:11
- さてさて、順序数の議論は高度でなかなかついていけずにいますが、
議論の雰囲気を読むと、Hardy + 順序数による巨大数の定義は、
canonical sequence の取り方が1つに保証されないε_0以上の
世界は、関数が1つに定まるかどうか不明という点で、きっちりと
定義された関数、あるいは数の仲間入りをさせていいかどうかと
いう疑問がまだ残っています。
そんなこんなで色々と昔を思い出していると、やはり多重帰納は
強力なので、なんとかして多重帰納を本質的に強める方法はないか、
と考えてしまうわけですが…。
http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln051.html
ここの184によって、n重帰納関数 A_n(a_n,...,a_1) を定義する。
ただし、A_1(x)=f(x)、g(x)=A_x(a_x,...,a_1)とすることで、
関数 f(x) から 関数 g(x)
への写像が定義される。
この写像は、f(x)=x+1という関数をF[ω^ω]クラスに持って行く
だけの力を持った写像である。
この時に、生成された多重帰納関数に対してこの写像の適用を
繰り返すとどうなるか。
- 363 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/10(月) 21:51:37
- >>362
(1) F[ω^ω] のまま変わらない
(2) F[ω^(ω+1)],
F[ω^(ω+2)], ... F[ω^(ω*2)]
(3) F[ω^(ω*2)], F[ω^(ω*3)], ... F[ω^(ω^2)]
(4) F[ω^(ω^2)], F[ω^(ω^3)], ... F[ω^ω^ω]
(5) F[ω^ω], F[ω^ω^ω)], ...
F[ε_0]
良くて(3)あたりだと思うのですが…どうでしょう。
この写像をM2変換としたふぃっしゅ数V5を考えたところで、
F[ε_0] までは到底到達しない…のでしょうね。本質的に強める
ためには、更なる工夫が必要かな。
- 364 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/10(月) 23:29:14
- >>362
>
ただし、A_1(x)=f(x)、g(x)=A_x(a_x,...,a_1)とすることで、
ただし、A_1(x)=f(x)、g(x)=A_x(x,x,...,x)とすることで、
でした。
- 365 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 06:44:31
- >>353
すいません、書き方がまずかったです。
Hardy
Functionはもちろん計算可能ですのでもちろんF[ε_0](x)はBB以下になります。
単にPAではProvably
recursiveでない最小のものということですね。
過去スレに(一般的な?)多重帰納関数の例がでてきたときに順序数なしでは
これが最強だと思っていたのでF[ε_0](x)レベルのものは無理なんじゃないかと
勝手に思っていたので、ふぃっしゅ関数ver5がこれに至っているということに懐疑的に
なっていました。
しかし、ふぃっしゅ関数ver5がF[ω^ω](x)(=H[ω^ω^ω](x))に至っているというだけ
でも個人的にはすごいことだと思います。
>>362
>ε_0以上の世界は、関数が1つに定まるかどうか不明
http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/thread6.html
ここの>>655に定義の例が書かれています。
- 366 :366:2007/09/11(火) 19:36:39
- √(36)=6
- 367 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/11(火) 20:53:22
- http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln051.html
このスレッドを読み直しているところですが、ふぃっしゅ数バージョン5
(F5)は多重帰納関数以上、ということでどうやら良さそうです。
まず、58の式はm(3)1回で生成されるs(1)に相当するm(2)がアッカーマン
であることを示している式です。それは当たり前のことで、
>>359のようにm(n)が二重帰納ということにはならないわけですが、
そのあたりで本人が錯誤をしていました。
m(n)の威力はm(3)からではなくm(4)からはじまりますが、
m(4)の計算をした63を見ただけでは、まだ2重帰納か多重帰納かは
よく分からない。
- 368 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/11(火) 20:54:41
- そこでまず、3重帰納の定義は、76,155,182をまとめて
3重帰納関数
f(x+1,y+1,z+1) =
f(x,f(x+1,y,f(x+1,y+1,z)),f(x+1,y+1,z)))
が3重帰納である所以は、
f(x+1,y+1,z+1) が
3-term でそのなかに現われる f は
f(x,*,*), f(x+1,y,*), f(x+1,y+1,z) という形であり、
ただし、f(0,y,z) はこの定義で 2-term の形で定義される。
ということです。ここで、f(x,*,*),
f(x+1,y,*), f(x+1,y+1,z) とは
(1) f(x,*,*) の * に f(x+1,y,*) を入れる
→
f(x,f(x+1,y,*),f(x+1,y,*))
(2) この式の * に f(x+1,y+1,z) を入れる
→
f(x,f(x+1,y,f(x+1,y+1,z)),f(x+1,y+1,z)))
という意味です。
- 369 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/11(火) 20:59:50
- これがなぜ、どの2重帰納よりも大きい3重帰納となるか。
それは、157に書かれている通り、
f(x,*,*),
f(x+1,y,*), f(x+1,y+1,z) からxを落とすと
f(y,*), f(y+1,z) 、すなわち f(y, f(y+1,z))
の2重帰納が出てくる。
つまり、f(x,y,z) は、xを1つ増加させる毎に、y,zに関する
2重帰納をしている。したがって、2重帰納を有限回(n回)施して
得られるどんな2重帰納関数よりも、x>nの時点で大きくなるが
ために、3重帰納関数はいかなる2重帰納関数よりも大きくなります。
これは、アッカーマン関数がいかなる原始帰納関数よりも大きい
ことの説明と同じで、アッカーマン関数が原始帰納関数を枚挙
するがごとく、3重帰納関数が2重帰納関数を「枚挙している」
ということです。
Hardy 関数では、2重帰納の操作 ω^2 を枚挙することで、
ω^2, ω^2+ω^2,
ω^2+ω^2+ω^2, ..., ω^3
の収束列が得られる、ということに相当するのでしょう。
- 370 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/11(火) 21:03:54
- さて、ここで多重帰納の本質を理解する必要があります。
そこで、あらためて自分が書いた 146-147 を読み直してみると、
どうやらそんなに間違ったことを書いてないです。
s(2)が2重帰納である、というところまでは良しとして
(F5のs(n)はF3のs(n-1)に相当する)、この説明の中でキーと
なるのは、「s(3)が2重帰納の操作を荒い意味で枚挙する」
という表現です。
s(3)の定義は
s(3)f(x)=(s(2)^x)f(x)
となりますが、
s2(n,x)=(s(2)^n)f(x)
と書いた時に、s(2)は2重帰納の操作をあらわしているので、
2重帰帰納をm回施して得られるどんな2重帰納関数よりも、
n>mの時点で大きくなります。このように、s2(x,x)は
2重帰納を枚挙する3重帰納となります。
したがって、s(3)は3重帰納の操作となります。
そうすると、s(n)は同様にn重帰納となります。
いやはや、皆様(分かる人には)分かっていたことを、
ようやくもって本人が理解できた、というところでしょうか。
- 371 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/11(火) 21:06:02
- >>367->>369の考察により、>>360は撤回します。
>>311の前半にふぃっしゅ数Fを加えて
Knuthの上矢印 3(↑^n)3 ≒
F[ω](n)
Ak(n, 3) ≒ F[ω](n)
n個のnからなるConwayのチェーン ≒ F[ω^2](n)
F5のm(2)n回 ≒ F5のs(1)n回 ≒ F[ω^2](n)
チェーンの回転 ↑n (3,3,3) ≒ F[ω^3](n)
F5のs(2)n回 ≒ F3のs(1)n回 ≒ F1,F2のS変換n回 ≒ F[ω^3](n)
バード数の定義の X_n(a)
の入れ子操作n回 ≒ F[ω^3+ω+1](n)
F5のs(3)n回 ≒ F3のs(2)n回 ≒ F2のSS変換n回 ≒ F[ω^4](n)
5変数Ak ≒ F[ω^4](n)
多変数Ak Ak(n個のn) ≒ F[ω^ω](n)
F5のs(n) ≒ F3のs(n) ≒
F[ω^ω](n)
F5のm(4) = F5のm(3)n回 ≒ F[ω^ω](n)
ここまでは理解できました。
- 372 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/11(火) 21:14:50
- >>311の後半は、まだ理解できていません。
ふぃっしゅ数考案者の希望的観測としては、>>292のように
Ak を2重リストに拡張、Ak([n個のn], [n]) ≒
F[ω^ω^ω](n)
F5のm(5) ≒ F[ω^ω^ω](n)
F5のm(6) ≒ F[ω^ω^ω^ω](n)
F5のf5(n)
≒ F[ε_0](n)
となればいいかな、と思いますが、はたしてそうなるかどうか。
考案した本人も、その大きさを評価できずにいます。
- 373 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/11(火) 21:33:46
- >>365
なるほど。スレッド6の655におけるα<Γ_0 が φ_β(γ)
(β,γ<α)の
定義を見ると、このような形できれいに記述できるのであれば、
>>347-350のように順序数の定義を帰納的に記述できて、
http:///web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
ここのordinal, stronger ordinal といった表現を簡潔に与える
ことができるとしても、不思議はないような気がしてきました。
とはいえ、>>338のプログラムを見ると、本当にこんなに短い
プログラムでF[ψ(Ω^(Ω+ω))](n)
を生成できるのかと、驚くばかり
ですが。それが、計算可能の意味するところといえばそうですね。
- 374 :ルート41:2007/09/12(水) 20:26:43
- 稚拙な質問で申し訳ないですが・・
BB関数の定義が計算出来るどんな関数より大きな関数という事
らしんですが。無限大に増加する関数以外は全て計算出来る関数
だとしたBB関数は存在しない関数、もしくは大きい事が証明出
来ない関数になると思うんですが。
実際のところBB関数はそこらへんの事はどうクリアーしてるんですか?
- 375 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/12(水) 21:33:18
- >>374
> 無限大に増加する関数以外は全て計算出来る関数
無限大に増加する関数y=xは計算できます。
「ある値を代入したときに無限大になる」という
意味でしょうか?だとしたら、BB関数の値は有限
ですが有限時間内に計算できません。
> BB関数は存在しない関数
BB関数は存在します。しかし、その値を有限時間内に
計算ができません。
> 大きい事が証明出来ない関数
「あらゆる計算可能な関数よりも大きい」という
「大きい事」に関しては、証明ができます。
「どのくらい大きいか」を具体的に計算は出来ません。
さて、
自分の中で、曖昧だった多重帰納の概念がようやくはっきり
したので、これまでのまとめの文章を作ろうと考えていますが、
しっかり作るとかなりの大作になりそう…。
その次の段階ですが、ハーディーを使って、バージョン5よりも
大きな関数がどんどん構成されるようになってきたので、
いよいよバージョン6を考えてみようかという気にもなって
きました。ふぃっしゅ数の特徴である高階集合の定義で、
ハーディーでいうところのどのあたりまで到達できるだ
ろうか、というのが目標です。
- 376 :ルート41:2007/09/12(水) 22:21:43
- >>375 解答ありがとうございます。
無限大に増加する関数とは、例えばf(0)=0 F(1)=1 f(2)=∞
という意味で書きました。極端にすればf(0)=0 f(極限に小さい数)=∞
僕的には∞=∞^∞=∞↑↑∞と考え、∞になるものは大小の比較は出来ないと
考えていたもので。
BB関数の定義は有限時間で計算すると理解します(あと、人間の能力で
も入るかもしれませんが)
- 377 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/12(水) 23:32:11
- BB関数の定義は、有限時間内で計算できない定義です。
ただし、定義によって有限の数が定まる事が保証されています。
人間の能力は無関係です。
ここから先は、BBの定義そのものを理解しないとどうしようも
ないといえばないのですが、たとえばBB(10)を計算したいとします。
定義にしたがって計算すると、BB(10)の値となる候補が次々と
計算されます。その候補の値は、計算時間がたてばたつほど
大きくなります。真の値BB(10)は必ず存在しますので、
その値に到達する時も来るでしょう。ただ、その計算された値が
BB(10)であるという保証が出ません。保証が出ないという事は、
計算が終了しないということです。計算時間が増えるにつれて、
どんどん候補の値が大きくなるけれど、どこで「本当のBB(10)」
に到達したかを知り得ることができないので、有限時間内に
計算が終了しない、つまり計算できない、ということになります。
- 378 :132人目の素数さん:2007/09/13(木) 00:33:55
- いまさらなんですが、ふぃっしゅ数ver.5の最終的な定義はどれなんでしょうか?
過去スレを見ても何度も変更されているし、途中で話がそれてしまっていて
わからないのですが・・・
- 379 :ルート41:2007/09/13(木) 18:23:59
- >>377
BB関数が存在するという事は今の所理解出来ませんが、僕がBB関数を
理解してないという事は理解しました。(BB関数の公式てあるのかな?)
ちなみに>>376の様になる関数には
Y=N^∞や Y=N^Y(N≠1なら単に成り立たないともいえるが)
が有ります。
あと、ふぃっしゅ数については、僕はまだ理解していませんが、存在して
いる事はわかります。
- 380 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/13(木) 19:46:14
- >>378
そうですね、まずはふぃっしゅ数ver.5の定義をはっきりさせる
ところからはじめようと思います。おおまかな原案は書きましたが、
きちんとこれが定義だという形にはまだしていなかったので。
ちょうどその頃に、色々な議論があってうやむやになってしまって
いました。
>>379
BB関数は、計算理論の勉強をしないと理解できません。
計算理論の専門書を読んで理解するのが、一番いいのだと思います。
私は、英語のホームページを読んで理解しましたが、日本語の
ホームページで分かりやすく解説してあるところは、はたして
あるかどうか。
- 381 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/13(木) 19:59:46
- BBを英語で理解するとすれば、たとえばWikipediaですが
http:///en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver
ここの2-state S(n,m)の値を見ると、
BB(2) = 6
BB(3) = 21
BB(4) =
107
BB(5) ≥ 47,176,870
BB(6) ≥ 3.0 x 10^1730
となっています。BB(4)までは「=」で、正確な値が分かって
います。BB(5)以降は「≥」となっています。つまり、
BB(5)の値は47,176,870 かもしれないし、それよりも
大きいかもしれない。
我々は、まだBB(5)の正確な値を知り得ていない、という
ことになります。BB(6)の正確な値は、どんなに計算機の
速度が向上しても、どんなに長い年月をかけても
(たとえばふぃっしゅ数年とか)、計算できないでしょう。
- 382 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/13(木) 20:09:03
- 今までの話の流れだとBB(n)はS(n,m)ではなくてΣ(n,m)の
方でしたね。訂正しておきます。
BB(2) = 4
BB(3) = 6
BB(4) = 13
BB(5) ≥ 4098
BB(6) ≥ 1.2 x 10^865
- 383 :ルート41:2007/09/13(木) 20:28:13
- BB関数がなんとなくですが解ってきました。とりあえず計算理論の勉強からします。
丁寧な解答ありがとうございます。
- 384 :たろう:2007/09/13(木) 20:35:35
- 計算可能な関数とは、>>260 のようなプログラムで書ける関数のこと。
ビジービーバー関数とは、プログラムn文字で作り出せる最大の数。(※)
だからプログラムで書けるどんな関数よりも増大度が大きい。
※実際はBBはチューリングマシンという非常に単純なマシンでの定義となる
ただ、
すべての値に対してBB(n)を返すプログラムがかけないというだけであって、
BB(10)やBB(100)を返すプログラムの存在を否定するものではない。
- 385 :たろう:2007/09/13(木) 20:49:16
- >>351
微妙にちがう。初項は a+1。
----- >>338 のプログラムの解説 ------
>>266 のプログラムを色々変えて小さくしたもの。
117語のものは、C0の変数を3つに限定し、一番左のは整数に限定したもので順序数を作り出している
132語のものは、C0を多変数のまま使っている。
(コメントに F[ψ(Ω^(Ω+ω))](n) と書いてあるのはF[ψ(Ω^ω)](n)
の間違い)
プログラムでは F[ψ(Ω^ω)](9) 程度の数を返すが、
プログラム上の数値のいくつかを変えることで 9
を大きく出来る。
○小さくする工夫
φよりも定義が簡単で加算の定義も不要なC0を用いている
ハーディー関数を再帰ではなくループで表現している
F[ψ(Ω^ω)](9) = F[ψ(Ω^9)](9) なので、F[ψ(Ω^9)](9)
を計算している
収束列を微妙に変えている
C言語上の色々な工夫でサイズを小さくしている
など
- 386 :たろう:2007/09/13(木) 20:52:16
- >>363
F[ω^ω*2], F[ω^ω*3], ... F[ω^(ω+1)]
- 387 :たろう:2007/09/13(木) 21:04:29
- >>372
ふぃっしゅ数V5のm(5)の大きさは力ずくでもわかる。
(m(2) =
m2, m(3) = m3, m(4) = m4, ...)
aは自然数
m2 ===> +1 (f ≒ F[a] の時、
m2 f ≒ F[a+1] という意味)
m2 m2 ===> +2 (f ≒ F[a] の時、 m2 f ≒ F[a+2] という意味)
m2^a ===> +a
m3 m2 ===> +ω
m3 m2 m3 m2 ===> +ω*2
m3
m2 m3 m2 m3 m2 ===> +ω*3
(m3 m2)^a ===> ω*a
m3 m3 m2 ===> ω^2
m3 m3 m3 m2 ===> ω^3
m3^a m2 ===> ω^a
m4 m3 m2 ===> ω^ω
m3 m4 m3 m2 ===> ω^ω*ω
m3 m3 m4 m3 m2 ===> ω^ω*ω^2
m3^a m4
m3 m2 ===> ω^ω*ω^a
m4 m3 m4 m3 m2 ===> ω^(ω*2)
(m4 m3)^a m2
===> ω^(ω*a)
(m4 m3)^a m2 ===> ω^(ω*a)
m4 m4 m3 m2 ===> ω^ω^2
- 388 :132人目の素数さん:2007/09/13(木) 21:05:21
- (m4 m3)^a m2 ===> ω^(ω*a)
(m4 m3)^a m2 ===> ω^(ω*a)
m4 m4 m3
m2 ===> ω^ω^2
m3 m4 m4 m3 m2 ===> ω^(ω^2+1)
m3^a m4 m4 m3 m2
===> ω^(ω^2+a)
m4 m3 m4 m4 m3 m2 ===> ω^(ω^2+ω)
m4 m4 m3 m4 m4
m3 m2 ===> ω^(ω^2*2)
(m4 m4 m3)^a m2 ===> ω^(ω^2*a)
m4 m4 m4 m3
m2 ===> ω^ω^3
m4^a m3 m2 ===> ω^ω^a
m5 m4 m3 m2 ===> ω^ω^ω
- 389 :たろう:2007/09/13(木) 21:33:42
- http:///web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
ここのたろう的理解です。
●C0
[A General Notation] のCのΩ導入前を多変数化
C0(..., a5, a4, a3, a2, a1, a0) = C(..., Ω^4 * a5 + Ω^3 * a4 + Ω^2 *
a3 + Ω * a2 + a1, a0)
C0(..., a4, a3, a2, 0, 0) = φ(..., a4, a3, a2, 0)
>>190 のψ(Ω^ω) 未満の順序数をすべて表現可能。
●C1
[An
Ordinal NOtation] の多変数化
C1(1,0,0) を、帰納的でない最小の順序数、
C1(2,0,0)
を、C1(1,0,0) と帰納的定義で表現できない最小の順序数、
......
C1(1,0,0,0) を、C1(a2, 0, 0)
と帰納的定義で表現できない最小の順序数、
....
というような解釈で良いかと。
C1([C1で生成される順序数], 0)
は帰納的な順序数となる。
C1(1,0,0) は 上のΩや >>190 のΩとほぼ同じ意味。
C1(C1(1,0,0),0) = C0(1,0,0)
C1(C1(1,0,0)^2,0) = C0(1,0,0,0)
C1(C1(1,0,0)^3,0) = C0(1,0,0,0,0)
>>202 のψ_a(0) が C1(a,0,0) とほぼ同じ意味。
3変数で >>202 の ψ_0(Ψ) 未満の順序数をすべて表現可能。
- 390 :132人目の素数さん:2007/09/13(木) 21:38:44
- ●C2
[Beyond Second Order Arithmetic] の C の多変数化
C0 => C1
の進化を繰り返したもの。
C2(C2(1,0,0),0) = C1(1,0,0)
C2(C2(1,0,0)^2,0) =
C1(1,0,0,0)
C2(C2(1,0,0)^3,0) = C1(1,0,0,0,0)
C2([C2で作り出す順序数], 0)
はC1でつくり出せる順序数となり、
C2(C2([C2で作り出す順序数], 0)) で帰納的な順序数となる。
- 391 :たろう:2007/09/13(木) 21:51:46
- C0 の収束列は >>347 で定義。
多変数veblen + 加算 と同等の表現が可能。
C1
の収束列は、>>202 のような方法で定義できる。
だいたい8個くらいに場合分けした定義となる。
3変数で、veblen + 添字付ψ + 加算 と同等の表現か可能。
プログラムで書けば、>>266よりずいぶん小さくできそう。
C2 の収束列はかなり複雑で途中で挫折。
C3, C4.... と拡張できそうな気がする。
さらには、C_n(c, b, a) ==> C_[順序数](c, b, a)
==> C(d, c, b, a) => 多変数化 => さらに大きなΩでの表現 => ...
でも、順序数の専門家がもっと大きな帰納的順序数を見つけてそう。
- 392 :たろう:2007/09/13(木) 21:56:14
- >>390
> C2([C2で作り出す順序数], 0) はC1でつくり出せる順序数となり、
ここは間違いで、以下に訂正。
C2([C2で作り出す順序数], 0) はC2(1,0,0) 未満の順序数となり、
- 393 :たろう:2007/09/13(木) 22:13:35
- >>355
定義がよくわからないけど
◎ = 2♪(3^4+2) かな?
- 394 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/14(金) 01:54:20
- >>389-392
その定義を見ていると、ナゴヤ数(スレッド6の510-511)も
どこかのクラスに入りそうですね。
まだ、雰囲気だけしかつかめませんが。
- 395 :たろう:2007/09/14(金) 19:46:19
- >>390
まだまちがってた。
C2([C2で作り出す順序数], 0)
はC2(1,0,0) 未満の順序数となり、
C2(C2([C2で作り出す順序数], 0),0) で帰納的な順序数となる。
>>394
>>135 が正しければ大きさは、
多変数veblenの極限 = ψ(Ω^ω) = C0の極限 =
C1(C1(1,0,0)^ω, 0) 程度
>>125 のveblenの極限はψ(Ω^Ω) = C1(C1(1,0,0)^C1(1,0,0), 0)
同じように拡張していきn重リストにするとその極限は、ψ(ε_(Ω+1)) となって
Howard ordinal に到達。
- 396 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/14(金) 20:18:53
- ふぃっしゅ数バージョン5 (F5) の定義
[1] 集合Mn (n=0,1,2,...)を以下のように定める。
M0=自然数の集合
M{n+1}=写像Mn→Mn全体の集合
Mnの元をMn変換と呼ぶ
[2] Mn変換 m(n)
(n≧1) を以下のように定める。
f_n∈M(n)に対して、m(n+1)(f_n)=g_nを以下で定める。
f_{n-1}∈M(n-1)に対して、g_n(f_{n-1})=g_{n-1}を以下で定める。
f_{n-2}∈M(n-2)に対して、g_{n-1}(f_{n-2})=g_{n-2}を以下で定める。
……
f_0∈M(0)に対して、g_1(f_0)=g_0を以下で定める。
g_0=(..((f_n^{f_0}f_{n-1})f_{n-2})...f_1)f_0
すなわち
m(1)(f_0)=f_0^f_0
(m(2)f_1)f_0=(f_1^f_0)(f_0)
(..((m(n+1)f_n)f_{n-1})...f_1)f_0:=(..(f_n^{f_0}f_{n-1})...f_1)f_0
[3] ふぃっしゅ関数 F5(x) を以下のように定める。
F5(x):=((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x)
[4] ふぃっしゅ数
F5:=F5^63(3) とする。
- 397 :ルート41:2007/09/14(金) 20:25:12
- >>393
僕の作った式に解答ありがとうございます。
?・Nの定義はN×N<N?N<N↑↑NならNが増える毎に表記方法も上位の物を使用して
行く関数を作れば大きな関数を作れると考えて作りました。
よく考えればN^NからN↑↑Nへ変化するのとN↑↑NからN→→Nに変化するのは
意味が違うため関数としてはなりたったなかったですね。
考えてる途中にN=1なら1 N=2なら22 N=3なら333×333 N=4なら4444^4444
にしないといけないかと思ったくらいですから。
(見た目が面白いので1.22.333となる関数を作ろうとしているんですが上手くいかないですね。)
◎を導く式のほうは、大きくなる関数を作る事を、ある巨大数を入れないと成り立たない式を作る
ことで抜けないか考えて挫折したときの残骸です。>>357の→の方が実際に作っやつですが。
それでもA→→BにおいてBの数が大きいほうがAの数が大きいときより大きな数になる事を
証明できれる最小の数であれば、グラハム数や現在最も大きい素数2^32582657-1の様に
意味のある数として使えるかなと思い使いました。これもよく考えてみれば
N=A→→B>B→→A>B>A
と書いた方が適切でしたね。
さらにN=3→→4>4→→3が成り立つことを正確に計算できても、グラハム数>4→→3
が計算されたらグラハム数より大きい意味のある数にはならないですよね。
3→→4>グラハム数は当たり前ですから。
もし↓や←を使った場合の計算が膨大すぎて、現在まだ正確な計算が出来ていないなら、
正確に計算することに意味が出てくるんでしょうが。
N=A^B>B^A>B>AならNの最小値は32
N=A↑↑B>B↑↑A>B>AならNの最小値は16
なら僕にも計算できるんですけどね。
僕の様な素人の書き込みでも、大きな数を見つけるヒントでも転がってれば良いんですが。
- 398 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/14(金) 23:30:10
- 今となってはとても小さい数であるF1やF2あたりから見直しています。
それで気づいたのですが、今まではふぃっしゅ関数バージョン1
F1(x)
が2重帰納かと思っていましたが、違いました。3重帰納です。
F1(x) ≒ F[ω^3](x) (3重帰納)
なぜかというと、F1(x)は2重帰納のS変換を繰り返す回数が変数のx以上に
なるので、S変換をちゃんと数え上げているんですね。
一方、F2(x)は3重帰納のSS変換を63回繰り返しているので、
F2(x) ≒ F[63*ω^3](x) (3重帰納)
となります。F1(x)もF2(x)も、同じ3重帰納のクラスで、チェーンよりも
強くバードと同じ程度でした。
今まで、F1(x)の強さを過小評価していたようです。
- 399 :たろう:2007/09/15(土) 00:23:14
- 2重帰納 ≒ F[ω](n)
3重帰納 ≒ F[ω^2](n)
じゃないの?
F1(x), F2(x)
の定義はどこにありますか?
- 400 :たろう:2007/09/15(土) 00:41:46
- http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln023.html
ここの >>320 で定義されているふぃっしゅ関数が F2(x) だとすると、
F2(x) ≒
F[ω*大きな整数](x) な気がする。
f(x) = x+1 に対してS変換を整数回行う操作を63回繰り返すだけですよね?
- 401 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/15(土) 00:58:27
- ええと、>>398は大きな勘違いでした。
F1(x)は2重帰納です。
>>399
そうでした。
F1(x) ≒ F[ω*大きな整数](x)
F1(x) ≒
F[ω^2*63](x)
です。
>>400
そちらはF1(x)の定義です。
F2(x)の定義は
http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln032.html#R47
ここにありますが、F1(x)のSS変換の定義において、
S変換をx回繰り返すものです。
- 402 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/15(土) 00:59:26
- 訂正
F1(x) ≒ F[ω*大きな整数](x)
F2(x) ≒ F[ω^2*63](x)
- 403 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/15(土) 03:05:56
- 3変数アッカーマン関数
A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,z)))
が3重帰納 F[ω^2] であることの証明
A(x+1,y+1,z) からAへの代入(合成)2回で
A(x+1,y+1,z+1)ができる
→ zに+1する操作は合成の操作
Z=A(x+1,y+1,z)-a (Z > z+1)
とすると、
f=A(x+1,y,Z) からg=A(x+1,y+1,Z)を合成と原始帰納で生成できる。
(1) Zをa増やす →
A(x+1,y,A(x+1,y+1,z))
(2) A(x,y,A(x+1,y+1,z))のyに代入 → A(x+1,y+1,z+1)
(3) zをZ-(z+1)増やす (zを増やす操作を数え上げるので原始帰納)
したがって、yに+1するのは原始帰納
Y=A(x+1,y,Z)-bとすると、
f=A(x,Y,Z)からg=A(x+1,Y,Z)を3番目の引数を増やす原始帰納と
2番目の引数を増やす2重帰納で生成できるので、xへの+1は2重帰納
A(x,y,z)はxへの+1を数え上げるので3重帰納
- 404 :132人目の素数さん:2007/09/15(土) 04:25:11
- 大野菜協会、長期間の研究の末「3mの巨大サツマイモ」の栽培に成功。しかし、ちんこに似ていたため非公開に。【画像あり】
日本大野菜協会が2002年に特別チームを発足し、5年の歳月を費やし、3mもの巨大サツマイモの栽培に成功した。
しかし、それが一般に発表される事はなかった。
その理由は栽培された巨大サツマイモがあまりにも男性器に酷似していたためである。
大野菜協会会長は「5年の歳月と沢山の経費をかけて作り出した大作といえるものだし、一般の方々にも見てもらいたい…が、ここまで酷似していてはコレを発表することは出来ない。我々にも恥がある。」
と、肩を落として語った。
長い歳月に渡り研究に研究を重ね、苦労の末栽培された世紀の大サツマイモは性器に似た大サツマイモになるという悲しい結末で幕を閉じた。
http://society6.2ch.net/test/read.cgi/river/1188899832/
- 405 :たろう:2007/09/15(土) 07:18:19
- >>403
> A(x+1,y+1,z+1) =
A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,z)))
3変数アッカーマン関数の定義はこれに決まってるの?
それとも、単なる拡張方法の1つ?
このスレでの合意?
単なる拡張方法の1つなら、
>>323 の方が簡単で良いと思うんだけど。
------アッカーマンの多変数への拡張の案------
●定義
Ak(□, a) = a+1
Ak(X,
b+1, 0, □, a) = Ak(X, b, a, □, a)
Ak(X, b+1, 0) = Ak(X, b, 1)
Ak(X,
b+1, a+1) = Ak(X, b, Ak(X, b+1, a))
ただし、
a, b : 0以上の整数
□
: 0個以上の0
X : 0個以上の0以上の整数
●大きさ
Ak(..., a2, a1, a0, n) ≒
F[...+ ω^2*a2 + ω*a1 + a0](n)
Ak(1がn個) ≒ F[ω^ω](n)
- 406 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/15(土) 16:49:58
- >>405
多重帰納の定義については、
http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln051.html
ここで色々議論されています。
76,77,155,181-184 あたりです。ここで提案されている
3変数アッカーマンについて検証したのが>>403で、2重帰納を
数え上げていることが分かりました。
>>323の方が簡単なので、これでω^2になっていればその方が
いいと思います。どういうしくみになっているのでしょう…。
- 407 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/15(土) 17:30:30
- 3,4から、xを定数と見てy,zが2変数アッカーマンになっているから、
ack(x+1,y,z) = ack(x+1,0,z(y)) =
ack(x,z(y),z(y))
とすると、z(y)が2重帰納関数になる。
なので、2重帰納をx回繰り返す3重帰納になる、ということか。
- 408 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/16(日) 00:04:09
- >>407
ちょっと書き方が変だったかな。
ack(x+1,y,z) ≒
ack(x+1,0,A(y,z)) ≒ ack(x,A(y,z),A(y,z))
といったところか。
>>405
この場合は
Ak(X, b+1, 0) = Ak(X, b, 1)
Ak(X, b+1, a+1) = Ak(X, b, Ak(X, b+1, a))
この箇所で、a0とnの計算について
Ak(..., a0, n) ≒ F[... + ω*a1 + a0](n)
という関係を作って、
Ak(X, b+1, 0, □,
a) = Ak(X, b, a, □, a)
この箇所で、a=ak, b=a{k+1}として、
Ak(X, b+1, a, □, a) ≒
Ak(X, b+1, 0, □, F[ω^k])
= Ak(X, b, F[ω^k], □, F[ω^k])
≒ Ak(X, b-1,
F[ω^k*2],...)
≒ Ak(X, b-2, F[ω^k*3],...)
...
≒ F[ω^(k+1)]
といった関係を作るわけですね。
- 409 :ルート41:2007/09/16(日) 11:49:45
- ふぃっしゅしゅ氏へ質問なんですがBB関数を理解するため計算理論について調べていたらμ作用素関数というのが出てきました。
(参照) http:///ja.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%E5%86%8D%E5%B8%B0%E9%96%A2%E6%95%B0
これは、
基本関数 N→→N>N→N→N
次にバートの回転記号を○で表す
2○2=2(2回転目←)(2回転目←)2
3○3=3(3回転目←)(3回転目←)3
N○N>N→→N
N○○N>N○N○N
クラウ1 ステプ1
次に○の数を○ー○で表す(?は繋げること表しています)
2○ー○2=2○○2
3○ー○3=3○○○3
N○ー○ー○N>N○ー○ ○ー○N
ステプ2
次に○ー○の繋がる数を○(=)○で表す(=はーの本数が2本の意味です)
2○(=)○2=2○ー○2
3○(=)○3=3○ー○ー○3
N○(Ξ)○N>N○(=)○(=)○N
ステプ3
次に・・
- 410 :ルート41:2007/09/16(日) 11:51:12
- クラス2 ステプ1
クラス1のステプの数を(あ)で表す
2(あ)2=2(=)2
3(あ)3=3(クラス1ステップ3の表記)3
N(い)N>N(クラス1ステプNの表記の(あ))N
ステプ2
(あ)から(い)の変化を(ド)で表す
(ド)の次は(レ)・・・
?ここでクラスの数を数える記号を作ればさらに巨大な関数が作れる
?更にステプ、クラス、(クラスを数える数)と段階が上がる事を数えると更に巨大な関数が作れる
このアルゴリズム(手順)を繰り返すことで大きな関数を作れる事が出来る。(??を関数にして・・・)
このアルゴリズムその物を関数化した物みたいなんですが。この考えで行くと
?1帰納関数→2帰納関数→3帰納関数
?1重帰納関数→2重帰納関数→3重帰納関数
?1重帰納関数→2重重帰納関数→3重重重
??→?→?をさらに関数にする。
このアルゴリズムその物を関数にする(その方法が全然判らないんですが)と、
ふぃっしゅ数バージョン5より大きな関数になると思うんですが?
それとも、ふぃっしゅう数ではμ作用素関数は折込済みなんですかね?
(この説明で伝わると良いんですが)
- 411 :132人目の素数さん:2007/09/16(日) 19:11:17
- ・いわゆる最小化じゃん
・ふぃっしゅ数はアッカーマン関数を折込済みです
そういえばアッカーマン関数を最小化を使って表すと
どうなるんでしょう。
- 412 :132人目の素数さん:2007/09/16(日) 19:53:40
- >>396
バージョン5の定義ありがとうございます。
自分で計算してないのですが>>387-388を見るとやっぱりF_(ε_0)(x)に到達して
そうな感じですねぇ・・・。
ヴァージョン6楽しみにしています(笑)
>>405
なるほど。おそらくその定義がn重帰納関数の最低ラインっぽいですね。
前に言われていた所謂「正規形」ってやつかもしれません。
- 413 :132人目の素数さん:2007/09/16(日) 21:02:03
- >>411
ハァ?
- 414 :5-682:2007/09/17(月) 02:00:15
- 8ヶ月ぶりです。
ふいっしゅさんも戻って驚きです。
さて、前から放置してたナゴヤ関数について。(以後L[ω]→F[ω]に表記変更)
順序数ですが、F[F[ω](ω)](ω)ではφ_(φ_ω)(ω)になってしまうようです。
そこで、ここで取り上げているωとは別の非加算(?)順序数Ωを使って
ωで表す順序数を変換する写像を定義できるようにします。
さらに順序数Ω以降(以後Ω_1と表記)についても同様に
その順序数(式)を変換する写像はΩ_2、Ω_3、・・・の順序数を使えばいいです。
このことを踏まえて、ナゴヤ関数Ver1.1を定義し直していきます。
それぞれの写像Fについて以下のように定義します。
F[Ω_1]:ωからなる順序数α1→β1への写像
F[Ω_2]:Ω_1、ωからなる順序数α2→β2への写像
F[Ω_n]:Ω_n-1以下からなる順序数αn→βnへの写像
F[Ω_1](λ) = F[λ](λ) (λはωで表す可算順序数)
F[Λ+n+1](λ) = F[Λ+n]^λ(λ) (ΛはΩ_1で表す順序数、^aはネスト数)
F[Λ_(Ω_1)](λ) =
F[Λ_λ](λ) (例:Λ_2 = (Ω_1)*2のとき、Λ_λ = (Ω_1)*λ)
F[F[Ω_2](Ω_1)](λ) =
F[F[λ](Ω_1)](λ)
F[Ω_n+1](Λn) = F[Λn](Λn) (Λn:Ω_nで表される順序数)
こうすれば、自然数x→可算順序数λ、可算順序数ω→別の順序数Ω_1、・・・に
置き換えたHardyFunctionやVer1のナゴヤ関数の増大度が
順序数ω、Ω_1、Ω_2へとそのまま伝わっていきます。
例えば、
F[Ω_1](ω) = F[ω](ω) ≒ φ_ω(0)
F[Ω_1](F[ω](ω)) = F[ F[ω](ω)
](ω) ≒ φ_(φ_ω(0))(0)、
F[Ω_1+1](ω) ≒ Γ_0
F[Ω_1*2 + 1](ω)=Γ_Γ_...Γ_ω
となります。
- 415 :5-682:2007/09/17(月) 02:48:30
- 続き。
関数の増大度について。
>>125のVebrenリスト関数と比較して、
F[Ω^2](ω) ≒ φ([2, 1][1,
ω])
F[Ω^2+1](ω) ≒ φ([2, 2])
F[Ω^3](ω) ≒ φ([3, 1])
F[Ω^ω](ω) ≒
φ([ω, 1])
F[Ω^Ω + 1](ω) ≒ (λ_ω; λ_0 = ω, φ([λ_n, 1]) = λ_n+1)
(仮にφ([0,
1] [ [0,0] ])とおいてみる )
になると推測でき、この時点で前Ver1と比べて大幅に増大するようです。
F[Ω^Ω^ ...
^Ω + 1]ではおそらく
ふぃっしゅ関数Ver5 ≒ F[ε0]
で変換元の自然数xを変換元順序数ωに置き換えたときの
増大度に匹敵すると考えられます。(多重リストVeblen関数では表記不可能か?)
F[1, 0](x) = F[F[ ...
F[Ω_x](Ω_(x-1)) ... ](ω)](x)
F[n+1, 0](λn) = F[n, F[n, ... F[n, 0](Ω_λn)
... ](λ(n+1))](λn) (λnは任意Ω_nの順序数)
と置くとして、
F[1,0]以降の増大度については後で調べます。
- 416 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/17(月) 13:10:55
- >>409-410
基本関数 N→→N>N→N→Nの計算方法がよく分かりませんが、
μ作用素を大きくする方法をうまく定義できたのでしょうか?
μ作用素そのものは計算可能関数と正確に一致するそうなので、
問題は「どうやってより大きいμ作用素を生成するか」という
ことになると思います。ふぃっしゅ数の場合は、μ作用素では
ありませんが作用素を大きくしていく、という考え方です。
F1のS変換,SS変換→2重帰納作用素の適用回数を増やす
F2のSS変換→2重帰納作用素の適用回数を数え上げて3重帰納
作用素を作る
F3のs(1),s(2),...s(n)→n-1重作用素の適用回数を数え上げて
n重帰納作用素を作る
F5のm(n)→「M1作用素の適用回数を数え上げるM2作用素」
の適用回数を数え上げるM3作用素の…
→この操作全体の回数を数え上げる
といったイメージです。
- 417 :たろう:2007/09/17(月) 21:09:39
- >>338 の 46580.txt と同じような考え方の関数が過去ログにありました。
5スレ目の
>>768 のhydra gameです。
A{ リスト }(n) で、リストには
[[[]]]や[[][]] のような文字列が入ります。
[a] で順序数ω^a 、[a][b]
のようにリストを並べたもので順序数の加算をあらわし、
A{ [[[....x個....[ ].....x個.....]]] }(x)
で
F[ε_0](n) 程度の増大度になるようです。
- 418 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/17(月) 22:26:14
- >>396のバージョン5では、F[ε_0]=F[C0(1,0,0)]まで到達したので、
バージョン6では、F[η_0]=F[C0(2,0,0)]あたりを目標にしたいと
思いますが、順序数あるいはそれに相当する多進木のような概念を
使わずに、はたしてそこまでたどりつけるかどうか…。
とりあえず、色々と考えながら試行錯誤していきます。
>>396のようにm(1)(x)からF5(x)を生成する変換をm'(2)とします。
m'(2)は+ε_0に相当するので、>>387-388の計算でm2のところを
m'(2)におきかえれば、m2 ===>
+ε_0からはじまって、
m5 m4 m3 m2 ===> ε_0*ω^ω^ω
となりそうです。だとすれば、m'(n)を
((..((m'(n)M(n-1))M(n-2))...M(2))M(1))(x)
:=((..((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(n))M(n-1))...M(2)M(1))(x)
にて定義することで、m'(2)m'(1) は ε_0^2 にはなりそうです。
m(n)をm_n(0)に、m'(n)をm_n(1)に書き直すことで、
m_n(a_1,a_2,...)を定義することも可能でしょうが、まずはm'(n)の
強さを評価するところからはじめようと思います。
しかし、この様子だとm'(x)m'(x-1)...m'(1)でもε_0^ω程度という
ことになりそうで、F[η_0]まではほど遠い感じですね。
- 419 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/17(月) 23:05:25
- m_1(0) = x^x
m_1(1) ≒ F[ε_0]
m_1(2) ≒ F[ε_0^ω]
m_1(3) ≒
F[ε_0^(ω*2)]
m_1(1,0) := m_1(x) ≒ F[ε_0^ω^2]
m_1(1,1) ≒ F[ε_0^(ω^2+ω)]
m_1(1,2) ≒ F[ε_0^(ω^2+2ω)]
m_1(2,0) := m_1(1,x) ≒ F[ε_0^(ω^2*2)]
m_1(1,0,0) := m_1(x,0) ≒ F[ε_0^(ω^3)]
m_1(1,(0がn個)) ≒ F[ε_0^(ω^ω)]
こんなもんかな。ε_1にも到達しなさそうですね…。
- 420 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/17(月) 23:15:25
- とりあえず、多変数の定義があまり賢くなかったので、
そこを多変数Akを参考にしつつもう少し工夫してみる
ことにします。
- 421 :5-682:2007/09/18(火) 00:16:21
- ふぃっしゅさんは順序数などを使わずに挑戦ですか。
巨大数作成者同士仲間でもライバルでもいいので
お互い頑張れればいいですね。
とりあえずVer1.1のF[1,0]→F[1,1]の過程についてあげておきます。
F[1,0](x) = F[Λx](x) (
Λ(n+1) = F[Λn](Ω_(x-n-1) ),
( Λ0 = Ω_(x-1) ) (0≦n≦x, Ω_0=ωとおく)
F[1,0]^x(x) = F[F[1,0](ω)+1](x)
F[ F[1,0]^ω(ω) ](x) = F[ F[
F[1,0](Ω_1)+1 ](ω) ](x)
F[1,1](x) = F[Λx](x)
( Λ(n+1) =
F[Λn](Ω_(x-n-1), Λ0 = F[1,0](Ω_(x-1)) + 1 ) (0≦n≦x)
- 422 :ルート41:2007/09/18(火) 01:04:19
- >>411
アッカーマン関数の意味がやっと解ったです。サンクス
僕が書いたのは最小化をベースにしてアッカーマン関数作るという事だったんですね。
(この書き方で正しいか自分でも疑問だが)
>>416
毎回丁寧な解答ありがとうございます。僕的にはふぃっしゅ数のイメージが
一機に把握できますた。
N→→N>N→N→Nは、4→→4のほうが4→4→4より大きいという当たり前
の事を書いただけです。(1.2.3は=になりますが)矢印表記の場合は書き方
によって大きさが全然変わるので確認のために書きました。単純最後の大きな関数
を作るなら、3重回帰関数を作るよりN=1の時1回帰関数 N=2の時2重回帰関数
N=3の時3重重重回帰関数になる関数を作る方が良いという理想論を書きたかった
だけなんですが(理論上は作れるはずだが、実際に作るのはかなり大変になるはず)
※バージョン6頑張ってください。
- 423 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 17:15:37
- F[a](x)≒H[ω^a](x)なわけだが
+ωでも*ωでも^ωでもなくω^だってのは何気にすごい。
(単にHのやり方がのろすぎるだけともいえるが)
大きい順序数を作って入れるんじゃなく根っこのやり方を変える
ことでη_0に挑戦できないものだろうか。
- 424 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 17:34:27
- 逆に次は順序数の概念をとりいれたヴァージョンでも良いかと思います。
ヴァージョン4でもBBを取り入れているわけですし、手段を問わずに
ひたすらでかい数を追求するというのもありかと思います。
あくまで計算可能な範囲で・・・
Hardy
functionをBBで比較できたらおもしろいんですけどね。
>>423
F[a](x)≒H[ω^a](x)ではなくF[a](x)=H[ω^a](x)です。
F[0](x)=H[1](x)
F[1](x)=H[ω](x)
F[ω](x)=H[ω^ω](x)
F[ω^ω](x)=H[ω^ω^ω](x)
...
ですから結局、
F[ε_0](x)<H[ε_0](x+1)
となりますから、根っこのやり方を変えるんじゃなく大きい順序数を作って入れることが
関数を本質的に大きくするのです。
- 425 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 17:41:10
- ω^ε_0=ε_0なので、
F[ε_0](x)=H[ε_0](x)
です。
- 426 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 18:18:33
- >424いいえイコールではありません。
>425F[ε_0](x)≒H[ε_0](x)なら知ってます。
大きい順序数を作って入れることに相当するほかの手段を
模索したいのですよ。
根っこで1行ですむような定義をしている限り+ωがせいぜい、
よってε_0を超えられない、といいたいなら私もそう思ってます。
- 427 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 18:46:33
- >>425
両辺で(ε_0)_nの取り方を固定した場合、値に関してはイコールにはなりません。
>>426
>いいえイコールではありません。
反例をお願いします。
- 428 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 19:17:09
- >>427
あ、>>110の定義に基づけばイコールになるのですね。
今まで気づかなかった…
(本来Hの定義は>>70)
- 429 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 20:56:03
- ε_0 = lim ω^^n とした場合、
H[ε_0](n) = H[ω^^n](n) < H[ω^^(n+1)](n) =
F[ω^^n](n) = F[ε_0](n)
- 430 :たろう:2007/09/18(火) 21:22:54
- >>424
手段を問わないなら、
int を無限長整数としたC++言語で、
int function(int a);
という関数を作る。
10000文字以内でできるfunctionのうち増加度が最大のものの1個を考えれば、
この関数は計算可能だが増大度が非常に大きい関数となる。
関数 f と g は、
ある整数aが存在し、b>a となる全ての整数b に対し f(b) > g(b)
が成り立った場合に
f > g とする。
上記の関数 f のうち、g > f となる関数
gが存在しないものを、増加度が最大であるとする。
増加度が最大のうちの1個の選び方は、
プログラムの前方からの比較で小さいものを選ぶ。
μ再帰関数でも同様の関数が作れる。
定義の中に基本関数が10000回以内出現するようなμ再帰関数の中で
増大度の最大のものを1個をえらぶ。
これも増大度の非常に大きい計算可能な関数となる。
- 431 :たろう:2007/09/18(火) 22:06:08
- >>424
>Hardy functionをBBで比較できたらおもしろいんですけどね。
>>284 で書いた通り、
H[帰納的でない最小の順序数](n) ≒ BB(n)
と言えそう。
- 432 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/19(水) 00:49:40
- >>424
それはそれで、ちょっと考えた事もありますが、
たとえばm(n)変換上のHardy関数を考えても順序数に
+ω^nする程度になりそうで、あまり意味のある拡張に
なりそうにないんですよね…。
まあ、あくまでも遊びなので、いろいろ考えてみようと
思います。
- 433 :132人目の素数さん:2007/09/19(水) 02:16:59
- >>430
b>aのすべての整数に対してf(b) > g(b)であることを、
計算によって示すアルゴリズムはありますすか?
- 434 :たろう:2007/09/19(水) 07:54:25
- >>433
関数の具体的構成を調べるアルゴリズムが無くても、
計算可能である関数のうちの1個であることは確かなので、
計算可能である。
- 435 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/19(水) 20:09:17
- >>434
f>gを示すために、h=f-gとして、すべての整数b>aに対して
h(b)>0となることを示すアルゴリズムを考える。
b>aが成り立つb1,b2,...を順番に代入する「代入アルゴリズム」
では、有限の計算において常にmax(b1,b2,...,bn)=Bが存在する。
したがって、すべてのd>cに対してh(d)<0であるようなc>Bが
存在する、すなわちf<gである可能性がある。また、B以上で
h(x)が正負を無限に振動するため、fとgの大小関係を決定でき
ない可能性もある。このように、代入アルゴリズムではf>gを
有限時間内に決定できない。
では、代入アルゴリズム以外であれば決定できるのか?
f>gを有限時間内に決定できる一般的なアルゴリズムは存在
しない様に思いますがいかがでしょう。
- 436 :たろう:2007/09/19(水) 21:11:25
- >>435
>>433 と同様の疑問と思われます。
>
f>gを有限時間内に決定できる一般的なアルゴリズムは存在
> しない様に思いますがいかがでしょう。
私は上記アルゴリズムが存在するという主張はしていません。
関数を決定するアルゴリズムが存在するかどうかに関わらず、
>>430 で定義された関数は計算可能であると思いますがいかがでしょう。
計算可能な関数から特定の1個を選んでいるので当たり前です。
----
関数を決定するアルゴリズムが存在するかどうかは今のところ私にはわかりません。
10000文字以内で出来る関数は有限個しかないので、
「10000文字以内のアルゴリズムがわかっている2つの関数の大小比較が出来ないようなものが存在するか」
という問題と同値になります。
- 437 :たろう:2007/09/19(水) 21:26:46
- 「具体的構成を知るアルゴリズムが存在しない関数なら意味がない」というのであれば、
比較するアルゴリズムが存在する関数に限定してください。
- 438 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/19(水) 22:05:01
- >>436
なるほど、関数fの決定が計算可能かどうかは分からない
(問題にしない)けど、関数fは明確に定義され、計算可能
である、ということですね。了解しました。
それから、ビジービーバーを小さくするアプローチはない
ですかね。なんらかの停止判定アルゴリズムを設定して、
それによって停止しないものは停止しないとみなす、
といったような形で。そのような疑似BBは計算可能で、
計算不可能なBBよりも増大度が一気に小さくなりますが、
その小さくする幅をいかに小さくするか、という問題に
帰着させます。
結局は、停止判定アルゴリズムの計算度に依存するのかな…。
- 439 :もやしっ子:2007/09/20(木) 09:15:18
- また見ないうちに楽しそうなことを…
- 440 :132人目の素数さん:2007/09/20(木) 14:59:59
- >438
たとえば停止しない判定をステップ数で行うとしたら、
TMはステップ数以上の1を書くことはできないわけで。
TMが停止する十分条件……原始帰納的関数とかですね。
を状態遷移図から判定するアルゴリズムってできても
かなり難しそう。
- 441 :132人目の素数さん:2007/09/20(木) 19:17:02
- >438
わざわざ小さくする意味がわかんね。
- 442 :132人目の素数さん:2007/09/21(金) 05:07:27
- >>431
具体的な値で比較できたら面白いと思いますがそれは無理かな。
たとえば、BB(6)までなら指数関数くらいで押さえられそう
ですが、BB(8)とかだとアッカーマン関数でないと追いつかない
とか。実質、H_Ω(x)=BB(x)だとするなら、BB(20)とかBB(30)は
いったいどれくらいの大きさの可算順序数を用いたH_αが必要なのかと
・・・どうアプローチしたらいいのかわかりませんが。
ヒドラ対ヘラクレスのような単純なアルゴリズムでH_[ε_0](x)
になってしまうらしいですからやはりBBは人智を超えているのでしょう
ね。といろいろ想像などしています。
- 443 :132人目の素数さん:2007/09/21(金) 17:03:39
- そのBBが基底(MIN)となる世界なんて想像できないww
- 444 :132人目の素数さん:2007/09/21(金) 22:06:08
- BB(100)とかのチューリングマシンはタワーのような数を大きくすることを目的としたような
操作を繰り返すチューリングマシンなのか、それとも数論の答えを求めるような計算をする
チューリングマシンなのか、はたまた全く別物なのか…。
- 445 :132人目の素数さん:2007/09/22(土) 01:04:17
- BB(4)ですらわけわからんよ。あれは急増加関数じゃなくて
たまたま0を入れたら大きな数が出てくる壊れた機械だ。
- 446 :132人目の素数さん:2007/09/22(土) 08:45:14
- どういう計算をしてるのか、人間の能力では解釈できないようなチューリングマシンになると思う。
例えば、コラッツの予想(偶数なら2で割り、奇数なら3倍して1を足していくといつかは1になる)で
ルールは単純なのにも関わらず、いつかは1になることの理由がなかなか分からないように。
(コラッツの予想が正しいとは限らないが)
- 447 :5-682:2007/09/23(日) 23:59:39
- F[1,0](Ω_n)→F[1,0](F[1,0](Ω_n))について補足。
F[1,0](Ω_n) = F[
F[1,0](Ω_(n+1)) ](Ω_n)とする。
F[Ω_1](F[1,0](ω)) = F[ F[1,0](ω) ](F[1,0](ω)) =
F[Λω](F[1,0](ω))
= F[ F[ ... F[Ω_x] ... ](ω) ](F[1,0](ω))
F[1,0](F[1,0](ω)) = F[ F[1,0](Ω_1) ](F[1,0](ω))
= F[ F[ ...
F[Ω_(x+1)] ... ](Ω_1) ](F[1,0](ω))
Ω_ω→Ω_ω+1への定義が非常に困難なのであえて
F[1,
0](λ) = F[F ... F[Ω_ω] ... ](Ω_1)](λ)
と順序数λの形に関わらずΩ_ωに固定収束で定義しています。
この場合、F[1, 1](ω)でネスト元がF[1, 0](Ω_ω)でΩ_(ω*2)に相当します。
またHowardFunction
ψ(ε_(Ω+1))については
F[Ω_1^Ω_1^ ... ](ω) = F[ε_(Ω+1)](ω) で達すると考えられます。
F[
F[Ω_2 + 1](Ω_1) ](ω) で ψ(Γ_(Ω+1) 程度になるようです。
- 448 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/24(月) 18:29:13
- 少しずつまとめはじめています。
http:///gyafun.jp/ln/largenumber.pdf
- 449 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 19:30:14
- >>448
おお、乙!
まだ途中までしか見てないけど、すごい丁寧だ
- 450 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 19:45:07
- >>448
グラハム数個の乙!
- 451 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 20:06:16
- sage忘れスマソ
そういえばなんで途中で文体を変えているの?
- 452 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 20:06:55
- おお、すばらしい!
ふりかえってみるとまさかこんなに高度なところまでくるとは
思いませんでしたね。
- 453 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 20:21:21
- ちなみに、Hardy functionの定義は
H_0(x)=x
H_α+1(x)=H_α(x+1)
H_α(x)=H_α_x(x) (αが極限順序数のとき)
Hydra gameとの対応を考えた場合はすこし変える必要がありますが、
これでよいと思います。ほとんどの論文等ではH_0(x)=xとしています。
- 454 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 20:39:11
- >>450
何て少ないんだ……
おまいには人の心というものがないのか!
- 455 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 21:21:28
- ・F_α+1(x)
F_αをx回繰り返す関数
・F_α+2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数
・F_α+ω(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数
・F_α+ω+1(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数
・F_α+ω*2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数
・F_α+ω^2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことをx回繰り返す関数
・F_α+ω*3(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことを………
このような………
この……… って感じのことをx回繰り返す関数
・F_α+ω*4(x)
めんどい
・F_α+ω*5(x)
めんどいをx回繰り返す関数を………
アーメン
- 456 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 21:29:48
- *と^間違えたw
- 457 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/09/25(火) 01:37:32
- >>451
なんとなく、気分で変えてみました。
が、やはり統一しようかな。
>>453
ありがとうございます。
Hardyの説明は手強そうです。
そこまで行くのはまだ先のことになると思いますが、
とりあえず手元のソースファイルを訂正しておきました。
- 458 :132人目の素数さん:2007/09/27(木) 03:52:12
- http:///web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
の表記法を解説していただけるというのはありがたいですね。
自分には数学的知識や英語力が不足しているのか、読んでも理解できなかったので。
- 459 :132人目の素数さん:2007/09/27(木) 17:01:25
- ああ
- 460 :ルート41:2007/09/28(金) 20:49:11
- ふぃっしゅっしゅ氏が今までの内容をまとめてる間、雑談程度のスレを
命数法に上数、中数、下数があり、我々は普段中数を使用している訳だが。
(無量大数は下数なら10^20、中数なら10^68、上数なら10^262144となる。)
この下数や上数の考えかたで矢印記号を考えてみました。
まずは上数矢印記号から
↑の定義は以下のようになる。
a↑b=a^a^・・・^a ※aの数がb^b個となる
例)3↑4=3^3^・・・3^3 ※3の数が256個
a↑b↑c=a↑(a↑(a↑・・・a↑b))) ※()がb↑b回となる
例)3↑4↑5↑=3↑(3↑(3↑・・・(3↑4))) ※()が5↑5回
タワー表記では普通このような表記をしないが、矢印記号の統一を図るため
上数矢印記号では上記のように表記しました。
a↑b↑c↑d=(a↑b↑(a↑b↑・・・(a↑b↑c))) ※()がd↑d↑d回となる
例)3↑3↑3↑4=3↑3↑(3↑3↑(3↑3↑・・・(3↑3↑3))) ※()が4↑4↑4回
ちなみに、(3↑3↑3)が130個で確実にグラハム数を超えると推測されます。
a↑↑b=a↑a↑・・・a↑a ※Nの数がb↑b個となる
例)3↑↑4=3↑3↑・・・↑3↑3 で3の数が4↑4個
a↑↑↑b=a↑↑(a↑↑(a↑↑・・・(a↑↑a))) ※()がb↑↑b回となる
例)3↑↑↑4=3↑↑(3↑↑(3↑↑・・・(3↑↑3))) ※()が4↑↑4回
- 461 :ルート41:2007/09/28(金) 20:50:15
- →の定義は
a→b=a↑↑・・・↑↑a ※↑の数がb↑b
例)3→4=3↑↑・・・↑↑3 ※↑の数が4↑4個
上数矢印 3→3でコンウェイのチェーン表記で表現できない程大きくなると推測されます。
a→b→cとa→→bの変換は↑と一緒
→の次は↓となり
a↓b=a→→・・・→→a ※→の数がb→b個となる
以降。←、2回転目↑、2回転→と繰り返していく。
最後に矢印回転の表記を○で表すと
a○b=a←a ※←はb↑b回転目の←となる。
例)3○3=3←3 ※←は3↑3回転目の←
まあ、通常の矢印記号より遥かに大きい数ではあるが、かなり無節操。その上、
アッカーマン関数を工夫すれば簡単に抜けるだろうし、ふぃっしゅ数バージョン5、
bb関数、ωからみれば無に等しいけど。
- 462 :ルート41:2007/09/28(金) 20:51:08
- 一方、下数矢印記号は
a↑b=a^a^a・・・^a ※aの数がb個
(通常のa↑↑bから始めるよりa↑bから始めた方が解りやすいので上記のように表記)
例)3↑4=3^3^3^3
a↑↑b=a↑(a↑b)
a↑↑↑b=a↑(a↑(a↑b)
例)3↑↑↑4=3↑(3↑(3↑4)
a→b=a↑↑・・・↑↑a ※↑の数がb個
(これも通常のa→b→cよりa→bとした方が解りやすいので上記のように表記)
例)3→4=3↑↑↑↑3
a→→b=a→(a→b)
例)3→→4=3→(3→4)
なお、a→b→c→・・・→zの変換はタワー表記↑で行われないので。矢印記号の統一を
図るため、下数矢印表記では行わないことにしています。
- 463 :ルート41:2007/09/28(金) 20:51:49
- 矢印回転○は
a○b=a←a ※b回転目の←
例)3○4=3←3 ※4回転目の←y
下数矢印記号ならグラハム数を超えるのは3↓130と推測されます。
また、下数矢印記号のa○bは上数矢印のa↑↑bより
小さい値を示めします。(a≧2でb≧2の時)
僕自身は最初、通常の矢印記号を間違って下数矢印記号のように理解しておりりました。
なお、コンウェイのチェーン表記
a→→a→→a→→a
の正しい計算方法が判らないため、
a→a→a→a
と同じ計算をすると仮定しています。(その計算も膨大過ぎるため、結果は推測です)
- 464 :132人目の素数さん:2007/09/28(金) 21:03:24
- >>463
a→→a→→a→→aは
(a→→(a→→(a→→a)))の順で計算すると僕は思っています(つまり最後から)
- 465 :ルート41:2007/09/28(金) 22:43:32
- >>464
その計算ならコンウェインのチェーンもそれほど大きくならなくてすみますよね。
仮に
A→→b→→c=A→→(A→→(b-1)→→c)→→(c-1)
だった場合
3→→3→→3=3→→(3→→26)
3→→3→→4≒3→→(3→→・・・(3→→3)※()の数が49個
と物凄い勢いで()が増えていきますからね。
これで行くと、矢印回転の意味合いが変わってきますからね。
- 466 :たろう:2007/09/29(土) 00:12:25
- >>460
■上数定義
↑↑↑ の定義は合ってる?
↑から↑↑の変化に比べて、↑↑から↑↑↑の変化が小さすぎる。
↑↑↑↑以降の定義も↑↑から↑↑↑に増やした場合と同じ様だとすると、
a○n でやっとコンウェイのチェーンn個のn位の大きさ。
a↑↑b↑↑c や a↑↑b↑↑c↑↑d を a↑b↑c やa↑b↑c↑d
と同じように定義して、
a↑↑↑b = a↑↑a↑↑....↑↑a
としないと。
これだと、a→n
でコンウェイのチェーンn個のn位の大きさ。
■下数定義
a○b でやっとアッカーマン関数と同程度になるような気がする。
3↓130 ではぜんぜんグラハム数に到達しないんじゃ....
- 467 :132人目の素数さん:2007/09/29(土) 07:53:52
- >>465
A→→b→→c=A→→(A→→(b-1)→→c)→→(c-1)
これは盲点でした確かに凄いことになりますね
- 468 :ルート41:2007/09/29(土) 11:59:02
- >>466
上数定義はご指摘の通り。
A↑↑b↑↑c=A↑↑(A↑↑・・・(A↑↑b)※( )の数c↑↑c
A↑↑↑b=A↑↑A↑↑・・・↑↑A ※(↑↑)の数がb↑↑b
が抜けていました。
僕はタワー表記を
3↑↑↑↑3
=3↑↑↑(3↑↑↑3)
=3↑↑↑(3↑↑(3↑↑3)
=3↑↑(3↑↑(3↑↑(3↑↑3)
と計算出来ると間違えておりました。勉強になりました。
独学でやっていると間違った計算をそのまま使用してしまいますね。
ところで、矢印2回転目の↑はこのスレではタワーの計算で定義して
るんですかね?それともチェーンの計算方法?
- 469 :132人目の素数さん:2007/09/29(土) 15:57:31
- >>468
それはおそらくチェーンでしょう(↑2)はチェーンよりも上位の矢印なわけですし
- 470 :132人目の素数さん:2007/09/29(土) 16:49:54
- 7 名前:【Bird's Revolving Arrow Notation】 :03/04/04 19:46
定義をまとめておきます。
参考:チェーンとの対応は(a→b→...→x→y→z)=↑1(a,b,...,x,y,z)
タワーとの対応は(a↑...c個...↑b)=(a→b→c)=↑1(a,b,c)
以下a,b,...,zは全て自然数(>0)とします。
まず多変数関数↑1を次で定めます。
↑1(a):=a
↑1(a,b):=a^b
3変数以上に対しては、
↑1(a,b,...,x,y,z):=↑1(a,b,...,x,y) (y=1
or z=1)
↑1(a,b,...,x,y,z):=↑1(a,b,...,x,↑1(a,b,...,x,y-1,z),z-1)
(y>1,z>1)
次に多変数関数↑n-1から、多変数関数↑nを作ります(n>1)。方法は、
↑n(a):=a
↑n(a,b):=a^b
↑n(a,b,c):=a^b (b=1 or c=1)
↑n(a,b,2):=↑n-1(a,a,...,a) (aがb個)
↑n(a,b,c):=↑n(a,↑n(a,b-1,c),c-1)
(b>1,c>2)
4変数以上に対しては、
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,y) (y=1 or
z=1)
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,↑n(a,b,...,x,y-1,z),z-1)
(y>1,z>1)
- 471 :ルート41:2007/09/29(土) 17:13:49
- >>469 >>470
回答ありがとうございます。
矢印回転はチェーンの計算を基本にしているんですね。
ただし、コンウェインのチェーン表記のA→→b=A→A→・・・→A ※Aの数がB個
A→→→b=A→→(A→→A→→・・・→→A)※( )無いのAの数がb個
は含まないみたいですね。
- 472 :132人目の素数さん:2007/09/29(土) 21:08:34
- 2日前に何かを検索する途中、なぜか「グラハム数」に出会ってしまいました。
(何を検索していたのかは忘れましたが・・・)
その「暴力的」な増加(というか爆発と表現する方が適切か?)の先に得られるグラハム数に驚愕しました。
また同時にえも云われぬ高揚感を抱きました。
それからすぐに巨大数研究室のページに辿り付き、過去スレの1?6を貪るように読みふけりました。
正直、かなり序盤の方で僕の理解を超える議論がなされていましたが
巨大数探索(今となってはこの表現は不適当でしょうが)スレッドには
ログを読むことを放棄させない魅力、というかなんらかの魔力のようなものがあります。
- 473 :472ですが・・・:2007/09/29(土) 21:10:02
- 個人的に確実に理解できているのは今のところチェーン表記がせいぜいというアフォっぷりです。
アッカーマン関数の爆発具合はなんだか凄い、というのも分かります。
熱心に議論している諸氏に対して不謹慎かもしれませんが
スレの途中に出てくるプロジェクトXやRPG風の記載をおもしろく読んでいる程度です。
そんな僕ですがひとつ疑問があります。
今更すぎてスレ汚しなのは承知していますが恥をしのんで聞かせてください。
Hardy
functionについて順序数ωが理解できません。
自然数全体集合についての最小の無限順序数がωとのことですが
「つまりωは自然数ではない」との理解でいいのでしょうか?
自然数 → 整数 → 有理数 →
実数・・・というような広がりとは根本的に異なるのでしょうか?
- 474 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/01(月) 01:03:09
- >>473
「ωは自然数ではない」との理解でいいです。
- 475 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/01(月) 01:06:09
- 例の文書を書く中で、バード数と多変数アッカーマンの比較などをして
いたところです。
A(1,0,2,1,2)がバード数よりも大きい事が分かりました。
- 476 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 17:43:33
- >A(1,0,2,1,2)がバード数よりも大きい
ど、どういうことですか?
0と1と2しかないのに
- 477 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 18:00:18
- Veblen関数の日本語wikiが書かれています。
http:///ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%B3%E9%9A%8E%E5%B1%A4
- 478 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/01(月) 21:14:03
- >>476
細かい計算は、おいおいアップする文書に書く予定です。
興味のある人は楽しみにしていてください。
Aの定義にしたがって計算して行くと、
A(1,0,0,0,x)=A(x,0,0,x)≒↑x(x,x,x)
A(1,0,0,n,x)>X_n(x)
A(1,0,0,1,0)=3
A(1,0,0,2,0)≒↑3(3,3,3)>G
A(1,0,0,3,0)>↑G(3,3,4)=N
A(1,0,1,4,0)>H
A(1,0,1,5,0)>X_H(N)
A(1,0,2,1,2)>B(バード数)
といった感じになります。細かい計算をしなくても、
バード数の定義の X_n(a) の入れ子操作n回 ≒
F[ω^3+ω+1](n)
A(1,0,2,1,n) ≒ F[ω^3+ω*2+1](n)
から考えると妥当な結果だと思います。
> 0と1と2しかないのに
1だけでも十分ですよ。
A(1,1,1,1,1) >
A(1,1,1,0,B) ですから。
- 479 :たろう:2007/10/02(火) 00:04:59
- バード数 < Ak(1,0,1,2,2)
- 480 :たろう:2007/10/02(火) 00:23:17
- -------- バード数の定義 --------
X[0](n) = ↑n(n,n,n)
X[m+1](n) =
X[m]^n(n)
N=↑G(3,3,4)
f(n) = X[n](N)
バード数 = f^(f^2(N)+1)
(N)
※↑n(n,n,n) の定義は「巨大数探索スレッド5」の >>7
※n, m = 1,2,3,....
-------------------------
であってるかな?
g(n) = X[n](n) とすると、
g(2) > N となって、g^(n+1)(2) > f^n(N) となり、
バード数 = f^(f^2(N)+1) (N)
< g^(g^3(2)+2)(2) となる。
g(n) < Ak(1,0,1,0,2n) から、
g^n(2) <
A(1,0,1,1,2n) となり、
g^(g^3(2)+2)(2) < Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,1,6)*2+4) <
Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,2,0))) = Ak(1,0,1,2,2)
よって バード数 <
Ak(1,0,1,2,2)
- 481 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 14:02:59
- >>478-480
50%くらいはわかりました、しかし5変数でこれならn変数akとかはどうなってしまうのだろう?
- 482 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 18:42:38
- n変数でH[ω^ω^(n-1)]くらいに相当すると思われます。
- 483 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 18:47:09
- >>482
じゃあH[ε_0]のほうがはるかにでかいんですね,すごいぞHardy function
- 484 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 20:34:14
- busy beaver function のほうがはるかにでかい
- 485 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 21:21:21
- BBはなぁ。
でかいことはわかっているがどれくらいでかいかさっぱりわからんからなぁ。
- 486 :ルート41:2007/10/02(火) 22:04:47
- >>466
>>468の修正定義で計算し直してみました。
下数矢印でグラハム数を表記すると
3○(3○・・・(3↓(3→(3↑3)※3○(が63個と計算できました。
ただ、上数矢印の方なんですが、コンウエインのチエーン表記が
4→4→4→9<4→4→4→3→2であり
(最後の数が多き時よりチェーンを伸ばして3→2にした方が大きい)
a→a→・・・→3→2=a→a→・・・(a→a→・・・?(a→a→・・・→a)
※Aの数がn個の場合( )の数が(A→A→・・・→A)Aがn個
と計算で出ます。
例)4→4→4→3→2=(4→4→4→(4→4→4→(・・・(4→4→4)
( )の数が4→4→4個
すると上数矢印が
a→a→・・・→a=a→a→・・・(a→a→・・・?(a→a→・・・→a)
※Aの数が(n+1)個の場合( )の数が(A→A→・・・→A)Aがn個
となるので、チェーンn個のnに相当すると計算がでたんですが?
例)4→4→4→4=(4→4→4→(4→4→4→(・・・(4→4→4)
( )の数が4→4→4個
また、コンウェインのa→→→・・・→a(右の数がn個)と
上数矢印のa↑↑↑・・・↑a(↑がn+1個)が同程度になる。
まあ、上のA(1.0.2.1.0)と比べると無に等しいですが。
- 487 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/02(火) 22:56:33
- >>480
なるほど、そうやって計算するんですね。
たとえばグラハム数だと
f(n)=3→3→nとすると
f(n)<A(1,0,n+2) から
f^n(n)<A(1,1,n+2) となり
グラハム数 = f^64(4) < A(1,1,66) < A(1,1,A(1,2,1)) = A(1,2,2)
よって
グラハム数 < A(1,2,2)
といった感じかな。
たぶん A(1,2,1) = A(1,1,61) <
グラハム数 < A(1,2,2)
- 488 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/03(水) 00:49:06
- よく考えたら、>>487の計算はすでに自分がしていました。
http:///www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln023.html
ここの320がF1の定義、329-331がS変換の計算。
S変換をn回施した後のg(x) = A(n-1,x,x)
S変換を2回施した後のg(2) = A(1,2,2) > グラハム数
- 489 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/03(水) 00:59:22
- ふぃっしゅ数バージョン3(F3)と多変数アッカーマンの関係
F3改良型
関数f(x)からg(x)への写像s(n)
(n>0)を以下のように定める。
s(1)f:=g; g(x)=f^x(x) [原始帰納]
s(n)f:=g;
g(x)=[s(n-1)^x]f(x)f (n>1) [n重帰納]
(以下略)
(注)旧F3のs(n)が、新F3のs(n+1)に相当する。
このとき、f(x)=x+1として
[s(1)^a1][s(2)^a2]...[s(n)^an]f(x) = A(an,...a2,a1,x)
- 490 :ルート41:2007/10/03(水) 03:50:22
- >>466
>>486です。
3→3→3→4と3→3→4→3を計算すなおして自分の間違いに築きました。
チェーン表記は僕の理解より大きな数字なんですね。
- 491 :132人目の素数さん:2007/10/03(水) 17:35:23
- Hardy functionすげえなF_α+1(x)あたりから計算してみたけど
F_α+ω^3(x)で矢印回転関数を超えてしまった
- 492 :132人目の素数さん:2007/10/05(金) 00:55:35
- α?
- 493 :132人目の素数さん:2007/10/06(土) 04:39:09
- >>>266 のように、ある言語を用いて大きな可算順序数を作ることを考える。
>n文字(またはn単語、nトークンなど) で表せる最大の可算順序数を
>o(n) とした場合、この極限 lim o は可算なのだろうか?
>
>可算だとすると、
>帰納的定義では到達できないほど大きな可算順序数が存在することになる。
>
>非可算(つまりΩ)になるとすると、
>可算順序数の列で、極限が非加算になるものが存在することになる。
結局これってどっちなの?ビジービーバーっぽいけど…
可算だとしたらBB(x)に匹敵するH[可算順序数](x)が存在するってこと
になるのでは?
- 494 :132人目の素数さん:2007/10/06(土) 13:19:30
- グラハム数<A(1,2,2)
グラハム数の大きさに仰天していた時代がなつかしい、いまじゃこんな(相対的に)小さい
数になってる
- 495 :132人目の素数さん:2007/10/07(日) 01:53:15
- >>493
その文だと分かりにくいが、ω_1^CKのことか
ω^1_CKなら、可算かつ計算不可能な順序数
- 496 :132人目の素数さん:2007/10/07(日) 02:01:32
- >>493
って、>>268-273で既に答えられてるじゃないか
というか、可算のものを用いて可算ステップの構成を行ったとき、
その結果は絶対に可算だよ。
- 497 :もやしっ子:2007/10/07(日)
02:30:24
- あの、懲りずに勉強会などやりたいのですが。
場所は文京区シビックセンター和室(と思われます。)
前回は告知がグダグダだったのでトータル2人でした。
11/3あたり場所取りできるかも(他力本願)なので初心者からガチの方まで
参加して頂ければ幸せです。
日程、場所は変更することがあります。
気になった方はメール欄のアドレスに送ってどうのこうのして頂ければ。
特にガチで戦える方、切実にご教授を望みます。素人計算だけでは無理です。
- 498 :132人目の素数さん:2007/10/07(日) 05:01:06
- なぜメ欄にねぎ姉さんの作者のメアド?
- 499 :もやしっ子:2007/10/07(日)
16:41:39
- mixiでばらしているのですが、わたくし「もやしっ子」が
「ねぎ姉さん」の作者だからです。
- 500 :132人目の素数さん:2007/10/07(日) 21:58:04
- ねぎ姉さんの作者がこんなスレに来るなんて意外だ。
東大でゼミをやると聞いて最近驚いたばかりなのに。
- 501 :132人目の素数さん:2007/10/07(日) 23:47:26
- このスレにいることより、初期からいて研究室を立ち上げた
もやしっ子だったのが驚き
- 502 :132人目の素数さん:2007/10/08(月) 08:07:58
- ねぎ姉さんって誰?
- 503 :132人目の素数さん:2007/10/08(月) 10:44:55
- ,.-─ ─-、─-、
, イ)ィ -─ ──- 、ミヽ
ノ /,.-‐'"´ `ヾj ii
/ Λ
,イ// ^ヽj(二フ'"´ ̄`ヾ、ノイ{
ノ/,/ミ三ニヲ´ ゛、ノi!
{V
/ミ三二,イ , -─ Yソ
レ'/三二彡イ .:ィこラ ;:こラ j{
V;;;::. ;ヲヾ!V ー
'′ i ー ' ソ
Vニミ( 入 、 r j ,′
ヾミ、`ゝ ` ー--‐'ゞニ<‐-イ
ヽ ヽ -''ニニ‐ /
| `、 ⌒ ,/
| > ----
r‐'´
ヽ_ |
ヽ _ _ 」
ググレカス [
gugurecus ]
(西暦一世紀前半?没年不明)
- 504 :132人目の素数さん:2007/10/08(月) 12:51:51
- ネギまとはかんけいないのか…。
- 505 :ルート41:2007/10/11(木) 16:36:09
- >>460の上数矢印はとても上数とは呼べる品物ではなかったので。改めて上数の方を
定義しなおしてみました。今度は矢印回転でn重帰納関数になったと思うんですが。
段落ごとに整理して定義してみます。
?a↑0=a a↑b=a^a^・・・a^a ※^の数がb個
例)3↑1=3^3
3↑3=3^3^3^3
?a↑↑0=a ※以降右の数字が0のときはaとなります。
a↑↑b=a↑(a↑↑(b-1)) ※タワーの計算と一緒
例)3↑↑2=3↑(3↑3)
3↑↑3=3↑(3↑(3↑3))
?a↑↑↑b=a↑(a↑↑↑(b-1))
1-?a→↑b=a↑↑・・・↑a ※↑の数がb個
例)3→↑4=3↑↑↑↑3
1-?a→↑↑b=a→↑(a→↑↑(b-1))
例)3→↑↑4=3→↑(3→↑(3→↑(3→↑3)))
2-?a→→↑b=a→↑↑・・・↑a ※↑の数がb個
例) 3→→↑4=3→↑↑↑↑4
2-?a→→↑↑b=a→→↑(a→→↑↑(b-1))
※→を伸ばす操作が2重帰納関数
- 506 :ルート41:2007/10/11(木) 16:37:40
- 1-1-? a↓→↑b=a→→・・・→↑a ※→の数がb個
1-1-? a↓→↑↑b=a↓→↑(a↓→↑↑(b-1))
1-2-? a↓→→↑b=a↓→↑↑・・・↑a ※↑の数がb個
2-1-?
a↓↓→↑b=a↓→→・・・→↑a ※→の数がb個
※↓を増やす操作が3重帰納関数
矢印の回転数を○で表すと
a○b=a←↓→↑←・・・→↑a ※矢印記号がb個
※bの数値を増やす操作がn重帰納関数
ここまで書く気がつく人も多いと思いますが、↓→↑の記号の意味を
左の段階を表す1-1-?のほうが簡単に表してます。
そこで実際の上数矢印は
a(z-y-・・・ーf-e-d-↑c)bと表記します。
例) 7(3-2-4-↑5)6≒7←←7←←7←←7←←6←←5
※コンウエインのチェーン表記の→→の定理を含んだ矢印回転表記です。
また、グラハム数=3(1-↑1)64となります。
- 507 :133人目の素数さん:2007/10/11(木) 20:20:32
- 簡単すぎて ツマンネーーーーーーーー
- 508 :たろう:2007/10/11(木) 22:30:56
- N (...-b3-b2-b1-↑b0) c = ↑[..., b3, b2, b1, b0, c] と書くことにすると、
↑[X,
0] = N
↑[□, 1, a+1] = N ^ ↑[1, a]
↑[□, 1, 1, △, a+1] = ↑[a+1, △, N]
↑[X, b+2, 1, △, a+1] = ↑[X, b+1, a+1, △, N]
↑[X, b+2, a+1] = ↑[X, b+1,
↑[X, b+2, a] ]
N○a = ↑[1がa個, N]
ただし、
a, b : 0以上の整数
N:
1以上の整数
□: 0個以上の0
△: 0個以上の1
X: 0個以上の0以上の整数
まとめるとこんな感じかな?
?a↑↑↑b=a↑(a↑↑↑(b-1))
これは
?a↑↑↑b=a↑↑(a↑↑↑(b-1))
これの間違いですよね?
- 509 :ルート41:2007/10/11(木) 22:38:34
- >>508
ご指摘の通り間違いです。訂正ありがとうございます。
- 510 :もやしっ子:2007/10/12(金) 03:38:26
- あ、どうも。
ふぃっしゅしゅ氏とメールでコンタクトを取っています。
僕と遊んで頂けるようなので、2人だと寂しいから誰か来ませんか。
当日の内容は、集まったメンツと流れ次第で決める感じで。
- 511 :有流才蔵:2007/10/12(金) 18:13:35
- なんだ、まだやってたのかこのスレ
ちなみにHNは「うるさいぞう」って読むんだよw
実は関東在住でヒマだから行ってやってもいいけど
もう昔のことなんか忘れちまったよw
ちょっと過去ログみたら、モヤシが、カナモリの本持ってるって書いてあって
「をひをひ、そこまでやるか。でも、オレも買ったけど」なんちってw
そういえば、どっかの集合論フリークのブログで0#の話書いてあったな。
今のオレはあの程度でもうおなか一杯っていうか、別方面に関心があるんで。
- 512 :有流才蔵:2007/10/12(金) 18:28:47
- 最近凝ってることの一つは、自然数を素数だけで表すこと
自然数は素数の積で表せるが、その場合素数の指数に表れる
自然数をまたシツコク素数の積で表し・・・なんて続けると、
いい加減どっかで1になる。
こうやって出来た素数による「木」を見て眺めるわけだ。
まるで爺ィの盆栽趣味だなw
- 513 :132人目の素数さん:2007/10/12(金) 22:03:16
- 木か。
木もうまく使えば巨大数生成に役立つかもね。
ていうか多重リストが木に相当するのかな。
- 514 :132人目の素数さん:2007/10/12(金) 23:07:31
- >>342の多進木がそれかな。
- 515 :もやしっ子:2007/10/12(金) 23:11:42
- 盆栽というか、そのものぢゃないですか。趣があっていいと思います。
カナモリ氏の本はね…僕はいまだにforcingも使えませんからね…
思うにあの頃の才蔵氏はツンデレの最先端を地で行っていたと思います。
今回集まってやるのは、よくて才蔵氏の後を追っかけるようなものなので
(Hardy関数ってなんぞ、とかそういう)
半端なことやってるの見られたらリアル雷落とされちゃうかな?
みたいな。
ま、ママゴトですからよかったらお気軽にどうぞ。
- 516 :132人目の素数さん:2007/10/12(金) 23:39:53
- >>512
なんとなくコラッツ予想の木を思い出した
- 517 :有流才蔵:2007/10/13(土) 07:00:20
- >僕はいまだにforcingも使えませんからね…
はっはっは、・・・実は漏れも使えん・・・OTL
>思うにあの頃の才蔵氏はツンデレの最先端を地で行っていたと思います。
漏れは涼宮ハルヒかっ!
しかし、このスレに本当に必要なのは・・・長門有希だな・・・
実際には、朝比奈みくるみたいのばっかりだが。
み・み・みらくる・みくるんるんw
- 518 :有流才蔵:2007/10/13(土) 16:23:30
- そういえば、512でいってた写像だけど
木に適当な順序をつければε_0になるので
実は自然数をε_0にみなせるんだよね。
- 519 :132人目の素数さん:2007/10/13(土) 17:58:15
- 順序数を木で表し、最も効率の悪い切り方(常に一番端から切る)をした
時にすべてをカットしたときの手数をnとすると、
n=Hα(1)-1 α<ε0
となる。
ただし、
H0(x)=x
Hα+1(x)=Hα(x+1)
Hα(x)=Hα[x+1](x+1) (αが極限順序数のとき)
とする。
- 520 :132人目の素数さん:2007/10/14(日) 08:45:17
- >>519
>順序数を木で表し
kwsk
- 521 :132人目の素数さん:2007/10/14(日) 15:10:36
- 前スレ辺りのHydra gameを要約しすぎたんだと思われ
- 522 :有流才蔵:2007/10/14(日) 21:14:00
- ところで5スレの682ってのは呼びにくいな。
初登場は2003年10月10日か。もうこの頃漏れは別スレで暴れてたな(をひ
(この流儀でいくと
漏れ様は3スレの264(2002年11月7日初登場)
モヤシは2スレの695(2002年8月8日初登場)
サカナは2スレの148(2002年6月20日初登場))
じゃあ、漏れが渾名をつけてやろう。
ナゴヤンってのはどうだ(w
- 523 :132人目の素数さん:2007/10/14(日) 21:45:46
- 有流才蔵マジキモイ
- 524 :有流才蔵:2007/10/15(月) 16:49:07
- >>380
>まずはふぃっしゅ数ver.5の定義をはっきりさせる
>ところからはじめようと思います。
なんかでじゃぶーw
もちろん、対角化によって増大度を上げることはいくらでもできるよ。
ただこの場合、関数の列をどう構成するかがカギなので、
そこが記述できてないと全然意味がない。
早い話が、BBだって対角化。でもこの場合関数の列を構成する
手続きが書けないから、関数を手続きとして考える場合には失格。
Hardy関数は、順序数の構成手続きによって、関数の列を構成する
手続きが決まるから、その意味では合格。
- 525 :有流才蔵:2007/10/15(月) 17:07:24
- >>448をみた。
発想としてはprimitive recursive functionalを用いる
Goedelの自然数論の無矛盾性証明に通じるものか?
ちなみにprimitive recursive functionalによって
作れる関数の範囲はε_0より小さい超限帰納法による
ものと同等。
- 526 :有流才蔵:2007/10/15(月) 21:28:09
- (ふぃっしゅ評)
>打たれても打たれても立ち上がってくる、
>ジャンプ系の主人公
>戦隊組んだら、間違いなく赤
ふーん。じゃ、後から出てきて
Hardyだのなんだのと、エエとこどりの
ナゴヤンはさしずめクールな青か。
モヤシは・・・喫茶店のマスターだなw
そんでもって、漏れは悪役。
イメージとしてはレインボーマンに出てくる
死ね死ね団の団長、ミスターKだな。
- 527 :132人目の素数さん:2007/10/16(火) 06:51:43
- 現時点で、具体的な計算方法が示されている関数の中で
一番大きいのはH[ψ_0(Ψ)]なのかな。
>>391の方針でうまくいけば、もっと大きい関数が作れそうだけど。
- 528 :132人目の素数さん:2007/10/16(火) 10:18:28
- もうなんか巨大順序数探索スレって感じになって来たな。
より大きな帰納的関数を作れば作るほどビジービーバーが
どれだけたがの外れた増加をするのかがわかってくるな。
- 529 :有流才蔵:2007/10/16(火) 14:27:28
- >>111
>過去ログによれば、
>ふぃっしゅ関数ver.1<F[ω^2]、
>ふぃっしゅ関数ver.2<F[ω^3]、
>ふぃっしゅ関数ver.3はF[ω^ω*63]程度
漏れとしては
・ver.1の評価・・・○ (6スレ526-527)
・ver.2の評価・・・△ (6スレ527-529)
・ver.3の評価・・・× (6スレ544)
(どうみてもω^ω未満。あれではω^ωが出来たとはいえない)
- 530 :有流才蔵:2007/10/16(火) 14:39:45
- >>289 >>292
たろうクン、289が正しいよ。292はまちがっとる。
さらに、ω^ωのレベルになったら、加えたんじゃダメ。掛けなくちゃ。
したがって
>>311
>ふぃっしゅ数バージョン5のf5(n) ≒ F[ε_0](n)
は却下。差し戻し。
- 531 :有流才蔵:2007/10/16(火) 14:54:22
- >>387 >>388
力づくで間違ったな。
>m3 m2 ===> +ω
・・・
>m3 m3 m2 ===> ω^2
>m3^a m2 ===> ω^a
ここが力づくの誤り。
そんなことはふぃっしゅは書いてない。
- 532 :有流才蔵:2007/10/16(火) 15:02:50
- >>531
書いてないから、これはたろうクンのオリジナルな貢献だ。
たろうクン、おめでとう。
ということで、勝手ながら
ふぃっしゅ5に対するたろう氏の解釈を入れた関数を
ふぃっしゅ=たろう関数、いや、たろう関数、と
呼ぶことにしたい(w
- 533 :132人目の素数さん:2007/10/16(火) 16:50:59
- (オリジナルはむしろ前スレだと思うんだが)
- 534 :有流才蔵:2007/10/16(火) 17:26:57
- >>533
6スレ305の魚スキーのことか?
だったら、魚スキー関数だな。
魚スキーの解釈は、こういうことらしいが・・・
果たしてふぃっしゅのいう高階関数による"定義"と一致するかい?
(高階関数=汎関数(functional)だから、
Goedelの仕事と関連づければうまくいきそうな気はするが)
+1
1、2、3、・・・
(m2) +ω ω、2ω、3ω、・・・
m2^n ×ω ω、ω^2、ω^3、・・・
(m3) ×(ω^ω)
ω^ω、ω^2ω、ω^3ω、・・・
m3^n ^ω ω^ω、ω^(ω^2)、ω^(ω^3)、・・・
(m4) ^(ω^ω)
ω^(ω^ω)、ω^(ω^2ω)、ω^(ω^3ω)、・・・
m4^n ^^ω ω^(ω^ω)、ω^(ω^(ω^2))、ω^(ω^(ω^3))、・・・
(m5) ^^(ω^ω) ω^(ω^(ω^ω))、ω^(ω^(ω^2ω))、ω^(ω^(ω^3ω))
・・・
もちろん、これでうまくいくのはε_0より小さい部分だけだが
- 535 :132人目の素数さん:2007/10/16(火) 19:39:24
- >>511
> もう昔のことなんか忘れちまったよw
と言っている割には、よく覚えてますね。
- 536 :5-682:2007/10/16(火) 21:01:39
- >>522
さすがに関東地方までオフ遠征は時間がなくきついです。
東海地方でやるのなら大丈夫ですがさすがにありえないようですね。
>>528
自分がHardy関数を応用して順序数から巨大関数を
作ることを発案してから皆巨大順序数に追求してしまいましたからね。
自分も今はΩ_ωの段階からさらにΩ_Ω_ ...
_ωまでの順序数を考えて、
そこからさらに [1,0] → [1_Ω_n, ... , 1_1] = [Ω_n | 1] → [ [ω |
1]_Ω_n, ...]
と多重リストと順序数を組み合わせたナゴヤ関数Ver2みたいなものも
考えてたりしています。
Ver1.1ではとりあえずF[1_ω, ... , 1_2, 1_1](x)程度にしておきます。
たろう関数とかライバル的な存在も出てきてさらに面白くなると思ってます。
- 537 :たろう:2007/10/16(火) 21:45:51
- >>532
ふぃっしゅ数バージョン5の定義から単純に導いただけで、
新たな定義を加えてはいません。
だから「たろう関数」ではなく「ふぃっしゅ関数バージョン5」です。
m2 ===>
+1 (f ≒ F[a] の時、 m2 f ≒ F[a+1] という意味)
m2 m2 ===> +2 (f ≒ F[a] の時、 m2
f ≒ F[a+2] という意味)
m2^a ===> +a ....☆1
ここまでは理解していただいたようなのでこの先。
m3 の定義より、
m3 m2 f (n) = m2^n f (n) で、 ........ただし、f∈M_1, n∈M_0
これと☆1より、f ≒ F[a] の時、m3 m2 f (n) = m2^n f(n) ≒ F[a+n](n) となる。
F
の定義より、F[a+n](n) = F[a+ω](n) であるので、
m3 m2 ===> +ω ...☆2
またm3の定義より、
m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f(n) で、 ........ただし、f∈M_1,
n∈M_0
これと☆2より、f ≒ F[a] の時、m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f (n) ≒ F[a+ω・n](n)
となる。
F の定義より、F[a+ω・n](n) = F[a+ω^2](n) であるので、
m3 m3 m2 ===>
+ω^2
- 538 :たろう:2007/10/16(火) 22:47:30
- 計算可能でない関数についてもう一度考えてみました。
>>232 や >>282 は実はあまり大きくなく、ビジービーバーのハーディー関数的拡張と大差ないです。
つまり、B[a](n) を、
B[0](n) = n
B[a+1](n) = BB「 B[a] 」(n)
B[A](n) =
B[A_n](n)
と定義したとき、B[a](n) ≒ M[a](n) となるようです。
(....BB「」 >>228 のもの)
ふぃっしゅ数V4は
>ふぃっしゅ関数ver.3はF[ω^ω*63]程度
これが正しいとすると、F4(n) ≒ B[ω^ω*63](n) 程度となります。
>>229 の CC は
B[帰納的でない最小の順序数](n) 程度となります。
>>233 は>>229 の拡張のつもりでしたが、動作が足りなくてあまり大きくないようです。
- 539 :たろう:2007/10/16(火) 22:58:10
- ハーディー関数の順序数を帰納的でないものまで拡張すると、
大きな関数が作れます。
ω_1^CK (Church-Kleene ordinal)
ω_α^CK
などを使います。
テキストで見やすいように、ω_1^CK = CK, ω_α^CK = CK[α] と書くことにし、
便宜的に CK[0] = 0 とします。
CK[0] = 0
CK[a+1]:CK[a] と帰納的定義で作れない最小の順序数
CK[A]:limit CK[A_n]
となります。
CK[a+1] の収束列は、たとえば >>267 のようにします。
つまり、CK[a] と帰納的定義をある表現でn文字で行い、
その中で得られる最大の順序数を S_n としたとき、
CK[a+1] = limit S_n とします。
BB ≒
F[CK]
BB「BB」 ≒ F[CK・2]
M[a] ≒ B[a] ≒ F[CK・(1+a)]
CC ≒ F[CK^2]
- 540 :たろう:2007/10/16(火) 23:23:10
- CK^CK、CK[CK]、CK[CK[.....[CK]]...] など、
順序数から順序数の変換 CK[ ]
を用いるとより大きな順序数が作れますが、
これを効率的に行うには以下のようにします。
T[0] = 0
T[a+1]:順序数T[a] と、順序数から順序数の変換CK[ ] と、帰納的定義で作れない最小の順序数
T[A] = lim T[A_n]
多変数化、Ωの導入、C0からC1に拡張したときのような拡張.....
などでさらに大きくすることが出来ます。
- 541 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/17(水) 01:15:05
- いよいよ新展開ですね。
頭文字Tが登場したところで、「たろう関数」を定義しては
いかがでしょう。F[T[CK]]とか。
- 542 :132人目の素数さん:2007/10/17(水) 03:25:26
- あ
- 543 :有流才蔵:2007/10/17(水) 06:18:48
- >m3 の定義より、
>m3 m2 f (n) = m2^n f (n) で、
>またm3の定義より、
>m3 m3
m2 f (n) = (m3 m2)^n f(n) で、
それはキミの定義だよ。ふぃっしゅの定義は全く存在しない。
>定義から単純に導いただけ
その定義は全てキミの定義
ふぃっしゅは何も定義しなかった。できなかったんだよ。
- 544 :有流才蔵:2007/10/17(水) 06:26:53
- >>543
といっても、実際にたろう氏(魚スキー氏?)がやったのは
ふぃっしゅのmnをハーディ関数で解釈しただけ。
実際に仕事したのはハーディか(w
ふぃっしゅは"高階関数"といったのだから、それを生かす形で、
ハーディ関数との関係を示そう。それができてはじめて
”ふぃっしゅの主張”を汲み取ったことになる。
- 545 :たろう:2007/10/17(水) 07:14:53
- >>543
>>396 の定義より
(..((m(n+1)f_n)f_{n-1})...f_1)f_0:=(..(f_n^{f_0}f_{n-1})...f_1)f_0
括弧を省略し、n => 2, f_2 => m2, f_1 => f, f_0 => n
とすると
m3 m2 f (n) = m2^n f (n)
ほとんど定義そのまま。
また、f_2 => (m3 m2)
とすれば、
m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f (n)
- 546 :有流才蔵:2007/10/17(水) 08:22:53
- >>545
>n => 2, f_2 => m2, f_1 => f,
f_0 => n とすると
ほら、そこがオリジナルw
要は
>(..((m(n+1)f_n)f_{n-1})...f_1)f_0:=(..(f_n^{f_0}f_{n-1})...f_1)f_0
ではダメなので
>(..((m(n+1)m(n))m(n-1))...m(2))f)(x):=(..(m(n)^(x)m(n-1))...m(2))f)(x)
と書くべきであった。
- 547 :有流才蔵:2007/10/17(水) 10:58:57
- つか、前スレにちゃんと5-714によるλ項による定義あるじゃんw
6-52
>m?(1)=λ f_0.f_0
f_0
>m?(2)=λ f_1f_0.f_0 f_1 f_0
>・・・
>m?(n+1)=λ f_n
f_{n-1} ... f_0.f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0
うーん、もう長門有希はあらわれてたんだな・・・OTL
で、誰かこれ試したかい?
- 548 :132人目の素数さん:2007/10/17(水) 12:38:49
- 代入がオリジナルなのか…?
- 549 :有流才蔵:2007/10/17(水) 13:07:10
- >>548
つか、実はエッセンスである5スレの14の
ふぃっしゅの記述が混乱していたのが
問題の始まりなのだ。
5-14
> m(x)^xはm(x+1)m(x)とほとんど同じなので、
こんなことを書くから「でも本当は違うのか?」などと勘繰られる。
実際は、ふぃっしゅはこう書けばよかった。
「m(x+1)m(x)はm(x)^xとして"定義"されるので」
- 550 :有流才蔵:2007/10/17(水) 13:28:18
- ふぃっしゅ関数Ver.5の決定版定義
m(1): (自然数→自然数)
m(1)x=x^x
m(2): ((自然数→自然数)→(自然数→自然数))
(m(2)m(1))x=(m(1)^x)x
m(3): (((自然数→自然数)→(自然数→自然数))
→((自然数→自然数)→(自然数→自然数)))
((m(3)m(2))m(1))x=(m(2)^x m(1))x
一般に、自然数nに対して、m(n+1)は以下のように定義される。
(・・・((m(n+1)m(n))m(n-1))・・・m(1))x
=(・・・((m(n)^x m(n-1))・・・m(1))x
ふぃっしゅ関数Ver.5はm(n)を用いて以下のように定義される。
F5(x):=((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x)
- 551 :有流才蔵:2007/10/17(水) 14:01:32
- ふぃっしゅ関数Ver.5の歴史
2003年4月5日 5スレ10、11、14
・ふぃっしゅ氏、ふぃっしゅ関数Ver.5のアイデア
しかしながら、当時は"多重帰納法"ブームの只中で
そこから外れた発想であるVer.5は
しばらく省みられることなく・・・
2004年4月24日 6スレ5
・再び注目され始める
2004年5月2日 6スレ37
・5-714氏 によるλ項の記述
2005年8月29日 6スレ303-305
・魚スキー氏 によるHardy関数を用いた評価(H[ε_0]相当)
ふぃっしゅ関数についていえば、Ver.1ではアッカーマンを
本質的には越えていなかったが、Ver.2でアッカーマンを越え
Ver.3ではほぼ多重帰納法に相当するところまで実現していた
と考えられる。
Ver.5は、これら過去の版を基礎として、結果としては
単純な高階関数を用いた、スッキリとした形で記述された
ふぃっしゅ関数の集大成といってよい。
- 552 :有流才蔵:2007/10/17(水) 14:08:52
- 追伸
正確にいえば、5-714氏によってなされたのは
ふぃっしゅ関数Ver.5の断片であるm(n)の記述であり
これらだけを用いてはH[ε_0]には至らない。
もちろん、ふぃっしゅ関数Ver.5自身をλ項で記述することは
可能であると考えられるが、その場合記述における根本的な
発想の転換が必要と考えられる。
- 553 :有流才蔵:2007/10/17(水) 14:30:49
- さて過去の総括はこの程度にして
未来への展望を述べてみようか。
まあ、ε_0の次の目標はΓ_0だろうな。
漏れが聞きかじったところでは、Kruskalの定理の証明に
Γ_0までの超限帰納法を用いるらしいから。
Γ_0そのものは無理としても、そこに近づく関数の記述は可能だろう。
Hardy関数は便利かもしらんが、そこで用いられるΛ(x)を
具体的に表すことこそがこのスレッドの意義である。
- 554 :有流才蔵:2007/10/17(水) 14:49:33
- え?ナゴヤンについてはどう思うかって?知らんよそんな小僧w
最近のオーディナルキッズは、このスレの本質分かってないだろ?
漏れにいわせりゃ「大きいことはいいことだ」なんてのは、
もう1970年代のフレーズなわけで。え?知らない?
そんなころには母親どころか父親の中にもいなかった?
じゃ山本直純とか森永エールチョコレートとか知らんわけ?
やれやれ、ほんとにこのスレは小僧ばっかりだな・・・OTL
- 555 :132人目の素数さん:2007/10/17(水) 17:09:34
- これはひどい…
- 556 :有流才蔵:2007/10/17(水) 18:02:58
- >>113
>多変数関数やリスト構造などを利用した大抵の関数よりもH[ε_0]の方が大きい。
まあ、これは正しい。しかし、だからといって
>それならば、巨大な順序数を作ってHardy functionを利用する方が
>簡単に大きな関数が作れます。
こういう安直な方針はつまらない。
やっぱり若いうちは汗をかこう。他人のふんどしで相撲を取るな。
リストでダメならツリーがある。これでε_0は越えられるはず。
で、その場合の新たな限界点はおそらくΓ_0のはず。
昔読んだ、マーチン・レーフの構成的型理論の無矛盾性は
Γ_0までの超限帰納法で証明するとかなんとか聞いた希ガス。
- 557 :132人目の素数さん:2007/10/17(水) 18:41:19
- >>545の
f_2 => (m3 m2) とすれば、
m3 m3 m2 f (n)
= (m3 m2)^n f (n)
という計算は、>>550の定義ではできない、はず。
>>553
> Λ(x)を具体的に表すことこそがこのスレッドの意義
そう思うなら、やってみたら?
たしかスネークがあったと思うけど、>>337によれば
あれはω^ω程度のようだし。とりあえずε_0を超えないと。
ふぃっしゅ氏も>>418-419でチャレンジしたけれど、
まだ「ε_1にも到達しなさそう」らしい。
>>338-350の多進木が一つの方法だとは思うけどね。
- 558 :132人目の素数さん:2007/10/17(水) 19:03:50
- Veblenも338もω^αが基本になってたよね?
これをそのままF5に応用しようと思ったら
「例えば(m(3)m(2))fという関数を(m(4)m(3))m(2)というM2変換に
変換する方法」
みたいなものが必要になる。たぶん無理。
- 559 :113:2007/10/17(水) 20:39:35
- >>556
確かに、最初に順序数のことを知って>>98を書いた後、
すぐに>>113みたいな考えを書き込んだのは、考えが浅かったでしょうね。
順序数を利用した関数が大きいからそれ以外は無意味だ、なんてことはないし、
ある方法だけにこだわるよりは色々な方法を考えた方がいいわけで。
ただ、「他人のふんどしで相撲を取る」こと自体が悪いとは思いません。
学問は過去の他人の業績を土台にして発展していくものなので。
とはいえ、他人の考えをただ利用しただけのつまらない関数を作るのは良くないですが。
もともと大きいものに憧れてこのスレに来た自分としては、
「ひたすら大きな数を目指す」というのも一つの方針としては面白いと思います。
- 560 :有流才蔵:2007/10/17(水) 21:07:42
- >>557
1.(m3 m2)のまま計算する必要はない。どうせ解くんだから。
2.やってみる必要なし。スネーク?忘れたなw。ふぃっしゅ5万歳(w
ついでに、画竜点睛ってことで、H(ε_0)到達版を。
mm変換を考える。
mm(n,m)
= mm(n-1,1) n (m=0)
= mm(n-1,m+1) m(m)
= m(m) (n=0)
例えば
mm(3,0)
= mm(2,1) 3
= (mm(1,2) m(1)) 3
= ((mm(0,3) m(2)) m(1)) 3
= ((m(3) m(2)) m(1)) 3
これでふぃっしゅ5は、Urusaizo関数になったな(w
- 561 :もやしっ子:2007/10/17(水) 21:23:18
- まあ「元祖はうちだ!」議論は好きにやればいいっすね。
定着した呼ばれ方に収束していくでしょう。
さて。
現段階で勉強会(馴れ合い)オフは、僕、ふぃっしゅしゅ氏、たろう氏が
参加希望の名乗りを挙げております。どうせ広い部屋取れば
後からバンバン入って来られるのでいいんですけどね(何が)。
そんな感じなのでオールレンジ対応でお出迎えします。
僕は立ったり座ったりします。お茶入れたり。
- 562 :有流才蔵:2007/10/17(水) 22:03:18
- >>561
で、何を勉強するんだい?>勉強会
- 563 :有流才蔵:2007/10/17(水) 22:29:55
- よく考えたら>>550の定義ではできないな。
つまり、6スレ37のλ項ではできないな。
なぜなら>>550の定義は6スレ37のλ項の動作の記述だから。
- 564 :もやしっ子:2007/10/17(水) 22:30:21
- なんかPDFにまとめようという企画があるので、空欄部分を埋めていく
ついでにわからん箇所のおさらいであるとか、茶を飲みながら適当に。
勉強といえば勉強ですが、ものは言い様ってことです。
- 565 :有流才蔵:2007/10/17(水) 22:58:21
- いや、やっぱり>>550=6スレ37のλ項でOKなようだな。
(((m(4)m(3))m(2))m(1))2
=(((m(3)^2)m(2))m(1))2
=((m(3)(m(3)m(2)))m(1))2
=((m(3)m(2)^2)m(1))2
=((m(3)m(2))((m(3)m(2))m(1)))2
=(m(2)^2)((m(3)m(2))m(1))2
=m(2)(m(2)((m(3)m(2))m(1))2
=(m(2)((m(3)m(2))m(1))^2)2
=(m(2)((m(3)m(2))m(1))((m(2)((m(3)m(2))m(1)))2))
=・・・
- 566 :たろう:2007/10/17(水) 23:00:25
- >>有流才蔵氏
結局、>>396 の定義から
m3 m2 ===> +ω
m3 m3 m2
===> +ω^2
m4 m3 m2 ===> +ω^ω
m5 m4 m3 m2 ===> +ω^ω^ω
が導かれることは理解されたんでしょうか?
- 567 :有流才蔵:2007/10/17(水) 23:07:03
- >なんかPDFにまとめようという企画があるので、
それってふぃっしゅ氏個人の仕事のまとめでしょ。
まあ、頑張ってくださいよ(w
>空欄部分を埋めていく、ついでにわからん箇所のおさらいであるとか、
ふぃっしゅ氏は自分の関数の定義すらアヤシイという話もあるが
それは冗談としても、Hardy functionとの関係の話もあるから、
たろう氏に根掘り葉掘り聞き出せばよろしいんじゃないですか?
それにしても漏れ自身λ項の計算がアヤシイ・・・OTL
- 568 :たろう:2007/10/17(水) 23:10:08
- >>550 では不完全。
m(4) は M_3 から M_3 の元への写像であるのに、
m(4) (m(3)) という特別の場合しか定義されていない。
- 569 :有流才蔵:2007/10/17(水) 23:13:34
- >>566
396の元は5スレの11だと思うが、あんなもん読めないよw
結局5スレの14の「アイデア」から6スレの37のλ項がつくられた、と。
あと、たろう氏、あんたもプログラマなら
λ項くらい読めるようになりなさい。
絶対困りません。いつまでもC++ばっかりじゃ飽きるぞw
- 570 :有流才蔵:2007/10/17(水) 23:16:37
- >>568
じゃ、キミ、直しなさい。嬉しいだろ?
ヒトの間違いが直せてw
- 571 :たろう:2007/10/17(水) 23:21:29
- 個人的にまとめたものです。
アッカーマン関数の2重リストへの拡張、
多変数C1の収束列の定義、
などを含みます。
そのうち計算可能でないものも足します。
http:///1rg.org/up/55364.txt.html
- 572 :有流才蔵:2007/10/17(水) 23:28:27
- 不機嫌な奴は長生きせんぞ
- 573 :たろう:2007/10/17(水) 23:30:24
- >>570
>>396 のままでも良いけど、
もうちょっとわかりやすく書いてみました。
■■■■ふぃっしゅ数V5■■■■
M[0] : 自然数 の集合
M[n+1] : M[n] から M[n] への写像 の集合
t[n] ∈ T[n]
●g{t[m], t[m-1], ..., t[n+1], t[n]} ∈ M[n] の定義
...m≧n≧0
case n=0
g{t[m], t[m-1], ..., t[0]} = t[m]^t[0] t[m-1] ...
t[1] t[0]
case n>0
g{t[m], t[m-1], ..., t[n+1], t[n]}
(t[n-1]) = g{t[m], t[m-1], ..., t[n+1], t[n], t[n-1]}
●m[n] ∈ M[n] の定義
...n>0
m[n] (t[n-1]) = g{t[n-1]}
●F5 の定義
F5(n) = (m[n]
m[n-1] ... m[2] m[1]) (n)
F5 = F5^63(3)
- 574 :たろう:2007/10/17(水) 23:31:50
- 差し替え
■■■■ふぃっしゅ数V5■■■■
M[0] : 自然数 の集合
M[n+1] : M[n] から M[n]
への写像 の集合
t[n] ∈ M[n]
●g{t[m], t[m-1], ..., t[n+1], t[n]} ∈ M[n]
の定義 ...m≧n≧0
case n=0
g{t[m], t[m-1], ..., t[0]} = t[m]^t[0] t[m-1]
... t[1] t[0]
case n>0
g{t[m], t[m-1], ..., t[n+1], t[n]}
(t[n-1]) = g{t[m], t[m-1], ..., t[n+1], t[n], t[n-1]}
●m[n] ∈ M[n] の定義
...n>0
m[n] (t[n-1]) = g{t[n-1]}
●F5 の定義
F5(n) = (m[n]
m[n-1] ... m[2] m[1]) (n)
F5 = F5^63(3)
- 575 :たろう:2007/10/17(水) 23:49:36
- >>540
CK[順序数たち、順序数たちから順序数への写像たち] =
「順序数たち、順序数たちから順序数への写像たち、帰納的定義」で作れない最小の順序数
(収束列は、『「順序数、順序数から順序数への写像、帰納的定義」を
n文字で表現した時に得られる最大の順序数』)
とし、「このCKと帰納的定義」で作れない最小の順序数
を考えれば、
>
多変数化、Ωの導入、C0からC1に拡張したときのような拡張.....
> などでさらに大きくすることが出来ます。
こんな原始的なことをしなくてもずっと大きくなりますね。
なんかだんだん言葉遊びみたいになってきた。
- 576 :132人目の素数さん:2007/10/18(木) 00:35:52
- 友達いないんだろうな、コイツ…
- 577 :132人目の素数さん:2007/10/18(木) 00:36:27
- あ、有流のことね
- 578 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/18(木) 01:35:16
- >>561
たろうさんも来るのですか。それは楽しみです。
>>571
とりあえず、コピーしておきます。
http:///gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt
>>574
なるほど。>>396と>>574のどちらが分かりやすいかは、人によりそうです。
- 579 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/18(木) 01:44:44
- >>575
>>540だと
T[a+1]=CK[T[a],CK[]]
ということになるでしょうか(ただしCK[]は>>539の定義)。
だとすると、タネとなる順序数から順序数への写像を
>>539のCK[]として、>>575は>>540のT[CK]程度?
…と、思いましたが、もしかすると>>540におけるTの定義
そのものが、>>539のCK[]から帰納的に導かれたものである、
と考えるわけですか。だとすると…とんでもないですね。
そろそろついていけなくなりそうです。
- 580 :132人目の素数さん:2007/10/18(木) 03:00:14
- >>571
定義のまとめ乙です。
多変数 C1 あたりからよくわからないのですが
deg a や deg fとはいったいなんなんでしょう・・・
- 581 :有流才蔵:2007/10/18(木) 06:38:43
- >>573-574
不完全、いや完全に欠落。
何がってt[m]^t[0]の説明。
t[m], t[m-1], ..., t[0]
ってのは実は
((・・・((t[m]t[m-1])t[m-2])・・・t[1])t[0])
なわけだ。そんでもって
t[m]^t[0]
t[m-1] ... t[1] t[0]
ってのは実は
((・・・((t[m](t[m](・・・(t[m]t[m-1])・・・)))t[m-2])・・・t[1])t[0])
なわけだ。そこんとこカッコがないから全然欠落してるわけだ。
5-714の書いたλ項では、そこんとこ自然数をChurch numeralで
扱ってるからうまくいってるわけだ。
漏れの中では、奴が抜きんでてるな。奴にだけは会いたい。あとはいいw
>>576-577
コイツは共依存で堕落するタイプだなw
- 582 :有流才蔵:2007/10/18(木) 06:48:07
- おっといかん、>>560のmm変換の発展だ(w
実はバイナリツリーとして一般化できるな。
つーことで、はなはだ陳腐だが、bt変換と名づける(w
bt[・・・,n]
=bt[・・・,n+1]bt[・・・,n]
で、適当な分岐停止条件をつけて木を作れば
項の値が評価できる。うほっほ。こりゃええわ。
ふぃっしゅなんぞに任せておくのはもったいない。
ファーストステージ(ε0)はふぃっしゅの優勝で終わったが
セカンドステージ(Γ0)は漏れ様がいただくぜ
・・・とあおってみるw
- 583 :有流才蔵:2007/10/18(木) 06:54:46
- うわっもっと重大なことに気づいちまった。
実はバイナリでなく一般の木でいい。
つーことで、ますます陳腐だが、t変換(w
t[・・・,n]
=t[・・・,n+m]・・・t[・・・,n]
で、後は582同様。
ということで、ウルサイゾーの
「この木なんの木気になる木」関数
は着々成長中。もうもっさもさw
- 584 :有流才蔵:2007/10/18(木) 07:11:09
- >>575 >>579
>CK
Church-Kleeneか。
そういえば、ふぃっしゅ4はBBに手を出して小休止だったな。
ってことは、ふぃっしゅ6もCKに手を出してまた小休止か。
ま、個人的には素数が好きだからな。7で成功すりゃいいんじゃね?
つーか、今回は漏れは悪役じゃなくて赤キャラのふぃっしゅの同僚の
キザい青キャラのつもりだから。っていって、たいてい後から見ると
どうみてもお笑いな黄色キャラなんだよな・・・OTL
- 585 :有流才蔵:2007/10/18(木) 07:17:05
- まあ、今回は、オーディナル拡大競争に水を差す悪役が
「どんなに頑張ったって、ω1?CKは超えられないもんっ」
といい放ち、この言葉にまたもたぶらかされた奴らが、
過去のビジービーバー騒動の失敗にも懲りず
(ってか、実は失敗だと気づくことすらなく)
「へっへっへ、ならω1?CKをタネに拡張すりゃいいじゃん。
これであのムカつくビジービーバーもやっと倒せるぜ」
と相手の誘いに乗ってまたまた無駄に時間を浪費する、と。
- 586 :132人目の素数さん:2007/10/18(木) 07:20:05
- 頭悪い奴が手計算で電波垂れ流すなよ
- 587 :有流才蔵:2007/10/18(木) 07:26:17
- 頭悪い奴が1行クソコメントでスレ汚すなよw
- 588 :もやしっ子:2007/10/18(木) 07:47:50
- 亀田らないようにならないよう展開に気を付けていただきたいです。
才蔵氏は数学的には良心なので(無差別爆撃するけど)。
ログ読んで頂ければなんとなく解りますが、才蔵氏の示唆が当初から
住人のシコシコ計算の先を見据えていたりすることはままありました
(ただし同意に至るまで色んな意味で長い)。
基本的にすげえ荒っぽいこと言ってますが、その中に真理が
あったことも事実。フィルタかける前にログは読むと幸せになれる…
かどうかは保証しません(笑)なれないことはないです。
- 589 :有流才蔵:2007/10/18(木) 08:19:35
- >>588
いいよ。フォローしなくて。
>>550-554の総括で明らかなように2002-2003年の漏れ様は惨敗だから。
Ackermannの2重帰納法に目を奪われ、多重帰納法に固執したのも失敗。
そしてふぃっしゅの高階関数による拡大の方針を見誤ったのも失敗。
Hardy関数の紹介なんて、漏れがやらんでもどうせ誰かがやったさ。
ゴールを決めたのはふぃっしゅだが、的確なアシストをしたのは
実は5-714だといっていい。もしあの膨大なログの中で、
どこを読めばいいか尋ねられたら、迷わずこういうだろう。
「6スレ冒頭の、5-714の書いたコメントを読め。
ふぃっしゅ5のエッセンスがそこにある」
- 590 :132人目の素数さん:2007/10/18(木) 08:26:03
- >>589
フォローされてると思ってるところが有流クオリティw
書き込む前に人格糾してきたら?
- 591 :有流才蔵:2007/10/18(木) 09:46:36
- >>590
×糺す
○正す
昨今は考えもせずにかな漢字変換で出てきた文字を
「ま、いいか」といって確定する輩がいるが、
文字が違えば、使う場面が違うのは、日本人であれば
当然心得るべきことであるw
- 592 :有流才蔵:2007/10/18(木) 14:54:29
- >>551の追伸
>2005年8月29日 6スレ303-305
>・魚スキー氏 によるHardy関数を用いた評価(H[ε_0]相当)
実は魚スキー氏はこの後の
2005年9月2日 6スレ317で
Hydra gameとの比較をやっている。
>Ab{}(x)=x
>Ab{[]}(x)=Ab{}(x+1)=x+1 =f(x)=Hb[1]
>Ab{[]*n}(x)=x+n=Ab{[]}^n(x)
=f^n(x)=Hb[n]
>Ab{[[]]}(x)=Ab{[]*x}(x)=Ab{[]}^x(x)=2x =(m(2)f)(x)=Hb[ω]
>Ab{[[]]*n}(x)=Ab{[[]]*(n-1)[]*x}(x)=Ab{[[]]*(n-1)}(2x)
>
=Ab{[[]]}^n(x) =(m(2)f)^n(x)=Hb[nω]
>Ab{[[][]]}(x)=Ab{[[]]*x}(x)=A{[[]]}^x(x) =(m(2)^2f)(x)=Hb[ω^2]
>Ab{[[]*n]}(x)=Ab{[[]*(n-1)]*x}(x)=Ab{[[]*(n-1)]}^x(x)
>
=(m(2)Ab{[[]*(n-1)]})(x)=(m(2)^nf)(x)=Hb[ω^n]
>Ab{[[[]]]}(x)=Ab{[[]*x]}(x)=(m(2)^xAb{[]})(x)
> =((m(3)m(2))f)(x)=H[ω^ω]
ふぃっしゅ5関数こそヒドラだった!
昨日、λ項の計算をやってるときに
「もしかしてこの変化は・・・ヒドラゲーム?」
と思ったのだが・・・やっぱりそうだったか。
魚スキー氏のこの発見もたたえられるべきものである。
(実は漏れが初めて気づいたのかと思ったんだが・・・
世の中そんなに甘くなかった・・・OTL)
- 593 :もやしっ子:2007/10/18(木) 15:09:46
- もう!ツンデレなんだから!
- 594 :有流才蔵:2007/10/18(木) 15:17:45
- >>581への追伸
>漏れの中では、奴が抜きんでてるな。奴にだけは会いたい。あとはいいw
"奴"が二人になってしまった。二人目は魚スキー。
2005年の8月29日(月)?9月2日(金)は「巨大数の黄金週間」だった。
たろうとやら、くれぐれもカッコは省略するな。
カッコを見ればヒドラゲームまであと一歩なのだから。
- 595 :有流才蔵:2007/10/18(木) 15:28:52
- >もう!ツンデレなんだから!
うーん、今の状況はこんなか。
漏れ=ハルヒ=アスカ
ふぃっしゅ=キョン=シンジ
魚スキー&5-714= 長門 =レイ
もやし=谷川流=庵野
おぇぇぇぇぇ(w
- 596 :有流才蔵:2007/10/18(木) 16:29:07
- サルでもわかるヒドラゲーム
Hydra Game applet
ttp://www.few.vu.nl/?ariya/app/hydra/hydra.html
説明スライド
ttp://www.few.vu.nl/?ariya/slides/wollic2007.ppt
- 597 :たろう:2007/10/18(木) 19:53:17
- >>594
『 t[m]^t[0] t[m-1] ... t[1] t[0] 』
は順番が1通りしか考えられないのでカッコは省略。
カッコが無い方が見やすい。
>>565
> =((m(3)m(2)^2)m(1))2
これは
((m(3)(m(2)^2))m(1))2
のことだと思う人のが多いと思うのでカッコは必須。
- 598 :132人目の素数さん:2007/10/18(木) 20:07:56
- ヒドラゲームおもすれー
数学の教養の無い俺でも楽しめる。
こういうのがもっと出てきてほしい。
- 599 :132人目の素数さん:2007/10/18(木) 20:36:04
- 実は俺……なんでもない
で、あれ?
m(2)(m(3)m(2))m(2)f(2)
は
=m(2)(m(3)m(2))f^2(2)
なのか
=((m(3)m(2))m(2)f)^2(2)
なのか分からなくなってきた。
うーん…前者だと
m(2)^2f(2)=m(2)m(2)f(2)=m(2)f^2(2)=m(2)g(2)=g^2(2)=f^4(2)
後者だと
m(2)^2f(2)=m(2)m(2)f(2)=(m(2)f)^2(2)=(m(2)f)(m(2)f)(2))=f^(f^2(2))(f^2(2))
なんか前者な気が
- 600 :132人目の素数さん:2007/10/18(木) 20:39:25
- ところでふと気になりましたが
>>539でのω_0, ω_1, ... ω_αは
それぞれ独立した別個の可算or非可算順序数の列
ということでよろしいでしょうか。
具体的にはナゴヤ関数のΩ_nのように
順序数ωを変換する関数に使うのがω_1、
以降同様にω_1を変換する関数にω_2を使う・・・という流れで。
つまり>>190の関数ψで使われている順序数Ωをω_1、
その上位の順序数Ω_2をω_2にするという解釈です。
- 601 :5-682:2007/10/18(木) 20:40:07
- 失礼、>>600は5-682、自分です。
- 602 :599:2007/10/18(木) 20:49:39
- F版のHardyに直すと(F[0](x)=f(x))
m(2)^2f(2)=F[2](2)=F[1]^2(2)=F[1](F[1](2))=F[1](F[0]^2)(2)=...
後者だった
ってこんなこと今まで出てきたF5の定義から読み取れるか?
λ式からならできるのかも……勉強せねば
- 603 :たろう:2007/10/18(木) 21:24:04
- >>599
カッコをつけると、
m(2) (m(3) m(2)) m(2) f (2) =
[ m(2) { (m(3) m(2)) (m(2) f) } ] (2) ....☆
>>396 の定義の (m(2)f_1)f_0=(f_1^f_0)(f_0) に対し、
f_1 =
(m(3) m(2)) (m(2) f), f_0 = 2 を代入すると、
[ m(2) { (m(3) m(2)) (m(2) f) }
] (2)
= { (m(3) m(2)) (m(2) f) }^2 (2)
先に(m(2) f) の部分を f^2
と展開はできない。
理由は、関数 (m(2) f) の引数が 2 以外でも使われるから。
より簡単な例で、
(m(2) f)^2 (2) を考える。
これの意味は、
(m(2) f) { (m(2) f) (2) }
である。
ここで、右側の (m(2) f) の引数は 2 であるので (m(2) f) = f^2 と置き換えることが出来るが、
左側の (m(2) f) の引数は 2 ではなく { (m(2) f) (2) } であるので、
(m(2) f) = f^{ (m(2)
f) (2) } と置き換えなくてはならない。
- 604 :たろう:2007/10/18(木) 21:47:22
- >>600
>>539 のω_α^CK は(αが加算なら)加算で、
それぞれ、ある大きさに定まっている順序数。
ナゴヤ関数のΩ_nは十分大きな、きりの良い順序数なら何でも良く、
Ω_n = ω_α^CK と考えても良いし、
Ω_n =
[濃度が(n番目の無限基数)である最小の順序数] と考えても良い。
>>190 の Ω は「最小の非可算順序数」と書かれていますが、
Ω = ω_1^CK
としても、ψ( ) で得られる順序数は同じ。
- 605 :有流才蔵:2007/10/18(木) 21:57:38
- たろう。言い訳するんじゃない!w
- 606 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/18(木) 22:08:50
- なんか総括がはやっているので、F5誕生の経緯を過去ログを読み
ながら思い出してみます。
4スレ734-735がF5の発想です。いつもながら、とても荒削りな
発想でしたが、l.b.氏や他の方とのやりとりで、739,744,746,747
といったあたりで大まかな方針が固まり、そこから次第にアイデアが
洗練されていきました。
そして、962-966で、ほぼ定義が固まりました。定義の記述は、
だいたいがl.b.氏によるものです。5スレの10-14に書かれているのは、
4スレの内容をそのまま書いただけです。
4スレ734の荒削りな発想(普通の人は読んでも理解できない文章)
から、F5完成までたどり着けたのは、l.b.氏、巨大数スレッドの
底力だと思います。
後の評価によってF5はF[ε_0]つまりヒドラと同じレベルにまで達する
ことが分かりましたが、F5発想時はHardyもヒドラも知りませんでした。
それどころか、多重帰納のなんたるかも正確に理解していませんでした。
作成者の想像と能力をはるかに超えたものが結果としてできたわけです。
- 607 :132人目の素数さん:2007/10/18(木) 22:10:29
- >57 名前:有流才蔵 :03/04/06 10:23
>それ貫きには、このスレッドの議論は無意味だろう。
文字が違えば、使う場面が違うのは、日本人であれば
当然心得るべきことであるw
- 608 :有流才蔵:2007/10/18(木) 22:15:23
- Hydra gameについてマジメにプログラムを書いたのは
2003年11月10日の5-768が最初だな。
>引数として、多重にネストした list を許すならば、
>次のような関数が定義できます。
> [ と ]
をバランスよく並べた列を考えます。
> 例) [[[ ]]] とか [[[ ][ ]][ ]][[ ]][ ]
> _list_
を上のような列としたとき、
> A{_list_}(n) という関数を次のように定義します。
> A{ε}(n)=n
>
A{_list_[ ]}(n)=A{_list_}(n+1)
> A{_list1_[...[_list2_[
]]...]}(n)=A{_list1_[...[_list2_]*(n+1)...]}(n+1)
> (ただし、]...] の部分は ]
だけの列)
> ただし、εは空列、[_list_]*n は [_list_] を n 個並べた列です。
>f(x)=A{[[...[
]...]]}(x) ({} 内の列は x 重のネスト)
>とおけば、f(x) は猛烈な速さで増加する関数であることが知られています。
- 609 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/18(木) 22:18:55
- >>606
4スレ734、というよりは、732-734と書いた方が良かったです。
- 610 :599:2007/10/18(木) 22:24:31
- >理由は、関数 (m(2) f) の引数が 2 以外でも使われるから。
意味ワカンネー
あ、わかった
一番内側のm(2)fは何回も呼び出されるのに599前者だと
f^x(x)ではなくf^2(x)になってしまってるわけだな。
……式変形の途中でf^2(x)に確定する、なんて解釈を許さないような
定義にきちんとなってるのか?えーと高階関数の精神をかんがえると
m(2)というM2変換は((自然数→自然数)→(自然数→自然数))という
写像の中の特定のものであるから、m(2)f(x)も特定の関数を表し、
それは決してf^2(x)ではないわけだ、からいいのか。
- 611 :132人目の素数さん:2007/10/18(木) 22:27:34
- 有流
無駄な書き込みしてる暇があったら
はやくこの木なんの木気になる木関数をまとめろ
- 612 :有流才蔵:2007/10/18(木) 22:45:09
- >4スレ734-735がF5の発想です。
実はその後の739の名無し氏のカキコが実質的な始まり
>S0変換=自然数全体の集合から、自然数全体の集合への写像。
>S1変換=S0変換全体の集合から、S0変換全体の集合への写像。
>・・・
>例えば、f(x)=x^xはS0変換。関数g(x)をg^x(x)に移すのはS1変換。
つまりここで、Mn変換の実質である
m(n+1)f_n=f_n^i
が決まった。
- 613 :有流才蔵:2007/10/18(木) 22:48:29
- >>611
そっちはやめたw
ヒドラ・ゲームのほうがおもろい。
君子は豹変すw
- 614 :132人目の素数さん:2007/10/18(木) 23:13:20
- ヒドラ・ゲームなんてHardy Functionそのものじゃん。
- 615 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/18(木) 23:27:19
- m(n)の定義は、n=1のf(x)=x^x と n=2のg(x) → g^x(x) は
簡単なんですね。問題は n=3 以降なのです。
734はm(3)を着想したもので(形は若干異なりますが)、
739はm(3)がうまく定義できないのでないの?という趣旨の
書き込みでした。それに対して、m(3)が定義可能であることを
744で示して、それを受けて739氏が一般のnに対するm(n)を
構成した746で、ようやくF5の形が見えました。
- 616 :有流才蔵:2007/10/18(木) 23:29:35
- >>606
>後の評価によってF5はF[ε_0]つまりヒドラと同じレベルにまで
>達することが分かりましたが
その件だが・・・
実はF5自身はそう大したことないかもしれないw
理由としては、F5は入力として枝のない真っ直ぐな木を使ってるから。
実は596のシミュレータで試してみたんだが
分岐m、長さnとした場合、高さ1のノードの数がm^^nになる。
これだと、実はアッカーマンより小さくなる可能性が・・・(汗
- 617 :有流才蔵:2007/10/18(木) 23:34:17
- >>615
>問題は n=3 以降なのです。
実は、対角化を意識しすぎたから、面倒になった。
m(n+1)f_n=f_n^i と書けば局所的にすむが
繰り返し回数と入力との一致をはかるために
長い変換の定義を必要とすることになった。
でも実はそれは本質ではなかった。
- 618 :有流才蔵:2007/10/18(木) 23:42:19
- >ヒドラ・ゲームなんてHardy Functionそのものじゃん。
それはε_0までの話。そっから先はもっと大変(w
- 619 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 00:01:48
- じゃあ早くそっから先の定義をまとめなさい。
- 620 :有流才蔵:2007/10/19(金) 06:46:30
- >>619はHardy Functionが理解できないDQNw
- 621 :有流才蔵:2007/10/19(金) 07:23:40
- うーん、やっぱり
「この木なんの木気になる木」こと
通称もっさもさ関数が必要だな。
ただし方針は>>582-583とは異なるが。
これは真のH(ε_0)レベルの達成の為。
つまり、ファーストステージのチャンピオンは・・・
まだ決まってない( ̄ー ̄)
- 622 :有流才蔵:2007/10/19(金) 07:31:33
- 「ふぃっしゅ5、実はチャンピオンじゃなかった!!」
これについては>>616で速報したが、より細かく解説しよう。
ヒドラゲームの振る舞いは、局所的に見れば、高さ2の
クマデ型ツリー(高さ1のノード1つから枝がn本)で理解できる。
この場合、実は高さ2の枝を全部切ると、分岐枝数をmとすれば
高さ1の枝がm^nという結果になる。つまり局所的にはベキ関数。
だもんで直線木だと高さがlならカットで高さ1の枝ばかりにした場合
その本数はm^^lにしかならん。
- 623 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 07:34:43
- >>622はふぃっしゅ5が理解できないDQNw
- 624 :有流才蔵:2007/10/19(金) 07:40:41
- >>623=>>619=>>614はヒドラ・ゲームが理解できない超DQN(w
- 625 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 07:48:46
- 結局、>>566に対する答えは「理解してない」ってことね。
- 626 :有流才蔵:2007/10/19(金) 07:53:40
- >>625
理解する=鵜呑みにする、ではない(w
- 627 :有流才蔵:2007/10/19(金) 10:52:29
- >>617
>実は、対角化を意識しすぎたから、面倒になった。
>(中略)
>でも実はそれは本質ではなかった。
しまった!
ヒドラ・ゲームには関係ないが、
肝心の関数の増大度においては本質だった!
ということで、
>>614
>ヒドラ・ゲームなんてHardy Functionそのものじゃん。
これ、対角化についてまったく言及してないっていう点で全く誤り。
- 628 :有流才蔵:2007/10/19(金) 11:04:11
- >>621
>ファーストステージのチャンピオンは・・・まだ決まってない( ̄ー ̄)
と思ったが、やっぱりふぃっしゅ5に決まった・・・OTL
>>622
>「ふぃっしゅ5、実はチャンピオンじゃなかった!!」
と思ったが、やっはりチャンピオンだった・・・OTL
対角化抜きで、ただヒドラ・ゲームの振る舞いだけを真似ると失敗する。
おそらく対角化の度に関数の増大度があがるため。
- 629 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 11:28:44
- 最近特にツンとデレの波が激しいな(w
- 630 :有流才蔵:2007/10/19(金) 11:29:37
- そんでもって実はふぃっしゅ5はこんな入れ子の形で表される
(λx.x(λx.x(・・・(λx.x(λx.xx)x)・・・)x)x)
要するに対角化の繰り返し。
実はこんなに単純だったのか・・・OTL
- 631 :有流才蔵:2007/10/19(金) 11:38:30
- >>589への追伸
>2002-2003年の漏れ様は惨敗だから。
>Ackermannの2重帰納法に目を奪われ、多重帰納法に固執したのも失敗。
>そしてふぃっしゅの高階関数による拡大の方針を見誤ったのも失敗。
しかし一番の失敗は
「ヒドラゲームに惑わされ、対角化を繰り返せばいい、という
単純な方針に気づかなかったこと。」
オーディナルキッズの諸君。
君らも見た目に騙されると同じ轍を踏むぞ(w
- 632 :有流才蔵:2007/10/19(金) 11:46:00
- ということでふぃっしゅ5をこれからこう呼びたい
「ふぃっしゅの対角マトリョーシカ」
- 633 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 13:15:23
- ウルサイゾウ氏はもうちょっと書き込みを纏めてくれないか。
(連続レスしすぎで、把握しづらい)
ブログでも立ち上げてくれるとうれしいな。読みやすいし、補足もしやすいんだ。
- 634 :有流才蔵:2007/10/19(金) 14:45:38
- >>633 最終総括
確定事項
・ふぃっしゅ関数Ver.5のλ項表現(5-714の6スレ37を引数なしで計算した形)
(λx.x(λx.x(・・・(λx.x(λx.xx)x)・・・)x)x)
対角の入れ子になるので「ふぃっしゅの対角マトリョーシカ」なる名前を提案。
・ふぃっしゅ関数Ver.5の引数入力後の計算状態はヒドラ・ゲームに対応する。
(魚スキーの6スレ317より)
未確定事項
・n階対角化functionalとHardy関数の順序数の増加との対応関係
(魚スキーの6スレ317で予想されるも未だ証明なし)
- 635 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 15:43:29
- > n階対角化functionalとHardy関数の順序数の増加との対応関係
>>387-388 ではだめですか?
- 636 :有流才蔵:2007/10/19(金) 16:15:20
- >>635
ダメ。証明がない。
- 637 :有流才蔵:2007/10/19(金) 16:29:06
- ただ、おそらくふぃっしゅ5こと対角マトリョーシカは
入れ子nの場合、H[ω^(・・・(n個)・・・^ω)]
になっているものと思われる。
- 638 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 19:32:45
- 今は消えているバード氏のサイトから、昔ダウンロードした
バード数のPDFファイルがハードディスクの中に残っていたので、
今更ですがどうぞ。
http:///1rg.org/up/55630.zip
- 639 :有流才蔵:2007/10/19(金) 21:47:44
- うーむ、プログラムがかけてしまった。
しかもこんなに簡単。ホントかよ・・・OTL
def f(m,n,i)=if m=1
then if i=1 then n^n
else f(m,n^n,i-1)
else if i=1 then f(m-1,n,n)
else f(m,f(m-1,n,n),i-1)
- 640 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 21:59:10
- 友達いないんだろうなぁ、コイツ……
- 641 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 22:04:57
- >>639
m>1, i>1だけ見ると、
f(m,n,i) =
f(m,f(m-1,n,n),i-1)
ということだけど、2重帰納程度な希ガス。
分からんけど。
- 642 :有流才蔵:2007/10/19(金) 22:15:26
- >>641
実は毒ガスw
f(m,n,i)
=
f(m,f(m-1,n,n),i-1)
= f(m,f(m-1,f(m-1,n,n),f(m-1,n,n)),i-2)
=
f(m,f(m-1,f(m-1,f(m-1,n,n),f(m-1,n,n)),f(m-1,f(m-1,n,n),f(m-1,n,n)),i-3)
・・・
うかつに開くと死ぬw
- 643 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 22:18:00
- >友達いないんだろうなぁ、コイツ……
友達いるなら数学は必要ないだろw
- 644 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 22:36:43
- >>642
g(n)=f(m-1,n,n)としたらf(m,n,n)=g^n(n)だからアッカーマン程度だよ。
- 645 :5-714:2007/10/19(金) 23:21:40
- どうもお久しぶりです。にわかに活気付いてきましたね。
もう自分の書いたλ式がどんな形だったかすら覚えていませんでしたが、
最近のやり取りを見ていたら思い出してきました。
で。質問なんですが
>
(λx.x(λx.x(・・・(λx.x(λx.xx)x)・・・)x)x)
これはどうやって出てきたんでしょうか?
m_n m_{n-1}
... m_1 かと思いましたが、計算しても出てきませんでした。
- 646 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 23:35:14
- お久しぶりです。そろそろコテハンいかがですか?
ラムダなんてどうです?
(と、名無しの俺が言うなって?)
- 647 :132人目の素数さん:2007/10/19(金) 23:54:01
- >>627
ヒドラ・ゲームとHardy Function が理解できない超DQN(w
>>636
有流才蔵の書くことに証明と呼べるものなど1つもない。
間違ったことを平気で主張する。
ただの占い師。
>>639
これはひどい。
- 648 :132人目の素数さん:2007/10/20(土) 00:16:36
- >642
そのまま開くアホw
文系中学生レベルw
うかつに開いて氏ねw
- 649 :132人目の素数さん:2007/10/20(土) 02:29:14
- >>639-644
アッカーマン程度のプログラムを書いてふぃっしゅ数バージョン5を
プログラムしたつもりになっていたとは。
つうか、これなんというプログラム言語?
専門書を読んだりして高度な「知識」を持ってはいるけれど、
その知識は正しく理解されていないから、使おうとしても間違った
使い方しかできない、ということだろうな。
だもんで、ふぃっしゅ数バージョン5をλ式などという何も
理解していないもので解釈しようとしたら、アッカーマン
プログラムができてしまったと。
結局、Hardyもヒドラもλ式もふぃっしゅ数も多重帰納も、
全部分かっていないのだと思う。それなのに、今までこれだけ
「分かった風な」書き込みを続けることが出来た、ということは
実に驚くべきことだけど。
- 650 :132人目の素数さん:2007/10/20(土) 03:40:58
- だって彼は日本で最も有名な「ネット数学者」の1人だもの
分かった風なことを書くことに費やした年季は凄いぞ
2chの過去ログを漁るだけでもそりゃもう出てくる出てくる
2chの外ですら「実はさっぱり分かってない半可通」と
本職の論理学者・数学者達に罵られ続けてはや幾星霜
- 651 :有流才蔵:2007/10/20(土) 06:50:56
- おお、キミがあのλ項を書いた人か。
>>645
>もう自分の書いたλ式がどんな形だったかすら覚えていませんでしたが
以下がそう。
(6スレ)
>37 :5-714:04/05/02 19:43
> 帰納的関数を考えると扱いにくそうなので
>
λを持ち出してみました。
> とりあえずm(n)は
> m(n+1)=λ f_n f_{n-1} ... f_0. f_0 f_n
f_{n-1} ... f_1 f_0
> といったところでしょうか。
>
そうするとm(n)m(n-1)…m(1)(x)の帰納性は出てくると思いますがどうでしょう。
- 652 :有流才蔵:2007/10/20(土) 06:55:42
- >>645
>> (λx.x(λx.x(・・・(λx.x(λx.xx)x)・・・)x)x)
>これはどうやって出てきたんでしょうか?
>m_n m_{n-1} ... m_1 かと思いましたが、
>計算しても出てきませんでした。
6スレ52にあった
m_1=λ f_0.f_0f_0
m_2=λ
f_1f_0.f_0f_1f_0
・・・
m_{n+1}=λ f_n f_{n-1} ... f_0.f_0 f_n f_{n-1} ...
f_1 f_0
から
m{n+1} ・・・ m_2 m_1
を計算すれば出る。やってみせよう。
- 653 :有流才蔵:2007/10/20(土) 07:02:19
- 例えば
m_3 m_2 m_1
=(λfgx.xfgx)(λhy.yhy)(λz.zz)
=(λgx.x(λhy.yhy)gx)(λz.zz)
=(λx.x(λy.yhy)(λz.zz)x)
=(λx.x(λy.y(λz.zz)y)x)
>>630では文字を変えてなかったが、
上では混乱を避けるため文字を変えた。
- 654 :有流才蔵:2007/10/20(土) 07:24:30
- >>644
なるほど・・・>>639は失敗か。
よくみりゃ、高階関数を変換する形になってないからな(w
ってゆーか、下手すると6-37すらアヤシイってことか?
- 655 :有流才蔵:2007/10/20(土) 07:31:56
- >>654
ああ、なるほど。>>645のいうとおりだ。ならんわ。
>=(λx.x(λy.yhy)(λz.zz)x)
↑ここまではいいとして
>=(λx.x(λy.y(λz.zz)y)x)
↑ここは誤り。カッコのかかり方を勘違いした。
うわぁ、だからおかしくなったのか・・・OTL
- 656 :有流才蔵:2007/10/20(土) 08:16:11
- >>646
(5-714氏に)
>そろそろコテハンいかがですか?
>ラムダなんてどうです?
そうだな。なんかいい名前を考えてくれたまえ。
つーか、漏れはそろそろコテハン止めよう・・・OTL
>>630のマトリョーシカも完全な凡ミスだし、そこで気づかず
>>639のプログラムで自爆。うーむ、半可通にふさわしい最期w
まあ、しかし、この一週間、いろいろ楽しかったよ。
漏れが消えてからの進展について勉強させてもらったし
ふぃっしゅ5がH[ε_0]に肉薄するところまでいってる
こともなんとなく理解できた。そこにいたるまで数年分の
無理解と誤解を一挙にさらけ出すことにはなったがw
これで読者も積年の鬱憤を晴らせて満足だろう。
これが悪役の宿命というものだ。じゃあな。バイバイキーンw
- 657 :132人目の素数さん:2007/10/20(土) 08:22:39
- 有流才蔵
名前の通り、煩いだけの存在だった・・・
- 658 :132人目の素数さん:2007/10/20(土) 09:01:25
- >>649
> 専門書を読んだりして高度な「知識」を持ってはいるけれど、・・・
> 結局、Hardyもヒドラもλ式もふぃっしゅ数も多重帰納も、
> 全部分かっていないのだ
てゆーか、今頃こういってるよ。
「ああ、あれってそういうことだったんだ!」
ある意味、これも釣りの一種かも。
- 659 :132人目の素数さん:2007/10/20(土) 09:12:41
- 余談だけど、λ式はそんな難しくないよ。
ウィキペディアにも「ラムダ計算」の項目あるから読んでみ。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%83%80%E8%A8%88%E7%AE%97
- 660 :132人目の素数さん:2007/10/20(土) 23:47:04
- ふぃっしゅ関数Ver.5の計算をヒドラ・ゲームと対応づけた
パワーポイントを作ってます。
勉強会で発表できたらいいかな。
- 661 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 01:53:26
- 会場に液晶プロジェクタはあるのかな?
- 662 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 11:54:54
- >>614
>ヒドラ・ゲームなんてHardy Functionそのものじゃん。
正確にいえば、ε_0より小さい順序数opにおける
Hardy関数の計算をヒドラ・ゲームとして実現できる
ということかと。
この場合、ヒドラの首を切る行為がΛ(x)による対角化にあたる。
例:
H[ω^ω](n)
=H[ω^n](n) (対角化)
=H[ω×ω^(n-1)](n)
=H[n×ω^(n-1)](n) (対角化)
…
=H[(n-1)×ω^(n-1)+…+(n-1)×ω+n](n)
=H[(n-1)×ω^(n-1)+…+(n-1)×ω](H[n](n)) (Hの性質より)
=H[(n-1)×ω^(n-1)+…+(n-1)×ω^2+(n-2)×ω+H[n](n))(H[n](n)) (対角化)
=H[(n-1)×ω^(n-1)+…+(n-1)×ω^2+(n-2)×ω)(H[H[n](n)]H([n](n))
…
上記の対角化はふぃっしゅ関数Ver5の高階関数の作用と同じであるので
ふぃっしゅ関数Ver5は、ε_0より小さい順序数opにおけるHardy関数と同じ。
- 663 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 12:05:30
- >(Hardy関数の)対角化はふぃっしゅ関数Ver5の高階関数の作用と同じである
例えば
m3 m2 m1 n =
H[ω^ω](n)
m2^n m1 n = H[ω^n](n)
(m2^{n-1} m1)^n n = H[n×ω^(n-1)](n)
(m2^{n-1} m1)^n-1 ((m2^{n-2} m1)^n n) = H[(n-1)×ω^(n-1)+n×ω^(n-2)](n)
- 664 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 15:46:56
- nターン目に切ると高さn+1のヒドラに分裂する親ヒドラなるものを考えれば
ε_1まではいける。
- 665 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 16:35:05
- >>659
非常におもしろそうだが、いかんせん俺には難しすぎる……orz
- 666 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 16:58:04
- ヒドラ・ゲームって結局幅(x)と高さ(y)で考えると
首を切ってある枝のy部分を縮めると、
残り部分がx方向にコピーされるって発想。
ってことは、これを高次元化した拡大木(?)と
n次元方向を切ると、n?1次元以下がコピーされる
って方針で、結構いけるんじゃね?
- 667 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 17:18:43
- そう。結局、順序数を考えることと同じになるんだよ。
- 668 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 20:28:35
- ttp://www.cs.swan.ac.uk/?csetzer/research/researchprofile.html
ここによれば、より大きな可算順序数を表記するにはより大きな基数を
用いる必要があるみたいなことが書いてあるので、>>389の方針がかなり
妥当なものと思われる。さらに、なんでもMahlo
ordinalsなるordinalが
あるそうで、よくわからないがかなり巨大な順序数だと思われる。
詳しい方いましたら素人にもわかるように解説してもらえるとありがたい
のだが・・・
- 669 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 20:51:27
- 「順序数を考える」という言い方は漠然としてる。
重要なのは極限順序数と基本列の関係。
- 670 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 21:10:25
- あと、基本列が何らかの意味で正規(canonical)なものである必要がある。
ちなみに"canonical"は"canon"から派生した言葉だが
canonとはもともと宗教における正典のことであり
広義には規準を指す。
- 671 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 21:28:02
- Veblen関数の意義は、Cantor normal formの拡張なので
その意味では、確かに重要かと思われる。
- 672 :たろう:2007/10/21(日) 23:00:52
- Hardy Function' を、
H'[0](n) = n
H'[a+1](n) = H'[a](n+1)
H'[A](n) = H'[A_(n+1)](n+1) ......(Aは極限順序数、A_nはその収束列)
収束列を、
ω^(a+1) = lim ω^a ・n
ω^A = lim ω^A_n ......(Aは極限順序数、A_nはその収束列)
b+A = lim (b+A_n) ......(Aは極限順序数、A_nはその収束列)
と定義し、
ヒドラゲームの{ } の中の文字列を、
"[" + a + "]" ==> ω^a
b + a ==> b
+ a
"" ==> 0
※ヒドラゲームの{ } 内の文字列 ==> Hardy Function の順序数
※文字列の+で文字列の結合を表す
のように順序数に変換すれば、
ヒドラゲームと、H'[ω^x, +,
0で作られるε_0未満の順序数](n) の値は完全に一致する。
- 673 :5-714:2007/10/21(日) 23:36:54
- >>672 を参考にしつつ……質問というか確認というか。
何度か出ている Hydra と
Hardy が同じというのは
Hydra : List -> N^N
Hardy' : Ord -> N^N
なんか変換 : List -> Ord
で作られる三角形が可換だという理解でいいんでしょうか。
- 674 :132人目の素数さん:2007/10/21(日) 23:41:42
- ヒドラは図をかけば簡単なんだがな・・
- 675 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 00:09:04
- ちなみにグッドシュタイン列が0に到達するのもε_0までの
超限帰納法で証明できる。グッドシュタイン列とは自然数を
カントール型n進表示し、nをn+1に置き換えたものから1を引く
ということを繰り返して得られる数列。
例えば初項を4として2進表示から始めた場合、0に到達するまでに
3*2^402653211-3ステップかかる。
4=2^2
→3^3-1=3^2*2+3*2+2
→4^2*2+4*2+1
→5^2*2+5*2
→6^2*2+6*2-1=6^2*2+6+5
...
...
→0
- 676 :もやしっ子:2007/10/22(月) 02:20:28
- >会場に液晶プロジェクタはあるのかな?
多分ないです。公民館の集会場だと考えていただければ。
ノートPCなどあれば助かります。
- 677 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 07:31:52
- >>673
然り。ただ正確にはListではなくTreeだけど。
ω?ω^ω未満なら自然数のListであらわせる。
(n_1,n_2,…,n_n)→n_1*ω^n+n_2*ω^(n-1)+…+n_n*ω
ここで
((1))→ω^ω
((1),(2))→ω^ω+ω^(ω^2)
((1、2))→ω^(ω^2+2ω)
とすれば、ω^ω?ε_0未満に対応するようにできる。
- 678 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 07:47:38
- >収束列を、
>ω^(a+1) = lim ω^a ・n
>ω^A = lim
ω^A_n ......(Aは極限順序数、A_nはその収束列)
>b+A = lim
(b+A_n) ......(Aは極限順序数、A_nはその収束列)
>と定義し、
3番目の規則から明らかではあるが
n*A
= lim ((n-1)*A+A_n)
- 679 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 07:51:27
- 誤 ((1),(2))→ω^ω+ω^(ω^2)
正 ((1),(2))→ω^ω+ω^(2ω)
- 680 :5-714:2007/10/22(月) 10:38:16
- >>677
ありがとうございます
まだ詳細が整理できていませんが、後で考えてみます
- 681 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 10:52:18
- ふぃっしゅ関数Ver5の勝因が
高階関数(あるいは同値だが^の段数)
に着目したことにあったとすれば
次のステージでも、Veblen階層に関して
自然数の範囲内でおさえられる性質
に着目すればよい。
で、そういう性質は・・・存在する。
Veblen関数をφ[α](β)であらわそう。
φ[0](0)=1 を、"0の次の順序数"
φ[1](0)=φ[φ[0](0)](0)=ε_0 を、"φなしではたどり着けない順序数"
φ[ε_0](0)=φ[φ[φ[0](0)](0)](0) を、"φ[]の[]内にφが1つしかない順序数ではたどり着けない順序数"
φ[φ[φ[φ[0](0)](0)](0)](0)を、"φ[]の[]内にφが高々2回入れ子になってる順序数ではたどり着けない順序数"
・・・と続けていくと
Γ_0はこのような入れ子の極限、つまり
φ[α](0)=α となる順序数
として表される。
- 682 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 11:02:46
- >>680
>まだ詳細が整理できていませんが、後で考えてみます
ところで、もう2年も前のことなので、覚えてないかもしれませんが
6-317で、魚スキーさんが、ヒドラゲームとHardyの関係について述べた際
6-321で、5-714さんはレスでCantor normal
formに言及されていたので、
そのあたりのことは、お二人の間では共通認識になっているに違いない
と思っていましたが・・・
- 683 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 11:34:25
- φ[ε_0](0)を、limφ[ω^(・・・(ω^ω)・・・)](0)としていいのなら、
これでうまく分解できそうな気がするが
- 684 :5-714:2007/10/22(月) 12:01:26
- >>682
ポインタをたどってみたらちょっと思い出しました。
hydra
との対応は当時もどれだけフォローしていたか記憶がありませんが……
今読み返した印象だと問題にしているのは induction step
での挙動みたいなので
base case を抽象化してやるとHb みたいな亜種を作らなくてもいいかもしれませんね。
- 685 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 12:49:25
- ナゴヤ氏とたろう氏は先に進んでいるが
このスレとしては計算できる関数のほうが
嬉しいので、まずΓ_0未満のpredicativeな
順序数に関するHardy関数に相当する、
ふぃっしゅ関数Ver5の拡張版を
誰でもいいから書いてみてほしい。
その人が、ふぃっしゅの次のチャンプということで。
もちろん、ふぃっしゅ氏がVer6を書けば、王座防衛。
いかがでしょうか?
- 686 :ルート41:2007/10/22(月) 15:54:32
- >>462の下数矢印表記と>>505の上数矢印表記を使用して名前を付けてもよい
くらいの数字が作れましたので、書きこみます。
復習をかねて下数矢印表記の定義から。(>>462を少し変えてます)
a↑0=a
a↑b=a^a^a^・・・^a ※^の数がb個
a→b=a↑(a↑(・・・(a↑a) ※( )の数がb-1個
矢印回転以降は
a○b=a(b/4回転↑)a
a◎b=a○(a○(・・・(a○a) ※( )の数がb-1個
a3重○b=a◎(a◎(・・・(a◎a) ※( )の数がb-1個
※以降は矢印の回転の代わりに、何重にするを使用。
a△b=a(b重○)a
a□b=a(b重△)a
と続けていきます。○△□の変化(n角形)が2重帰納関数
3重帰納関数以降についてては
a☆b=a(b角形)a
a六方星b=a(B重☆)a
と展開していきます。
すると下数矢印表記だけでは3重帰納関数の表記も困難になります。
n重帰納関数にいたっては、表記不能に近い。そこで途中の表記を飛ばし
n重帰納関数を下数矢印表記では
? a?・b と定義します。
3?・1=3↑3 3?・2=3○3
3?・3=3☆3 3?・4=3未定義3
- 687 :ルート41:2007/10/22(月) 15:56:15
- 上記の下数矢印表記を踏まえて、上数矢印表記の定義に入ります。
下数矢印表記の○△☆を>>505の定義で上数矢印表記に変換します。
a○↑b=a←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
a○↑↑b=a○↑(a○↑↑(b-1))
a○→↑b=a○↑↑・・・↑※↑の数がb個
a○○↑b=a○←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
a◎↑b=a○○・・・○↑a ※○の数がb個
a◎○↑b=a◎←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
a◎◎↑b=a◎○○・・・○↑a ※○の数がb個
a(3重○)↑b=a◎◎・・・◎↑a ※◎の数がb個
n重○のnを増やすことで2重のn重帰納関数を表記できます。
以降△□も同じ様に表記していきます。
a△↑b=a(b重○)a
a△○↑b=a△←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
a☆↑nのとき、nを増やすことでn重のn重帰納関数を表記できます。
上記の法則にのっとりa?・bを上数矢印で表記した値を
? a?・↑b で表記します。
※無量大数は上数では10^262144となりますが。この値を下数で無量巨大数
とした場合、上数で無量巨大数は10^(4×(2^262140))となる。
を矢印表記で行うという事。
3?・↑1=3↑3 3?・↑2=3○↑3
3?・↑3=3☆↑3
- 688 :ルート41:2007/10/22(月) 15:57:18
- ここまででも、それなりの大きさになりますが、更に
a?・↑b の値を下数矢印表記で a?・・b と表記
a?・・b を上数矢印表記で表記した値を a?・・↑b と表記
と??を繰り返す事で大きな数を作っていけます。
そこで、??をa?・↑b回繰り返したときの上数矢印表記の値を
a・?・b
で表記します。
この・?・表記を僕の好きな作品タイトルから取って
蒼穹表記と命名。また
9・?・9
を蒼穹数と命名します(総9のダジャレでもありますが)
なをa・?・bで??をa・?・b回繰り返すとすればさらに大きくなりますが
同じ事の繰り返しになるので、上数矢印表記の利用はひとまず終了します。
- 689 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 17:06:41
- >>681
>>173のほうがはるかにわかりやすい。
- 690 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 17:13:21
- >>685
>このスレとしては計算できる関数のほうが 嬉しいので
各limit
ordinalに対してfundamental sequenceが定まっていれば
Hαは計算可能。
- 691 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 17:36:51
- >>689
>>681には>>173に書いてないことが書いてあるけど。
>>173
>+だけでは到達できない数をφ_0で定義し、
>+とφ_0だけでは到達できない数をφ_1で定義し、
>+とφ_0とφ_1だけでは到達できない数をφ_2で定義し、
>…とやっていって、最終的にはVeblen関数を何回使っても
>到達できない最小の数をΓ_0と定義していることになります。
これだとΓ_0がφを使ってどう下から表せるかがわからない。
>>681には書いてあるけどね。
- 692 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 17:39:57
- >>690
>各limit ordinalに対してfundamental
sequenceが定まっていれば
>Hαは計算可能。
計算可能かどうかはfundamental
sequenceの定め方によると思うけど。
- 693 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 18:34:16
- >>681
6-291, 6-655 に正確な定義を書いておいてある。
- 694 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 18:42:39
- >>668
> より大きな可算順序数を表記するにはより大きな基数を用いる必要があるみたい
必ずしもそういうわけではなくて、最初に大きな可算順序数の表記を作った人は
基数はどこにも用いていない。大きな可算順序数を作るには、大きな基数がある
と仮定すればわかりやすくなるというのは事実だけど。
- 695 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 18:42:57
- >φ[0](0)=1 を、"0の次の順序数"
>φ[1](0)=φ[φ[0](0)](0)=ε_0 を、"φなしではたどり着けない順序数"
>φ[ε_0](0)=φ[φ[φ[0](0)](0)](0) を、"φ[]の[]内にφが1つしかない順序数ではたどり着けない順序数"
>φ[φ[φ[φ[0](0)](0)](0)](0)を、"φ[]の[]内にφが高々2回入れ子になってる順序数ではたどり着けない順序数"
こんな説明では不十分だし、いまさらこんな不正確に定義しなおす必要は無い。
>>671の見解は正しい。CNFは0と+とφ_0(0番目のVeblen関数)で有限に記述したもの、ということになる。
>>693の通り、定義=6-292、基本列=6-655で十分。
- 696 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 18:43:53
- >最初に大きな可算順序数の表記を作った人
いったい誰のこと?
- 697 :たろう:2007/10/22(月) 19:45:52
- 今のところの各部門でのトップ
A 具体的なアルゴリズムがわかるもの
Hardy Function + 多変数C1
B アルゴリズムを事実上調べる術は無いが計算可能なもの、概念のみ (あんまり意味ない)
>>430
C 厳密に定義可能なもの
>>538 の B[a](n) + 多変数C1
D 概念のみ
Hardy
Function + >>575
こんな感じでしょうか。
- 698 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 21:26:21
- >>695
681は定義だとは書いてないけど。
>こんな説明では不十分だし、
というか、こんな説明は6-655に書いてある、
っていえばいいんじゃない?
実際こう書いてあるし。
>Γ_0
への収束列は
>Γ_0[0]=φ_0(0), Γ_0[k+1]=φ_{Γ_0[k]}(0)
>で定められる。
計算すれば、>>681で書いてあることと同じになるよね。
- 699 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 21:49:07
- >>697
順々に見ていこうかな
>A 具体的なアルゴリズムがわかるもの
> Hardy Function + 多変数C1
これはどうかな?
H[ord] ord <
ε_0に関しては、ふぃっしゅ関数ver5と同等。
H[ord] ε_0 =< ord < Γ_0に関しては、やればできそう。
H[ord] Γ_0 =< ord < ω1_CKに関しては、どうやればいいかようわからん。
H[ord] ω1_CK
=< ord に関しては、正直無理な気がする。
順序数の定義ができればいいというわけではなく、
計算にあたってより小さな順序数に還元する
手順が示されなくてはならないと思うんだが。
- 700 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 21:56:51
- >B アルゴリズムを事実上調べる術は無いが
>計算可能なもの、概念のみ (あんまり意味ない)
> >>430
ごめん、これ何いいたいのかぜんぜん分からないや。
>C
厳密に定義可能なもの
> >>538 の B[a](n) + 多変数C1
単に集合論の意味での関数を言ってるのなら、
もうそれこそ際限なく大きな関数があると思う。
BBはむしろ計算不可能な関数の一種の下限と
考えられていることに意味があると思う。
- 701 :たろう:2007/10/22(月) 22:01:37
- >>699
書き方がまずかったかな。
多変数C1
は帰納的でない順序数も生成しますが、
C1(C1で生成した大きな順序数, 0) とすることで、
大きな帰納的順序数が作れます。
この大きな順序数とHardy Functionを組み合わせて作ります。
具体的には、
H[ C1(C1(1,
0がn個),0) ](n)
こんな関数。
具体的な収束列は、>>571 の多変数C1 のところに定義してあります。
- 702 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 22:09:21
- >D 概念のみ
> Hardy Function + >>575
これ、Cとの区別の仕方がようわからん。
思うんだけど、ここでいきなりω1_CKの先とか
そんなすごいことやんなくていいんだよ。
そうじゃなくて例えばΓ_0レベルでも、
ε_0レベルでふぃっしゅ氏がやったような
形まできっちり仕掛けが説明できれば、
そのほうが成果としては分かりやすいんだけどね。
- 703 :たろう:2007/10/22(月) 22:14:08
- >>700
B
>>430 を見ていただければわかると思いますが、
部門としてはあんまり意味が無いので、
見なかったことにしてください。
C
> 単に集合論の意味での関数を言ってるのなら、
>
もうそれこそ際限なく大きな関数があると思う。
もちろんずっと大きな関数はあると思いますが、
このスレではこの程度しか厳密に定義されているものはありません。
もしずっと大きな関数をご存知でしたら教えていただけませんか。
- 704 :たろう:2007/10/22(月) 22:29:26
- >>702
C と D の違いは、
C:関数や数値として定義がされているもの
D:定義はされていないが、考え方が記されているもの
「きっちり仕掛けが説明できれば」というのは良くわかりません。
きっちり定義できればという意味なら、
部門が D ですので、厳密な定義はありません。
H[Γ_0](n)
なら既に定義がいくつかあがっていて、
プログラムにもなっています。
その大きさが一般人でも理解できるような説明は私には出来ません。
枝分かれ部分が veblen と + との区別がある多進木で
図に書くことは出来るでしょうが。
- 705 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 22:29:57
- >>701
>書き方がまずかったかな。
あれは順序数の作り方であって、
Hardy関数の計算の仕方ではないよなぁ。
- 706 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 22:36:07
- >H[Γ_0](n) なら既に定義がいくつかあがっていて、
>プログラムにもなっています。
いいんじゃない。それを書けば。
>その大きさが一般人でも理解できるような説明は私には出来ません。
そんな説明は要らないよ。だってH[ε_0]のときだって誰もしてないよ。
>枝分かれ部分が veblen と +
との区別がある多進木で
>図に書くことは出来るでしょうが。
肝心なのは順序数を図に描くことだけではなくて
計算の手順を、図的操作として示すことだな。
ヒドラ・ゲームというのはそういうことだよね。
結局H[ε_0]も、ふぃっしゅ関数Ver5もそれで
実は同じものなんだと理解されたわけだし。
- 707 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 22:41:29
- あと、Γ_0を超える範囲だって、ちゃんと図で表現できて
計算を図的操作で書けるというんなら、それを示せば
いいんじゃない?
順序数とかいったって、結局のところ元を自然数に写像して
しかるべき順序関係をつけたものに対して操作とかなんとか
いってるわけだから。
- 708 :たろう:2007/10/22(月) 22:47:56
- >>705,706,707
順序数の定義、それを構成する極限順序数の収束列
があれば、
Hardy関数にその順序数を入れた時の定義は十分と思います。
定義から計算の仕方はわかると思いますが、
定義が不明ですか?
それとも、定義はわかるが計算の仕方がわからない?
ヒドラゲームと似た考え方の、H[ψ(Ω^ω)](n) 相当の関数なら、
>>342 にあります。
多変数 C0 による多進木で順序数に対応する文字列を作っています。
- 709 :たろう:2007/10/22(月) 22:55:34
- H[ψ(Ω^ω)](n) 相当の関数はプログラムにもなっています。
>>571 のテキストの最後を見てください。
最適化しているので非常に見にくいとは思いますが。
- 710 :132人目の素数さん:2007/10/22(月) 23:51:06
- 計算の仕方が示されてないとか言ってるのは単に
計算の仕方を理解できてないだけ。責任転換するな。
>>692
いや、基本列が定まれば計算できる。Hαが計算できないとしたら
それは基本列が定まっていないというだけ。
- 711 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/23(火) 01:36:00
- とりあえず、今はこれまでの議論を整理しているところです。
勉強会に向けて、今週中にPDF更新をアップしたいと思います。
しばらくは、あまり先の段階へ進めそうにないので、少しだけ
F6に向けて考えていることを書き留めておきます。
F6の第1段階は、たぶんこうなります。ただ、例によって
その評価がまだ出来ていません。
F5におけるm(n)の定義を拡張して、Mn変換m_1(n)を
m_1(n) f_{n-1}...f_1 f_0 :=
m(x) m(x-1)...m(n)f_{n-1}...f_1 f_0
ただし x = max(f_0,n)
と定義することをF6の手始めと考えます。
この時のm_1(n)の強さをどうやって評価するか。おそらく、
m_1(1)=F5(x): H[ε_0]
m_1(2): H[+ε_0] (Hardy の op に+ε_0する)
m_1(3): f_2がH[+α]の時にH[+ε_0*α]を生成
といった感じになると考えています。
m_1(4)以降の解釈が難しい。
H[α]からH[ω^α]への変換を与えるM2を定義できれば
H[ε_ω]までは一気にいけるのですが…。
- 712 :132人目の素数さん:2007/10/23(火) 01:38:08
- >>692 は、
αまでの基本列のシステムが recursive でなければ Hα が
recursive とは限らない
と言っているのだと思うよ。
- 713 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/23(火) 01:42:51
- Fで書かないとだめだったかな。
m_1(1)=F5(x): F[ε_0]
m_1(2): F[+ε_0] (Hardy の
op に+ε_0する)
m_1(3): f_2がF[+α]の時にF[+ε_0*α]を生成
Hの場合は…
m_1(1)=F5(x): H[ε_0]
m_1(2): H[×ε_0] (Hardy の op に×ε_0する)
m_1(3): f_2がH[×α]の時にH[×ε_0^α]を生成
といった感じかな?
- 714 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/23(火) 01:50:19
- > H[×α]の時にH[×ε_0^α]を生成
いやまて…もしそれが本当なら、m_1(3)^xでε_1が生成できて
しまうわけだけど、たぶんそんなことはないです。
ゆっくり考えてみます。
- 715 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/23(火) 02:10:17
- >>711-714の計算は、間違っていました。
>>387-388を元に計算すると、こうなります。
f2 ===> +α
f2
f2 ===> +α*2
f2^a ===> +α*a
m3 f2 ===> +α*ω
m3 f2 m3 f2
===> +α*ω*2
m3 f2 m3 f2 m3 f2 ===> +α*ω*3
(m3 f2)^a ===>
α*ω*a
m3 m3 f2 ===> α*ω^2
m3 m3 m3 f2 ===> α*ω^3
m3^a f2
===> α*ω^a
m4 m3 f2 ===> α*ω^ω
m3 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω*ω
...
m4 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω^2
m5 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω^ω
...
m_1 3 f2 ===> +α*ε_0
- 716 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/23(火) 02:21:18
- したがって、m_1(3)は
f_2がF[+α]の時にF[+α*ε_0]を生成
となります。なので、m_1(3)を繰り返しても
ε_1には到達しません。
+1 → +ε_0 → +ε_0^2 →
… +ε_0^ω
程度です。
Hのopで言えば、
f_2がH[*α]の時にH[*α^ε_0]を生成
となると考えると、
*ω → *ε_0 → *ε_0^ε_0 → … *ε_0^ε_0^ω
といった感じでしょうか。
とりあえずここまで。
- 717 :132人目の素数さん:2007/10/23(火) 08:10:57
- >>708
>定義から計算の仕方はわかると思いますが
わからないのでやってみせてください。
>定義が不明ですか?
残念ですが理解できませんでした。
>それとも、定義はわかるが計算の仕方がわからない?
残念ですがこちらも理解できませんでした。
申し訳ありませんが、実際にΓ_0でやってみせていただけませんか?
342は見ましたがふぃっしゅ氏の計算で、
ω^2でも>>346であきらめちゃってます。
でも、その後、まったくフォローされてないようですが。
- 718 :132人目の素数さん:2007/10/23(火) 08:14:54
- >>712
>αまでの基本列のシステムが recursive でなければ
>Hα が
recursive とは限らない
そういうことです。
その場合、ω1_CKが限界点になるのだとは思いますが。
- 719 :132人目の素数さん:2007/10/23(火) 10:10:11
- >>717
今計算しなおそうとしてその前に記法の確認したら
基本的なところでよう分からん。
>>348
>"0" => 0
>"(0)" => 1
>"((0))"
=> 2
>"(((0)))" => 3
>"((0)0)" => C0(1,0) => ω
>"(((0))0)" => C0(2,0) => ω^2
でω+1とか2ωとかはどうなるん?
ω+1=(((0)0))
だと思うが、2ωが分からんなあ。
- 720 :132人目の素数さん:2007/10/23(火) 10:36:39
- >>719
仕方ないからSeqの計算みてやってるけど
2ω=((0)(0)0)?
ホンマか?
つーか、Seq(((0)0),i)=(i)になるか
確認しようとおもたらでけへんやん・・・OTL
- 721 :132人目の素数さん:2007/10/23(火) 11:02:15
- >>358
> >>338 のプログラムでは、F[ε_0](n)を超える
> F[φ_ω(0)](n)やF[ψ(Ω^(Ω+ω))](n)が
> いとも簡単にコーディングされていますが、
> このプログラムを理解できる人はいますか?
でけへんかった。なんか基本的に抜けが多いと思う。
>>347のアイデアは、要するに順序数の記法の取り扱いってことだよな。
それはええと思うんよ。でも、そのことと、たろう氏がそれを
実現できてるということとは全然別の話。
>>373
> >>338のプログラムを見ると、本当にこんなに短いプログラムで
> F[ψ(Ω^(Ω+ω))](n)
を生成できるのかと、驚くばかりですが。
それはふぃっしゅ関数Ver5かて同しやと思うけどな。
まあ、ふぃっしゅ関数Ver5については、ようわかってきてるから
疑わんけど、たろう氏のプログラムが、ふぃっしゅ関数Ver5のレベル
ですら、ちゃんと実現でけてるのかは、今の時点では大いに疑わしいで。
- 722 :132人目の素数さん:2007/10/23(火) 11:32:09
- >>347
>http:///web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
>順序数の生成にはこれを参考にしたC0を使っています。
ところで、これを書いた人について調べてみましたか?
ドミトロ・タラノフスキ(Dmytro Taranovski)は、
1983年、ウクライナのキエフ生まれ。
2005年に、MITで、数学の学士の学位を取得
だそうです。要するに元学生ってことです。
この人は結構な勉強家で他にも数学やら物理やら
に関して膨大なドキュメントをみつけました。
ただし学生の書いてることですから、どの程度
正確なのかわかりませんが・・・
- 723 :132人目の素数さん:2007/10/23(火) 12:30:57
- >>683
>φ[ε_0](0)を、limφ[ω^(・・・(ω^ω)・・・)](0)としていいのなら、
>これでうまく分解できそうな気がするが
参考まで
ε_0
=φ[φ[0](0)](0)
=φ[1](0)
=0,φ[0](0),φ[0](φ[0](0)),φ[0](φ[0](φ[0](0))),・・・
=0,1(=ω^0),ω,ω^ω,・・・
- 724 :132人目の素数さん:2007/10/23(火) 13:13:06
- Hardy&Veblenだとこんな感じか
H[φ[φ[φ[0](0)](0)](0)](2)
=H[φ[ω](0)](2)
=H[φ[2](0)](2)
=H[φ[1]\2 (0)](2)
=H[φ[1] φ[0]\2
(0)](2)
=H[φ[1] φ[0](1)](2)
=H[φ[1](ω)](2)
=H[φ[1](2)](2)
=H[φ[0](φ[1](1)+1)](2)
=H[φ[0](φ[0](φ[1](0)+1)+1)](2)
=H[φ[0](φ[0](ω+1)+1)](2)
=H[φ[0](ω(ω+1)+1)](2)
=H[ω^(ω^(ω+1)+1)](2)
- 725 :132人目の素数さん:2007/10/23(火) 13:20:26
- ああ、なるほど。Hardyをベースにするんなら、
順序数をCNFに還元する計算ができればいいのか。
ということで、セカンドステージは、自然数から
"ふぃっしゅ関数Ver5のm1,m2,・・・による木の形をした関数"
への写像をつくればいいわけだ。
- 726 :たろう:2007/10/23(火) 21:40:04
- >>717
H[Γ_0] や H[ψ(Γ_(Ω+1))], H[ψ(Ψ)] の具体的な展開は
>>205 氏の Ruby のプログラムを使えばわかります。
>>719
順序数の和や積は可換でないので注意。
ω・2 = C0(1, ω) =
C0(C0(0), C0(C0(0),0)) = "((0) ((0) 0))"
Seq(ω, 0) = Seq( C0(C0(0),0)
,0 ) = Seq( "((0) 0)" ,0 ) = "(0)" = 1
Seq(ω, i+1) = Seq( C0(C0(0),0) ,i+1
) = Seq( "((0) 0)" ,i+1 ) = "(0" + Seq( "((0) 0)" ,i ) + ")" = Seq( ω ,i ) + 1
つまり、Seq(ω, i) = i+1
....【 (s = "(" + X + B + □ + a + ")" の形の時の式に対し、X
= "", B = "(0)", a = "0" を代入 】
>>721
H[C0(1,0,0,0,0,0,0,0,0)](9) を実装しただけです。
ここまで小さくするのは非常に大変でしたが。
微妙に収束列やHardyFunctionの定義を変えてあります。
ordinal
構造体は9個のordinal 構造体へのポインタを持つので、
9進木ということになります。
ヌルポで順序数の0をあらわします。
HardyFunction は、再帰ではなくループで表現しています。
- 727 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/23(火) 22:01:14
- 【ふぃっしゅ数バージョン6 - 暫定版 -】
[1] ふぃっしゅ数バージョン5と同様にMn 変換
(n=0,1,2,...)を定める。
[2] Mn変換 mn(a,b) (n≧1, a,b≧0) を以下のように定める。
mn(0,0) := ふぃっしゅ数バージョン5の定義における m(n)
mn(a,b+1) f_{n-1}...f_1 f_0 :=
mx(a,b) m{x-1}(a,b)...mn(a,b) f_{n-1}...f_1 f_0
mn(a+1,0) f_{n-1}...f_1
f_0 := mn(a, m_1(a,f_0) f_0)^{f_0} f_{n-1}...f_1 f_0
ただし x =
max(f_0,n), f_n は Mnの元とし、
厳密な定義の構造はふぃっしゅ数バージョン5と同様にする。
[3]
暫定版ふぃっしゅ関数を以下のように定める。
F6(x) = m2(m1(x,0) x, 0)^x f (x); f(x)=x+1
[4] 暫定版ふぃっしゅ数 F6 := F6^63(3) とする。
==========================================
m1(0,a+1) ≒ H[ε_a]
まではたぶん大丈夫ですが、狙いのH[Γ_0] が実現して
いるかどうかは、かなりあやしいです。暫定版なので、狙いが実現していな
ければ取り下げます。実現が確認できたところで確定版を作ります。
- 728 :ルート41:2007/10/23(火) 23:54:16
- >>686-688で定義した蒼穹表記をとりあえず自分でハーディ関数
F「εー0](n)まで変換してみたんですが、
a○↑b=F[ω^ω](n)
a○→↑b=F[ω^ω*ω](n)
a○↓→↑b=F[ω^ω^2](n)
a○←↓→↑b=F[ω^ω^3](n)
a○○↑b=F[ω^ω^ω](n)
a○○○↑b=F[ω^ω^ω^ω](n)
a◎↑b=F[εー0](n)
と予想に反して a◎↑bでF[εー0](n)に到達してしまいました。
このまま a△↑b a□↑b 更にa☆↑bをハーディ関数に変換して
いくと、蒼穹表記 a・?・b では物凄いことになりそうなんですが。
やはり、どこか計算間違いをしてるんですかね?
F[εー0](n)の後はまだ勉強不足で理解してないんですが。
- 729 :132人目の素数さん:2007/10/23(火) 23:59:24
- とりあえずナゴヤ関数Ver2で使用する順序数群について
一部定義をまとめました。
Ω_1 : 関数F[
]とωのみで表せないときに使う順序数
Ω_n+1 : 関数F[ ]とω, Ω_1, ? Ω_nで表せないときに使う順序数
として、
各順序数を使用した式は以下のように定義されます。
F[Ω_1](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) =
F[φ_n](ω), φ_1 = ω)
F[Ω_(m+1)](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) =
F[φ_n](Ω_m), φ_1 = Ω_m)
F[Ω_ω](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) =
F[φ_n](Ω_x), φ_1 = Ω_x)
また、Ωの添え字を(1,0)以上とリスト形式に拡張させて
Ω(1, 0) = lim
Ω_(φ_n) (φ_(n+1) = Ω_(φ_n), φ_1 = ω)
Ω_(Ω(1, 0) + 1) = lim Ω_(φ_n)
(φ_(n+1) = F[Ω_(φ_n)](ω), φ_1 = F[Ω(1, 0)](ω) + 1)
Ω(1, n+1) = lim Ω_(φ_k)
(φ_(k+1) = Ω_(φ_k), φ_1 = Ω(1, n) + 1)
Ω(m+1, n+1) = lim Ω(m, φ_k)
(φ_(k+1) = Ω(m, φ_k), φ_1 = Ω(m, n) + 1)
と定義します。
さらに、リスト要素ω番目以降として、a番目要素の値が0の0_aは省略可能とし、
Ω(1_ω, 0_1) = Ω(1_x)
Ω(1_ω, a+1_1) = lim Ω(1_x, φ_k) (φ_(k+1) = Ω(1_x, φ_k), φ_1 = Ω(1_ω, a_1)
+ 1)
とします。
- 730 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 00:02:31
- 順序数のためのHardy function
I[0](β)=β
I[α+1](β)=I[α](β+1)
I[λ](β)=I[λ_β](β) (λがlim(α→Ω) λ_αの極限順序数のとき)
Howard
ordinal≒I[ε_(Ω+1)](ω)
- 731 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 00:05:58
- >>728
たぶん正しく計算してないと思われ。
もう一度慎重に計算してみましょう。
あとε_0の_(アンダーバー)はシフトキーを押しながら
ひらがなの「ろ」で変換できるよ。
- 732 :たろう:2007/10/24(水) 00:14:35
- >>727
たろうの予想は、
m1(b,a) ≒F[ε_(ω・b + a) +
1] ...ただし、b > 0
[2] の3行目は
mn(a+1,0) f_{n-1}...f_1 f_0 :=
mn(a, f_0) f_{n-1}...f_1 f_0
で十分な気がする。
- 733 :5-682:2007/10/24(水) 00:30:32
- >>729続き。
以降、
Ω(1_ω, a+1_1) = lim Ω((φ_k)_x)
(φ_(k+1) = Ω((φ_k)_x), φ_1 = Ω(1_ω, a_1) + 1)
Ω(n+1_ω, 0_1) = lim Ω(n_ω,
(φ_k)_x) (φ_(k+1) = Ω(n_ω, (φ_k)_x), φ_1 = Ω(ω_ω, 0_1) + 1)
Ω(1_(Ω_1),
0_1) = lim Ω(1_(φ_k), 0_1) (φ_(k+1) = F[Ω(1_(φ_k), 0_1)](ω), φ_1 = ω + 1)
Ω(n+1_(Ω_1), 0_1) = lim Ω(n_(Ω_1), 1_(φ_k)) (φ_(k+1) = F[Ω(n_(Ω_1),
1_(φ_k))](ω), φ_1 = ω + 1)
のような形で進んでいきます。
- 734 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 00:43:02
- >>729
F[α](ω) の定義は?
- 735 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 00:47:40
- >>731
有流才蔵うざい
- 736 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/24(水) 01:08:00
- >>732
早いですね。では、早いですが>>727のふぃっしゅ数
バージョン6は取り下げます。
m1(0,a+1) ≒
H[ε_a]からH[η_0]を生成するために、
2変数目に関数をぶちこんで収束列を作ればいいかと
安易に考えましたが、f_0が連動してしまうので結局
定数でした。
やはり、通常の拡張方法をしている限りは、多変数化で
H[ε_{ω^ω}]、多重リストでH[ε_ε_0]が限界ですね。
>>418-419ではε_1の手前でうろついていたので、
それに比べれば大進歩です。
バージョン6は切りよくη_0かΓ_0にしたいので、
新しい着想が出るまでこのままもう少しあたためます。
- 737 :ルート41:2007/10/24(水) 01:15:12
- >>731
いろいろとアドバイスをありがとう。
a○↑bはn重帰納関数なので
a○↑↑b=a○↑(a○↑↑(b-1))=F[ω^ω*ω](n)
としたのがそもそも間違いだったのかな?
- 738 :5-682:2007/10/24(水) 01:18:39
- >>734
Ver1での定義と同じです。
F[α_ω](ω) = F[α_x](ω)です。
- 739 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 01:21:46
- >>202
質問があります。
収束列についてなんですが、たとえば
ψ_1(Ω)
だったら、まずΩに注目しますよね。Ω=ψ_1(0)なのでψ_[δ+1](0)の形になっています
ので次は、これをxに置き換えた関数をf(x)とする
f(x)=ψ_1(x)
つづいてδ=0なので、
α'_0=0, α'_(n+1)=ψ_0(ψ_1(α'_n))
つまり、
α'_0=0
α'_1=ψ_0(ψ_1(0))=ψ_0(Ω)
α'_2=ψ_0(ψ_1(ψ_0(Ω)))
……
です。
- 740 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 01:23:49
- >>739の続き
そして最終的に収束列は、β=1なので
α_0=0,
α_(n+1)=ψ_1(ψ_1(α'_n))
つまり、
α_0=0
α_1=ψ_1(ψ_1(α'_0))=ψ_1(ψ_1(0))
α_2=ψ_1(ψ_1(α'_1))=ψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))
……
です。ここでα_1なんですが、ψ_1(ψ_1(0))=ψ_1(Ω)なのでこれは調べていた順序数
そのものになっています。
α_2はψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))=ψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))ですが
ψ_1(ψ_0(Ω))>ψ_1(0)=Ωなのでもとの順序数より大きくなってしまいます。
定義どおりにしたつもりですがどこが間違っていますか?
- 741 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 06:42:54
- >>735
はずれ
- 742 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 06:56:43
- >>726
>H[Γ_0] や H[ψ(Γ_(Ω+1))], H[ψ(Ψ)] の具体的な展開は
>>>205 氏の Ruby のプログラムを使えばわかります。
消えたドキュメント参照してどうするw
- 743 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 07:11:14
- >>272に魚拓があったか。
- 744 :たろう:2007/10/24(水) 08:13:01
- >>742
もう消えてましたか。
展開の様子が順に表示されるすばらしいプログラムだったのですが。
>>272 では展開の様子を見ることは出来ません。
保存はしてありますが、勝手にアップしてはまずいでしょう。
>>205 氏が再び現れるのを待ちますか。
- 745 :釣り人:2007/10/24(水) 09:00:30
- どうも、釣り人です。
こちらに謎の巨大魚が現れたとか。
ちょっと見せてもらってもいいですか?
F5(n)=m_n
m_{n-1} ・・・ m_1(n)
これですか・・・
・・・でも、なんかちっちゃくないですか?
なんつうか、イワシ程度というか・・・
あっ、御気に障ったらごめんなさい。
- 746 :釣り人:2007/10/24(水) 09:05:46
- 要はnに対して本体の長さが同じnでしか伸びないのがいかんのだな。
まあ、これじゃ面白くないので、イワシをエサにしてマグロでも釣りますか。
まずは、ちょっと改造をば
F5改(l,n)=m_l m_{l-1} ・・・ m_1(n)
とりあえず、入力と本体の関数部の長さを分けてみました。
F5(n)=F5改(n,n)ってことです。
まあ、F5改の最初の引数のところに
何か増加する関数を入れれば
元のF5より大きくなるわけですが・・・
- 747 :釣り人:2007/10/24(水) 09:12:20
- 実は本題はここからでして。
要はF5改の増加部に、F5改自身を入れてもいいかな、と。
F5改(F5改(n,n),n)
まあ、これがいいなら、こいつをさらにいれちゃってもいいかな、と
F5改(F5改(F5改(n,n),n),n)
つうことで、ここでマグロ君ことフィッシャーマン関数登場!
FM(n)=F5改(・・・(n回)・・・F5改(F5改(n,n),n))・・・,n)
で、これどのくらいの大きさだと思うかって?
そうだなあ・・・私、大口叩く趣味ないんですが・・・Γ_0行ったかな?
ま、万が一、大したこと無くても、"釣り"ってことで。
- 748 :釣り人:2007/10/24(水) 09:19:34
- おっ、ジャンボジェット747か。これは幸先いいな。
ま、あとは釣り糸を垂れて気長に待つとしますか。
なんか、ここではHardyだVeblenだと騒がしいようですが
私、そういうムズカシイことはようわかりませんので
聞けばここのヌシの巨大魚さんもゼロからお育ちになられたとか。
その強靭なる生命力、あやかりたいものでございます。
- 749 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 09:30:12
- >>747
また来たか。
F5改(F5改(n,n),n) <
F5改(F5改(n,n),F5改(n,n)) < F5^2(n)
FM(n) < F5^n(n)
なので、ε_0程度。
- 750 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 09:30:49
- じゃなくて、ε_0+1 程度
- 751 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 09:42:39
- 余計なお世話だけど、ふぃっしゅ数の拡張の前に、原始帰納とか
2重帰納の意味あたりを、もう一度よく考えて理解する方がいいと
思うんだな。
- 752 :釣り人:2007/10/24(水) 09:57:54
- >>749-750
はっはっはっは。+1ですか。これはキビシイw
>>751
こんなこというのもなんですが、
ワタシ、昨日のこともよく覚えてないんですよ。
だからまあ無理だと思いますねw。
- 753 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 10:55:10
- コテハン変えさえすればバカな自分を脱皮して
生まれ変われるかのように錯覚するのよくない
- 754 :釣り人2人目:2007/10/24(水) 11:56:30
- おやおや、はじめの人は玉砕ですか。
まあ、ちょっと虫が良すぎますよね。
私は、手堅く行こうかと思います。
まずはこんな関数から。
Phi[mt1](mt2){n}
基本的にVeblen関数φ[α](β)なんですけど
自然数の引数nを追加してみました。
mt1,mt2はm1,・・・,mnからなるツリーで、
出力も同じツリーで返します。
動作ですが
Phi[mt1](()){n}は、mt1を分岐nのヒドラゲームで分解して
m1が頭になる枝が現れるところまでやります。
で、m1が頭の枝が出たら
Phi[(mt*
m1)](()){n}=Phi[mt*](Phi[mt*](・・・Phi[mt*](()){n}・・・){n}){n}
と、Phiをn回反復させます。
で、一番中のPhiを評価して[]の中身が()になったら
Phi[()](){n}=(m1)
とすると。
(続く)
- 755 :釣り人2人目:2007/10/24(水) 12:11:18
- その後は
Phi[mt1](mt2){n}は、mt2をやっぱり分岐nのヒドラゲームで分解して
m1が頭になる枝が現れるところまでやります。
で、m1が頭の枝が出たら
Phi[(mt1* m1')]((mt2*
m1'')){n}=
Phi[mt1*](Phi[mt1*](・・・(Phi[mt1*](mt2) mt1){n}・・・){n}){n}
とやっぱりPhiをn回反復させます。
あとmt1が極限順序数なら、mt1をヒドラゲームで分解するとともに
()内の(mt2*
m1)をPhi[mt1](mt2){n}に置き換えます。
で、一番中のPhiを評価して[]の中身が()になったら
Phi[()](mt2){n}は、mt2をそっくり1段繰り上げて下にm1を入れると。
まあ、こんな感じでいかがでしょうか。
- 756 :釣り人2人目:2007/10/24(水) 12:18:01
- 最後にフィッシャーマン関数パート2を定義するのを忘れてました。
FM2(n)=(Phi[Phi[・・・(n回)・・・Phi[()](()){n}・・・](()){n}](()){n})(n)
- 757 :釣り人2人目:2007/10/24(水) 12:25:01
- 追伸
Phiは多分順序数ε0についての原始帰納的関数なのかと。
- 758 :205:2007/10/24(水) 17:49:32
- >>744
ttp://www.uploda.net/cgi/uploader4/index.php?file_id=0000021312.lzh
再アップロードしました。中身は>>205と同じものです。
このプログラムについて著作権を主張するつもりはないので、
転載や改良は自由に行っていただいて構いません。
このプログラムで計算できるのは、>>110のFの方なので注意してください。
>>739
>>203の定義に沿って見ていくと、ψ_1(Ω)は
α=ψ_β(γ)(γは収束列の定義されていない非可算順序数)
でβ=1, γ=Ω=ψ_1(0)としたものになります。
ψ_[δ+1](0)をxに置き換えた後に関数を作るときは、
元々γだった部分をf(x)とするので、この場合はf(x)=xとなります。
そうすると、
α_0=0
α_1=ψ_1(0)
α_2=ψ_1(ψ_0(0))
α_3=ψ_1(ψ_0(ψ_0(0)))
…のようになります。
- 759 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 19:42:21
- ナゴヤ関数について質問
Ver1の最終的な定義はどれですか?
L[α](x) のxは自然数?自然数∪{ω}?順序数?
ナゴヤ関数で作った極限順序数のfundamental sequenceは定義されていますか?
L[10](ω),
L[10](ω+1), L[ω](ω)
のfundamental sequenceはそれぞれどのように定義されていますか?
- 760 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 21:10:14
- >>758
> >>203の定義に沿って見ていくと
誰が定義したの?205自身?
- 761 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 21:17:20
- 有流才蔵うざい
- 762 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 21:37:16
- >>761
またはずれ
- 763 :たろう:2007/10/24(水) 22:35:24
- >>728
9○↑n ≒ F[ω^ω](n)
9◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)](n)
9[3重○]↑n ≒ F[ω^(ω+2)](n)
9△↑n ≒ F[ω^(ω・2)](n)
9□↑n ≒ F[ω^(ω・3)](n)
9☆↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
9[六方星]↑n ≒ F[ω^(ω^2+1)](n)
9?・↑n ≒ F[ω^ω^ω](n)
9?・・↑n ≒ F[ω^ω^ω^ω](n)
9・?・n ≒ F[ε_0](n)
強引に解読するとこんな感じかな。
- 764 :132人目の素数さん:2007/10/24(水) 22:48:49
- 捨てたコテハンで呼ばれると
別人だと言い張るのは松本君の病気
- 765 :たろう:2007/10/24(水) 22:49:18
- >>763 差し替え
9○↑n ≒ F[ω^ω](n)
9○→↑n ≒
F[ω^ω+ω](n)
9○↓→↑n ≒ F[ω^ω+ω^2](n)
9○○↑n ≒ F[ω^ω・2](n)
9○○○↑n ≒
F[ω^ω・3](n)
9◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)](n)
9[3重○]↑n ≒ F[ω^(ω+2)](n)
9△↑n ≒
F[ω^(ω・2)](n)
9□↑n ≒ F[ω^(ω・2+1)](n)
9☆↑n ≒ F[ω^(ω・3)](n)
9[六方星]↑n
≒ F[ω^(ω・3+1)](n)
9?・↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
9?・・↑n 以降はよくわからん。
- 766 :5-682:2007/10/24(水) 23:57:12
- >>759
Ver1の最終的な関数の定義はF[ω_x, ・・・ , 0_2, 0_1](x)です。
L[α](x)のxは普通の自然数です。
質問での各定義については
L[10](ω) = L[9](φ_ω) (φ_n+1 =
L[9](φ_n), φ_1 = ω)
L[10](ω+1) = L[9](L[10](ω))
L[L[ω](ω)](x) =
L[L[x](ω)](x)
となります。
- 767 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/25(木) 02:10:06
- F6≒H[η_0]ができそうです。とりあえず概要を記します。
>>727の取り下げられたF6の定義で、
H[ε_a] ができましたが、ここから先に進む為には、
H[ε_a]→H[ε_{a+1}]の演算を定義する必要があります。
ところが、m1(0,a)→m1(0,a+1)の変換はm1(0,a)単体
ではできません。
そこで、集合M[m,n]を考えます。
M[0,n]はF5のMnと同じ。
M[m+1,1]はM[m,1],M[m,2],...の元の無限集合。
M[m,1]は、そこに含まれるM[0,1]の元の関数の働きもします。
M[m,n+2]はM[m,n+1]の元からM[m,n+1]の元への変換とします。
そして、M[m,n]の元m(m,n)を定めて行きます。
m(1,1)=[m(1),m(2),...]
m(1,2)[a1,a2,...]=[b1,b2,...]
bn f{n-1}...f1(x) := fy f{y-1}...an
f{n-1}...f1(x)
ここで y=max(x,n)
とすることで、
m(1,2)m(1,1)≒H[ε_0]
m(1,2)^2 m(1,1)≒H[ε_1]
m(1,2)^3 m(1,1)≒H[ε_2]
といった演算が定義できるので、m(1,3),m(1,4)...を
F5のm(n)と同様に定義することで、F5と同様の構造で
m(1,x) m(1,x-1)... m(1,1) ≒H[ε_ε_0]
となります。
- 768 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/25(木) 02:11:04
- 以下、m(m,n)を同様に定めて行くと、
m(2,2)m(2,1)≒H[ε_ε_0]
m(3,2)m(3,1)≒H[ε_ε_ε_0]
の収束列ができて、
m(x,2)m(x,1)(x)≒H[η_0]
になると思います。
4スレ846の発想でH[η_0]まで行きました。
- 769 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 06:45:57
- >>764
なんか精神を患ってる奴いるね。
- 770 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 07:11:49
- η_0=(ε_ε_…ε_0)ってのは…φ[2](0)か。
確かε_0がφ[1](0)だったな。ということは、
η_η_…η_0がφ[3](0)か。いやはやこりゃ大変だ。
で、今気づいたんだが、εとかηとかつかう代わりに
φ[1]、φ[2]、…にしてるってわけか。頭いいな。Veblen。
- 771 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 07:30:33
- ふぃっしゅ関数Ver5の方針ってのは、結局
nレベル:自然数
m1レベル:ωの肩に自然数が乗ってる
m2レベル:ωの肩にm1レベルの順序数が乗ってる
・・・とやってきて、結局
ε_0:ωの肩の順序数が自分自身と同じである最小の順序数
となるところまでやり続けるってことだよな。
同じ理屈で、いくなら、
φ0レベル:φ[]の[]内の順序数がφが現れない(つまりε0以下)
φ?レベル:φ[]の[]内の順序数がφ0レベル
φ?レベル:φ[]の[]内の順序数がφ?レベル
・・・って感じかな。これなら
Γ_0:φ[]の[]内の順序数が自分と同じである最小の順序数
までいけそうだわな。
- 772 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 08:21:01
- >>766
> Ver1の最終的な関数の定義はF[ω_x, ・・・ , 0_2,
0_1](x)です。
定義はどこにかいてありますか?
> L[α](x)のxは普通の自然数です。
L[α](ω)やL[9](L[10](ω)) という記述があるので定義域は自然数じゃないとおもいますが。
> L[10](ω)
= L[9](φ_ω) (φ_n+1 = L[9](φ_n), φ_1 = ω)
これはどこを見れば書いてありますか?
φ_ωの定義がありませんが、
L[10](ω) = lim L[9](φ_n) という意味ですか?
>
L[10](ω+1) = L[9](L[10](ω))
これはどこを見れば書いてありますか?
fundamental
sequenceは何になりますか?
> L[L[ω](ω)](x) = L[L[x](ω)](x)
これはどこを見れば書いてありますか?
L[ω](ω) の直接的な定義は出来ないのですか?
L[ω](ω)
はrecursiveな順序数ですか?
- 773 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 11:10:38
- >>772はウルサイゾウではないよw
ところで205のプログラム動かしてみた。
試しにH(Γ_0,2)やってみたけど
φの定義に忠実にやってるね。
でも、この当りでももう収拾がつかない感じだな。
ふぃっしゅVer5みたいに
「簡単な定義でお手軽な巨大化!」
なんて幸せな時代は終わったのかもね。
- 774 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 12:13:02
- >>773
大丈夫、質問のレベルを見ればだいたい分かる。w
- 775 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 12:35:25
- >>774 思い込みって人をとことん狂わせるんだなぁ。w
- 776 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 12:36:09
- さて・・・
- 777 :Ur-Psycho:2007/10/25(木) 12:36:40
- ところで、Kleeneの記法みたいに、極限順序数を
基本列を構成する関数のゲーデル数を用いて表せば
ω1_CK以下の順序数についてH[ω1_CK]は計算できる。
というか、実際には逆で、基本列がゲーデル数で表せない
最小の順序数がω1_CK。
つまり、これだけではなにもいったことにはならんわけだが。
- 778 :Ur-Psycho:2007/10/25(木) 12:39:54
- 誤:ω1_CK以下の順序数についてH[ω1_CK]は計算できる。
正:ω1_CK以下の順序数ordについてH[ord]は計算できる。
- 779 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 13:57:48
- >>775
いや、そうじゃなくて、>>773がウルサイゾウじゃないってことが
分かるってこと。
- 780 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 15:06:02
- >>779
いや、そうじゃなくて、「分かってる」の貴方一人だけだから
- 781 :もやしっ子:2007/10/25(木) 16:28:03
- こんちは。巨大数勉強会、会場確定しました。
文京区シビックセンター5階 研修室B(定員24) 設備:白板
ttp://www.city.bunkyo.lg.jp/sosiki_busyo_shisetsukanri_shisetsu_civic.html
11/3(土) 13:00?17:00
参加費 0円
現時点の参加予定者
・もやしっ子
・ふぃっしゅしゅ
・たろう
・前回参加者 1名(スレッドには参加してない・素人) 計 4名
(敬称略)
現地集合、現地解散です。事前連絡して頂いた方はシビックセンター
展望台に13:00集合でお願い致します。
ねぎ姉さんTシャツを着ていくので目印代わりに捕まえてください。
ttp://negineesan.fc2web.com/neg_black_front.jpg
- 782 :もやしっ子:2007/10/25(木) 16:28:35
- (続き)
基本オープンなので、「覗いてみたい」という方があれば、当日会場に
直接来ても平気です(多分)。だめだったら携帯からメール下さい。
LAN環境は無いと思われるので、ノーパソから無線で飛ばせる環境が
あると助かります。参考書と研究室とWikipediaを多用する可能性があるので…
グラハム数が何なのかわからんという方も、アッカーマンがわからんという
方も、ふぃっしゅVer.1がわからんという方も、その先がなんやねんという方も、
計算理論や極限順序数を叩き込んでくれる先生もこぞってご参加ください。
ちなみに僕は順序数あたりからやばいので、今後初心者に噛み砕いて
説明するために質問魔になる予定です。
よろしくどうぞ。
- 783 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 17:14:27
- >>781-782
この間ヒドラ・ゲームとふぃっしゅ関数の関係について
pptで説明しようかなと申した者です。
まあ、それはできそうなんですけど、その後関心が
Veblen関数に移ってきまして、今、拡張ヒドラ・ゲーム
のようなものを考えようとしてるんですが、まだ
オリジナルのヒドラ・ゲームほどクリアになってません
ので、そちらのほうは、発表できるかどうか・・・
- 784 :ルート41:2007/10/25(木) 17:40:30
- >>765
どうも計算ありがとうございます。
F[ω](n)の計算方法の一覧表みたいになって、解りやすかったです。
ω^ωの作成手順を全く理解して降りませんでした。
>>686-688での説明があまりに省略しすぎたので、9◎↑n以降は理解
してもらえなかったみたいですね。正直説明悪すぎました(反省)。
一応自分で計算しなおした結果
9☆↑n≒F[ω^ω^ω](n)
9?・↑n≒F[ε_0](n)
蒼穹表記 9・?・nはF[ω^ω](n)をF[ε_0](n)に変換することを
F[ε_0](n)回行ったのに相当します。(ω→ω→(ω↑↑ω))に相当
ついでにω・?・ωを蒼天数(総て天空のダジャレ)と命名
まあ、このスレは宇宙の彼方も越えてるですけどね。
- 785 :もやしっ子:2007/10/25(木) 18:21:07
- >>783
僕の手には余りまくりなので、矢のように質問すると思います。
長いこといますが基本素人です。
おさらいだけで2時間くらいいきそうな気もしなくも…
- 786 :132人目の素数さん:2007/10/25(木) 20:30:58
- Wikipediaの記述を整理したので
備忘録として書いておこう。
Veblen関数 φ[α](β) の定義
φ[0](0) =1
φ[0](β) =ω^β
φ[α+1](0) =0,φ[α](0),φ[α](φ[α](0)),…
φ[α+1](β+1) =φ[α+1](β)+1,φ[α](φ[α+1](β)+1),φ[α](φ[α](φ[α+1](β)+1)),…
φ[α+1](γ) =φ[α](γ_0),φ[α](γ_1),φ[α](γ_2),…
φ[η](0)
=φ[η_0](0),φ[η_1](0),φ[η_2](0),…
φ[η](β+1)
=φ[η_0](φ[η](β)+1),φ[η_1](φ[η](β)+1),φ[η_2](φ[η](β)+1),…
φ[η](γ)
=φ[η](γ_0),φ[η](γ_1),φ[η](γ_2),…
α,β:順序数
γ,η:極限順序数
(γ_0,γ_1,γ_2,…:γの基本列)
(η_0,η_1,η_2,…:ηの基本列)
- 787 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/25(木) 21:23:30
- >>767
訂正します。
誤 bn f{n-1}...f1(x) := fy
f{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
正 bn f{n-1}...f1(x) := ay a{y-1}...an
f{n-1}...f1(x)
- 788 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/25(木) 22:15:24
- F6をη_0にしたので、F7はΓ_0を目指す事になります。
そのためには、φ[a](0)→φ[a+1](0)の演算を定義する必要があります。
それから、φ[φ[a](0)](0)→φ[φ[a+1](0)](0) の演算を定義して、と
再帰構造を作れれば、Γ_0に達します。
φ[1](0)→φ[2](0) が出来たのだから、同じ様にすれば
φ[3](0) が出来て、φ[a](0)→φ[a+1](0)
の定義もできそうに見えます。
ただ、話は若干複雑になっています。
φ[1](0) に相当するm(1,2) m(1,1)から、φ[2](0)
に相当する
m(x,2) m(x,1) が出来たわけですが、このm(x,2) m(x,1) をどう
扱うか、ということです。xの変数は、関数の生成には使えますが
η_0^η_0^... を作成するためには、関数だけではだめで一連の
変換も伴わないといけません。もしかすると、M[a,b]の元を要素に
持つ集合、とか考えないとならないかもしれません。
色々考えれば、やってできないことはないと思います。
とりあえずΓ_0は作ってみたいので、そのうちやります。
結局、より大きな順序数を作る作業を、より大きな集合の概念を
作ることに置き換えている、ということになりそうです。
順序数を大きくしていくときには、それまでの順序数を定義に用いる
ことで複雑さを増しています。集合の概念を使う場合には、それまでの
集合を元に持つ集合を定義することで複雑さを増して行く、という
ことです。より高階の概念を定義することで関数の増大度を増す、
というのがふぃっしゅ数の当初からの基本方針です。
- 789 :772:2007/10/25(木) 22:35:56
- 過去ログを読んだけど
ナゴヤ数のL[α](x)はまだまともに定義できてないんだな
>ということはVeblen関数を多変数に拡張してもF[ε0](ω)には
>足元にも及ばないと思われます。
こんなことをかいてるわりには
>120の定義、>123の定義、>124の定義を使うと
L[ε0](ω)はΓ_0よりずっとちいさい
Ver2の前にVer1の定義をまとめなよ
- 790 :たろう:2007/10/25(木) 23:09:24
- >>784
どこが違うのかわかりません。
以下のどこまで合っててどこからが間違ってるか教えていただけませんか?
9○↑n ≒ F[ω^ω](n)
9○→↑n ≒
F[ω^ω+ω](n)
9○↓→↑n ≒ F[ω^ω+ω^2](n)
9○←↓→↑n ≒ F[ω^ω+ω^3](n)
9○○↑n ≒
F[ω^ω・2](n)
9○○○↑n ≒ F[ω^ω・3](n)
9○○○○↑n ≒ F[ω^ω・4](n)
9◎↑n ≒
F[ω^(ω+1)](n)
9◎○↑n ≒ F[ω^(ω+1)+ω^ω](n)
9◎○○↑n ≒ F[ω^(ω+1)+ω^ω・2](n)
9◎◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)・2](n)
9[3重○]↑n ≒ F[ω^(ω+2)](n)
9[4重○]↑n ≒
F[ω^(ω+3)](n)
9[5重○]↑n ≒ F[ω^(ω+4)](n)
9△↑n ≒ F[ω^(ω・2)](n)
9□↑n ≒
F[ω^(ω・2+1)](n)
9[5角形]↑n ≒ F[ω^(ω・2+2)](n)
9[6角形]↑n ≒ F[ω^(ω・2+3)](n)
9☆↑n ≒ F[ω^(ω・3)](n)
9[六方星]↑n ≒ F[ω^(ω・3+1)](n)
9?・↑n ≒
F[ω^ω^2](n)
- 791 :たろう:2007/10/25(木) 23:31:11
- >>767
> bn f{n-1}...f1(x) := fy f{y-1}...an
f{n-1}...f1(x)
これは、
bn f{n-1}...f1(x) := a{y} a{y-1}...an
f{n-1}...f1(x)
の書き間違いですか?
間違いでないなら、fy, f{y-1}, ..., f{y+1} は何ですか?
- 792 :たろう:2007/10/25(木) 23:38:07
- >>787 に書いてありましたね。
失礼しました。
- 793 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/26(金) 00:29:37
- F6については、今清書中です。
金曜日か土曜日に、PDFのアップデート版を出すので、その中に
記述しておきます。
- 794 :ルート41:2007/10/26(金) 02:27:23
- >>790
再計算どうもすみません。
まず、>>765を見て僕がωの計算を早合点してました。
9◎○→↑n ≒
F[ω^(ω+1)+ω^ω)](n)=F[ω^(ω+1)*2]
と計算してました。9?・nではとてもε_0まで行きません。
>>686-688の説明不足については、
a[2重△]↑b=a△△…△↑b ※△がb個
a[2重△][2重△]↑b=a[2重△]△△…△↑b ※△がb個
a[3重△]↑b=a[2重△]…[2重△]↑b ※[]がb個
が抜けてました。□や五角形、ついでに☆も同じです。
a☆↑1=a↑a a☆↑2=a○↑a a☆↑3=a△↑a
も抜けてましたが、こちらは全体に影響しないですね。
僕の再計算では
9?・↑n≒f[ω^ω^ω](n)
9・?・n≒f[ε_0](n)
となりましたが、さすがに自信が無い。
あと、なんでa?・↑nでなく、9?・nと書いてるのか不思議
に思ってたんですが。考えてみれば僕が総9のダジャレと
書いてたんだから、9?・nと書くほうが正しいですよね。(笑)
- 795 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 06:40:27
- >F6をη_0にしたので、F7はΓ_0を目指す事になります。
今の調子ではη_0=φ[2](0)からいきなりΓ_0は無理だな。
φ[2]版をF6.1とすれば
次の中間目標はφ[ω]か(F6.2)
そんでもってその後φ[ε_0](F6.3)
で、ここから最終目標のΓ_0へスパート
- 796 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 07:12:33
- >>786をみて、
φ[0](β+1)=ω^(β+1)
を、ω^βであらわす形に変えようとおもったらこんなのが
ω^(β+1) =ω^β*ω=0,ω^β,ω^β*2,…
ヒドラゲームっていっても、要はこれが基本なんだな。
- 797 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 09:42:51
- >>796
>ω^(β+1) =ω^β*ω=0,ω^β,ω^β*2,…
あと、これも必要か。
ω^γ=ω^γ_0,ω^γ_1,ω^γ_2,・・・
γ:極限順序数
(γ_0,γ_1,γ_2,…:γの基本列)
特に
ω^ω=1,ω^1,ω^2,・・・
- 798 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 11:05:00
- >>794
レス番号表記は全角の>>ではなくて半角の>>で書いてほしいな。
さて、
>>790では9?・↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
>>794では9?・↑n ≒ F[ω^ω^ω](n)
となっているので、まずは>>790の計算でどこまでが同じでどこから
違うのかを書くべきでないかな。
>>688については、
a?・↑b の値を下数矢印表記で a?・・b と表記
a?・・b を上数矢印表記で表記した値を a?・・↑b と表記
とあるけれど、下数矢印表記したものを上数矢印表記に戻したら、
a?・・↑b = a?・↑b と元に戻らないの?
- 799 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 12:38:56
- >>190-191
なんでΩ(非可算順序数)を使うのか不可解だったがやっと分かったよ。
要するに、非可算であることは全く使ってなくて
単に"不動点"に依存しないように、どんな帰納的順序数も
届かないようなトンデモナイところにあるΩを
不動点の代わりとして使ってるだけじゃん!
- 800 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 13:05:57
- 帰納の意味がよく分からない。
Ωが帰納的に届かないということと、ω1^CKとはどういう関係なの?
両方とも「帰納的に届かない」順序数だけど、前者よりも後者の方が
ずっと大きいはずで、帰納的という意味の使い方に違いがあると
思うんだけど、そのあたりどうなってるの?
- 801 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 13:35:37
- >>800
Ω=ω1_CKとしてもいいと思うが。
つまり違わない。
- 802 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 13:39:59
- >前者よりも後者の方がずっと大きいはずで、
逆。Ω=ω1とするなら、ω1_CKよりずっと大きい。
ちなみにCKは指数ではない(Church_Kleeneの頭文字)
ただしωをどちらにしても役割は変わらん筈。
- 803 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 13:41:36
- >>802
誤:ただしωをどちらにしても役割は変わらん筈。
正:ただしΩをどちらにしても役割は変わらん筈。
- 804 :ルート41:2007/10/26(金) 13:47:55
- >>798
>>は単純ミスなので以降気をつけます。
>>790の計算は9△↑nまでは同じで9□↑んから違う訳ですが
その事もまず書くべきでしたね。なるべく長文にならないように
言葉を削ったため、必要な文が抜けてました。
さて、>>688については、
a?・・b を上数矢印表記に変換した値を a?・・↑bと表記
と書くべきだったかな。計算上は
a?・↑b=a?・・b a?・・↑b=a?・・・b
となります。
- 805 :透明人間:2007/10/26(金) 14:07:59
- >>798
[ω^ω^ω]
- 806 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 14:42:41
- Veblen関数
初出 2005/08/27(土) 6-292
計算可能な方法 2007/01/08(月) 7-114
ψ
初出 2007/01/27(土) 7-190?192
計算可能な方法 2007/01/28(日)
7-195?196
Church-Kleene順序数
初出 2007/05/19(土) 7-273
で、少なくともψの部分と、おそらくVeblenに関する
今年になってからのカキコは7-203(=7-205)によるものか?
- 807 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 16:36:45
- >>787
bn f{n-1}...f1(x) := ay a{y-1}...an
f{n-1}...f1(x)
ただ伸ばすだけではε_1は実現できない。
ヒント:枝
- 808 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 16:44:15
- ヒント出すくらいだったら自分で書いてみたら。
じゃないと、またあの人だと思われるよ。
そんな気もするけど。
- 809 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 16:49:14
- >>808
>自分で書いてみたら。
Veblen関数の定義に書いてあるよ。
φ[1](n)で計算してごらん。
じゃないと、あの人みたいになるよw
- 810 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 16:50:17
- やっぱりそうか。
- 811 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 16:52:05
- >>810
w一つ確信すんなよ・・・イタイ椰子
- 812 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 16:54:16
- 自分では何も書かずに、さも分かっているかの様に
「計算してごらん」とかで誤摩化すのは、あの人しかない。
- 813 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 16:56:03
- >>812
定義に従って計算すればサルでもわかるって。
なにキレてんだ?●違いが。
- 814 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 16:57:06
- サル以下の私には分からないので、ぜひ計算を書いてください。
おながいします。
- 815 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 16:57:59
- 定義は>>786に書いてあるぞ。
代入すれば計算できるぞ。
- 816 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 16:59:24
- 定義が理解できないサル以下の存在には
このスレどころか数学板自体が無意味だが。
- 817 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 17:01:14
- 計算結果を見れば、"枝"は一目瞭然なんだが。
- 818 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 17:05:41
- 静かになったな。
諦めて計算したか。
何でも自分でやるのが一番だ。
他人に教わって気づくのは楽しくない。
- 819 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 17:23:39
- φ[1](1)
=φ[1](0)+1,φ[0](φ[1](0)+1),φ[0](φ[0](φ[1](0)+1)),・・・
なるほど。"+1"が枝というわけか。
- 820 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 17:24:48
- 早く、一目瞭然の枝を見せてみそ。
サル以下の存在なので、よろしこ。
- 821 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 17:26:35
- なんだ、そんなことか。
それならそう書けばいいのに。
- 822 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 17:37:41
- >>821
>なんだ、そんなことか。
なんだ、そんなことも自分でみつけられなかったのか。
>それならそう書けばいいのに。
君、考えないとバカになるぞ。あ・の・ひ・と・み・た・い・に・なw
- 823 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 17:43:01
- ツリー構造とか流行っていたから、枝っていうからもっと
大きな枝かと思ったよ。
ε_1=ω^ω^..^(ε_0+1)なんて、ε_1の定義そのままだから、
そんなことふぃっしゅ氏が知らないわけないじゃん。
そんな当たり前の計算をもったいぶる方がずっと異常だ。
- 824 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 17:51:18
- >枝っていうからもっと大きな枝かと思ったよ。
言い訳ばかりに頭を使うと賢くなれないぞ。
>ε_1=ω^ω^..^(ε_0+1)なんて、ε_1の定義そのままだから、
>そんなことふぃっしゅ氏が知らないわけないじゃん。
根拠なしの決め付けばっかりだとバカになるぞ。
>そんな当たり前の計算をもったいぶる方がずっと異常だ。
そんな当たり前の計算一つできず、知ってる知識から
結果一つひねりだせないなんてまったくあ・の・人・そ・っ・く・りw
- 825 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 17:55:05
- >>824
>そんなことふぃっしゅ氏が知らないわけないじゃん。
知ってるとしても>>787には反映されていないのは確かだな。
- 826 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 17:58:12
- 要するに、>>807で
ただ伸ばすだけではε_1は実現できない。
ε_1=ω^ω^..^(ε_0+1)
だから。
と書けば、807が言いたい事が伝わった訳だ。
そんなことなら、はじめからさっさとそう書け、ということ。
ただ。807には
bn f{n-1}...f1(x) := ay a{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
の計算が書かれていないので、ε_1が実現できるかできないかは
分からないけど。
- 827 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 17:59:15
- >>825
そんなこと、>>787の計算をしないでどうして分かるの?
- 828 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 18:15:56
- >>827
>そんなこと、>>787の計算をしないでどうして分かるの?
そんなこという前に、計算すれば?
- 829 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 18:17:30
- なんだ、計算してなかったのか。計算してないのに、
よく>>825みたいに断言できるね。
- 830 :透明人間:2007/10/26(金) 18:33:56
- >>823
^ω^
リアルでもこれほど熱い議論が交わされれば
いいのにねぇ・・。内容はともかく。
- 831 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 18:35:10
- いいかげん>824があの人による高度な釣りなんじゃないかと思えてくる
- 832 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 18:39:39
- とりあえずデジャブ
- 833 :透明人間:2007/10/26(金) 18:43:23
- ε_1=ω^ω^..^(ε_0+1)
⇒ ^ω^ に見えて仕方ない。どうでもいいけれど。
>>ALL
「自分以外バカ時代」をリアルに経験できる
貴重な掲示板ですな。
- 834 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 18:46:57
- >>833
^ω^ のネタは何度か出てるよ。
- 835 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 18:50:27
- それにしても、スレの流れがはやくなって来たな。
週末にはスレが埋まるか?
- 836 :たろう:2007/10/26(金) 19:15:58
- >>794
>>763 が正しかったんですね。
見直したときに別の定義だと思い込んじゃったみたいです。
>>806
veblenの収束列は前スレ >>655 が初かな。
veblenの2重リストの2変数限定版に拡張したのは >>125。
- 837 :たろう:2007/10/26(金) 19:21:37
- 多変数veblenの定義は以下になる。
----多変数veblen----
□ : 0個以上の0
X :
0個以上の順序数
a, b : 順序数
A, B : 極限順序数 (A_n, B_n : 収束列)
φ(□) = 1
φ(X, A, □) = lim φ(X, A_n, □)
φ(X, b+1, □, 0) = lim { 初項 0 / 2項目以降
φ(X, b, 1個前の項, □) }
φ(X, b+1, □, a+1) = lim { 初項 φ(X, b+1, □, a)+1 / 2項目以降
φ(X, b, 1個前の項, □) }
φ(X, B, □, a+1) = lim φ(X, B_n, □, φ(X, B, □, a)+1)
φ(□, a+1) = lim { 初項 0 / 2項目以降 1個前の項+φ(a) }
この後 >>389 や >>571 のC_n とおなじように進化させることができる。
- 838 :透明人間:2007/10/26(金) 19:22:43
- >>834
あんがとよ。先輩!
- 839 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 19:23:16
- 上数と下数の往復でε_0に達するしくみがよく分からない。
9?・↑n ≒ F[ω^ω^ω](n)
9?・・↑n ≒
F[ω^ω^ω^ω](n)
といった感じで増えるのであれば、タネはω^ω^ωでなくても
9○↑n ≒ F[ω^ω](n)
ここから上下運動を繰り返せばε_0に達する、ということ?
- 840 :透明人間:2007/10/26(金) 19:47:55
- >>839
>ここから上下運動を繰り返せばε_0に達する、ということ?
[ω^ω^ω] 知ったかぶり。というか全くわからないが
三角関数のように波が描けて、上の波と下の波の振幅が
ε_0になるのでは?
- 841 :たろう:2007/10/26(金) 20:05:01
- (ちゃんと確かめたわけではないが)
下数定義で F[a] 程度の関数は、上数定義で F[ω^a]程度になり、
下数定義で
F[ω^a] 程度まで拡張し、その拡張を上数定義に行えば、
F[ω^ω^a] 程度になり、
これを繰り返せば、F[ε_0] に到達する。
という程度のこと。
具体的な拡張方法が書かれているわけではない。
- 842 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 20:15:09
- なるほど。下数定義で F[a] 程度の関数は、上数定義で F[ω^a]程度に
なることを示せるかどうか、ですね。ならないかもしれませんが。
それが確かめられれば、スタートは上数で最小の関数でもいいわけですね。
ω^aを繰り返せば、結局ε_0に到達しますから。
そのあたりから、実際に計算してみてはいかがでしょうか?>ルート41さん
- 843 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 20:37:54
- >>836
訂正版
Veblen関数
初出 2005/08/27(土) 6-292
計算可能な方法 2006/04/10(月) 6-655
独自の改変は割愛します。
- 844 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/26(金) 21:00:15
- 明日中には、F6の定義と計算が入ったPDFをアップするのでしばらくお待ちを。
計算は、かなり複雑です。特に、ε_0からε_1へ至る計算は複雑です。
ε_1=ω^ω^..^(ε_0+1)の基本列ではなくて、ε_1=ε_0^^ωを使っています。
- 845 :132人目の素数さん:2007/10/26(金) 21:20:06
- 巨大な可算順序数に興味があります。
>たろう氏
>>571のテキストについてですが、とりあえずC0+Ωまでは理解しましたが、
次の多変数C1がわかりません。疑問点は定義の3行目以降についてです。
deg a < [X, b+1, □]とかdeg f = [X,
b+1, □]はどういう意味でしょう?
それと◇など新しい記号が出てきますがそれも不明です。
なんか急に複雑さが増したように思いますが・・・
あと、できればいくつか具体例を出して説明していただけますか?
- 846 :ルート41:2007/10/26(金) 23:17:37
- >>842
>>686の下数矢印表記の定義より
a↑b=a↑↑b≒F[0](n)
※最初は0か1か良く解らないでのでとりあえず0を使用。
a→b=a↑↑↑b≒F[1](n)
a↓b=a↑↑↑↑b≒F[2](n)
a←b=a↑↑↑↑↑b≒F[3](n)
a○b=a(↑^b)a≒F[ω](n)
>>505と>>687の上数矢印定義より
a↑b=a↑↑b≒F[0](n)
a→↑b=a(↑^b)a≒F[ω](n)
a↓→↑b=a→→b≒F[ω^2](n)
a←↓→↑b=4重帰納関数≒F[ω^3](n)
a○↑b=n重帰納関数≒F[ω^ω](n)
下数の方は間違ってるかもしれません。
a?・bからa?・↑bの変換は>>763の計算の通りです。
たろう氏の書いてるように具体的な拡張方法(正確に定義された関数)
ではありません。基本的には命数法の一万の一万倍は一億、
一億の一万倍は1兆程度の事しかしてないわけです。
そのため蒼穹関数ではなく蒼穹表記と僕は書いております。
- 847 :5-682:2007/10/27(土) 00:40:54
- たまにこのスレもレス集中しますね。
例のあの人はやはりウr(ry
・・・て、余計にネタ振るとさらに荒れるのでやめとこう。
ええと、今更ですが
>>772の質問には悪いけど答えづらいですね・・・。
>L[α](ω)やL[9](L[10](ω)) という記述があるので定義域は自然数じゃない
()の中はxは自然数、ω(又はλなど)は順序数と定義しているだけです。
>φ_ωの定義がありませんが
説明不足でしたがlim
L[α](φ_n) = L[α](φ_ω)と考えていいです。
これからはφ_ωに統一します。
>これはどこを見れば書いてありますか
うーん、そのまま式を書いたとおりとしか答えようがありませんが・・・。
一般的にはλを順序数(の式)として、
L[a](λ+1) =
L[a-1](L[a](λ))、 L[λ_ω](x) = L[λ_x](x)
と定義しています。
L[a](ω) = λ_aとおくと、
L[L[ω](ω)](x) = L[L[x](ω)](x)
が成り立つことになります。
L[ω](ω)
はω*ω、ω^2などと同じく帰納的です。
それでもわからないなら
自分の書き方表現がわかりづらくて下手だと言っておきます。
- 848 :5-682:2007/10/27(土) 00:51:41
- ちなみにVer1修正版ではL[Ω_1](ω)、L[Ω_2](Ω_1)、・・・に拡張され、
順序数ωと(ωと独立した)順序数Ω_1の関係が(Ω_1とΩ_2以降も同様)
HardyFunctionの自然数xと順序数ωの関係を
真似したものと考えていいです。
以降VerではΩ_n+1をF[ ]とΩ_nの式で有限文字数では表せない順序数としていきます。
ところでナゴヤ関数のΩ_nは非可算順序数のつもりではなく、
また>>190のΩも非可算順序数として使っていなくて、
自然数、ω、Veblen関数とψのみでは表せない関数に
(つまり、それらの要素のみでの極限として)
ψ(Ω)
として使われるωの上位の順序数だけだと思います。
Ω_nの順序数列をどう定義するのかも巨大な順序数、最終的に自然数の関数を
生成するかのカギになると考えられますね。
次はΩ_1 = F[φ_ω](ω), (φ_(n+1) = F[φ_n](ω), φ_1 =
Ω_1)
Ω_(a+1) = φ_ω, (φ_(n+1) = F[φ_n](Ω_a), φ_1 = Ω_a)
Ω_(a+1) =
F[Ω_(a+1)](Ω_a)
と定義してみようかと思います。
- 849 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/27(土) 01:26:03
- PDFファイルをアップデートしました。
http:///gyafun.jp/ln/
とりあえず、来週の勉強会に向けての途中経過アップです。
ふぃっしゅ数バージョン6の定義と計算も入っています。
定義そのものはそれなりにコンパクトにまとめることが
できて、良かったです。
ε_0からε_1を生成する計算は、複雑ではありますが、
なかなか面白いしくみではないかと思っています。
数学的に誤った記述がありましたら、指摘いただけると
ありがたいです。特に、順序数以降の話は、素人の私には
なかなか理解が危ないところがあります。
メアドは、ロボットに拾われるのが嫌なので表紙に
画像化して貼っておきました。スレに書き込むのに抵抗が
ある方は、メールで指摘をください。
- 850 :たろう:2007/10/27(土) 06:44:56
- >>845
明らかに説明が足りなかったですね。
多変数C1の各記号の説明は以下になります。
定義式の右側の 『deg a < [X, b+1, □]』 などは、その定義を用いる条件です。(場合分け)
□, △ :
0個以上の0
X, Y : 0個以上の順序数
a, b, c : 順序数
B : 極限順序数 (B_n :
収束列)
BB : 極限でも b+1の形でも 0 でも無い順序数
(BB.f(x) は BB
に対応付けられた、順序数=>順序数 の関数)
deg : C1で生成される順序数と、BB.f には、順序数の列(1個以上の順序数を[ ]
でくくったもの)が対応付けられている
(deg の比較は、同じ要素数になるように左に0を補ってからの辞書的順序)
([X, a] + b = [X, a + b] とする)
- 851 :たろう:2007/10/27(土) 06:56:57
- 具体例は後ほど。
- 852 :132人目の素数さん:2007/10/27(土) 07:04:30
- >>849
なるほど、ε_0の枝がω本で、一個上に枝が1本になるわけだ。
この理屈で、一個づつ上に上げていけば、
φ[1](1)=ω^ω^..^(ε_0+1)になると。
ちなみに
ε_0*ω=ω^(ε_0+1)
ε_0^n=ω^(ε_0*n)
ε_0^ω=ω^(ε_0*ω)=ω^(ω^(ε_0+1))
か
- 853 :132人目の素数さん:2007/10/27(土) 07:24:37
- >例のあの人はやはりウr(ry
ナゴヤ氏の大口もあの人と同じニヨイがするが
- 854 :132人目の素数さん:2007/10/27(土) 08:18:08
- >>849
sugeeeeeeee..F5個..eeeeee!
乙です!
- 855 :釣り人?:2007/10/27(土) 10:05:32
- >>754-755を魚の口に合うように
以下のように変えてみました。
p[0](0)
f_l ・・・ f_1 n = f_l ・・・ f_1 n
p[0](k+1) f_l ・・・ f_1 n = p[0](k) m_{l+1}
f_l ・・・ f_1 n
p[0](pmt) f_l ・・・ f_1 n = p[0](pmt(n)) m_{l+1} f_l ・・・ f_1 n
p[a+1](0) f_l ・・・ f_1 n = p[a](n) f_l ・・・ f_1 n
p[a+1](k+1) f_l
・・・ f_1 n = (m_{l+n} p[a+1](k)) p[a](n) f_l ・・・ f_1 n
p[a+1](pmt) f_l ・・・
f_1 n = p[a+1](pmt(n)) f_l ・・・ f_1 n
p[pmt](0) f_l ・・・ f_1 n =
p[pmt(n)](0) f_l ・・・ f_1 n
p[pmt](k+1) f_l ・・・ f_1 n = (m_{l+n} p[pmt](k))
p[pmt(n)](0) f_l ・・・ f_1 n
p[pmt](pmt') f_l ・・・ f_1 n = p[pmt](pmt'(n))
f_l ・・・ f_1 n
*)pmt,pmt'はp[],m_による式
自然数からpmtへの変換 0=() 1=m1 n=m1\n
- 856 :釣り人?:2007/10/27(土) 10:27:32
- フィッシャーマン関数
p[・・・(n回)・・・p[p[0](0)](0)・・・](0) n
- 857 :132人目の素数さん:2007/10/27(土) 18:25:24
- >>849
せっかくPDFなのに、本文のフォントがだせぇな…
- 858 :たろう:2007/10/27(土) 19:38:50
- >>845
多変数C1の定義の8個目の式、間違ってました。
C1(X, BB, □,
a) = lim C1(X, BB.f(S[n]), □, a) }
具体例です。8個の式を順に1?8まで番号をふります。
C1(C1(1,0,0),0) = lim { 0 / C1(前, 0) }
使う定義式は左のC1から順に、7、3
C0(Ω,0) 相当
C1(C1(C1(1,0,0),C1(1,0,0)),0) = lim { 0 /
C1(C1(前,C1(1,0,0)),0) }
使う定義式は左のC1から順に、7、6、3、3
C0(Ω+Ω,0) 相当
C1(C1(2,0,0),0) = lim C1(S[n], 0)
S[n] = { 0 / C1(1,前,0) }
使う定義式は左のC1から順に、8、3
C1(C1(C1(2,0,0),C1(2,0,0)),0) = lim
C1(C1(S[n],C1(2,0,0)), 0)
S[n] = { 0 / C1(1,C1(前,C1(2,0,0)),0) }
使う定義式は左のC1から順に、8、6、3、3
C1(C1(C1(1,0,0),0,0),0) = lim { 0 /
C1(C1(前,0,0),0) }
使う定義式は左のC1から順に、7、3
C1(C1(1,0,0,0),0) = lim
C1(S[n], 0)
S[n] = { 0 / C1(前,0,0) }
使う定義式は左のC1から順に、8、3
- 859 :たろう:2007/10/27(土) 20:00:14
- >>849
PDFの「ビジービーバーのHardy 的拡張」に、
「厳密に定義されている関数です」とあるが、
これを書くなら、
「関数f を神託(oracle)
として持つチューリングのO-machine」
の定義も書く必要があると思う。
この記述だけではどのように関数fの動作をするかが定義されていない。
- 860 :132人目の素数さん:2007/10/27(土) 21:20:12
- >>847
問1
定義はどこに書いてあるか?と聞いてるんだが。
1.6-510と6-511が定義なのか?
2.それとも修正があって別のところに定義をまとめてあるのか?
3.それともまとめていなくて定義が分散してるのか?
(3.ならまとめてくれ)
4.定義はなく単なるアイデアしかない
問2
>ということはVeblen関数を多変数に拡張してもF[ε0](ω)には
>足元にも及ばないと思われます。
この記述は正しいですか?
- 861 :132人目の素数さん:2007/10/27(土) 22:31:07
- >>758 >>850 >>858
ありがとうございます。すこし吟味してみます。
- 862 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 00:44:19
- >>860
問1
Ver1全体の定義のことですか?
Ver1旧版定義は1番のとおりですが、
ωからΩ_nに拡張した修正版の定義が
別に>>414-415にあります。
ただ厳密な定義としてはまだ
不完全なところがあると思いますので、
できれば改めて定義をまとめて
数日後にあげようと思います。
特に自然数(変数)x、順序数ωの区別は明確にするつもりです。
問2
Ver1旧版定義のときのレスであり、
ε0が元のωから拡張したものなので間違いです。
ただVer1修正版でF[Ω_1^Ω_1^ ...](ω) = F[ε_(Ω_1 +
1)](ω)
のような場合では多変数Veblen関数でも届かないことになります。
(上の式は多重リスト版Veblen関数と同レベル)
- 863 :5-682:2007/10/28(日) 00:45:22
- 失礼、
>>862は5-682です。
- 864 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 07:23:13
- >>862
問3
>L[a](λ+1) = L[a-1](L[a](λ))、 L[λ_ω](x) = L[λ_x](x)
>L[10](ω) = L[9](φ_ω) (φ_n+1 = L[9](φ_n), φ_1 = ω)
これは
6-510と6-511のどの部分からどのように導いたものですか?
問4
L[10](ω)とL[ω](ω)とL[ε0](ω)はVeblen関数で表すとどのくらいの大きさですか?
- 865 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 08:32:47
- >>859
つーか、そもそもビジービーバーの定義を書く必要があるやろ。
- 866 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 09:08:07
- >>860
6-510?511を見た瞬間、ナゴヤ氏は一度もHardy関数を
計算できなかったと分かった。
ε_0未満の順序数はカントル標準形に直せば木とみなせるし
対角化の計算もヒドラ・ゲームと解釈できる。
だから今更姑息なリスト化やアッカーマン関数の導入なんて必要ない
そういうことはすべて元のHardy関数の中でできちゃってるから。
あと
ε_0=ω^^ω(=φ[1](0))
ε_1=ω^^^ω(=φ[1](1))
…
という程度では、φ[1]のところでウロチョロしてるだけなので
いけたとしてもせいぜいη_0=φ[2](0)程度だし、
実際にはそこまで到達できてない可能性が大。
- 867 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 11:17:52
- >>866
この頭の悪さはもしかして
- 868 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 11:21:12
- >>867
この頭の悪さはもしかして…同類
- 869 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/28(日) 13:09:55
- >>859 >>865
ごもっともです。
計算不可能関数の章は、まだほとんど書いていません。
- 870 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 16:06:40
- >>869
そこは本筋ではないから後でもいいんですが。
「ふぃっしゅ関数バージョン6は・・・(中略)・・・
Hardy関数、順序数やチューリングマシンの概念を使わずに作られた
関数の中では、・・・(中略)・・・もっとも大きな関数です。」
ただ、実際にはHardy関数や順序数を用いてはいけない
積極的理由はありませんが。
- 871 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 16:35:38
- >>870
同意。
Hardy関数、順序数やチューリングマシンを用いてはいけない積極的理由は無い。
ふぃっしゅ関数をチャンピオンにするための恣意的理由だけ。
- 872 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 17:00:38
- >>871
実のところチャンピオンの意味は失われてるけどね。
ふぃっしゅ氏、というか、Ver5を理解しようとした人たちの
仕事は大きいと思うよ。
これでε_0が理解されるようになったんだから。
そういう意味では、Γ_0とかその先の順序数についても
同様のことが期待されるわけだが、今回の場合は、もう
Veblen関数という知恵がついてしまったので、逆にこれを
ふぃっしゅ氏等がわかる言葉で書き直す形になるんじゃ
ないかと思うよ。
- 873 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 20:19:57
- ふぃっしゅ数V5の大きさなんて前スレからわかっている。
このスレでε0相当の関数について何か進展はあったか?
- 874 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 22:28:26
- >>873
>ふぃっしゅ数V5の大きさなんて前スレからわかっている。
872のいう「Ver5を理解しようとした人たちの仕事」は
前スレの話だと思うので、別に矛盾しないが。
その意味では、前スレ後半?今スレ前半のVeblen関数や
ψについては、プログラムとかはできているだろうが、
ふぃっしゅ関数Ver5ほどの簡単さでは説明されてない
ように思う。
- 875 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/28(日) 23:34:30
- >>870
あるとすれば >>323 のような理由です。
難しい順序数という概念を使わずに理解できる、
という意味づけをしようとすると、F6の定義は
複雑過ぎて、かえって理解しにくくなっています。
F6の意味を理解するよりは、HardyとVeblen関数の
意味を理解する方が早いとも言えます。
そういう意味では、すでに意味がなくなっている
かもしれません。
もっとも、スレッド開始当初から、私はあまり
「意味」を求めずにやってきましたが。
- 876 :132人目の素数さん:2007/10/29(月) 07:27:11
- >>323
>Hardy関数、順序数やチューリングマシンの概念を使わずに
>シンプルに、もしくは新しい方法で巨大な関数を作ることは
>十分意味があると思う。
実際に歴代のスレッドで明らかにされた意味は
「順序数のシンプルな実現」だと思う。
F5といえども、基本的には順序数の範囲内。
作った本人が順序数を知らなかったとしても。
- 877 :845:2007/10/29(月) 11:58:09
- うーむ、多変数C1、難解です。でもどうやら、0とC1で表記可能な
順序数については厳密な(そして必然的な)定義であるようです。
>>203とはやや異なるような気がしますが、こちらの方が自然なの
でしょうか。C1は収束列の定義されない、すなわちsup α_nでない
極限順序数(これも極限順序数に入る)も作り出されるので非常に複雑
になっています。Ψ_0(Ψ)よりも遥かに上の順序数もカバーしてるので、
人間の思考ではその階層構造をすべて把握することは不可能でしょう。
でも、これらがε_0やΓ_0のような順序数の延長線上にあることは興味深いです。
- 878 :132人目の素数さん:2007/10/29(月) 11:58:26
- というか、「対角化による収束列の定義」でないの。
それを順序数という形で表記するか、別の形で表記するか、
というだけの違い。
- 879 :132人目の素数さん:2007/10/29(月) 13:12:11
- >>878
そもそも順序数自体を別の形で表記しなければ
基本列だけ別の形で表記するなんてことは
できませんよ。
- 880 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/29(月) 21:52:01
- >>876
そうですね。ε_0を超えると、だんだんシンプルさは失われま
すが、それは順序数そのものが複雑になるのだから必然ですね。
>>788 に書いた
「より大きな順序数を作る作業を、より大きな集合の概念を
作ることに置き換えている」というのは、そのあたりのことを
書こうとしたものです(実際にやってみて分かって来たこと
ですが)。それをふまえて、ふぃっしゅ関数とは何かという
記述を整理したいと思います。>>870の記述は見直す事に
なりそうです。
いずれにしても、アップデート作業の開始は勉強会終了後です。
- 881 :132人目の素数さん:2007/10/29(月) 22:00:29
- 大きくもなく、シンプルでもなく、わかりやすくもない関数に価値はない。
ふぃっしゅ数はバージョン5で止めときな。
- 882 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/10/30(火) 01:02:18
- >>881
F6=η0については、せっかく作ったのでそのままにしておきます。
η0の実現方法が面白いと思う人は思うし、思わない人は思わない、
η0という順序数の凶暴さ(?)を感じ取ることができる、当面は
その程度の価値ですね。
開発予定だったF7=Γ0については、開発を中止します。
また、開発意義が出たら考えます。
- 883 :132人目の素数さん:2007/10/30(火) 07:25:26
- >>881
ただ、もともとふぃっしゅ関数はバージョン3くらいまでは
そう分かりやすかったわけではないよ。
バージョン6もその段階だと思えばいいのではないかな。
>>882
勉強会で、Γ_0やそれ以降の順序数への理解が深まれば
"開発意義"も出てくるかと。
- 884 :もやしっ子:2007/10/30(火) 12:29:32
- あ、どうも。参加者さんまた1名増えました。なんか強そうです。
それでアフターなんですが、会場近くの参加者宅にて鍋をつつきながら
巨大数座談会(酒飲み話)を生配信を画策。素敵か爆裂に煽られるか
どっちかなんですが、こんなことやったよ、というのはライブの方が
伝わるかな、と思いつつ。
ネックは民家に黒板がないことでしょうか。
- 885 :132人目の素数さん:2007/10/30(火) 14:05:33
- >>884
私のことでしょうか?。全然ヨワヨワですよ。
ついでに酒も弱いです。みなさんお手柔らかに。
pptは用意してます。基本的にヒドラ・ゲームの電動紙芝居です。
早い話が巨大数版ヒライケンジです。
- 886 :132人目の素数さん:2007/10/31(水) 10:42:12
- >>884
>素敵か爆裂に煽られるか
ナゴヤがいないから後者の展開はないな。
- 887 :ルート41:2007/10/31(水) 16:40:17
- >>686の関数を計算出来るように少しだけ改良しました。
問題になるのは 9☆↑nより大きい時の表記方法が無い
という処だと思います。そこで3重帰納関数以降については
>>505の 9↓→↑n の↓→↑の部分を【 】で囲んで一つの
記号とみなして使用する事にします。
9【↓→↑】n=9☆↑n
9【↓→↑】○↑n=9☆○↑n
9【↓→↑】【↓→↑】↑n=9☆☆↑n
9【↓→↑↑】↑n=9[2重☆]↑n
9【↓→→↑】↑n=9[6方星]↑n
と置き換えることが出来ます。
下数から上数への変換2回目以降、変換(n-1)回の9とnを
除いて【 】で囲んで記号とみなして使用していきます。
9【○↑】↑n=9【←↓→↑…→↑】↑n ※【 】無いの矢印がn個
この方法をしようすれば
9【【←↓→↑】△○○→↑】↑n
9【【【□◎◎○→↑】↑】【↓→↑】△↑】↑n
の様にいろいろな組み合わせで大きな数を表記できます。
さすがにこのままでは解りにくいので余分な記号を削っていくと
改良上数矢印=>>686上数矢印≒ハーディ関数
で整理すると下記のようになります。>>505 >>686 >>763参照
上数矢印表記の変更(n重帰納関数)
9【↑】↑n=9→↑n≒F[ω](n)
9【↑】↑↑n=9→↑↑n≒F[ω+ω](n)
9【↑】【↑】↑n=9→→↑n≒F[ω*ω](n)
9【↑↑】↑n=9↓→↑n≒F[ω^2](n)
- 888 :ルート41:2007/10/31(水) 16:41:19
- 上数変換1回目(9?・n以降)
9【【↑】↑】↑n=9○↑n≒F[ω^ω](n)
9【【↑】↑】【↑】↑n=9○→↑n≒F[ω^ω+ω](n)
9【【↑】↑】【【↑】↑】↑n=9○○→↑n≒F[ω^ω*ω](n)
9【【↑】↑↑】↑n=9◎→↑n≒F[ω^ω(ω+1)](n)
9【【↑】【↑】↑】↑n=9△→↑n≒F[ω^ω(ω*2)](n)
9【【↑↑】↑】↑n=9☆→↑n≒F[ω^ω^2](n)
9【【↑↑↑】↑】↑n≒F[ω^ω^2(ω*ω)](n)
上数変換2回目(9?↑・n以降)
9【【【↑】↑】↑】↑n≒F[ω^ω^ω](n)※推測
上数変換3回目(9?・・↑n以降)
9【【【【↑】↑】↑】↑】↑n≒F[ω^ω^ω^ω](n)※推測
F[ω^ω^ω^ω](n)※推測
蒼穹表記 9・?・n
9【【…【↑】…↑】↑】↑n≒F[ε_0](n) F[ε_0](n)※推測
【 】の数が9【【【↑】↑】↑】↑n+1個
この方法を基に9・?・nがε_0になるかを手計算でしてみたが
ω^ω^2(ω*ω)=ω^ω^3でよいのか解らず計算が先に進ま
ず確認できない、ていたらく。
とりあえず 9・?・9 は充分な時間と空間、それに計算能力が
あれば、十進表記に変換できる様になっただけですね。
(ωは普通の自然数には変換出来ないはずですよね。)
- 889 :132人目の素数さん:2007/10/31(水) 17:44:03
- ω^ω^2(ω*ω)が(ω^ω^2)*(ω*ω)を指すなら
ω^(ω^2+2)だからω^ω^3より小さい
念のため、ω^ω^2はω^(ω^2)だぞ。
(ω^ω)^2はω^(2*ω)
- 890 :132人目の素数さん:2007/10/31(水) 18:08:45
- ルート41氏がやってることって
要するにこういうことか?
F[0](x)=9^x
F[α+1](x)=F[α]^x(x) (αは順序数)
F[λ](x)=F[Λ(x)](x)
- 891 :たろう:2007/10/31(水) 21:19:44
- >>888
ほとんどヒドラゲーム。
ヒドラゲームは >>672、
>>888 は、
Hardy Function' を、
F'[1](n) =
9^^(n+1)
F'[a+1](n) = F'[a]^n (9)
F'[A](n) =
F'[A_n](9) ......(Aは極限順序数、A_nはその収束列)
9 と n の間の 【】↑ の3種類の文字からなる文字列を、
↑ ==> 1
【a1】【a2】...【an】↑ ==> ω^a1 + ω^a2 + ... + ω^an
a +
"↑" ==> a+1
のルールで順序数に変換。
ε_0未満のHardyFunctionになる。
例
【↑↑】【↑】↑↑ ==> 【2】【1】↑ +1 ==> ω^2 + ω^1 + 1 ==> ω^2 + ω + 1
【【↑↑】【↑】↑↑↑】【↑】↑ ==> 【【2】【1】↑ +2】【1】↑ ==> 【ω^2 + ω^1 + 2】【1】↑ ==>
ω^(ω^2 + ω + 2) + ω
- 892 :ルート41:2007/10/31(水) 21:39:56
- >>889
アドバイスありがとうございます。>>888を見直したら途中書き間違え
計算間違えをしていました。訂正しておきます
上数変換1回目
9【【↑】↑】↑n=9○↑n≒F[ω^ω](n)
9【【↑】↑】【【↑】↑】↑n≒F[ω^ω*2](n)
9【【↑】↑↑】↑n=9◎→↑n≒F[ω^(ω+1)](n)
9【【↑】【↑】↑】↑n=9△→↑n≒F[ω^(ω*2)](n)
9【【↑↑】↑】↑n=9☆→↑n≒F[ω^ω^2](n)
9【【↑↑↑】↑】↑n≒F[ω^(ω^2*ω)](n)
>>890>>891
御意見ありがとうございます。
僕自身は自然数を使って、タワー表記の拡張しかやっていないので
9・?・9<ωの自然数しか作ってないんですが。結果的にご指摘の
通りなっておりました。
- 893 :たろう:2007/10/31(水) 21:49:42
- >>887
9【↑】↑↑n≒F[ω+1](n)
9【↑】【↑】↑n≒F[ω+ω](n)
>>889
(ω^ω)^2 = ω^(ω*2) ≠ ω^(2*ω) = ω^ω
- 894 :132人目の素数さん:2007/11/01(木) 01:56:47
- 勉強会に激しく行きたいが地方在住の俺涙目
- 895 :132人目の素数さん:2007/11/03(土) 10:20:13
- そしてどうなりまいたか
- 896 :もやしっ子:2007/11/03(土) 17:28:57
- 無事勉強会終わりました。
今からすき焼き大会です。
準備が整ったら与太話の配信やります。
本日の復習も兼ねて。
詳しくは後ほど。
- 897 :もやしっ子:2007/11/03(土) 19:21:47
- 勉強会風景は自分のサイトにupしました。
(研究室のログインID忘れたので)
まあ雰囲気ということで。
http:///negineesan.fc2web.com/
- 898 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/11/04(日) 00:51:54
- 無事、帰りました。
まだ、3人ほど深夜の勉強会を続けていることと思います。
885さん(ポチさん)は、やはり強かったです。
後ほど、研究室にポチさんのpptがアップされることと思います。
第3回勉強会があるかどうかは分かりませんが、のんびりやって
いきましょう。
- 899 :132人目の素数さん:2007/11/04(日) 01:46:17
- 有流なんとかという偽名を使っていた
松本真吾さん(鉄道総研)は現れた?
- 900 :885:2007/11/04(日) 06:23:51
- どうも、犬のポチです。
昨日の勉強会は大変楽しかったです。
当日の参加者はもやしっ子さんとその友人の方、
ふぃっしゅさん、たろうさん、私の5名でした。
前半調子にのって喋りすぎました。どうもすみません。
後半のたろうさんの話は大いに勉強になりました。
一番”強かった”のはたろうさんだったと私は思います。
そうそう、ウルサイゾウことマツシンの話もでましたね。
もやしっ子さんの「彼はいじられキャラ」の評価は的確だと思います。
ではでは
- 901 :132人目の素数さん:2007/11/04(日) 07:40:15
- 勉強会って3日だったのですか。なんとなく2日だと思ってました。
2日にマル1日誰からも報告レスがないから、
ひょっこり現れた有流をみんなでボコってしまって全員タイーホ
とかそういうオチを期待してたんですけども。
- 902 :132人目の素数さん:2007/11/04(日) 08:54:46
- 2日は平日だと気づかない901はニートか?
掲示板覗く暇があったら仕事探せ
- 903 :132人目の素数さん:2007/11/04(日) 10:26:11
- 研究会が平日にあって当然&
出張してなんぼの稼業なもんで
すんませんでした
- 904 :132人目の素数さん:2007/11/04(日) 15:41:56
- aaaaaaaaaaaaaaa
- 905 :132人目の素数さん:2007/11/04(日) 16:17:28
- >>903
つまり君は崩れであると。
- 906 :132人目の素数さん:2007/11/04(日) 17:21:16
- 崩れっていうと、鉄道総研みたいな?
- 907 :132人目の素数さん:2007/11/04(日) 20:17:03
- なんかイタイヤシがいるな
- 908 :132人目の素数さん:2007/11/04(日) 20:48:28
- >>907
就職でハネられて怨んでるんじゃねぇの?
- 909 :132人目の素数さん:2007/11/04(日) 21:31:54
- 院試でハネられ
数学に
恨み骨髄
マツシンタン
- 910 :132人目の素数さん:2007/11/05(月) 02:54:19
- 結局マツシンいじりに落ち着くのかw
- 911 :132人目の素数さん:2007/11/05(月) 07:54:16
- てゆーか、同類相蔑むというところか。
仲良くしろよ。数学出来ない馬鹿同士
- 912 :132人目の素数さん:2007/11/05(月) 09:26:36
- × 仲良くしろよ
○ 仲良くしてよ
- 913 :132人目の素数さん:2007/11/05(月) 10:02:56
- >>912
日本語が不自由なヤシが来た
- 914 :132人目の素数さん:2007/11/05(月) 10:52:23
- いいからさっさと埋めろ
- 915 :132人目の素数さん:2007/11/05(月) 11:42:53
- >>891
これはどうでしょうか?
^[0](n,m)=n*m
^[a+1](n,0)=1
^[a+1](n,m)=^[a](n,^[a+1](n,m-1))
^[l](n,m)=^[l(m)](n,m)
(lはlimit ordinal,l(m)は、lのfundamental
sequenceのm番目)
n=9とすればよいのでは?
- 916 :132人目の素数さん:2007/11/05(月) 14:36:06
- Slow growing functionはまだこのスレに出てきてないぽいので紹介しときます。
G[0](x)=0
G[α+1](x)=G[α](x)+1
G[α](x)=G[α_x](x) (αが極限順序数のとき)
_____________________________________________________________________________________
Stan S. Wainer, "Slow growing versus fast growing",
J. Symbolic Logic
54 (1989), 608-614 によれば、
Wainerは、Wainer(1972)の傍白として、Slow growing
functionがΓ_0レベルで
fast growing function(ここではF[α]のこと)に追いつくと言いました。
しかし、1981年にJ.-Y. Girardによって、それが追いつく最初の場所がこれをずっと
越えていることが後で示されました。(実際は、Slow growing functionのHoward順序数レベルは、
fast
growing functionのまさにε_0レベルです。)現在の新聞では、WainerはGirardの結果の
簡略化された証明とそれのいくらかの一般化をします。
_____________________________________________________________________________________
- 917 :132人目の素数さん:2007/11/05(月) 15:02:42
- >実際は、Slow growing functionのHoward順序数レベルは、
>fast growing
functionのまさにε_0レベルです。
E. A. Cichon, S. S. Wainer
"The Slow-Growing
and the Grzegorczyk Hierarchies"
J. Symbolic Logic, 48 (1983), 399-408
にその証明がある。
6-722にあるCichonとWainerの論文とは上記のことか
- 918 :132人目の素数さん:2007/11/05(月) 15:56:50
- >>916
> 現在の新聞では、
なんで新聞?
- 919 :132人目の素数さん:2007/11/05(月) 16:15:21
- G[ω+α](x)≒H[α](x)程度に見えるのに…
「H[α]がF[α]にε_0で追いつく」てのも問題があったのか?
追いつくの定義の問題?勉強してくる……。
- 920 :もやしっ子:2007/11/05(月) 17:06:13
- とーとつですがmixiに巨大数コミュ作りました。
ttp://mixi.jp/view_community.pl?id=2771859
- 921 :もやしっ子:2007/11/05(月) 17:07:24
- とーとつですがmixiに巨大数コミュ作りました。
ttp://mixi.jp/view_community.pl?id=2771859
- 922 :132人目の素数さん:2007/11/05(月) 18:10:50
- H[α](x)≦G[α](x+1)となるようなαということでしょう。
- 923 :もやしっ子:2007/11/05(月) 18:30:05
- あと研究室のゼミ成果の下のほうにぽちさんのヒドラpptを置かせて頂きました。
- 924 :5-682:2007/11/05(月) 23:26:49
- >>864
遅レスですが
問3
その式は修正版からのものでした。
6-510の旧版定義では
L[a](λ+1) = L[a-1](L[1](λ+1))、
L[10](ω) =
L[1](L[9](ω)) (= L[9](ω)+1 )
です。
問4
旧版のは
L[10](ω) = ω+11,
L[ω](ω) = ω*2 (Veblen関数で表すまでもない)
L[ε0](ω) = φ_ε0(0) (?)
です。
- 925 :5-682:2007/11/05(月) 23:47:08
- 問3について
L[a](λ+1) = L[a-1](L[1](λ+1))
L[10](ω) = L[1](L[9](ω))
ともに
L[n+1](x) = f(L[n](x)) (fはL[1]に置き換えられる)
の自然数xを順序数ω、λにそのまま置き換える
だけで導いたものです。
あとVer1のF[1]からF[λ]について
定義式を短くまとめてみました。
α:自然数または順序数、n:自然数
F[0](α)=α+1
F[n](α) = F[0]^n(α)))
f^λ+1(α) = f(f^λ(α))
(修正版のは F[n+1](α) = F[n]^α(α) )
λ_ω(又はα_ω)
:λ_1, λ_2, ...(α_1, ...)の極限順序数、x:F[*](x)の自然数x
α:自然数のとき→ F[λ_ω](α) =
F[λ_α](α)
α:順序数とき→ F[λ_ω](α_ω) = F[λ_(α_x)](ω)
F[λ_ω+n](α) =
F[λ_ω]^n(α)
(修正版のは F[λ+1](α_ω) = F[λ]^α_x(ω) )
- 926 :もやしっ子:2007/11/06(火) 02:10:32
- ttp://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
に頻出する「degree」ってなんやねん、という話をたろうさんと
してたんですが、日本では「次数」でいいんでしょうか。
いや意味は知りませんが。そして違っても僕は知りませんが。
で、ここ見てて強そうな人がいたのでラヴコールを送っておきます。
(別名無断リンク)
ttp://d.hatena.ne.jp/tri_iro/20071020
- 927 :132人目の素数さん:2007/11/06(火) 13:25:39
- G[0](x)=0
G[n](x)=n
G[ω](x)=G[x](x)=x
G[ω+n](x)=x+n
G[ω*2](x)=G[ω+x](x)=2x
G[ω*n](x)=nx
G[ω^2](x)=G[ω*x](x)=x^2
G[ω^n](x)=x^n
G[ω^ω](x)=G[ω^x](x)=x^x
G[ω^ω*2](x)=2x^x
G[ω^(ω+1)](x)=x^(x+1)
G[ω^(ω*2)](x)=x^(2x)
G[ε_0](x)=G[ω↑↑ω](x)=x↑↑x
G[ε_1](x)≒G[ω↑↑(ω*2)](x)=...
- 928 :132人目の素数さん:2007/11/06(火) 15:02:41
- G[t](x)<F[t](x)<G[t](x+1)
となるような順序数tは存在する。
しかしその大きさが・・・
$\Pi^1_1 - CA_0$の証明論的順序数
って何すか?
- 929 :132人目の素数さん:2007/11/06(火) 21:38:45
- >>925
問5
F[λ_ω](α+1) の定義は?
問6
修正版、x=2の場合
F[ω+1](ω)
=F[ω] F[ω] (ω)
=F[ω] F[2] (ω)
=F[ω] F[1]^ω (ω)
=F[ω] (ω*ω)
=F[ω+ω] (ω)
=F[ω+2] (ω)
=F[ω+1] [ω+1] (ω)
となりそうだが、well-defined?
- 930 :ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
:2007/11/06(火) 22:05:05
- >>926
tri_iroさんのページは、なかなか読み応えありますね。
その中でも、次の関数に興味を持ちました。
ほとんど全てを(強)支配する関数
次数は0'
ビジービーバーと同じ計算不可能度にも関わらず、
その支配っぷりは圧倒的。
名前からしていかにも増加率の高そうな関数です。
このスレッド的には、楽しめそうです。
この関数は、以下の論文に書かれているとのこと。
N. L. Dobrinen, and
S. G. Simpson, Almost Everywhere Domination,
J. Symb. Logic, 69(2004),
914-922.
著者のSimpsonさんは、ペンシルバニア州立大学数学科の教授です。
http:///www.math.psu.edu/simpson/
このページに、論文のリストと、PDF、htmlファイルがあります。
上の論文もありますが、次の論文も面白そうです。
Stephen G. Simpson, Almost everywhere domination and superhighness,
Mathematical Logic Quarterly, 53, 2007, pp. 462-482.
閲読者から「このトピックの標準的な参照文献になる」と評価されたようです。
とはいえ、これを理解するまでは大変そうです。
tri_iroさんが「次数0' の『ほとんど支配する関数』は、次数0'の超越性ゆえに
意外と簡単です。」と書かれているので、いずれ解説されるのではないかと
期待してみます。
- 931 :5-682:2007/11/06(火) 23:13:00
- >>929
修正でスマンが、>>925の下から3行目で
誤 α:順序数とき→ F[λ_ω](α_ω) =
F[λ_(α_x)](ω)
正 α:順序数とき→ F[λ_ω](α_ω) = F[λ_x](α_ω)
問5
修正前Verのは
F[λ_ω](α+1) = F[λ_x](α+1)
修正後Verのは
F[λ_ω](α+1) =
F[λ_ω](F[λ_ω]^α(ω))
になります。
- 932 :5-682:2007/11/06(火) 23:14:35
- 問6
F[ω+1](ω)
= F[ω]( F[ω](ω) )
= F[2]( F[ω](ω) )
=
F[1]^F[ω](ω) (ω)
= F[1]^F[2](ω) (ω)
= F[1]^ω*ω (ω)
= F[1]^ω*2 (ω)
= F[1]^ω+2 (ω)
= F[1]( F[1]( F[1]^ω(ω) )
= F[1]( F[1]( ω*ω ) )
= F[1]( ω^2 * 2 )
= ω^2 * 4
となります。
- 933 :132人目の素数さん:2007/11/07(水) 09:45:51
- >順序数とき→ F[λ_ω](α_ω) = F[λ_x](α_ω)
順序数から順序数への関数の筈なのに、
なぜ唐突に自然数xが表れるのかな?
- 934 :132人目の素数さん:2007/11/07(水) 19:08:50
- >>931
問7
> = F[1]^F[ω](ω) (ω)
ここは、
> F[n+1](α) =
F[n]^α(α)
これによると、F[1]^F[ω](ω) (F[ω](ω))
になるはずだが
問8
F[λ+1](α+1) の定義は?
F[λ+1](n) の定義は?
問9
> F[λ_ω](α+1) =
F[λ_ω](F[λ_ω]^α(ω))
の部分、
α+1<F[λ_ω]^α(ω) になることがありそうだが、
well-defined?
問10
で結局定義をまとめると?
- 935 :132人目の素数さん:2007/11/07(水) 20:25:53
- うむ。ナゴヤ数は解説の前に一回定義の決定版を出してほしいす。
- 936 :5-682:2007/11/07(水) 20:46:10
- >>933
F[*](x)の"*"の順序数部分だけの式で書きました。
正確にはF[
F[λ_ω](α_ω) ](x) = F[ F[λ_x](α_ω) ](x)
です。
>>934
問7
くだらんミスでスミませんでしたが
修正版定義で
F[λ+1](α_ω) = F[λ]^α_x(ω)
の形と同じく、
αが順序数のとき、
F[n+1](α) =
F[n]^α(ω) (αが自然数のときと(α)部分が異なる)
でした。
問8、問9
> F[λ_ω](α+1) =
F[λ_ω](F[λ_ω]^α(ω))
もλ_ωと後続順序数λ+1との置換ミスで、
F[λ+1](α+1) = F[λ]^(α+1)(ω)
= F[λ](F[λ]^α(ω))、
F[ F[λ_ω](α+1) ](x) = F[ F[λ_x](α+1) ](x)
= F[
F[λ_(x-1)]^(α+1)(ω) ](x)
が正しいです。
また、修正版定義
F[n+1](α) =
F[n]^α(α) (α:自然数)
と同様に、
F[λ+1](n) = F[λ]^n(n) (n:自然数)
となります。
- 937 :132人目の素数さん:2007/11/07(水) 20:51:19
- で結局定義をまとめると?
- 938 :132人目の素数さん:2007/11/07(水) 21:02:38
- トリンプが「マイ箸(はし)ブラ」
2007.11.7 12:35
http:///sankei.jp.msn.com/economy/business/071107/biz0711071236003-n1.htm
http:///sankei.jp.msn.com/photos/economy/business/071107/biz0711071236003-p1.htm
- 939 :5-682:2007/11/07(水) 21:30:27
- 改めて
>>925のナゴヤ関数定義の修正版を書きます。
α:自然数または順序数、n, x:自然数
λ_ω(又はα_ω) :λ_1, λ_2, ...(α_1, ...)の極限順序数
以下F[*](α)のαが順序数のときの式は
F[*](x)の"*"の順序数部分の式です。(xは自然数)
f^λ+1(x) = f(f^λ(x))
α:順序数→
f^λ+1(α) = f(f^λ(ω))
F[0](α)=α+1
F[n](α) = F[0]^n(α) ※
※Ver1修正版のは
F[n+1](x) = F[n]^x(x)
α:順序数→ F[n+1](α) = F[n]^α(ω)
(この点については順序数でも統一してF[n]^α(α)に変更するかもしれません)
F[λ_ω](x) = F[λ_x](x)
α:順序数→ F[λ_ω](α) = F[λ_x](α)
F[λ_ω+n](α) = F[λ_ω]^n(α) ※
※Ver1修正版のは
F[λ+1](x) = F[λ]^x(x)
α_ω:極限順序数→ F[λ+1](α_ω) =
F[λ]^α_x(ω)
α:後続順序数→ F[λ+1](α) = F[λ]^α(ω)
(こちらも両者ともF[λ]^α(α)に統一するかもしれません)
- 940 :132人目の素数さん:2007/11/07(水) 22:07:50
- はじめからそう書けよ!
ナゴヤンの日記帳じゃないんだから。
あと、
>
F[*](x)の"*"の順序数部分だけの式で書きました。
こんなナゴヤン語で書かないで
F[λ_ω](α) = lim
F[λ_n](α)
と書くように。
- 941 :132人目の素数さん:2007/11/07(水) 22:13:47
- でかい口をたたいておいて結局はゴミみたいな順序数しか出来ないじゃんか。
そんな頭のわるい順序数の作り方に価値は無い。
10年ROMってな。
- 942 :132人目の素数さん:2007/11/08(木) 09:58:34
- >>正確には
>>F[ F[λ_ω](α_ω) ](x) = F[ F[λ_x](α_ω) ](x)
> F[λ_ω](α) = lim F[λ_n](α)
> と書くように。
直接、順序数を計算できるわけじゃないんだな。
- 943 :132人目の素数さん:2007/11/08(木) 17:03:57
- 「ナゴヤ数」巨大数の黒歴史入りの予感
- 944 :132人目の素数さん:2007/11/08(木) 17:07:32
- 黒歴史は、松本真吾さん(鉄道総研)が
ほぼ一人で独占しているので、
これ以上の余裕は無いでしょう。
- 945 :132人目の素数さん:2007/11/08(木) 17:23:36
- >>944
ナゴヤンとあのお方を同類と見なしたくないのはわかるが
いってることとできてることの差に開きがある点では、
残念ながら共通しているといわざるを得ないな。
ネットではよくあることだよ。
- 946 :132人目の素数さん:2007/11/08(木) 18:59:46
- 山口人生 (I. I. I.)
今井弘一 (今井塾)
松本真吾 (鉄道総研)
M_SHIRIASHI (EURMS)
このお方達は、ネット数学界のスーパースターでしょう。
ナゴヤン?彼らの前では無に等しい。
- 947 :132人目の素数さん:2007/11/08(木) 22:10:14
- >>946
をひをひ、数学板ならkingとか中川泰秀とか
もっと大物がたくさん居るだろ。
つーか、シリアシって誰?外人?
- 948 :132人目の素数さん:2007/11/08(木) 22:21:32
- ナゴヤンがトンデモだとは思わないが
今のまんま頑張り続けるとやっぱり
そういう風に思っちゃう人も出るんじゃない?
一度頭を冷やすのもいいと思うけどどうよ。
- 949 :132人目の素数さん:2007/11/08(木) 22:49:37
- >シリアシって誰?外人?
イギリスの貴族らしいよ。
- 950 :5-682:2007/11/09(金) 01:07:44
- とりあえずナゴヤ関数全体の定義や説明の
不備や下手さについてはすまなくて見直すべきことに尽きます。
また>>939についてこちらの説明不足で誤解されているかもしれないが、
>>
F[*](x)の"*"の順序数部分だけの式
については定義式中で順序数同士の等式の場合、
「○ = ●」と表して、
F[○](x)
= F[●](x)
を意味するということです。
F[λ_ω](α) = lim F[λ_n](α)
の式とは関係ないつもりですが・・・。
やはり>>948の言うとおり、
自分は集合論や順序数基数の知識はまだそれほど深くなく、
やたらと高度な順序数関係の説明も下手なままでは痛いと思うので、
いずれにしても、Ver2に入るのは当分先に伸ばそうかと思います。
その前にΩ_Ω_ ・・・ _ωやリスト形式のΩ(1, 0, ・・・ , 0)などの
独立順序数列の定義をまとめたりしていくつもりです。
(リスト形式順序数についてはC1式の考え方と重なるかもしれませんが)
それから、>>414のΩ_nまでの修正版も含めて
F[1_x, ・・・ 0_2, 0_1](x)
までの定義までまとめたVer1全体のテキストを
できれば近いうちにうぷろだにでもあげようと思います。
- 951 :132人目の素数さん:2007/11/09(金) 01:08:52
- >>947
>>946の4人はいずれも、専門家達から「トンデモ認定」を受けている、
正真正銘のつわもの達。マスコットキャラのking達とは一線を画しているよ。
- 952 :132人目の素数さん:2007/11/09(金) 07:11:42
- >>951
実際は、マツシンのほうがマスコットキャラだが。
逆にkingはヤマジンと同じ病にかかってる点で
正常人とは一線を画してる。常識だけどな。
- 953 :132人目の素数さん:2007/11/09(金) 09:31:00
- >>950
ナゴヤンは、正月と今とでは状況が変わっていることが
いまだに分かってないみたいだな。
あの後、順序数記法の解析が進んで、203氏やたろう氏が
プログラムをつくったりしてるわけなんで、同じこといっても
今度はキッチリ比較されるわけだ。
- 954 :132人目の素数さん:2007/11/09(金) 19:17:12
- キッチリ比較したくても定義がワケワカランな罠って感じ?
- 955 :132人目の素数さん:2007/11/09(金) 21:26:26
- >>939
問11
f^λ_ω(α) の定義は?
f^λ_ω(x)
の定義は?
問12
F[λ_ω](α)やF[λ_ω](α)はF[*](n)の*の部分に入った場合の定義しか書かれていないが、
F[*](順序数) や F[...](*), の*の部分に入った場合の定義は?
たとえば、
F[F[α_ω](β_ω)](γ)
F[α_ω](F[β_ω](γ_ω))
F[α+1](F[β_ω](γ_ω))
F[n](F[β_ω](γ_ω))
これらの定義は?
F[ F[ F[ω](ω) ](ω) ](3) = F[ F[
F[3](ω) ](ω) ](3) ?
F[ F[ F[ω](ω) ](F[ω](ω) ) ](3) = F[ F[ F[3](ω) ](
F[ω](ω) ) ](3) ?
それとも、
F[ F[ F[ω](ω) ](F[ω](ω) ) ](3) = F[ F[ F[ω](ω)
]( F[3](ω) ) ](3) ?
F[F[ω](ω)+1](2) = F[F[2](ω)+1](2) ?
それとも、
F[F[ω](ω)+1](2) = F[F[ω](ω)]^2 (2) = F[F[ω](ω)] { F[F[2](ω)] (2) } =
F[F[F[F[2](ω)] (2)](ω)] { F[F[2](ω)] (2) } ?
F[ F[ F[ F[ω](ω) ](ω)
](4) ](3) = F[ F[ F[ F[4](ω) ](ω) ](4) ](3) ?
それとも
F[ F[ F[ F[ω](ω)
](ω) ](4) ](3) = F[ F[ F[ F[3](ω) ](ω) ](4) ](3) ?
- 956 :132人目の素数さん:2007/11/09(金) 21:46:56
- >>953
別にナゴヤ関数がこのスレ最大の
定義された計算可能関数だとは思ってないです。
9月半ばごろ来たときはさっぱりわかりませんでしたが、
たろう氏のC1関数などは定義概要をつかんだときには
Ver1修正版よりもかなり大きいと思っています。
ただC1関数の場合は帰納的定義できない順序数Ωなどの
定義理解があいまいで微妙ですが。
(F[F[ ・・・ F[Ω_ω] ・・・ ](Ω_1)](ω) = F[1, 0](ω) との比較では
多分 C1( C1(1, 0, 0, 0), 0 ) 程度か?)
むしろきちんと比較できれば面白いです。
ただ自分も別にチャンピォンとかこだわりなく
いろいろな方法で巨大な順序数や巨大数を考えて
いきたいと思っているだけです。
ふぃっしゅ氏など、順序数と関係ない方法で
Veblenリスト or F[ψ(Γ_Ω+1)](x)などをしのぐ巨大数も
いつできるのかも楽しみにしています。
- 957 :5-682:2007/11/09(金) 21:47:29
- >>956は自分と。
- 958 :132人目の素数さん:2007/11/09(金) 22:02:50
- でかい口をたたくのはまともに定義できてからにしてくれ。
- 959 :132人目の素数さん:2007/11/09(金) 23:39:17
- >>956はそんなにでかい口でもないかと。
まったりいこう。
- 960 :132人目の素数さん:2007/11/10(土) 10:29:28
- >>959
>(F[F[ ・・・ F[Ω_ω] ・・・ ](Ω_1)](ω) = F[1,
0](ω) との比較では
>多分 C1( C1(1, 0, 0, 0), 0 ) 程度か?)
は、今の状況ではやっぱり"大本営発表"といわれても仕方ない。
- 961 :5-682:2007/11/10(土) 16:46:59
- >>955
> 問11
定義漏れかもしれませんが、
f^λ_ω(α) =
f^λ_x(α)
f^λ_ω(x) = f^λ_x(x)
です。
というか極限順序数の場合は統一で
λ_ω = λ_x と
そのまままとめたほうがいいかもしれませんね。
> 問12
F[*](n) の"*"の部分での定義と同じです。
極限順序数が F[順序数1](順序数2) の形では
基本的に"順序数1"部分が優先的に収束されるので、
この考え方で定義から適用すればいいです。
よって、
?F[F[α_ω](β_ω)](γ) = F[F[α_x](β_ω)](γ)
?F[α_ω](F[β_ω](γ_ω)) = F[α_x](F[β_ω](γ_ω))
?F[α+1](F[β_ω](γ_ω)) =
F[α]^F[β_x](γ_ω) (ω)
?F[n](F[β_ω](γ_ω)) = F[n]^F[β_ω](γ_ω) (ω) =
F[n-1]^F[β_x](γ_ω) (ω)
になります。
??は F[λ_ω](α) = F[λ_x](α)、
?は
F[λ+1](α_ω) = F[λ]^α_x(ω)、?は F[n+1](α) = F[n]^α(ω)
より適用。
- 962 :5-682:2007/11/10(土) 16:47:59
- 問12の続き。
> F[ F[ F[ω](ω) ](ω) ](3) = F[ F[ F[3](ω) ](ω) ](3) ?
→Yes. F[ F[ω](ω) ](ω) は
{ F[ F[1](ω) ](ω), F[ F[2](ω) ](ω), ... }
列の収束先であり、
?式と同様にF[ ]()で[]の最も内側の部分が収束されます。
> F[ F[ F[ω](ω)
](F[ω](ω) ) ](3) = F[ F[ F[3](ω) ]( F[ω](ω) ) ](3) ?
> それとも、
>
F[ F[ F[ω](ω) ](F[ω](ω) ) ](3) = F[ F[ F[ω](ω) ]( F[3](ω) ) ](3) ?
→前者。これも?式、F[ F[ F[ω](ω) ](ω) ](3) と同じようにしていけばいいです。
>
F[F[ω](ω)+1](2) = F[F[2](ω)+1](2) ?
> それとも、
> F[F[ω](ω)+1](2) =
F[F[ω](ω)]^2 (2)
→後者。F[ω](ω)+1 は後続順序数なので F[λ+1](x) = F[λ]^x(x) の定義を適用します。
> F[ F[ F[ F[ω](ω) ](ω) ](4) ](3) = F[ F[ F[ F[4](ω) ](ω) ](4) ](3)
?
> それとも
> F[ F[ F[ F[ω](ω) ](ω) ](4) ](3) = F[ F[ F[ F[3](ω)
](ω) ](4) ](3) ?
→前者。 ここではF[*](n)で、"*"が F[ F[ω](ω) ](ω) に対応します。
F[ F[
F[ω](ω) ](ω) ](4) は自然数になるのでこの部分のみから定義を適用します。
- 963 :132人目の素数さん:2007/11/10(土) 17:26:02
- >>961-962
やっぱりナゴヤンは人の云ってることを聞いてないな。
>?F[F[α_ω](β_ω)](γ) = F[F[α_x](β_ω)](γ)
>>955の問いの意図は、
>>933 >F[λ_ω](α_ω) = F[λ_x](α_ω) が
>>936 >F[ F[λ_ω](α_ω) ](x) = F[ F[λ_x](α_ω) ](x)
だと主張したことに対して、
「では、自然数xでなくて、極限順序数γだったら?」
という問い返しなのに、また933と同じ誤りを繰り返してる。
- 964 :5-682:2007/11/10(土) 18:42:02
- >>963
?
説明が下手だったのかな?
F[F[α_ω](β_ω)](γ)
を●と置いて、
F[●](x) として考えればいいです。
F[F[α_ω](β_ω)](γ) は
{
F[F[α_1](β_ω)](γ), F[F[α_2](β_ω)](γ), ... }
列の収束先で、α_ωの部分で収束されます。
ω^ω、F[ω](ω)、F[F[ω](ω)](ω) などの順序数自体の式を
定義するには外側の自然数xを考える必要があるということです。
極端なことを言えば、λ、α、β、γなどを順序数として、
F[ F[ F[ ・・・ F[λ_ω](α) ・・・ ](β) ](γ)
](x)
= F[ F[ F[ ・・・ F[λ_x](α) ・・・ ](β) ](γ) ](x)
となります。
あと、今更どうでもいいことですが、
ナゴヤンという呼び方よりも5-682のほうでいいです。
- 965 :132人目の素数さん:2007/11/10(土) 19:55:25
- >>964
説明の上手下手ではないよ。
>F[F[α_ω](β_ω)](γ)
を●と置いて、
>F[●](x) として考えればいいです。
それがよくないんだよ。
F[○](x) = F[●](x)
だからといって
順序数として○ = ●になるわけではないから
そうあらわすことは誤りだよ。
- 966 :132人目の素数さん:2007/11/10(土) 20:09:29
- >>964
>F[F[α_ω](β_ω)](γ) は
>{
F[F[α_1](β_ω)](γ), F[F[α_2](β_ω)](γ), ... }
>列の収束先で、α_ωの部分で収束されます。
>ω^ω、F[ω](ω)、F[F[ω](ω)](ω) などの順序数自体の式を
>定義するには外側の自然数xを考える必要があるということです。
では実際にやってるのは順序数自体の式の定義ではなくて
列の要素の定義だね。
しかも列の要素が極限順序数だとまたその列の要素を
とることになるから、最終的に得られるものはもとの順序数
からはかけ離れたものになってるね。
実際にはF[](x)が何重にもかかっているはずだが、
すべて省略しちゃったせいで、ナゴヤン自身
ごまかされるわけだ。
- 967 :5-682:2007/11/10(土) 21:19:41
- >>965
そういうことでしたか。
なら自分で変な表記の罠にはまってしまって
本当にすまなかったorz
言い訳はおいとくとして、
F[ ](x)の省略がダメならF[ ](x)をそのまま表すか、
F[α](x) = F[β](x) をα → βと表すか
にしておきます。
>>966
> 実際にやってるのは順序数自体の式の定義ではなくて列の要素の定義
そうですね、対応する収束列のx番目の要素をとっています。
- 968 :132人目の素数さん:2007/11/10(土) 21:25:06
- 結局ナゴヤ数の定義はどれですか?
解説をするまえに最終的な定義を示してください。
- 969 :132人目の素数さん:2007/11/10(土) 21:30:37
- ナゴヤ数とは
「落合監督率いる中日が日本シリーズに出て、完全試合で優勝を決める確率の逆数」のこと。
間違いなく巨大数。
多分、そこいらの巨大な数よりはるかに大きい。
- 970 :132人目の素数さん:2007/11/10(土) 21:40:38
- >>962
急に収束先とか収束列とかいう言葉を使うようになったけど、
結局、
f^λ_ω(α) = lim f^λ_n(α)
F[λ_ω](α) = lim F[λ_n](α)
F[λ+1](α_ω) =
lim F[λ]^α_n(ω)
こういう定義なんだろ?
あくまで列を定義しているだけだというなら、
>>925 じゃ定義になってないので
まともに定義してくれ。
少なくとも >>962 は >>925 に書かれていない。
- 971 :132人目の素数さん:2007/11/10(土) 21:58:37
- 部分的な定義はいらない。
関数の定義やらなんやらからナゴヤ数というひとつの自然数を
定義するまでひっくるめて示してほしい。解説するのはその後だ。
他人にわかるように記述するのは大変だろうけどせっかくここまで
やったんだから頑張ってくれよ。
- 972 :132人目の素数さん:2007/11/10(土) 23:22:27
- >>971
実際には、解説というか皮算用が先にあって、
定義は後からその都度こさえてると思われ。
自分自身わかってないんじゃないかな?
- 973 :5-682:2007/11/10(土) 23:24:12
- >>968
F[φx](x) (φ(n+1) = F[φn](ω)、φ1 = ω)
までの関数自体の定義は基本的に
>>939にしたつもりです。ただ、
>λ_ω(又はα_ω) :λ_1, λ_2, ...(α_1,
...)の極限順序数
は
λ_ω(又はα_ω) :λ_1, λ_2, ...(α_1, ...)列の収束先の極限順序数
と読み替えて、
順序数同士α = βの式は誤りで
F[α](x) = F[β](x)
に置き換えればいいと思います。
とりあえず>>414の不完全定義を元にして、
ナゴヤ数の最終定義である F[1_x, ・・・ 0_2,
0_1](x)
までの関数と自然数の全体定義完全版を早ければ数日後に
うぷろだにアップしておくつもりです。
- 974 :132人目の素数さん:2007/11/10(土) 23:49:46
- >>971
>せっかくここまでやったんだから
ここまでがどこまでだかわからんけどね。
ナゴヤンが書いてた時期って実はそんなに長くないし。
2006年3月13日?4月30日 (6スレ479?746 37回)
2006年11月14日?2007年1月8日 (6スレ929?7スレ117 6回)
2007年9月17日? (7スレ414? )
- 975 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 00:00:41
- >>973
>早ければ数日後にうぷろだにアップしておくつもりです。
無理しなくていいよ。ダメならダメで
「ゴメン、やっぱできなかった」
といえば済むことだからさ。
その簡単なことが出来なくて、人間やめた奴ってのも
ネットにはたくさんいるけどね。
- 976 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 01:13:36
- そろそろテンプレを…といっても、>>1をそのままコピればいいのか。
- 977 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 10:55:54
- >>973
> 順序数同士α = βの式は誤りで
> F[α](x) =
F[β](x)
これ以外の形の場合の定義が抜けてます。
定義から >>962 が導けるように定義をまとめてください。
この調子だと、
F[1_x,
・・・ 0_2, 0_1](x) の定義までたどりつくのは相当大変だと思いますが、
がんばってください。
あと、
自分で定義してる関数の定義に関して
「思います」はないと思うよ。
- 978 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 13:24:17
- >>976
2あたりに貼っておく?
関連ページ
1. 巨大数
(Wikipedia)
http:///ja.wikipedia.org/wiki/巨大数
2.
ふぃっしゅっしゅ氏の巨大数論PDF
http:///gyafun.jp/ln/
3. たろう氏のまとめ
http:///gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt
4. Dmytro
Taranovsky の順序数表記
http:///web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
5. mixi 巨大数コミュ (要 mixi アカウント)
http:///mixi.jp/view_community.pl?id=2771859
- 979 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 13:28:37
- 修正
関連ページ
1. 巨大数 (Wikipedia)
http:///ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0
2. ふぃっしゅっしゅ氏の巨大数論PDF
http:///gyafun.jp/ln/
3. たろう氏のまとめ
http:///gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt
4. Dmytro
Taranovsky の順序数表記
http:///web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
5. mixi 巨大数コミュ (要 mixi アカウント)
http:///mixi.jp/view_community.pl?id=2771859
- 980 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 15:44:19
- >>973
>とりあえず>>414の不完全定義を元にして、
>…全体定義完全版を早ければ数日後に
>うぷろだにアップしておくつもりです。
ほぼ同じことを13日前に書いてるのは覚えてる?
>>862
>(>>414-415は)厳密な定義としてはまだ
>不完全なところがあると思いますので、
>できれば改めて定義をまとめて
>数日後にあげようと思います。
世間では数日後とは2?3日後だと思ってる。
http:///www.nhk.or.jp/a-room/kininaru/2004/04/0420.html
- 981 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 16:45:13
- 新スレ立てた。
議論の内容が巨大順序数の構成に移っているのでタイトルを変更した。
巨大順序数探索スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194766924/
- 982 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 17:24:51
- 巨大順序数って、巨大基数のことかと思た
- 983 :5-682:2007/11/11(日) 17:55:30
- >>973
スマン、その間はいろいろあって、
F[1]?F[λ]までの旧版・修正版の定義を
>>925に挙げることしかできませんでした。
その後も質問の回答やF[λ]までの定義の検討も
あって、それ以上のF[Ω_n]などの定義発表については
後回しにしようと思っていました。
ここでの数日後は1週間先だと指していました。
早くても1週間はかかりますし、
翌週土日は用事があるので
2週間後になる可能性もあります。
(むしろ休日中心に時間をかけたいので)
それでもあまり伸ばさないように頑張りたいと思います。
あと、>>981
スレ立て乙です。
巨大順序数限定のスレになってしまいましたか。
では順序数に関係ない巨大数の話題はできないと?
- 984 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 18:41:28
- >>981
乙。だけど、スレタイは変えない方が良かったな。
巨大順序数は強力な道具ではあるけど、それが唯一の道具ではないし、
それに巨大順序数を構成するのが目的ってわけでも無いし。
- 985 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 18:47:56
- 巨大順序数というスレタイだと、新しく人が入ってこなくなりそうだな
次スレで過疎化して終了の予感
- 986 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 19:05:36
- つか、recursive ordinalは普通は巨大順序数とは言わなくね?
計算可能関数を作るのに使えるのは、recursive
ordinalみたいな小さい順序数だけなんだから・・・
巨大順序数スレになると、そのうち誰かがMahlo ordinalとか持ち出して、
このスレの主旨とは全然関係の無い流れになるぞ
- 987 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 19:38:27
- スレ立て直した方が良いんじゃね。
ふぃっしゅ数も蒼穹数もビジービーバー関数も
recursive ordinalもHardy
Functionも
まったく関係ない内容で、
単に巨大基数探しのスレになる。
- 988 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 19:46:24
- 次スレ
巨大数探索スレッド8
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194777915/
- 989 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:44:01
- 三百五十七日。
- 990 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 02:18:04
- >>988
そっちは「大きな実数」を探すのw
そりゃ実数っちゃ実数だけど
- 991 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 02:20:42
- 自然数でいいと思うんだけどね。
まあ、どっちでもいいや。
- 992 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 23:44:01
- 三百五十八日。
- 993 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 08:45:12
- >>983
>順序数に関係ない巨大数の話題はできないと?
そんなことはないよ。
>>986
>そのうち誰かがMahlo ordinalとか持ち出して、
>>987
>単に巨大基数探しのスレになる。
勝手に混同されちゃ困るな。
recursive ordinalの意味であることは、読めば明らかだって。
ただしそれに限定するわけではないよ。それも明らか。
- 994 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 17:13:58
- 立て直しも済んだしもういいんじゃない
- 995 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 17:58:38
- 分裂でいいんじゃね
- 996 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 23:44:01
- 三百五十九日。
- 997 :132人目の素数さん:2007/11/14(水) 09:31:21
- >>668
Mahlo ordinalって、集合論のMahlo cardinalの
recursive ordinalにおける対応物かと
ttp://math.stanford.edu/?feferman/papers/prooftheory.pdf
によればその前に集合論の到達不能基数(inaccessible cardinal)
に対応する(recursively)
inaccessible ordinalsがあるらしい
- 998 :132人目の素数さん:2007/11/14(水) 18:56:27
- >>993
recursive ordinalの意味での巨大順序数を扱ってることは理解できても、
巨大順序数スレとなると、スレタイからスレがやってる元々の目的は見えてこないから、
Mahlo ordinalやinaccesible
ordinalみたいなnonrecursive ordinalを持ち出す人はいるんじゃね
つか、最初は今の通りにスレが機能しても、途中で目的がすりかわってしまうかもしれん
recursive
ordinalに限定しないと言ってる時点で、既に目的がすりかわり始めてるのも明らか
なので、立て直されてよかったと思う
- 999 :132人目の素数さん:2007/11/14(水) 19:11:08
- スレの分離騒動でスレが荒れ模様だなぁ。
荒れが広がらないうちにさっさと埋めとくか。
- 1000 :132人目の素数さん:2007/11/14(水) 19:12:31
- 1000げと
- 1001 :1001:Over 1000 Thread
- このスレッドは1000を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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