元のスレッド
【ふぃっしゅ数】巨大数の探索スレ【ばーど数】
- 1 名前：695 ：02/09/30 02:25
- 前スレ 一番でかい数出した奴が優勝
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1024311743
関連スレ ■■■史上最大の数 グラハム数■■■
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1014030375
巨大数を生成するアプローチ等について議論するスレッドです。なお
「前の数＋1」「9999999999999999^9999999999^999!」「1/x x→0」「∞」
「９を延々と書き続けるプログラム」のような類の投稿は放置の対象となります。
予め御了承下さい。
>>2-6辺りに前スレでの成果を大まかにまとめておきます。
- 6 名前：695 ：02/09/30 02:26
- 【グラハム数】
↑(タワー)を用いて表現する巨大数。タワーは
x↑y＝x^y
x(↑^(m+1))１＝x
x(↑^(m+1))y＝x(↑^m)x(↑^m)x(↑^m)…(↑^m)x(↑^m)x (y回) と定義される。
ここで関数f(x)＝３↑↑…(x個)…↑↑３ を考えると
３↑↑↑↑３はf(4)と表せる。このとき f^64(4) をここで扱うグラハム数とする。
- 9 名前：695 ：02/09/30 02:27
- 【ふぃっしゅ数】
B(0,n)=f(n)
B(m+1,0)=B(m, 1)
B(m+1,n+1)=B(m,
B(m+1, n))
g(x)=B(x,x)
としたときに、
S:[m,f(x)]→[g(m),g(x)]
という自然数と関数のペアから、自然数と関数の
ペアへの写像S（Ｓ変換）を定義する。
自然数、関数、Ｓ変換から同様の組を生み出す
写像SSを、
SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
ただし S2=S^f(m), g(x)=S2[m,f(x)],
n=g(m)
と定義する。
このとき、[3,x+1,S]にSS変換を63回繰り返した
結果得られる自然数、関数、S変換について、
自然数をふぃっしゅ数、関数をふぃっしゅ関数とする。
ふぃっしゅ数の大きさは、グラハム数を越えることは
もちろん、想像を絶する大きさとなっている。
【ばーど数】
詳細不明。とにかく超でかいらしい。バード氏(外人)作。
- 10 名前：695 ：02/09/30
02:28
- 【前スレで生まれた他の巨大数】
●名無しのような物体氏
S_n変換を以下の漸化式
B_n(0,0,…,0,x)=f[n-1](x)
B_n(0,0,…ak+1,0,…,an)=B_n(0,0,…ak,1,…,an)
l=k+1として
B_n(0,0,…ak+1,al+1,…,an)=B_n(0,0,…,ak,B_n(0,0,…,ak+1,al,…an),
B_n(0,0,…,ak+1,al,…an),…,B_n(0,0,…,ak+1,al,…an))
f[n](x)=B_n(x,x,…,x)
と定義し、またSS変換
SS：[m[j-1], f[j-1](x),
S_n[j-1]] → [m[j], f[j](x), S_n[j]^n[j]] ただし
n[j]=n[j-1]^f[j-1](m[j-1])
S_n[j]^n[j]：[m[j-1], f[j-1](x)] → [m[j], f[j](x)]
と定義すると、[m[0]=3,
f[0](x)=x+1, S_n[0]=S_2]に
SS変換を63回繰り返すことにより、巨大数m[63]、関数f[63](x)、
変換S_n[63]^n[63]が得られる
なお上記の
B_n(0,0,…ak+1,al+1,…,an)=B_n(0,0,…,ak,B_n(0,0,…,ak+1,al,…an),
B_n(0,0,…,ak+1,al,…an),…,B_n(0,0,…,ak+1,al,…an))
では
ai=0 [i=1,2,…,k-1]
ai=ak [i=k]
ai=B_n(0,0,…,ak+1,al,…an) [i=k+1,k+2,…,n]
- 11 名前：695 ：02/09/30
02:29
- ●８６７氏
A(0,y)=y+1
A(x+1,0)=A(x,1)
A(x+1,y+1)=A(x,A(x+1,y))
次に, 以下のように定義する。
A_0 (x,y)=A(x,y)
A_{n+1}(x,y)v=
A_n(A_n(x,x),A_n(y,y)) (n∈N)
このとき巨大数
A_{A_{100}(100,100)}(100,100) を得ることができる。
- 12 名前：695 ：02/09/30
02:29
- 【チェーン】
ふぃっしゅ数を爆発的に越える鍵となるか？
a↑･･･(c個)･･･↑b = a→b→c
まず、チェーンの最後の数が1のときはこれを落とすことができる。
a→b→...→x→y→1
= a→b→...→x→y
次に、チェーンの最後から2番目の数が1の場合、これと最後の数をまとめて落とすことができる。
a→b→...→x→1→z
=
a→b→...→x
そして、次のような変形によって最後とその前の数を減らすことができる。
a→b→...→x→y→z
=
a→b→...→x→(a→b→...→x→y-1→z)→z-1
同様に↓や←を定義していけば、とても大きい数を平易に表現できるかもしれない。
- 13 名前：695 ：02/09/30
02:30
- 【参考サイト】
グラハム数
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/grahamnum.html (タワーの定義などが異なる)
http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/g/graham.htm
アッカーマン関数
http://tuk.t.u-tokyo.ac.jp/~hosoyama/softkiso/soft55.html
http://www.em.edu.waseda.ac.jp/~moriya/research/complexity.html
チェーン他巨大数アプローチ
http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/big.htm
http://home.earthlink.net/~mrob/pub/math/largenum-4.html
http://uglypc.ggh.org.uk/~chrisb/maths.pdf (ばーど数)
- 14 名前：695 ：02/09/30
02:30
- 以上です。それではどうぞヽ(´ー｀)ノ
- 15 名前：１３２人目の素数さん
：02/09/30 04:58
- 332 ：ふぃっしゅっしゅ ◆gicLO6y6 ：02/06/29 21:12
あと、細かいことだが>>320で
SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
ただし S2=S^f(m), g(x)=S2[m,f(x)], n=g(m)
と書いたが、g(x)=S2[m,f(x)]という書き方は良くない。
SS:[m,f(x),S]→[n,g(x),S2]
ただし S2=S^f(m), S2:[m,f(x)]→[n,g(x)]
という書き方の方が正確だ。
- 17 名前：１３２人目の素数さん
：02/09/30 14:32
- >>1
乙〜。
- 18 名前：１３２人目の素数さん ：02/09/30 17:32
- ばーど数の詳細が気になるなー｡
- 19 名前：１３２人目の素数さん ：02/09/30 18:36
- >>1＝６９５さん
テンプレ作ってくれたんならスレ立てる前に晒してくれてもよかったのに･･･でも乙。
さて、皆さんお忘れのことと思いますが、前スレに引き続き、字数制限付きでの最大数を募集したいと思います。
●基本ルール
・数学的にある一つの実数に定まっていなければならない。
（「無限大」「抽象的なもの」「物理的なもの」「自己言及的なもの」など禁止。）
・無定義で用いて良い記号は高校の教科書レベルまでとする。
ただし指数表記「＾」はこれを認め、a^b^c=a^(b^c) とする。
例外的にackerman関数（ak(m,n)）の使用も認めるが、その旨明記することを推奨する。
・一つのレスで完結していなければならない。（リンクなど禁止。）
●文字数の判定について
１．改行、スペース、句読点などはそれらがなければ意味が通じなくなってしまう場合にのみ文字数に入れる。
２．「＾」「（）」は全て文字数に入れる。
●表記について
１．数学という場における文章として広く認められる表記でなければならない。
（「千^千」など禁止。）
２．基本は十進表記。その他の場合は宣言しなければならない。
- 20 名前：名無しのような物体 ◆plq.175s ：02/09/30 18:37
- 栄光のタイトルホルダーたち
ackerman関数なし ackerman関数あり
【10文字部門】 9を99!回階乗する ak(9^9!,9)
【20文字部門】 f(n):=nに階乗をn回 ak(ak(ak(9!,9),9),9)
f^9!(9)
【30文字部門】 f(n):=nに階乗をn回
f(x)=ak(x,x)として f^(f^99!(9))(9)
f^(f^(99!)(9))(9)
ちなみに全てふぃっしゅっしゅさんの作品です。ふぃっしゅっしゅさんに敬礼！∠（ﾟДﾟ）
- 21 名前：旧695 ：02/09/30 19:32
- >>19
すいません。以後気をつけます。
で、ばーど数をかいつまんで説明しようと思います。
数式の表記がうさん臭いですが勘弁してください。
まずは N＝3(↑G)[4]3 (Gはグラハム数)というものを考えます。
(↑G)とはG回回転したチェーンのことで、
これはタワーと同じように演算子として用います。（チェーンの回転については省略）
(↑G)[4]＝(↑G)(↑G)(↑G)(↑G)です。
すなわちN＝3(↑G)(↑G)(↑G)(↑G)3 です。このNを下敷きにして、
X(1)＝N(↑N)[N]N を考えます。そしてこれから
X(N)＝X(N-1)(↑X(N-1))[X(N-1)](N-1) とパワーアップさせて、
このX(N)をX_1(N)と呼び直します。(ここ不正確かも)
そんで、
X_2(1)＝X_1(N)
X_2(2)＝(X_1)^2(N)＝X_1(X_1(N))
X_3(1)＝X_2(N)＝(X_1)^N(N) … とビシビシ強化して、(この辺の詳細も省略)
H＝X_N(N) を考えます。ここからまた
X_H(N),(X_(X_H(N)))(N),…のようにXの添字部分に入れ子を作っていきます。
入れ子操作をX_H(N)回行った結果生まれる巨大数が「ばーど数」です。多分。
個人的には、ベースの演算がタワーであるところに突破口があると感じます。
タワーより強いアッカーマン関数を用いれば…
- 22 名前：１３２人目の素数さん
：02/09/30 20:07
- 史上最大の数 グラハム数のスレを立てたものです。
前のでかい数スレにも５０レスくらいしました。（＋1とか999〜のアホじゃないよ）
すごい展開になってきましたね。バ−ド数はふぃっしゅ数を凌駕してるのは確実と思われ
ますが、最後のＸH(Ｎ)にいたるバ−ド数定義のペ−ジの関数で生み出した巨大数を次の
関数に使用する(入れ子ですか）部分はふぃっしゅ数の手法に近いですね。(ﾊﾞ-ﾄﾞの方が前だけど）
‥‥‥というかフィッシュ数増加のシステムはこの最終ペ−ジそのものをフルに活用した感じですね。
ただ、バ−ド数のベ−スになってるN＝3(↑G)[4]3 がｶﾅ-ﾘでかい模様なので、そこから
スタ−トしていくバ−ド数の巨大さは圧倒的です。ただふぃっしゅ数のＳＳ変換はたぶんこれ
以上に強力なはずで、ここをいじればという695さんの意見は同感です。
ただタワ−がチェ−ンに成った時の増大は、もしかしてタワ−の増大率より急激に増大率の
増加作用が起きてるように感じて、必要以上に巨大さを感じ取ってしまうのは気のせいでしょうか。
- 23 名前：１３２人目の素数さん
：02/09/30 20:09
- バ−ド数のベ−スになってるN＝3(↑G)[4]3
でグラハム数を使ってるのがちょっとなあ‥‥‥。
- 24 名前：１３２人目の素数さん
：02/09/30 20:10
- このスレタイいいと思いますよ。ふぃっしゅさんが「バ−ド数」って字を
見てまた来るかもしれないしね。
- 25 名前：１３２人目の素数さん ：02/09/30 20:13
- >>21
てゆーかＳ変換ってのはそういう入れ子操作の一般化なわけでしょ？
- 26 名前：１３２人目の素数さん
：02/09/30 20:39
- ＳＳ変換２回目（新Ｓ変換ggg(gg(g(ak【ggg(gg(g(61)))】)))回分）
とバ−ド数のベ−スになってるN＝3(↑G)[4]3
の勝負あたりから確認できないものかな。
ggg(gg(g(ak【ggg(gg(g(61)))】)))はグラハム数よりはるかにはるかにはるかに
でかいわけだからＳＳ変換２回目で得られる巨大数はかなりでかいはず
N＝3(↑G)[4]3 はグラハム数回転したタワ−を４つ並べるわけだから、やっぱ
相当でかい、タワ−が↑→↓←と１周するのと新Ｓ変換１回分（旧Ｓ変換４回分）
の増加率を比較して新Ｓの方がでかければＳＳ変換２回目の方がでかいのかな？
ただしバ−ド数がでかく成っていくのはここからなので、最終的にはバ−ド数が勝つ
気がする。でもこう書いていてあらためてふぃっしゅ数の増大率に驚いた
ＳＳ３回目はそのＳＳ２回目の数より多い回数の変換をするわけだから‥‥。
‥‥‥あれ？ちょっと待てよバ−ド数の最後のＸ関数の変換はＮ回だから
もし、上記のＳＳ２回目の数がＮよりでかかったらＳＳ３回目はＮ回以上の
変換をやるわけだからバ−ド数よりでかくならないか？？？
ってことは、上記が証明されればふぃっしゅ数の勝ち？？？
でかく
- 27 名前：１３２人目の素数さん
：02/09/30 20:51
- タワ−が最初の↑から→(ﾁｪ-ﾝ）に変った時の増加率が急上昇してるとしたら
矢印一回転分が新Ｓ変換１回分より大きく成るかもしれない。
- 28 名前：旧695 ：02/09/30 21:09
- 無理に矢印を回転させるからややこしいのであって、タワーに普通に
添字を使えば分かりやすいかも。
↑、→、←、(↑1)、…、(↑n)とやるより
↑、↑_2、↑_3、…、↑_(n) みたいな。
>>25
入れ子の一般化はまだだと思います。SS…SS変換みたいなものはまだ
定義されてませんから。一般化されたのはn項漸化式です。多分。
- 29 名前：132人目の素数さん ：02/09/30 21:23
- なんでこんなくだらんネタで盛り上がれるんだろ？？
漏れには理解できない。
- 30 名前：１３２人目の素数さん ：02/09/30 21:28
- Mathematica with うちのパソコンで
3^1000万乗が5分ほどで計算できた。
5年前は、2^1万乗で「画面がスクロールするよ〜」とか喜んでた自分が好きだ。
- 31 名前：眠い人 ：02/09/30 21:33
- どもです。
私なりに、簡単で分かり易い記述で巨大数を表現してみたくちと挑戦してみます。
帰納関数群には、膨張の度合いで劣るかもしれませんが・・・
というか、実際に分かり易く視覚的に検証出来無いのかなぁ・・・とか。
2|5 2を5つ すなわち、2|5=2^2^2^2^2 = 2^65536 = 2.003e+19728
3|4=3^3^3^3 =
3^3^27
2|2=2^2=4
2||2 = (2|2)|(2|2) = 4|4 = 4^4^4^4 = 4^4^256
2|||2 = (2||2)||(2||2) = (4^4^256)||(4^4^256)
既にこれだけで現行計算機で簡単には扱え無いような気も。
2||||||2 (|が6本) = 2|(6)|2
・
A|B= A^A^A^ ... ^A (AがB個)
A|(n)|B = (A|(n-1)|B) |(n-1)| (A|(n-1)|B)
とりあえずこれだけですわ。
nとBは2以上の自然数って前提ですが
実数や複素数に拡張できたらはたまたどうなるのやら。
- 32 名前：眠い人 ：02/09/30 21:34
- 10文字以内でですと
9|(999!)|9
が最大かなぁ。
999!より、9|99の方が大きい気も。
999!<9|99<9||9
かも知れず・・・
999!=4.023e+2564
9|99>9^9^9>9^387420489
(Overflow)
9||9 = (9|9)|(9|9) > 9|99
すなわち、
10文字以内ですと、
9|(9||9)|9
が最大の様です・・・かのう。(^_^;)
- 33 名前：１３２人目の素数さん
：02/09/30 21:38
- >>29
じゃあ、どんなネタが好きなの？
- 34 名前：１３２人目の素数さん ：02/09/30 21:41
- 放置で
- 35 名前：１３２人目の素数さん ：02/09/30 22:00
- ↑↑↓↓←→←→ＢＡ（１６進数）
これが一番でっかいんじゃね〜１０文字だよ〜〜２回転してるぞ〜〜
温故知新だね！
- 36 名前：１３２人目の素数さん
：02/09/30 22:08
- A|(n)|B と A↑(n)↑B はA,Bが十分大きいときどっちがでかいかな
- 37 名前：名無しのような物体 ◆plq.175s ：02/10/01 02:21
- >>19は私でした。・・・・・どうもすみません。
>>29
１さん、ばーど数の説明thxです。個人的な感想ですが、ばーど数って、
タネとなる数字にグラハム数を使っているんですよね。その点、3とx+1と63をタネにした
ふぃっしゅ数と比べていささか力押しに過ぎるきらいがあると思うのです。
>>31
ふうむ。翻訳すると｜≡↑↑ですな。ただ
a||b=(a|b)|(a|b)=(a↑↑b)↑↑(a↑↑b)だから
｜｜は↑↑↑よりもゆるくなってしまいますが。
そうそう、｜の定義も字数として数えなくてはいけません。
- 38 名前：名無しのような物体 ◆plq.175s
：02/10/01 02:43
- ごめん、>>29じゃなくて>>21だった。
- 39 名前：１３２人目の素数さん
：02/10/01 06:08
- バ−ド数の検証 Ｍ＝3(↑1)[2]3 としてＭを求めてみる
＝ 3(↑1)(↑1)3＝ 3(↑1)3(↑1)3＝ 3←←←3＝ 3←←3←←3＝ 3←←(3←3←3）
＝ 3←←(3↓↓↓3)＝ 3←←(3↓↓【3↓↓3】)＝ 3←←(3↓↓【3↓3↓3】)
＝ 3←←(3↓↓【3→→→3】)＝ 3←←(3↓↓【3→→《3→→3》】
＝ 3←←(3↓↓【3→→《3→3→3》】
＝ 3←←(3↓↓【3→→《3↑↑↑3》】
＝ 3←←(3↓↓【3→→《3↑3↑3》】
＝ 3←←(3↓↓【3→→《3＾27》】
＝ 3←←(3↓↓【3→3‥《3＾27回》‥3→3】
※【3→3‥(3＾27回)‥3→3】＞Ｇ(ｸﾞﾗﾊﾑ)数
＝ 3←←(3↓↓【3→3‥(Ｇよりでかい数)‥3→3】）
＝ 3←←(3↓3‥【3→3‥(Ｇよりでかい数)‥3→3→3回》‥3↓3】
＝ 3←3‥(3↓3‥【3→3‥(Ｇよりでかい数)‥3→3→3回》‥3↓3回】‥3←3
こんな感じかな‥‥。
- 40 名前：１３２人目の素数さん
：02/10/01 06:13
- >>39 ゴメソ最後の４行訂正
※【3→3‥(3＾27回)‥3→3】＞Ｇ(ｸﾞﾗﾊﾑ)数
＝ 3←←(3↓↓【Ｇよりでかい数)】）
＝ 3←←(3↓3‥【Ｇよりでかい数】‥3↓3】
＝ 3←3‥(3↓3‥【Ｇよりでかい数】‥3↓3回）‥3←3
って書きたかったんです
- 41 名前：１３２人目の素数さん
：02/10/01 08:23
- >>29
SSSS…SSS変換について考えてみたが、うまく表現できない。
記号の使い方に難があるが、下のような感じか
S(x) =
f(x) とする。
SS: [S(x), m] → [S_2(x), n] を
S_2(x) = S ^(S(m))(x) 、n =
S_2(m) で定義する。（ S を S(m) 回繰り返す）
SSS: [SS, m] → [SS_2, n] を
SS_2 = SS
^(SS(S, m))[S, m] 、n = SS_2[S, m] で定義する。（ SS を SS(S, m)回繰り返す）
（ SS(S, m)
は、 SS[S, m] のうち数値のほうのみを取り出したもの。
S(x)=S_2(x)、m=n と置き直して繰り返し計算）
：
- 42 名前：つづき ：02/10/01
08:23
- つまり、その段階での最強増加函数の使用回数を、その函数の増加率でもって
増加させるような操作を考え、さらにその操作の使用回数を…という入れ子。
非常にシンプルに f(x) = x+1 、m=1
で出発すると、
S(1) = f(1) = 2
SS(1) = S^S(1)(1) = S^2(1) = 3
SSS(1) =
SS^3 [S, 1] = SS^2 [x+2, 3] = SS (x+6, 9) = 63
SSSS(1) = SSS^63 [SS, 1] =
計算不能 （グラハム数より断然大きいと思う、多分）
このようにアッカーマンもタワーも使わずに驚異的な増大率の函数列が作れる。
というか、この方法はバード数（>>21）で使われている、
一定の漸化式で次の函数を生み出す方法よりも上を行っている気がするんだが、
うーん。
- 43 名前：つづき ：02/10/01 08:28
- んー？ 違うか。SSS(1)=243 かな？
戻る